二次函数和四边形的动点问题(含答案解析)
数学-动点型问题(含答案)
2013年中考数学复习：动点型问题（一）（建立动点问题的函数解析式（或函数图像）、动态几何型压轴题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）例1 （2012•嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D →C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B．C． D．思路分析：根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对x从0到2a+2a时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．解：设动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，∵正方形ABCD的边长为a，∴BD=a，则当0≤x＜a时，y=x，当a≤x＜（1+）a时，y=，当a（1+）≤x＜a（2+）时，y=，当a（2+）≤x≤a（2+2）时，y=a（2+2）﹣x，结合函数解析式可以得出第2，3段函数解析式不同，得出A选项一定错误，根据当a≤x＜（1+）a时，函数图象被P在BD中点时，分为对称的两部分，故B选项错误，再利用第4段函数为一次函数得出，故C选项一定错误，故只有D符合要求，故选：D．点评：此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．对应训练1．（2012•内江）如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．（二）应用比例式建立函数解析式（或函数图像）例2 （2012•攀枝花）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为（）A． B．C． D．思路分析：首先根据点D的坐标求得点A的坐标，从而求得线段OA和线段OC的长，然后根据运动时间即可判断三角形EOF的面积的变化情况．解：∵D（5，4），AD=2．∴OC=5，CD=4 OA=5∴运动x秒（x＜5）时，OE=OF=x，作EH⊥OC于H，AG⊥OC于点G，∴EH∥AG∴△EHO∽△AGO即：∴EH=x=OF•EH=×x×x=x2，∴S△EOF故A、B选项错误；当点F运动到点C时，点E运动到点A，此时点F停止运动，点E在AD上运动，△EOF的面积不变，点在DC上运动时，如右图，EF=11﹣x，OC=5∴S△EOF=OC•CE=×（11﹣x）×5=﹣x+是一次函数，故C正确，故选C．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据动点确定分段函数的图象．对应训练2．（2012•贵港）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．（三）应用求图形面积的方法建立函数关系式例3 （2012•桂林）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．思路分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件；（2）利用S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9 即可得到y与x之间的函数关系式；（3）依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到S△ADF=S△BDE从而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可确定两个变量之间的函数关系式．解：（1）证明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°∴AD=BD=DC （2分）∵AE=CF∴△AED≌△CFD（2）解：依题意有：FC=AE=x，∵△AED≌△CFD∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9∴∴；（3）解：依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°∴∠DAF=∠DBE=135°∴△ADF≌△BDE∴S△ADF=S△BDE∴S△EDF=S△EAF+S△ADB=∴．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．对应训练3．（2012•桂林）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC →CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A． B．C． D．考点二：动态几何型压轴题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
二次函数动点问题的解题技巧
二次函数动点问题的解题技巧
以下是 8 条关于二次函数动点问题的解题技巧：
1. 大胆设未知数呀！比如在一个直角坐标系里，有个二次函数图像上有个动点 P，那咱就大大方方设它的坐标为(x,y)，这样不就能更好地分析啦！就像给这个动点取了个名字，好指挥它呀！
2. 把条件都用上呀！可别漏了，像找到某个线段长度与动点坐标的关系，哎呀呀，这可是关键呢！比如已知一个线段的长度是 5，和动点 P 的横坐标有关，那可不能放过这个线索，得好好挖掘挖掘！
3. 找等量关系呀！这就好比寻宝，到处去找那些能关联起来的等量哦。
比如说一个三角形面积和另一个图形面积相等，这不就找到宝贝线索啦！
4. 注意特殊位置呀！嘿，动点有时候会跑到一些特殊的点呢，那可有意思啦。
比如它跑到对称轴上时，那说不定会有惊喜发现呢！像突然发现一些对称关系，多神奇呀！
5. 画画图呀！通过图形能更直观地看到动点的运动呀，这就像给你一双眼睛看着它怎么跑。
看看它跑到不同地方时整个图形发生的变化，多好玩呀！
6. 多试试分类讨论呀！有时候动点的情况不唯一呢，那咱就别怕麻烦，一种一种来。
难道还能被它难住不成？像动点在不同区间时可能有不同的结果，咱就一个个算清楚嘛！
7. 利用函数解析式呀！这可是个好宝贝，通过它能知道很多信息呢。
比如知道了二次函数的解析式，那动点在上面的一些性质不就清楚啦？
8. 要敢想敢做呀！别犹豫，大胆去尝试各种方法。
不试试看怎么知道行不行呢？就像冒险一样，多刺激呀！
总之，面对二次函数动点问题，别怕！勇敢地去探索，一定能找到答案的！。
二次函数动点问题专题练习答案
二次函数动点问题专题练习答案1. 运用二次函数知识解决问题（1）当自变量 x 取何值时，二次函数 y = ax²+ bx +c 的值达到最小值（或最大值）？答：当自变量 x 取 -b/2a 时，二次函数 y = ax²+ bx +c 的值达到最小值（或最大值）。
（2）若已知抛物线上两点坐标为（x1, y1）, （x2, y2）, 试写出该抛物线二次函数的一般式，并求出该抛物线的解析式。
答：设抛物线二次函数为y=ax²+bx+c则有以下方程组：ax1²+bx1+c =y1ax2²+bx2+c =y2-可列出-x1²·a + x1·b + c - y1 = 0x2²·a + x2·b + c - y2 = 0x3²·a + x3·b + c - y3 = 0-即-| x1² x1 1 || x2² x2 1 | = 0| x3² x3 1 |由于已知 2 个点，可以得到3个方程组代入高斯消元法得到a、b、c三个系数，因此解析式y=ax²+bx+c2. 解决实际问题的应用题以一个具体问题为例，说明如何解决动点问题。
【例题】马路边缘水坑中心挖开，呈抛物面，最深处为4m、直径10m。
现在要在中心位置挖一道V字形沟渠，宽5m，深2m，请问水从沟渠可以流多少吨？若要确保塌方风险不会增加，每日流出水量不得超过150m³？解：先画出示意图假设某一时刻水位高度为 h，抛物线面积为 S，则有S = πr² + 2·(2·h)·(πr/2)因为题目已知直径为10m，则半径为 5m，即 r=5所以，S = 25π + 10h设 h = -x² + 4 （因为最深处为4m），并且将 V 字形沟渠截面看作若干个矩形的叠加，则矩形面积为：A = (5 - x) · 2 = 10 - 2x而矩形面积与水位高度 h 存在联系，即：S = A + πx²代入 h = -x² + 4 和S = 25π + 10h，解得：x ≈ 2.036因此，此时的流量为：V = A · x ≈ 20.364 m³/s即使每日流出水量达到最大 150m³，也可以满足问题的需求。
二次函数动点问题专题
二次函数动点问题专题一、因动点产生的面积问题1、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.cbxxy++-=2ABC2、如图，抛物线y=12x2+b x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1,0）。
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值；（4）点P为直线BC下方抛物线上一动点，问当P在什么位置时，四边形ACPB 的面积最大，求出此时的P点坐标及最大面积。
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B 两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．4、（2015中大附中一模）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠GQA =45º，求点Q 的坐标．5、（2016•越秀区一模）如图，已知抛物线y=x 2﹣（m +3）x +9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x +3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点．（1）求m 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）当﹣3＜x ＜1时，在抛物线上是否存在一点P ，使得△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、因动点产生的等腰三角形存在性问题1、已知：如图抛物线a x x y +-=421过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。
