2020年中考数学一轮复习之二次函数动点问题(面积、长度最值与定长)(解析版)
初三复习二次函数动点问题(含答案)
二次函数的动态问题（动点）1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有 个．（抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．()()01084A B ，，，，86FB FA ∴==，．10AB ∴=．（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=，．P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．图①图②GA AP FA AB ∴=，即610GA t=．35GA t ∴=．3105OG t ∴=-．4OQ t =+，()113410225S OQ OG t t ⎛⎫∴=⨯⨯=+- ⎪⎝⎭．即231920105S t t =-++． 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值． 此时4763311051555GP t OG t ===-=，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（8分）方法二：当5t =时，1637922OG OQ S OG OQ ====，，． 设所求函数关系式为220S at bt =++．抛物线过点()63102852⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，1001020286325520.2a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，231920105S t t ∴=-++．19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值． 此时7631155GP OG ==，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（4）2．[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
2020年中考数学二轮复习压轴专题：二次函数(解析版)
2020 年中考数学二轮复习压轴专题：《二次函数》1．如图，平面直角坐标系中，点 A、点B 在 x 轴上（点A在点B 的左边），点 C在第一象限，知足∠ ACB为直角，且恰使△OCA∽△ OBC，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（ a＜0）经过A、 B、C三点．（1）求线段OB、OC的长．（2）求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；（ 3）在x 轴上能否存在点，使△为等腰三角形？若存在，求出全部切合条件的P P BCP点的坐标：若不存在，请说明原因．解：（ 1）y＝ax2﹣ 8ax+12a＝a（x﹣ 6）（x﹣ 2），故 OA＝2， OB＝6，△ OCA∽△ OBC，则2，即： OC＝ OA?OB，解得： CO＝2；（ 2）过点C作CD⊥x轴于点D，△ OCA∽△ OBC，则，设 AC＝2x，则BC＝2x，而AB＝4，故 16＝（ 2x）2+（ 2x）2，解得：x＝1，故 AC＝2， BC＝2，S△ABC＝AB× CD＝AC× BC，解得： CD＝，故 OD＝3，故点 C（3，）；将点 C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x﹣4；（ 3）设点P（ m，0），而点B、 C的坐标分别为：（6，0）、（3，）；2222则 BC＝12，PB ＝（ m﹣6）， PC＝（ m﹣3）2+3，当BC＝PB时，12＝（m﹣6）2，解得：m＝6；当 BC＝PC时，同理可得： m＝6（舍去）或0；当 PB＝PC时，同理可得： m＝4，综上点 P 的坐标为：（6， 0）或（ 0， 0）或（ 4， 0）．2．直线y＝﹣x+2与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点 B，抛物线y＝﹣ x2+bx+c 经过 A、 B 两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△ PBA的面积最大时，求点 P 的坐标；②在①的条件下，点 P 对于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线 AB上能否存在点 M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）直线y＝﹣x+2与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，则点 A、 B 的坐标分别为：（ 4， 0）、（ 0， 2），将点、B 的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，A故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+x+2；2（ 2）①过点P作y轴的平行线交BC于点 N，设 P（m，﹣ m+ m+2），点 N（ m，﹣m+2），则：△ PBA的面积 S＝2m+2+2PN× OA＝×4×（﹣ m+m﹣2）＝﹣ m+4m，当 m＝2时， S 最大，此时，点 P（2，5）；②点 P（2，5），则点 Q（， 5），设点M（a，﹣a+2）；（Ⅰ）若：∠QMB QAM QM AM 1＝2∠1，则1＝1，则（ a﹣）2+（a﹣3）2＝（ a﹣4）2+（﹣a+2）2，解得： a＝，M，）；故点1（（Ⅱ）若∠QMB QAM2＝ 2∠ 1 ，则∠ QM2B＝∠ QM1B， QM1＝ QM2，作 QH⊥AB于 H，BQ的延伸线交x 轴于点 N，则 tan ∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，故直线QH表达式中的k 为2，设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与 B 重合，M、M对于21B 对称，∴ M（﹣2，）；综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ ax2+bx+c 订交于 A（﹣1，0）， B（4， m）两点，抛物线 y＝ ax2+bx+c 交 y 轴于点 C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的极点为M．（1）求抛物线的分析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点 P的坐标；（ 3）若点Q为x轴上一动点，点N 在抛物线上且位于其对称轴右边，当△QMN与△ MAD 相像时，求N点的坐标．