人教版九年级数学中考动点问题专项练习及参考答案
人教版九年级数学中考动点问题专项练习例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y轴相交于点C ，顶点为D .⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为；① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式． 【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，．抛物线的对称轴是：1x =．⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+． 把()()3003B C ，，，分别代入得：303.k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-=，． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，． 当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，．在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ，当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，．∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形． 由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）． 因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形．②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得：3OB OM MB =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+．即()11112222S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅．∴()()221393303222S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．例题2. 如图，已知抛物线(1)2)0y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【答案】（1）∵抛物线2(1))0y a x a =-+≠经过点()20A -，，∴09a =+a =∴二次函数的解析式为：2y =+（2）∵D 为抛物线的顶点∴(1D 过D 作DN OB ⊥于N ，则DN =，3AN =，∴6AD ==∴60DAO ∠=︒∵OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 ∴6OP =∴()6t s =②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形 过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =） ∴5OP DH ==，()5t s =③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 ∴2624OP AD AH =-=-=∴()4t s =综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）由（2）及已知，60OC OB COB OCB =∠=，，°△是等边三角形 则62OB OC AD OP t BQ t =====，，，∴()6203OQ t t =-<< 过P 作PE OQ ⊥于E，则PE =∴113322263(62)BCPQ t S t -=⨯⨯⨯-⨯=233633228t ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338 ∴此时33324OQ OP OE ==，=，∴39334443PE QE ===- ∴222233933442PE QE PQ ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=例题3. 已知⊙O 的半径为3，⊙P 与⊙O 相切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，cos ∠BAO ＝13．设⊙P 的半径为x ，线段OC 的长为y ．（1）求AB 的长；（2）如图1，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA ＝∠OPC 时，求⊙P 的半径．图1 【答案】（1）如图2，作OE ⊥AB ，垂足为E ，由垂径定理，得AB ＝2AE ．在Rt △AOE 中，cos ∠BAO ＝13AE AO =，AO ＝3，所以AE ＝1．所以AB ＝2．（2）如图2，作CH ⊥AP ，垂足为H ． 由△OAB ∽△P AC ，得AO AP AB AC =．所以32x AC =．所以23AC x =． 在Rt △ACH 中，由cos ∠CAH ＝13，得1322AH AC CH==． 所以1239AH AC x ==，224239CH AC x ==． 在Rt △OCH 中，由OC 2＝OH 2＋CH 2，得222422()(3)99y x x =++． 整理，得23649813y x x =++．定义域为x ＞0．图2 图3（3）①如图3，当⊙P 与⊙O 外切时，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△OCA ∽△OPC ．因此OA OCOC OP =．所以2OC OA OP =⋅． 解方程236493(3)813x x x ++=+，得154x =．此时⊙P 的半径为154．②如图4，图5，当⊙P 与⊙O 内切时，同样的△OAB ∽△P AC ，23AC x =． 如图5，图6，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△ACO ∽△APC ．所以AO ACAC AP =．因此2AC AO AP =⋅． 解方程22()33x x =，得274x =．此时⊙P 的半径为274．图4 图5 图6例题4. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1【答案】（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到2y x=．图2 图3 图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知122BN DM==．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m=．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5 图6例题5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长； （3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3【答案】（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ，所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =．在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+．整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．图7 图8例题6. 如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1【答案】 （1）当M 、N 都在O 右侧时，24122OM t t OA-==-，642163ON t t OB-==-，所以OM ON OAOB≠．因此MN 与AB 不平行．（2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ．②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么ON OA OMOB=．所以462426t t -=-．解得t ＝2．图2 图3 图4（3）①如图2，24OM t =-，12OH t =-，2)MH t =-．(64)(12)52NH ON OH t t t =-=---=-．②如图3，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(64)(21)52NH ON OH t t t =+=-+-=-．③如图4，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(21)(46)52NH OH ON t t t =-=---=-．综合①、②、③，s 222MN MH NH ==+22221)(52)16322816(1)12t t t t t ⎤=-+-=-+=-+⎦． 所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例题7. 已知点 (1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.【解析】点(1，3)在函数k y x=的图像上，3k =.又E 也在函数k y x =的图像上，故设E 点的坐标为(m ，3m). 过E 点作EF x ⊥轴于F ，则3EF m=. 又E 是对角线BD 的中点，62AB CD EF m===. 故A 点的纵坐标为6m ，代入3y x =中，得A 点坐标为 (2m ，6m). 因此22m mBF OF OB m =-=-=.由45ABD ∠=︒，得45EBF ∠=︒，BF EF =. 即有32m m=.解得m =而0m >，故m =则E 点坐标为【答案】例题8. 如图，11POA ∆、212PA A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【解析】分别过点1P 、2P 做x 轴的垂线，根据题意易得1PC OC =，21P D A D =，14PC OC ⋅=，24P D OD ⋅=，得2OA =，所以2A(0).【答案】2A(0).例题9. 如图所示，()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．【解析】由已知易得()133P ，，则13y =，点2P 横坐标为26y +， 那么可得()2269y y +=，解得23y =，同理点3P横坐标为3y，那么可得()339y y =，解得3y =依此类推，n P的纵坐标为n y =∴1233n y y y +++=+++……【答案】例题10. 如图，P 是函数12y x=(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F.求AF BE ⋅的值.【解析】设点P (x ，y )，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，21AF BE xy ⋅==. 【答案】1例题11. 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与BC ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22k y x =． ∴1111122S x y k ==，2221122S x y k ==．∴12S S =，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S =---=---=--△△△△△△矩形∴2112S k k =-+． 当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，∵90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠= ∴EMN MFB ∠=∠．又∵90ENM MBF ∠=∠=， ∴ENM MBF △∽△． ∴EN EM MB MF= ∴11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∴94MB =．222MB BF MF +=，解得218k =．∴21432k BF ==∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．例题12. 如图，点()1A m m +，，()31B m m +-，都在反比例函数ky x=的图象上． （1）求m k ，的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．【解析】（1）由题意可知，()()()131m m m m +=+-．解，得3m =．∴()()3462A B ，，，；∴4312k =⨯=．（2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设1M 点坐标为()10x ，，1N 点坐标为()10y ，． ∵ 四边形11AN M B 为平行四边形，∴线段11N M 可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 坐标为（3，4），B 坐标为（6，2），∴1N 点坐标为042（，-），即102N （，）； 1M 点坐标为（6－3，0），即1M （3，0）．设直线11M N 的函数表达式为12y k x =+，把30x y ==，代入，解得123k =-． ∴ 直线11M N 的函数表达式为223y x =-+．②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设2M 点坐标为20x （，），2N 点坐标为20y （，）．∵11221122AB N M AB M N AB N M AB M N ∥，∥，＝，＝，∴1221122N M M N N M M N ∥，＝． ∴线段22M N 与线段11N M 关于原点O 成中心对称． ∴2M 点坐标为（-3，0），2N 点坐标为（0，-2）．设直线22M N 的函数表达式为22y k x =-，把30x y =-=，代入，解得223k =-，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为223y x =--．所以，直线MN 的函数表达式为223y x =-+或223y x =--．【答案】（1）3m =，12k =；（2）223y x =-+或223y x =--。
专题14 二次函数中动点问题求取值范围(老师版)
专题14二次函数中动点问题求取值范围知识归纳学会用函数的观点去看问题和用数形结合的思想去解决问题是本专题主要研究的知识点。
本专题主要对二次函数中动点问题求取值范围题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
二次函数动点问题解法⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需4102转化为一元二次1653方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；常考题型专练一、填空题1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，联立解方程：22222y x mx my x⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x-+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．2．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝12x＋12上，若抛物线y＝ax 2﹣x＋1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是____．【答案】1≤a＜98或a≤−2【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，确定临界点，进而可求a 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝ax 2−x＋1（a≠0）与线段AB 有两个不同的交点，∴令12x＋12＝ax 2−x＋1，则2ax 2−3x＋1＝0，∴△＝9−8a＞0，∴a＜98，①a＜0时，此时函数的对称轴在y 轴左侧，当抛物线过点A 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：a＋1＋1＝0，解得a＝−2，故a≤−2②当a＞0时，此时函数的对称轴在y 轴右侧，当抛物线过点B 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：a −1＋1＝1，解得a＝1，即：a≥1∴1≤a＜98综上所述：1≤a＜98或a≤−2．故答案是：1≤a＜98或a≤−2．【总结】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3．已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点(),3A m ，(),3B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是_________.【答案】74【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥12，把x=12代入代数式即可求得．【详解】∵抛物线y=ax 2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴4222m n a a +=-=-，顶点为（-2,1）∴由题意可知a>0,∵线段AB 的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥12∴a 2+a+1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为74．【总结】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，将抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m 的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D 点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D 之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，联立解方程：22222y x mx m y x ⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x -+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D 之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于A、C 两点，与x 轴交于点(3,0)C ，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,1)-，连接PC +的最小值是______．