解：（ 1）将点B（ 4，m）代入y＝x+，∴ m＝，将点 A（﹣1，0）， B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，解得 a＝，b＝﹣1，c＝﹣，∴函数分析式为 y＝ x2﹣ x﹣；（ 2）设P（n，n2﹣n﹣），则经过点 P 且与直线 y＝ x+垂直的直线分析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，直线 y＝x+与其垂线的交点G（n2+ n﹣，n 2+ n+），∴ GP＝（﹣ n2+3n+4），当 n＝时， GP最大，此时△ PAB的面积最大，∴P（，），∵AB＝，PG＝，∴△ PAB的面积＝××＝；（3）∵M（ 1，﹣ 2），A（﹣ 1， 0），D（ 3，0），∴ AM＝2， AB＝4， MD＝2，∴△ MAD是等腰直角三角形，∵△ QMN与△ MAD相像，∴△ QMN是等腰直角三角形，设 N（t ，t 2﹣ t ﹣）①如图 1，当MQ⊥QN时，N（ 3， 0）；②如图 2，当QN⊥MN时，过点N作 NR⊥ x 轴，过点 M作 MS⊥ RN交于点 S，∵QN＝MN，∠ QNM＝90°，∴△ MNS≌△ NMS（ AAS）∴﹣ 1＝﹣t 2+ + ，t t ∴ t ＝±，∴ t ＞1，∴ t ＝，∴N（，1﹣）；③如图 3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点N作NR∥x轴，与过 M点的垂线分别交于点S、 R；∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，∴△ MQR≌△ QNS（ AAS），∴ SQ＝QR＝2，∴ t +2＝1+t 2﹣ t ﹣，∴t ＝5，∴N（5，6）；④如图 4，当MN⊥NQ时，过点M作 MR⊥ x 轴，过点 Q作 QS⊥ x 轴，过点N 作x轴的平行线，与两垂线交于点、；R S∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，∴△ MNR≌△ NQS（ AAS），∴ SQ＝RN，∴ t 2﹣ t ﹣＝ t ﹣1，∴ t ＝2±，∵ t ＞1，∴ t ＝2+，∴N（2+， 1+）；综上所述： N（3，0）或 N（2+， 1+）或 N（5，6）或 N（，1﹣）．4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个极点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线的分析式为y＝ ax2+bx．（ 1）如图 1，若抛物线经过A，D两点，直接写出 A 点的坐标（4，8）；抛物线的对称轴为直线6；（ 2）如图 2：①若抛物线经过A、C两点，求抛物线的表达式．②若点 P 为线段 AB上一动点，过点P 作 PE⊥ AB交 AC于点 E，过点 E 作 EF⊥AD于点 F交抛物线于点G．当线段 EG最长时，求点E的坐标；（ 3）若a ＝﹣ 1，且抛物线与矩形没有公共点，直接写出b的取值范围．ABCD解：（ 1）点A的坐标为：（ 4， 8）；函数的对称轴为：x＝（4+8）＝6；故答案为：（ 4，8）； 6；（ 2）①将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，b＝4，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；②由点 A、 C的坐标得，直线AC的表达式为： y＝﹣2x+16；设点 E（ x，﹣2x+16），则点 G（ x，﹣x2+4x），EG＝﹣x2+4x﹣（﹣2x+16）＝﹣x2+6x﹣16，当 x＝6时， EG由最大值为：2，此时点 E（2，4）；（ 3）若a＝﹣ 1，则抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+bx，当抛物线过点B和点 D时，抛物线与矩形有一个交点，将点 B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣ 16+4b，解得：b＝ 4，将点 D的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝9，故 b 的取值范围为：b＜4或 b＞9．5．如图，直线y ＝﹣1 与抛物线y＝﹣x2+6 ﹣5 订交于、D两点．抛物线的极点为，连x x A C结 AC．（ 1）求A，D两点的坐标；（ 2）点P为该抛物线上一动点（与点A、 D不重合），连结 PA、PD．①当点 P 的横坐标为 2 时，求△PAD的面积；②当∠ PDA＝∠ CAD时，直接写出点P的坐标．解：（ 1）联立方程组，解得，，，∴（1，0），（4，3），A D（ 2）①过P 作⊥轴，与订交于点，PE x AD E∵点 P的横坐标为2，∴P（2，3）， E（2，1），∴PE＝3﹣1＝2，∴＝3；②过点 D作 DP∥AC，与抛物线交于点P，则∠ PDA＝∠ CAD，∵y＝﹣ x2+6x﹣5＝﹣（ x﹣3）2+4，∴ C（3，4），设 AC的分析式为： y＝ kx+b（ k≠0），∵A（1，0），∴，∴，∴AC的分析式为： y ＝2x﹣2，设 DE的分析式为： y＝2x+n，把D（4，3）代入，得3＝8+n，∴n＝﹣5，∴DE的分析式为： y＝2x﹣5，联立方程组，解得，，，∴此时 P（0，﹣5），当 P 点在直线 AD上方时，延伸 DP，与 y 轴交于点 F，过 F 作 FG∥AC ，FG与 AD交于点 G，则∠ FGD＝∠ CAD＝∠ PDA，∴FG＝FD，设 F（0， m），∵ AC的分析式为： y＝2x﹣2，∴FG的分析式为： y＝2x+m，联立方程组，解得，，∴ G（﹣ m﹣1，﹣ m﹣2），∴FG＝，FD＝，∵ FG＝FD，∴＝，∴ m＝﹣5或1，∵ F 在 AD上方，∴ m＞﹣1，∴ m＝1，∴ F（0，1），设 DF的分析式为： y＝ qx+1（ q≠0），把 D（4，3）代入，得4q+1＝3，∴ q＝，∴DF的分析式为： y＝ x+1，联立方程组∴，，∴此时P 点的坐标为，综上， P 点的坐标为（0，﹣ 5）或．6．综合与研究如图，抛物线y＝ ax2+bx+c（ a≠0）经过点 A、 B、C，已知点 C（0，4），△ AOC∽△ COB，且，点 P 为抛物线上一点（异于A， B）（1）求抛物线和直线AC的表达式（2）若点P是直线AC上方抛物线上的点，过点P作PF⊥AB，与AC交于点E，垂足为F．当PE＝ EF时，求点 P 的坐标（ 3）若点为x 轴上一动点，能否存在点，使得由，，，四点构成的四边形为平M P B C P M行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明原因解：（ 1），则OA＝4OC＝8，故点A（﹣8，0）；△ AOC∽△ COB，则△ ABC为直角三角形，2则 CO＝ OA?OB，解得： OB＝2，故点 B（2，0）；则抛物线的表达式为：y＝a（ x﹣2）（ x+8），将点 C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+4；精选文档666AC的表达式为：y＝x+4；由点A、 C的坐标可得直线（ 2）设点P（ x，﹣x2﹣x+4），则点E（ x，x +4），PE＝ EF，即﹣x2﹣x+4﹣x﹣4＝x+4；解得： x＝﹣8（舍去）或﹣2，故点 P（﹣2，6）；2（ 3）设点P（m，n），n＝﹣m﹣m+4，点 M（s，0），而点 B、C的坐标分别为：（2，0）、（ 0， 4）；①当 BC是边时，点 B 向左平移2个单位向上平移 4 个单位获得C，相同点 P（ M）向左平移 2 个单位向上平移 4 个单位获得M（ P），即 m﹣2＝ s， n+4＝0或 m+2＝ s， n﹣4＝0，解得： m＝﹣6或﹣ 3，故点P的坐标为：（﹣6，4）或（﹣ 3，﹣ 4）或（﹣﹣3，﹣ 4）；②当BC是对角线时，由中点公式得：2＝m+s，n＝ 4，故点 P（﹣6，4）；综上，点 P 的坐标为：（﹣6，4）或（﹣3，﹣4）或（﹣﹣3，﹣4）．