【答案】4【分析】过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，求出DP PJ +的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC，过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于H．∵二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于点(3,0)C ，∴b＝2，∴二次函数的解析式为223y x x =-++，令y＝0，-x 2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，-1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设DH x =，则BH x =,∵222DH BH BD +=，∴2224x x +=，∴x =∴DH ＝∵PJ⊥CB，∴90PJC ∠︒＝，∴2PJ PC ＝，)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，∵DP PJ DH +≥，∴DP PJ +≥∴DP+PJ 的最小值为PC +的最小值为4．故答案是4．【总结】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，2PJ PC ＝是解题的关键．二、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x x =-．（1）写这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．试求抛物线24y x x =-的“不动点”的坐标．【答案】（1）抛物线开口向上，顶点坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【分析】（1）由a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，−1），即可分析出变化情况；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，即可求解；【详解】解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的横坐标为4222b a --=-=，则顶点A 的纵坐标为2242y =-⨯=−4；故顶点A 的坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，解得：t＝0或5，故“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【总结】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．2．已知二次函数2(0)y ax bx a =+≠，其对称轴为直线x=t．（1）当a=1，b=4时，t=________；（2）当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，则t 的取值范围是________；（3）已知点C(0，a)，D(2，3a -2b)，若此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）-2；（2）t＞3；（3）t≤18【分析】（1）利用对称轴公式，即可求解；（2）根据二次函数的图像开口向下，点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，可得点B 离对称轴更近，进而即可求解；（3）分两种情况①当a＞0时，得到22232y a b a b =⨯+≥-，②当a＜0时，得到22232y a b a b =⨯+≤-，进而即可求解．【详解】解：（1）∵当a=1，b=4时，二次函数24y x x =+，∴对称轴为直线x=-2，即：t=-2，故答案是：-2；（2）∵当a<0时，二次函数2(0)y ax bx a =+≠的图像开口向下，又∵点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，∴点B 离对称轴更近，即：|5-t|＜|t-1|，∴t＞3，故答案是：t＞3；（3）①当a＞0时，∵C(0，a)在y 轴的正半轴，2(0)y ax bx a =+≠的图像过原点，开口向上，此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，∴只要22232y a b a b =⨯+≥-即可，即：4a+2b≥3a-2b，解得：a≥-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，②当a＜0时，同理可得：只要22232y a b a b =⨯+≤-，即：4a+2b≤3a-2b，解得：a≤-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，综上所述：t≤18．【总结】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴方程，二次函数图像的对称性，是解题的关键．3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A（1，0），B（3，0），交y 轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值【答案】（1）y=x 2-4x+3；（2）278【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式y=ax 2+bx+3，求出a、b，即可求解；（2）求出直线BC 解析式；设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，表示出PE 长，得到△BCP 面积与t 函数关系式，根据函数性质即可求解．【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得14a b -⎧⎨⎩＝＝，∴这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC 的表达式为y=kx+m，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得300k m m +⎧⎨⎩＝＝，解得13k m -⎧⎨⎩＝＝，∴直线BC 的解析是为y=-x+3，设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，交直线BC 于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t，∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278．【总结】本题为二次函数综合题，考查了二次函数，一次函数等知识，熟知待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点，添加适当辅助线是解题关键．4.已知抛物线228y ax ax =--()0a ≠经过点()2,0-．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l 交抛物线于点()4,A m -，(),7B n ，n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围，【答案】（1）228y x x =--，顶点坐标为()1,9-；（2）4p x -<<5，916p y -≤<【分析】（1）把()2,0-代入可求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，直接得到抛物线的顶点坐标；（2）把()4,A m -，(),7B n 代入可求出m，n，求出点P 横坐标取值范围，在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围【详解】解：（1）把()2,0-代入228y ax ax =--，得4480a a +-=，解得1a =，∴抛物线的函数表达式为228y x x =--，配方得()219y x =--，∴顶点坐标为()1,9-．（2）当4x =-时，16m =．当7y =时，2287n n --=，解得15n =，23n =-．n 为正数，∴5n =．点P 在抛物线上且在直线l 的下方（不与点A ，B 重合），∴4p x -<<5．∵1a =＞0∴开口向上，当x=1时函数取得最小值=-9∴当41x -<≤时，y 随x 的增大而减小；当15x <<时，y 随x 的增大而增大，当x=-4时，y=16，当x=5时y=7，∴916p y -≤<【总结】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质．5.已知她物线2y x bx c =++的图象开口向上，且经过点(0,3)A 、19,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式：（2）用配方法求出抛物线的顶点坐标和对称轴，（3）若点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图象M，若图象M 向下平移()0t t >个单位长度时与直线BC 只有一个交点，求t 的取值范围．