7．如图 1，抛物线y＝x2+mx+4m与 x 轴交于点 A（ x1，0）和点 B（ x2，0），与 y 轴交于点C，且 x1， x2知足 x12+x22＝20，若对称轴在y 轴的右边．（1）求抛物线的分析式．（2）如图 2，若点P为线段AB上的一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为斜边，在直线 AB的同侧作等腰直角三角形△ APM和△ BPN，试确立△ MPN最大时 P 点的坐标．（ 3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤ x1≤ a+2，x2≥时，均有y1≤ y2，求 a 的取值范围．解：（ 1）x1+x2＝﹣ 2m，x1x2＝8m，则 x12+x22＝（ x1+x2）2﹣2x1x2＝20，即（﹣ 2m）2﹣ 16m＝ 20，解得： m＝5（舍去）或﹣1；故抛物线的表达式为：y＝x2﹣ x﹣4；（2）令y＝0，则x＝﹣ 2 或 4，故点A、B的坐标分别为：（﹣ 2，0）、（ 4，0），则AB＝6；设： AP＝ a，则 PN＝6﹣ a，∠ MPN＝180°﹣∠ MPA﹣∠ NPB＝90°；S△＝×PN× PMMPN＝a××（6﹣a）＝a（6﹣ a）＝﹣（ a﹣3）2+；∴当a＝3时， S最大，此时△MPNOP＝1，故点P（1，0）；（ 3）函数的对称轴为x＝1，如图，x＝﹣2.5和 x＝对于函数对称轴对称，纵坐标均为，由图象看， a≥﹣且a+2≤，解得：﹣≤ a≤．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的极点B， C， D 的坐标分别（1，0），（3，0），（ 3， 4），以A为极点的抛物线y＝ ax2+bx+c 过点 C．动点 P 从点 A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D 匀速运动，过点P 作PE⊥ x 轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t （秒）．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若PN分△ ACD的面积为1： 2 的两部分，求t的值；（ 3）若动点P 从A 出发的同时，点Q 从 C出发，以每秒1 个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为极点的四边形为菱形，求 t的值．解：（ 1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0）， C（3，0）， D（3，4），∴ A（1，4），设抛物线的分析式为y＝a（ x﹣1）2+4，将 C（3，0）代入 y＝ a（x﹣1）2+4，得 0＝4a+4，解得 a＝﹣1，∴抛物线的分析式为 y＝﹣（ x﹣1）2+4＝﹣ x2+2x+3；（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，∴ PE∥DC，∴△ APN∽△ ADC，∵ PN分△ ACD的面积为1：2的两部分，∴＝或，当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴ AP＝，∴ t 的值为× 2＝；当＝时，＝＝，∵ AD＝2，∴ AP＝，∴ t 的值为× 2＝，综上所述，t 的值为或；（ 3）如图 2﹣ 1，当CN为菱形的对角线时，点 P，N的横坐标均为，设直线的分析式为y ＝+ ，AC kx b将 A（1，4）， C（3，0）代入 y＝ kx+b，得，解得，∴直线 AC的表达式为y＝﹣2x+6，将点 N的横坐标代入y＝﹣2x+6，得，即 EN＝4﹣ t ，由菱形 CQNH可得， CQ＝ NH＝ t ＝ CH，可得 EH＝（4﹣ t ）﹣ t ＝4﹣2t ，∵∴，，在 Rt △CHE中，222∵ CE+EH＝ CH，∴，解得， t 1＝，t2＝4（舍）；如图 2﹣ 2，当CN为菱形的边时，由菱形 CQHN可得， CQ＝ CN＝ t ，在 Rt △CNE中，222∵ NE+CE＝ CN，∴（ 4﹣t）2+（ 2﹣t ）2＝ t 2，解得， t 1＝20﹣8， t 2＝20+8（舍）；综上所述，t的值为或．9．如图1，过原点的抛物线与x 轴交于另一点A，抛物线极点 C 的坐标为，其对称轴交 x 轴于点 B．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右边的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（ 3）在对称轴上能否存在点P，使得点 A对于直线OP的对称点 A'知足以点 O、A、C、A'为极点的四边形为菱形．若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）设抛物线分析式为y＝ a（ x﹣ h）2+k，（ a≠0）∵极点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（ 2）令y＝ 0，即，解得： x1＝0， x2＝4，∴ A（4，0），设直线 AC的分析式为y＝kx+b，将点 A（4，0），代入，得，精选文档666解得，∴直线AC的分析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥ y 轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，∴当m＝3时， S△ACD有最大值，当 m＝3时，，∴；（ 3）∵∠CBO＝∠CBA＝ 90°，OB＝AB＝ 2，∴，，∴OA＝OC＝ AC＝4，∴△ AOC为等边三角形，①如图 3﹣ 1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA' ，∴四边形 ACA'O是菱形，∴；②作点 C对于 x 轴的对称点 C'，当点 A'与点 C'重合时， OC＝ AC＝AA'＝ OA'，∴四边形 OCAA'是菱形，∴点 P是∠ AOA'的角均分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠2＝ 90°，＝2，OBP OB22∴ OP＝2BP，∵∠2＝ 90°，＝2，OBP OB∴OP2＝2BP2，设 BP＝ x，2∴ OP＝2x，2又∵，∴（ 2x）2＝22 +x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．10．已知二次函数与x轴交于A、B（A在B的左边）与y 轴交于点 C，连接 AC、BC．（ 1）如图 1，点P是直线BC上方抛物线上一点，当△ PBC面积最大时，点M、N分别为x、y 轴上的动点，连结PM、PN、 MN，求△ PMN的周长最小值；（ 2）如图 2，点C对于x轴的对称点为点E，将抛物线沿射线AE的方向平移获得新的拋物线 y'，使得 y'交 x 轴于点 H、B（ H在 B 的左边）．将△ CHB绕点 H 顺时针旋转90°至△C' HB'．抛物线 y'的对称轴上有一动点 S，坐标系内能否存在一点 K，使得以 O、C'、K、S 为极点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）如图 1，A（﹣ 2， 0），B（ 8， 0），C（ 0， 4），∴直线的分析式为，BC过点 P作 y 轴平行线，交线段BC于点 Q，设，∴＝，∵ 0＜m＜ 8，∴ P（4，6）．作 P 点对于 y 轴的对称点P1，P 点对于 x 轴的对称点 P2，连结 P1P 2交 x 轴、y 轴分别为 M，，N此时△的周长最小，其周长等于线段P1P2的长；PMN∵ P1（﹣4，6）， P2（4，﹣6），∴．（ 2）如图 2 中，∵ （ 0，﹣ 4），平移后的抛物线经过，，E E B∴抛物线的分析式为y ＝﹣x2+bx﹣ 4，把（ 8， 0）代入获得b＝4，B∴平移后的抛物线的分析式为y＝﹣x+4x﹣4＝﹣（x﹣2）（x﹣8），令 y＝0，获得 x＝2或8，∴ H（2，0），∵△ CHB绕点 H顺时针旋转90°至△ C′ HB′，∴C′（6，2），当 OC′＝ C′ S时，可得菱形 OC′S1 K1，菱形 OC′ S2K2，∵ ′＝′＝＝2，OC CS∴可得 S1（5，2﹣）， S2（5，2+），∵点 C′向左平移一个单位，向下平移获得 S1，∴点 O向左平移一个单位，向下平移个单位获得K1，∴K1（﹣1，﹣），同法可得K2（﹣1，），当′＝时，可得菱形′，菱形′，OC OS OC K3S3OC K4S4同法可得 K3（11，2﹣），K4（11，2+），当 OC′是菱形的对角线时，设2222，S5（5， m），则有 5 +m＝1 +（2﹣ m）解得 m＝﹣5，∴ S5（5，﹣5），∵点O向右平移5 个单位，向下平移 5 个单位获得S5，∴ C′向上平移 5 个单位，向左平移 5 个单位获得K5，∴ K5（1，7），综上所述，知足条件的点K的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣ 1，）或（ 11，2﹣）或（ 11， 2+）或（ 1，7）．11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（ a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点 C．（1）求该抛物线的分析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为 m（0＜ m＜3），连结 CD、BD、 BC、 AC，当△ BCD的面积等于△ AOC面积的2倍时，求 m的值；（ 3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中研究抛物线上能否存在点M，使得以 B，C，M，N为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出全部知足条件的点M的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）把（﹣ 1，0），（ 3，0）代入y ＝ax2+bx+2 中，得：，解得：，A B∴抛物线分析式为；（ 2）过点D作y轴平行线交BC于点 E，把 x＝0代入中，得：y＝2，∴ C点坐标是（0，2），又 B（3，0）∴直线的分析式为，BC∵∴∴＝，由S ＝2S 得：△BCD△AOC∴，2整理得： m ﹣ 3m +2＝ 0解得： m ＝ 1， m ＝ 212∵ 0＜ m ＜ 3∴ m 的值为 1 或 2；（ 3）存在，原因：设：点的坐标为：（ ， ）， ＝﹣2+x +2，点 （ 1， ），点 （ 3， 0）、 （ 0， 2），M m nnxNsBC①当是平行四边形的边时，BC当点 C 向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位获得 ，B相同点 M （ N ）向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位 N （ M ），故： m +3＝ 1， n ﹣ 2＝ s 或 m ﹣ 3＝ 1， n +2＝ s ，解得： m ＝﹣ 2 或 4，故点M 坐标为：（﹣ 2，﹣）或（4，﹣）；②当BC 为对角线时，由中点公式得：m +1＝ 3，n +3＝ 2，解得： m ＝ 2，故点M （ 2，2）；综上， M 的坐标为：（ 2，2）或（﹣2，）或（ 4，）．12．已知抛物线 y ＝ax 2﹣ 2ax +3 与 x 轴交于点 A 、 B （ A 左 B 右），且 AB ＝4，与 y 轴交于 C 点．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）如图，证明：对于随意给定的一点 P （0， b ）（ b ＞ 3），存在过点 P 的一条直线交抛物线于 M 、 N 两点，使得 PM ＝ MN 建立；（ 3）将该抛物线在 0≤ x ≤ 4 间的部分记为图象 G ，将图象 G 在直线 y ＝ t 上方的部分沿 y＝ t 翻折，其他部分保持不变，获得一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最m小值为 n ，若 m ﹣ n ≤ 6，求 t 的取值范围．解：（ 1）抛物线y＝ax2﹣ 2ax+3 的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣ 1，0）、B （ 3， 0）．把 A（﹣1，0）代入 y＝ ax2﹣2ax+3，得 a+2a+3＝0，∴ a＝﹣1．∴抛物线的分析式为 y＝﹣ x2+2x+3．（2）如图，过M作GH⊥x轴，PG∥x轴，NH∥x轴，由 PM＝MN，则△ PMG≌△ NMH（ AAS），∴PG＝NH， MG＝MH．22设 M（m，﹣ m+2m+3），则 N（2m，﹣4m+4m+3），∵ P（0， b）， GM＝ MH，∴y G+y H＝2y M，222即 b+（﹣4m+4m+3）＝2（﹣ m+2m+3），∴2m＝ b﹣3，∵ b＞3，∴对于 m的方程总有两个不相等的实数根，此即说了然点M、 N存在，并使得PM＝MN．证毕；（ 3）图象翻折前后如右图所示，其极点分别为D（1，4）、 D′（1，2t ﹣4）．①当 D′在点 H（4，﹣5）上方时，2t﹣ 4≥﹣ 5，∴t≥﹣，此时， m＝ t ， n＝﹣5，∵ m﹣ n≤6，∴ t +5≤6，∴ t ≤1，∴﹣≤ t ≤1；②当点 D′在点 H（4，﹣5）下方时，同理可得： t ＜﹣，m＝t，n＝2t﹣4，由 m﹣n≤6，得 t ﹣（2t ﹣4）≤6，∴ t ≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣．综上所述，t的取值范围为：﹣2≤t≤ 1．y 轴交于13．如图，抛物线y＝ ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x 轴交于A，B两点，与点 C，点A 的坐标为（﹣2，0），点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥ x 轴于点D，E．交直线BC于点（1）求抛物线分析式；（2）若点P在第一象限内，当OD＝ 4PE时：①求点 D、 P、 E的坐标；②求四边形 POBE的面积．