【答案】（1）223y x x =-+（2）顶点坐标（1，2），对称轴x=1（3）1＜t≤7【分析】（1）把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到2(1)2y x =-+，求出抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）画出抛物线，如图，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y=12x+2，再利用平移的性质得到图象M 向下平移1个单位时，点A 在直线BC 上；图象M 向下平移7个单位时，点D 在直线BC 上，由于图象M 向下平移t (t >0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，即可得答案．【小问1详解】解：把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得=3{1193424c b ++=，解得=3{2c b =-，∴抛物线的解析式为223y x x =-+；【小问2详解】∵2223(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标（1，2），对称轴x=1；【小问3详解】点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，所以C 点坐标为(2，3)，抛物线如下图，设直线BC 的解析式为y=mx +n，把B 1924()，，C(2，3)代入得，19+={2423m n m n +=，解得：1{22m n ==，∴直线BC 的解析式为y=12x+2，∵抛物线223y x x =-+，当x =4时，223y x x =-+=16-2×4+3=11，∴点D 的坐标为（4，11），∵直线y=12x+2，当x=0时，y=12x+2=2，当x=4时，y=12x+2=4，∴如下图，点E 的坐标（0，2），点F 的坐标（4，4），设点A 平移后的对应点为点A '，点D 平移后的对应点为点D ¢，当图象M 向下平移至点A '与点E 重合时，点D ¢在直线BC 上方，此时t=1，当图象M 向下平移至点D ¢与点F 重合时，点A '在直线BC 下方，此时t=11-4=7，结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是1<t≤7．【总结】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换，解题的关键是利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．6.已知抛物线y＝ax 2+bx+c 的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），且OB＝3OA，求m 的值；②若P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2）是新抛物线上的两点，当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，求n 的取值范围．【答案】（1）y＝（x﹣3）2+2；（2）①94或6；②23n-≤≤【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；②根据抛物线的对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．【详解】解：（1）∵顶点为（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵抛物线过点（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情况讨论：若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），由对称性可知：12（x+3x）＝1，解得x＝12，故点A的坐标为（12，0），将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝14﹣1+3﹣m，解得m＝9 4若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），由对称性可知：12（x﹣3x）＝1，解得x＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），同理可得m＝6，综上：m＝94或m＝6；②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．又∵当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，∴结合图象，得214n n ≥-⎧⎨+≤⎩，∴﹣2≤n≤3．【总结】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，求点C 的坐标；（3）点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图像G，若图像G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）2122y x x =-+（2）()2,2（3）13t <≤【分析】（1）把点A、B 的坐标代入212y x bx c =++得到关于b、c 的方程组，然后解方程组求得b、c 的值，即可得到抛物线的解析式；（2）利用配方法可得()213122y x =-+，则抛物线的对称轴为直线1x =，然后根据点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，即可求得点C 的坐标；（3）画出图象，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为112y x =+，再利用平移的性质得到图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上；图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上；然后根据图像G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点即可求得答案.【小问1详解】解：把点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入212y x bx c =++得：21322c b c ì=ïí++=ïî，解得：12b c =-⎧⎨=⎩，所以抛物线解析式为2122y x x =-+；【小问2详解】解：∵()2211321222y x x x =-+=-+，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，∴C 点坐标为()2,2；【小问3详解】解：如图，设直线BC 的解析式为y mx m =+，把31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,2C 代入y mx m =+，得：3222m n m n ì+=ïíï+=î，解得：121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为112y x =+，当0x =时，1112y x =+=，∴图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上，当4x =时，1132y x =+=，∵4x =时，21262y x x =-+=，∴图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上，∴当13t <≤时，图象G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点．【总结】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.也考查了待定系数法求函数解析式.解题的关键是利用数形结合思想，把抽象问题直观化.8.如图，抛物线y＝x 2+bx 与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．（1）求b 和k 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x 2+bx 的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN 与抛物线有公共点，请直接写出点M 的横坐标m 的取值范围．【答案】（1）b=2，k=1（2）2<<1x -（3）21m -≤≤-或01m ≤≤【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)首先求出点B 的坐标，再观察函数图象即可求解；(3)画出图，根据图进而求解即可．【小问1详解】解：把点A（﹣2，0）代入y＝x 2+bx得0=4-2b，解得b=2把点A（﹣2，0）代入y＝kx+2得0=-2k+2，解得k=1故b=2，k=1【小问2详解】解：由(1)知抛物线与直线的解析式分别为：y＝x 2+2x，y＝x+2由222y x x y x ⎧=+⎨=+⎩解得13x y =⎧⎨=⎩或20x y =-⎧⎨=⎩(舍去)故点B 的坐标为(1,3)故由图象可知：不等式kx+2＞x 2+bx 的解集为2<<1x -【小问3详解】解：如图：设直线与y 轴的交点为点E，抛物线的顶点为点C，对称轴所在直线与直线的交点为点D当点M 在点A 的左侧或点B 的右侧时，线段MN 与抛物线没有公共点在y＝x+2中，令x=0，则y=2，则点E(0,2)，OE=2y＝x 2+2x=(x+1)2-1，故点C(-1,-1)当x=-1时，y＝x+2=-1+2=1则DC=1+1=2故当点M 在点D、E 之间时，将点向下平移2个单位长度得到点N，线段MN 与抛物线没有公共点故当21m -≤≤-或01m ≤≤时，线段MN 与抛物线有公共点【总结】本题考查了利用选定系数法求二次函数及一次函数的解析、利用图象求不等式的解集，坐标与图形，画出图形确定点M 的位置是解题的关键．