（3）在（ 2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，能否存在这样的点 M和点 N，使得以点 B， D， M，N为极点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵抛物线y＝ ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1， A（﹣2，0）在抛物线上，∴x ＝﹣＝ 1，解得：a＝，b＝﹣，抛物线分析式为y＝x2﹣x﹣2；（ 2）令y＝x2﹣x﹣2＝0，（ x﹣4）（ x+2）＝0，解得： x1＝﹣2， x2＝4，当 x＝0时， y＝﹣2，由 B（4，0）， C（0，﹣2），得，直线BC的表达式为： y＝x﹣2设 D（m，0），∵ DP∥ y 轴，∴ E（ m，m﹣2）， P（ m，m2﹣ m﹣2），∵ OD＝4PE，2m﹣2﹣ m+2），∴ m＝4（ m﹣∴ m＝5， m＝0（舍去），∴ D（5，0）， P（5，），E（5，），∴四边形 POBE的面积＝ S△OPD﹣ S△EBD＝× 5×﹣× 1×＝；（ 3）存在，设M（ n，n ﹣2），①以 BD为对角线，如图1，∵四边形 BNDM是菱形，∴MN垂直均分 BD，∴n＝4+，∴M（，），∵M，N对于 x 轴对称，∴N（，﹣）；②以BD为边，如图2，∵四边形 BDMN是菱形，∴MN∥BD， MN＝BD＝ MD＝1，过 M作 MH⊥ x 轴于 H，222∴ MH+DH＝ DM，即（n﹣2）2+（ n﹣5）2＝12，∴n1＝4（不合题意）， n2＝5.6，∴N（4.6，），同理（n ﹣ 2）2+（4﹣）2＝ 1，n∴ n1＝4+（不合题意，舍去），n2＝4﹣，∴N（5﹣，﹣），③以 BD为边，如图3，过 M作 MH⊥ x 轴于 H，∴2+2＝2，MH BH BM即（n﹣2）2+（ n﹣4）2＝12，∴ n1＝4+， n2＝4﹣（不合题意，舍去），∴N（5+，），综上所述，点 N坐标为：（）或（，）或（ 5﹣，）或（5+，）．14．如图，矩形中，为原点，点A 在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（ 4，3），OABC O抛物线y ＝﹣x2+ +与y轴交于点，与直线AB交于点，与x轴交于，两点．bx c A D C E（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）点P 从点C出发，在线段上以每秒 1 个单位长度的速度向点B运动，与此同时，CB点Q 从点A出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当此中一点抵达AC终点时，另一点也停止运动．连结、、，设运动时间为t （秒）．DP DQ PQ①当 t 为什么值时，△ DPQ的面积最小？②能否存在某一时辰t ，使△ DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明原因．解：（ 1）点A（ 0， 3），点C（ 4， 0），将点 A、 C的坐标代入抛物线表达式，解得：b＝，c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（ 2）y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）（x+2），故点E（﹣2，0）；抛物线的对称轴为：x＝1，则点 D（2，3），由题意得：点Q（t ，3﹣ t ），点 P（4， t ），①△ DPQ的面积＝ S△ABC﹣（ S△ADQ+S△PQC+S△BPD）＝3×4﹣ [2 ×t +2（ 3﹣t）+（ 5﹣）× t ×]＝ t 2﹣2t ．∵＞ 0，故△的面积有最小值，此时，t ＝；DPQ②点（ 2， 3），点（t ， 3﹣），点（4，），D Q t P t （Ⅰ）当是斜边时，如图1，PQ过点作⊥于点，则＝，＝2﹣t ，＝ 4﹣ 2＝2，＝3﹣，Q QM ABMMQ t MD BD PBt则 tan ∠MQD＝ tan ∠BDP，即，解得：t＝（舍去）；（Ⅱ）当 PD为斜边时，过点 Q作 y 轴的平行线交AB于点 N，交过点 P 于 x 轴的平行线于点M，则 ND＝2﹣t ， QN＝ t ，MP＝4﹣t ， QM＝3﹣ t ﹣ t ＝3﹣2t ，同理可得：，解得： t ＝或；（Ⅲ）当 QD为斜边时，同理可得：故t ＝；综上， t ＝或或或．15．如图，已知抛物线y＝ ax2+bx+3经过点 A（﹣1，0）、B（3，0），且与 y 轴交于点 C，抛物线的极点为D，连结 BD，点 P 是线段 BD上的一个动点（不与B、 D）重合．（ 1）求抛物线的分析式，并写出极点D的坐标；（ 2）过点P 作⊥轴于点，求△面积的最大值及获得最大值时P点的坐标；PE y E PBE（3）在（ 2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断能否存在这样的点 M，使得以点 B， P， M， N为极点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点 M 的坐标：若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵二次函数y＝ ax2+bx+3经过点 A（﹣1，0）、B（3，0）∴因此二次函数的分析式为：y＝﹣ x2+2x+3∵ y＝﹣ x2+2x+3＝﹣（ x﹣1）2+4∴ D的坐标为（1，4）；（ 2）设BD的分析式为y＝ kx+b∵过点 B（3，0）， D（1，4）∴解得BD的分析式为y＝﹣2x+6设 P（m，﹣2m+6），∵ PE⊥y 轴于点 E，∴ PE＝m，△ BPE的 PE边上的高 h＝﹣2m+6，∴ S ＝×PE× h＝ m（﹣2m+6）△BPE2＝﹣ m+3m＝，∵ a＝﹣1＜0，∴当 m＝时△ BPE的面积获得最大值为，当 m＝时， y＝﹣2×+6＝3，∴ P 的坐标是（，3）；2（ 3）设点M（s， 0），点N（m，n），n＝﹣m+2m+3，①当 BP是边时，点 P 向右平移个单位向下平移 3 个单位获得B，同理点 M（ N）向右平移个单位向下平移 3 个单位获得N（ M），即 s＝m，0± 3＝n，解得： s＝﹣或或；②当 PB为对角线时，m+s＝3+，n＝3，解得： s＝或，故： M点的坐标为：；；；；；．。
2020年九年级数学中考复习：二次函数压轴动点问题
二次函数动点问题以不变应万变 一题多问 多题归一类型一 定点问题类型二 抛物线动点存在性问题 ———线段和差问题类型三 抛物线动点存在性问题———等腰三角形存在性问题 类型四 抛物线动点存在性问题———三角形面积最大值类型五 抛物线动点存在性问题 ——— 四边形面积最大值 类型六 抛物线动点存在性问题——— 特殊角度问题类型七 抛物线动点存在性问题———直角三角形存在性问题 类型八 抛物线动点存在性问题——— 相似三角形存在性问题 类型九 抛物线动点存在性问题———平行四边形存在性问题 类型十 抛物线动点存在性问题———梯形存在性问题题干：抛物线32-x y 2-=x 与y 轴交于点B ，与x 轴交于C,D （C 在D 点的左侧），点A 为顶点 。
类型一定点问题（直接三角形判定，两点之间距离公式，勾股定理的运用）（1）判定三角形ABD的形状？并说明理由。
【通法：运用两点间的距离公式，求出该三角形各边的长】（两点之间距离公式，相似三角形的判定）（2）三角形ABD与三角形BOD是否相似？说明理由。
【通法：用两点间的距离公式分别两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法】类型二抛物线动点存在性问题———线段和差问题（3）在x轴上是否存在点P，使PB+PA最短？若存在求出点P的坐标，并求出最小值。
若不存在，请说明理由。
【通法：在两定点中任选一个点（为了简单起见，常常取轴上的点），求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与余下定点相连】（4）在y轴上是否存在点P，使三角形PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值;若不存在，请说明理由。
【通法：注意到AD是定线段，其长度是个定值，因此只需ＰＡ＋ＰＤ最小】（5）在直线BC上是否存在点P，使三角形PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值;若不存在，请说明理由。
（6）在y轴上是否存在点P，使PAPD-最大？若存在，求出点P的坐标，并求出PAPD-的最大值;若不存在，请说明理由。
二次函数与几何的动点及最值、存在性问题(解析版)
二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。
2020中考数学考点22二次函数解析版
2201二次函数的定义〖案例分析〗二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项可得二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是﹣〖课后巩固〗【解答】解：二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是﹣3，故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．〖课堂练习〗若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A．﹣2B．1C．﹣2或1D．2或1【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵y＝（m﹣1）x+m是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣2故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．〖课后巩固〗若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．9【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，∴m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，解得：m＝﹣〖课后巩固〗故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数次数与系数的值是解题关键．〖考前再练〗若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为3．【分析】根据二次函数的定义，令|a|﹣1＝2且a+3≠0即可解答．【解答】解：当|a|﹣1＝2且a+3≠0时，为二次函数，∴a＝﹣3（舍去），a＝3故答案为3【点评】本题考查了二次函数的定义，令最高次项为2，最高次项系数不为0即可．2202二次函数与一次函数图像综合信息〖案例分析〗在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x2+kx与y＝kx+k（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分两种情况进行讨论：k＞0与k＜0进行讨论即可．【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx+k的图象经过一、二、三象限；函数y＝2x2+kx的开口向上，对称轴在y轴的左侧；当k＜0时，函数y＝kx+k的图象经过二、三、四象限；函数y＝2x2+kx的开口向上，对称轴在y轴的右侧，故C正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系以及一次函数的图象，是基础知识要熟练掌握．〖课堂练习〗二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．〖课后巩固〗已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx 与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．【解答】解：解得或．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．〖考前再练〗在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a 大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【解答】解：由方程组得ax2＝﹣a，∵a≠0∴x2＝﹣1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选：C．【点评】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数图象得相关性质进行分析，本题中等难度偏上．2203二次函数与反比例函数图像综合信息处理〖案例分析〗函数y1＝ax2+b，y2＝（ab＜0）的图象在下列四个示意图中，可能正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、函数y2＝（ab＜0）可知，ab＞0，故本选项错误；B、函数y2＝（ab＜0）可知，ab＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，函数y1＝ax2+b，y2＝（ab＜0）的图象可知ab＜0，故本选项正确；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，则ab＞0，故本选项错误．故选：C．〖课堂练习〗二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；∴双曲线的图象在第二、四象限；由于抛物线开口向上，所以a＞0；对称轴x＝＞0，所以b＜0；抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；∴直线y＝bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．故选：D．〖课后巩固〗抛物线y＝ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下，则a＜0．对此轴在y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0，所以﹣b＜0．抛物线与x轴有2个不同的交点，则b2﹣4ac＞0，所以一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2经过第一、二、四象限．又当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以反比例函数y＝经过第二、四象限．