9．如图，二次函数y＝﹣x 2＋bx＋c 与x 轴交于点B 和点A（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，4），与一次函数y ＝x＋a 交于点A 和点D．（1）求出a、b、c 的值；（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E，可使得△EAD 面积最大，求点E 的坐标；（3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d，求d 的最小值及此时点F 的坐标．【答案】（1）1a =，3b =，4c =；（2）点E 的坐标为（1，6）时，面积最大；（3）d 最小值为5，此时F 点的坐标为（1，2）．【分析】（1）将A、C 两个点的坐标代入二次函数解析式，即可得出b、c 的值，将点A（－1，0）代入一次函数中，即可求得a 的值；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，联立直线方程和二次函数方程，即可得出D 的坐标，再根据∆∆∆=+AED AEH HED S S S ，得出含m 的函数，根据函数图象，可知，当1m =时，面积取得最大值，从而可得出E 的坐标；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，根据角平分线的性质可得：FM FN =，即有11d FE FM FE FN =+-=+-，可知当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，d 取得最小值，即可得出点F 的坐标．【详解】解：（1）∵点C（0，4），A（-1，0）在函数的图象上，∴410=⎧⎨--+=⎩c b c 解得：34b c =⎧⎨=⎩，二次函数解析式为：234y x x =-++，∵点A（－1，0）在一次一次函数y x a =+上，∴01a =-+,∴1a =，一次函数解析式为：1y x =+；所以1a =，3b =，4c =；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，将1y x =+与2y 34x x =-++联立组成方程组，解得点D 的坐标为（3，4），所以1122AED AEH HED S S S EH AG EH DT ∆∆∆=+=⨯+⨯()12EH AG DT =+()2134132m m m =-++--⨯()23162m =--+∵函数图象开口向下，存在最大值，∴AED S ∆有最大值，当1m =时，最大值为6，此时点E 的坐标为（1，6）；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，如图所示：∵点D 的坐标为（3，4），点A 坐标为（-1，0）∴45DAB ∠=︒，∴AD 平分SAB ∠，∴FM FN =，∴11d FE FM FE FN =+-=+-显然，当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+-最小，最小值为615d =-=，此时点F 的横坐标为1，代入1y x =+得：F 点的坐标为（1，2）．【总结】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，二次函数、一次函数解析式的确定，组成面积的最值，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合函数的基本性质是解题关键．。
2020江苏省中考数学选择填空压轴题专题：《函数的动点问题》(含答案)
专题: 函数的动点问题例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y（单位：cm 2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．同类题型1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A． B．C．D．同类题型1.2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A 出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．同类题型1.3 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DP＝x，DQ＝y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．例2．如图，等边△ABC 的边长为2cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AC 向点C 运动，到达点C 停止；同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB －BC 向点C 运动，到达点C 停止，设△APQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是 （ ）A ．B ．C ．D ． 同类题型2.1 如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm/s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE ＝12cmB ．sin ∠EBC ＝74C ．当0＜t ≤8时，y ＝72t 2 D ．当t ＝9s 时，△PBQ 是等腰三角形 同类题型2.2 矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒2个单位长的速度沿BA －AD －DCD 的方向运动到C 点停止，动点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 方向运动到C 点停止，假设P 、两点同时出发，运动时间是t 秒，y ＝S △PBQ ，则y 与t 的函数图象大致是 （ ）A ．B ．C ．D ．同类题型2.3 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B →C →D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A．B．C．D．例3．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A． B．C． D．同类题型3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l 从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．同类题型3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP ＝x ，当△APQ 的面积为14 3 时，则x 的值为 （ ）A ．2 21B ．2 21 或14C ．2或2 21 或14D ．2或14同类题型3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为____________．例4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE ＝2 3 cm ，EF ＝6cm ，且点C 、B 、E 、F 在同一条直线上，点B 与点E 重合．Rt △ABC 以每秒1cm 的速度沿矩形DEFG 的边EF 向右平移，当点C 与点F 重合时停止．设Rt △ABC 与矩形DEFG 的重叠部分的面积为y cm 2，运动时间xs ．能反映y cm 2与xs 之间函数关系的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．同类题型4.1 如图，菱形ABCD 的边长为1，菱形EFGH 的边长为2，∠BAD ＝∠FEH ＝60°点C 与点E 重合，点A ，C （E ），G 在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C ⇒G 方向平移至点A 与点G 重合时停止，设点C 、E 之间的距离为x ，菱形ABCD 与菱形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是 （ ）A． B．C．D．同类题型4.2 如图，等边△ABC的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，△ABC与正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．同类题型4.3 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．参考答案例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y（单位：cm 2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．解：由图②可知点P从A点运动到B点的时间为10s，又因为P点运动的速度为1cm/s，所以AB＝10×1＝10（cm），由AD＝9可知点P在边BC上的运动时间为9s，所以a＝10＋9＝19；分别过B点、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．由图②知S△ABD＝36，则12×9×BE＝36，解得BE＝8，在直角△ABE中，由勾股定理，得AE＝AB 2－BE2＝6．