综上所述，一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2经过第一、二、四象限．反比例函数y＝经过第二、四象限．故选：C．〖考前再练〗已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y ＝mx+n与反比例函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知，m＜﹣1，n＝1，所以，m+n＜0，所以，一次函数y＝mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y＝的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．2204二次函数过原点的特点〖案例分析〗若二次函数y＝x2+3x+a﹣1的图象经过原点，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a＝1【解答】解：把（0，0）代入y＝x2+3x+a﹣1得a﹣1＝0，解得a＝1，所以a的值为1故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．〖课堂练习〗已知二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，则a的值为（）A．0或2B．0C．2D．无法确定【分析】根据二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，可以求得a的值，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，∴0＝a×02+0+a（a﹣2）且a≠0，解得，a＝2，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖课后巩固〗抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【分析】根据抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，从而可以求得a的值，进而得到该抛物线在对称轴左侧的部分是上升还是下降，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，∴0＝a×02+（a﹣1），得a＝1，∴y＝x2，∴该函数的顶点坐标为（0，0），函数图象的开口向上，∴该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，故答案为：下降．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖考前再练〗如果开口向下的抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，那么a的值是﹣2．【分析】由抛物线开口向下及过原点，即可得出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出a的值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，且开口向下，∴，解得：a＝﹣2故答案为：﹣2【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于a的一元一次不等式及一元二次方程是解题的关键．2205二次函数开口方向的确定〖案例分析〗抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3中a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，顶点为（2，3）故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．〖课堂练习〗对于二次函数y＝2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（）A．图象开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．图象的对称轴是直线x＝﹣1D．当x＜1时，y随x的增大而减小【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再根据二次函数的性质进行解答．【解答】解：二次函数y＝2（x+1）（x﹣3）可化为y＝2（x﹣1）2﹣8的形式，∵此二次函数中a＝2＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数化为顶点式的形式是解答此题的关键．〖课后巩固〗若+2x﹣3是二次函数，且开口向下，则m的值为﹣3．【分析】根据二次函数定义可得m2﹣7＝2，计算出m＝±3，再根据二次函数的性质可得1+m＜0，再根据m的取值范围确定m的值．【解答】解：由题意得：m2﹣7＝2，解得：m＝±3，∵开口向下，∴1+m＜0，∴m＜﹣1，∴m＝﹣3，故答案为：﹣3【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．〖考前再练〗若函数y＝（m﹣1）x是二次函数，且开口向下，则m＝﹣2．【分析】根据二次函数的定义得到m2﹣2＝2，且m﹣1＜0．【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x是二次函数，其函数的开口向下，∴m2﹣2＝2，且m﹣1＜0．解得m＝﹣2故答案是：﹣2【点评】本题考查了二次函数的定义．注意：此题中的抛物线开口方向向下，所以m﹣1是负数．2206二次函数的最值〖案例分析〗抛物线y＝﹣（x+1）2+3有（）A．当x＝1，y有最大值3B．当x＝1，y有最小值3C．当x＝﹣1，y有最大值3D．当x＝﹣1，y有最小值3【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x取何值时，函数取得最大值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3，∴当x＝﹣1时，该抛物线有最大值，此时y＝3，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖课堂练习〗对于函数y＝（x+2）2﹣9，下列结论错误的是（）A．图象顶点是（﹣2，﹣9）B．图象开口向上C．图象关于直线x＝﹣2对称D．函数最大值为﹣9【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝（x+2）2﹣9＝x2+4x﹣5，∴该函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣9），故选项A正确；a＝1＞0，该函数图象开口向上，故选项B正确；该函数图象关于直线x＝﹣2对称，故选项C正确；当x＝﹣2时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖课后巩固〗对于抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1【分析】根据二次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝﹣（x+2）2﹣1，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，函数有最大值y＝﹣1，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，故选项C的说法错误，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖考前再练〗对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x＝1，最大值是2B．