易证△BAE≌△CDF，则BE＝CF＝8，AE＝DF＝6，AF＝AD＋DF＝9＋6＝15．在直角△ACF中，由勾股定理，得CA＝AF 2＋CF2＝17，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，所以b＝19＋17＝36，a＋b＝19＋36＝55．同类题型1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．解：∵AE ⊥EF ，∴∠AEB ＋∠FCE ＝90°∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠C ＝90° AB ＝BC ＝4， ∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠FCE ， ∴△ABE ∽△ECF ，∴AB EC ＝BEFC， ∵BE ＝x ，FC ＝y ，∴EC ＝4－x ，则有44－x ＝xy，整理后得y ＝－14x 2 ＋x 配方后得到y ＝－14（x －2）2＋1从而得到图象为抛物线，开口朝下，顶点坐标为（2，1）． 选C ．同类题型1.2如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A →D →C →E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3， ∴CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝3，∵点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，∴CE ＝23×3＝2，①点P 在AD 上时，△APE 的面积y ＝12x ﹒2＝x （0≤x ≤3），②点P 在CD 上时，S △APE ＝S _(梯形AECD )－S _(△ADP )－S _(△CEP )， ＝12（2＋3）×2－12×3×（x －3）－12 ×2×（3＋2－x ）， ＝5－32x ＋92 －5＋x ，＝－12x ＋92，∴y ＝－12x ＋92（3＜x ≤5），③点P 在CE 上时，S △APE ＝12×（3＋2＋2－x ）×2＝－x ＋7，∴y ＝－x ＋7（5＜x ≤7）， 选A ．同类题型1.3 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，一个以点B 为顶点的60°角绕点B 旋转，这个角的两边分别与线段AD 的延长线及CD 的延长线交于点P 、Q ，设DP ＝x ，DQ ＝y ，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠ADB ＝∠BDC ＝60°， ∴∠BDQ ＝∠BDP ＝120°， ∵∠QBP ＝60°， ∴∠QBD ＝∠PBC ， ∵AP ∥BC ， ∴∠P ＝∠PBC ， ∴∠QBD ＝∠P ， ∴△BDQ ∽△PDB ， ∴DQ BD ＝BD PD ，即y 2＝2x ， ∴xy ＝4，∴y 与x 的函数关系的图象是双曲线， 选A ．例2．如图，等边△ABC 的边长为2cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AC 向点C 运动，到达点C 停止；同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB －BC 向点C 运动，到达点C 停止，设△APQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题得，点Q 移动的路程为2x ，点P 移动的路程为x ， ∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝2，①如图，当点Q 在AB 上运动时，过点Q 作QD ⊥AC 于D ，则 AQ ＝2x ，DQ ＝ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×3x ＝32x 2（0＜x ≤1），即当0＜x ≤1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故A 、B 排除；②如图，当点Q 在BC 上运动时，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，则CQ ＝4－2x ，EQ ＝23－ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×（23－3x ）＝－32x 2＋ 3 x （1＜x ≤2），即当1＜x ≤2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C 排除，而D 正确； 选D ．同类题型2.1 如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm/s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE ＝12cmB ．sin ∠EBC ＝74C ．当0＜t ≤8时，y ＝72t 2 D ．当t ＝9s 时，△PBQ 是等腰三角形解：A 、分析函数图象可知，当点Q 到达点C 时，点P 到达点E 处， ∴BC ＝BE ＝2×8＝16cm ，ED ＝2×2＝4cm ，∴AE ＝AD －ED ＝BC －ED ＝16－4＝12cm ，故A 正确； B 、作EF ⊥BC 于点F ，如图，由函数图象可知，BC ＝BE ＝16cm ，BF ＝AE ＝12cm ， 由勾股定理得，EF ＝47 cm ，∴sin ∠EBC ＝EF BE ＝4716＝74，故B 正确；C 、作PM ⊥BQ 于点M ，如图，∵BQ ＝BP ＝2t ，∴y ＝S △BPQ ＝12BQ ﹒PM ＝12BQ ﹒BP ﹒sin ∠EBC ＝12×2t ﹒2t ﹒74＝72t 2．故C 正确；D 、当t ＝9s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，设为N ，如图所示，连接NB ，N C ． 此时AN ＝14，ND ＝2，由勾股定理求得：NB ＝211 ，NC ＝229 ， ∵BC ＝16，∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形．故D 错误； 选D ．同类题型2.2 矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒2个单位长的速度沿BA －AD －DCD 的方向运动到C 点停止，动点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 方向运动到C 点停止，假设P 、两点同时出发，运动时间是t 秒，y=S △PBQ ，则y 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 解：①当0＜t ≤3时，△PBQ 是Rt △，y ＝12×t ×2t ＝t 2；②当3＜t ≤7时，y ＝12 ×t ×6＝3t ；③当7＜t ≤8时，y ＝12t （20－2t ）＝－t 2＋10t ；④当8＜t ≤10时，y ＝12×8（20－2t ）＝80－8t ；观察各选项可知，y 与t 的函数图象大致是选项D ． 选D ．同类题型2.3 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B →C →D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离＝12 AB ＝4，到CD 的距离＝12AD ＝6， ∵点M 是BC 的中点，∴CM ＝12BC ＝6， ∴点Q 到达点C 的时间为6÷1＝6秒，点P 到达点C 的时间为12÷1＝12秒，点Q 到达点D 的时间为（6＋8）÷1＝14秒，①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×4＝12； ②6＜t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，C P ＝12－t ，CQ ＝t －6，S △OPQ ＝S △COP ＋S △COQ －S △PCQ ，＝12×（12－t ）×4＋12×（t －6）×6－12×（12－t ）×（t －6）， ＝12t 2 －8t ＋42， ＝12（t －8）2 ＋10， ③12＜t ≤14时，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×6＝18； 纵观各选项，只有B 选项图形符合．选B ．例3．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，P 是对角线BE 上一动点，过点P 作直线l 与BE 垂直，动点P 从B 点出发且以1cm/s 的速度匀速平移至E 点．设直线l 扫过正六边形ABCD EF 区域的面积为S （cm 2 ），点P 的运动时间为t （s ），下列能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意得：BP ＝t ，如图1，连接AC ，交BE 于G ，Rt △ABG 中，AB ＝6，∠ABG ＝60°，∴∠BAG ＝30°，∴BG ＝12 AB ＝3，由勾股定理得：AG ＝62－32＝3 3 ，∴AC ＝2AG ＝6 3 ，当0≤t ≤3时，PM ＝ 3 t ，∴MN ＝2 3 t ，S ＝S △BMN ＝12MN ﹒PB ＝12﹒3t 2＝32t 2，所以选项A 和B 不正确；如图2，当9≤t ≤12时，PE ＝12－t ，∵∠MEP ＝60°，∴tan ∠MEP ＝PM PE ， ∴PM ＝ 3 （12－t ），∴MN ＝2PM ＝2 3 （12－t ），∴S ＝S _(正六边形)－S _(△EMN )，＝2×12（AF ＋BE ）×AG －12MN ﹒PE ， ＝（6＋12）×33－12×2 3 （12－t ）（12－t ）， ＝543－3（144－24t ＋t 2 ），＝－3t 2＋243t －90 3 ，此二次函数的开口向下，所以选项C 正确，选项D 不正确；选C ．同类题型3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：①当0≤t ≤4时，S ＝12×t ×t ＝12t 2 ，即S ＝12t 2 ．该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B 、C 错误；②当4＜t ≤8时，S ＝16－12×（8－t ）×（8－t ）＝－12t 2 ＋8t －16． 该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A 错误．选D ．同类题型3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP ＝x ，当△APQ 的面积为14 3 时，则x 的值为（ ）A ．2 21B ．2 21 或14C ．2或2 21 或14D ．2或14解：当点Q 在AC 上时，∵∠A ＝30°，AP ＝x ，∴PQ ＝x tan30°＝33x ， ∴S ＝12×AP ×PQ ＝12×x ×33＝36x 2＝14 3 解得：x ＝221 或x ＝－221 （舍去），当点Q 在BC 上时，如下图所示：∵AP ＝x ，AB ＝16，∠A ＝30°，∴BP ＝16－x ，∠B ＝60°，∴PQ ＝BP ﹒tan60°＝ 3 （16－x ）．∴S ＝12AP ×PQ ＝32x 2＋83x ＝14 3 ， 解得：x ＝2（舍去）或x ＝14．选B ．同类题型3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为____________．解：①当AB ＞4时如图1，由图可知：OE ＝4，OF ＝8，DG ＝3 2 ，∴EF ＝AG ＝OF －OE ＝4∵直线解析式为：y ＝－x∴∠AGD ＝∠EFD ＝45°∴△AGD 是等腰直角三角形∴DH ＝GH ＝22DG ＝22×3 2 ＝3， ∴AH ＝AG －GH ＝4－3＝1，∴AD ＝DH 2＋AH 2＝32＋12＝10 ；②当AB ＝4时，如图2，由图可知：OI ＝4，OJ ＝8，KB ＝3 2 ，OM ＝9，∴IJ ＝AB ＝4，IM ＝AN ＝5，∵直线解析式为：y ＝－x ， ∴△KLB 是等腰直角三角形， ∴KL ＝BL ＝22KB ＝3， ∵AB ＝4，∴AL ＝AB －BL ＝1，T 同①得，DM ＝MN ，∴过K 作KM ∥IM ，∴tan ∠DAN ＝KL AL ＝3，∴AM ＝DM tan ∠DAN ＝DM 3， ∴AN ＝AM ＋MN ＝43DM ＝5， ∴DM ＝MN ＝154， ∴AM ＝AN －MN ＝5－154＝54， ∴AD ＝AM 2＋DM 2＝5104，故答案为10 或5104．例4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE ＝2 3 cm ，EF ＝6cm ，且点C 、B 、E 、F 在同一条直线上，点B 与点E 重合．Rt △ABC 以每秒1cm 的速度沿矩形DEFG 的边EF 向右平移，当点C 与点F 重合时停止．设Rt △ABC 与矩形DEFG 的重叠部分的面积为y cm 2 ，运动时间xs ．能反映y cm 2 与xs 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C． D ．解：已知∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，∴AB ＝4，由勾股定理得：AC ＝2 3 ，∵四边形DEFG 为矩形，∠C ＝90，∴DE ＝GF ＝2 3 ，∠C ＝∠DEF ＝90°，∴AC ∥DE ，此题有三种情况：（1）当0＜x ＜2时，AB 交DE 于H ，如图∵DE ∥AC ，∴EHAC ＝BEBC ，即EH 23＝x ﹒12 ，解得：EH ＝ 3 x ，所以y ＝12﹒3x ﹒x ＝32x 2，∵x y 之间是二次函数，所以所选答案C 错误，答案D 错误，∵a ＝32 ＞0，开口向上；（2）当2≤x ≤6时，如图，此时y ＝12×2×23＝2 3 ， （3）当6＜x ≤8时，如图，设△ABC 的面积是s 1 ，△FNB 的面积是s 2 ，BF ＝x －6，与（1）类同，同法可求FN ＝3X －6 3 ，∴y ＝s 1－s 2 ，＝12×2×23－12×（x －6）×（3X －6 3 ）， ＝－32x 2＋63x －16 3 ， ∵-32＜0， ∴开口向下，所以答案A 正确，答案B 错误，选A ．同类题型4.1 如图，菱形ABCD 的边长为1，菱形EFGH 的边长为2，∠BAD ＝∠FEH ＝60°点C 与点E 重合，点A ，C （E ），G 在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C ⇒G 方向平移至点A 与点G 重合时停止，设点C 、E 之间的距离为x ，菱形ABCD 与菱形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由菱形ABCD 、EFGH 边长为1，2可得：AC ＝2AB ×sin30°＝ 3 ，EG ＝2 3（1）当菱形ABCD 移动到点A 与点E 重合的过程，即0≤x ≤ 3 时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为：x ，2×x 2×tan30°＝3x 3∴y ＝12﹒x ﹒3x 3＝36x 2（2）当菱形ABCD 移动到点C 与点G 重合的过程，重合部分的菱形面积不变，即3＜x ≤2 3 时，y ＝S 菱形ABCD ＝12×1×3＝32； （3）当菱形ABCD 移动到点A 与点G 重合的过程，即23＜x ≤33时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为： 3 －x ，2×3－x 2×tan30°＝3(3－x )3y ＝12×（3－x ）×3(3－x )3＝36（3－x ）2 ． 由（1）（2）（3）可以看出图象应该是y ＝36x 2 图上像0≤x ≤ 3 时的部分，y ＝32 图象上3＜x ≤2 3 时的部分，y ＝36（3－x ）2 图象上23＜x ≤33时的部分组成． 选D ．同类题型4.2 如图，等边△ABC 的边AB 与正方形DEFG 的边长均为2，且AB 与DE 在同一条直线上，开始时点B 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点B 与点E 重合为止，设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，当B 从D 点运动到DE 的中点时，即0≤x ≤1时，y ＝12×x ×3x ＝32x 2 ． 当B 从DE 中点运动到E 点时，即1＜x ≤2时，y ＝3－12（2－x ）×3（2－x ）＝－32x 2＋23x － 3 由函数关系式可看出D 中的函数图象与所求的分段函数对应．选D ．同类题型4.3 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F ⇒H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：DF ＝x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y y ＝12DF 2＝12x 2（0≤x ＜ 2 ）；②y ＝1（2≤x ＜2 2 ）；③∵BH ＝3 2 －x∴y ＝12BH 2＝12x 2－32x ＋9（22≤x ＜3 2 ）．综上可知，图象是选B ．。
专题08 二次函数与平行四边形(知识解读)(学生版)
专题08二次函数与平行四边形（知识解读）【专题说明】二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，我借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题，同学们要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。
【解题思路】1.线段中点坐标公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,221212211x y x y x y y x AB B A 中点坐标为），则线段，坐标为（），点，坐标为（平面直角坐标系中，点2.平行四边形顶点公式：y x x y x DB C A D B C A D D C C B B A A D C B A +=++=+y y y x x y x y x y x ),(),，则，，（），，（），，（分别为平行四边形的顶点坐标分类：1.三个定点，一个动点问题已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。
这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论；2.两个定点、两个动点问题这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x 轴（y 轴）或对称轴或某一条直线上。
设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x 轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y 轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。
该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。
方法总结：这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合的思想。