对称轴是直线x＝1，最小值是2C．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是2D．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是2【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．【解答】解：由抛物线的解析式：y＝﹣（x﹣1）2+2，可知：对称轴x＝1，开口方向向下，所以有最大值y＝2，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．2207二次函数顶点坐标〖案例分析〗抛物线y＝x2﹣6x+11的顶点为（）A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（6，﹣2）D．（3，12）【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2，∴该抛物线的顶点坐标为（3，2），故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖课堂练习〗抛物线y＝﹣（x﹣）2﹣2的顶点坐标是（）A．（，2）B．（﹣，2）C．（﹣，﹣2）D．（，﹣2）【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【解答】解：因为y＝﹣（x﹣）2﹣2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（，﹣2）．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y＝a＝（x﹣h）2+k 的顶点坐标是（h，k）．〖课后巩固〗抛物线y＝1﹣3x2的顶点是（）A．（1，﹣3）B．（﹣3，1）C．（1，0）D．（0，1）【分析】根据题目中的抛物线解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝1﹣3x2＝﹣3x2+1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，1），故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖考前再练〗抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标为（）A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（1，3）D．（1，﹣3）【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标为（3，1）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式解析式求顶点的方法是解题的关键．2208函数值〖案例分析〗二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．﹣7＜y＜﹣4B．﹣7＜y≤﹣3C．﹣7≤y＜﹣3D．﹣4＜y≤﹣3【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣4，＝﹣（x2﹣2x+4）＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，∴﹣1＜x＜2时，x＝1取得最大值为﹣3，x＝﹣1时取得最小值为﹣（﹣1）2+2×（﹣1）﹣4＝﹣7，∴y的取值范围是﹣7＜y≤﹣3故选：B．【点评】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．〖课堂练习〗已知点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是2≤y＜6．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得﹣1＜x＜2时，y的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2，∴该函数开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，﹣1＜x＜2，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝2，当x＝﹣1时，y取得最大值，此时y＝（﹣1﹣1）2+2＝6，∴﹣1＜x＜2，则y的取值范围是2≤y＜6，故答案为：2≤y＜6．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖课后巩固〗已知y＝﹣x2﹣3x+4（﹣10≤x≤0），则函数y的取值范围是4≤y≤13．【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和x的取值范围，可以求得函数值的取值范围．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+6）2+13，∴该函数的开口向下，对称轴是直线x＝﹣6，当x＜﹣6时，y随x的增大而增大，当x ＞﹣6时，y随x的增大而减小，∵﹣10≤x≤0，当x＝0时，y＝4，∴函数y的取值范围是4≤y≤13，故答案为：4≤y≤1〖课后巩固〗【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖考前再练〗抛物线y＝2x2﹣4x﹣3，当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤13．【分析】首先利用配方法求出二次函数的最值，进而利用x的取值范围得出y的取值范围．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x﹣3＝2（x2﹣2x）﹣3，＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣3，＝2（x﹣1）2﹣5，＝﹣5，∴当x＝1时，y最小值∵﹣1≤x≤4，且|4﹣1＞|﹣1﹣1|，∴x＝4时，y＝13，最大∴当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是：﹣5≤y≤13故答案为﹣5≤y≤13【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及配方法的应用，根据已知得出顶点坐标是解题关键．2209对称轴〖案例分析〗二次函数y＝a（x+1）（x﹣4）的对称轴是x＝．【分析】首先求得方程与x轴的两个交点坐标，然后根据交点坐标求得对称轴方程即可．【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣4）＝0，解得：x＝﹣1或x＝4，∴y＝a（x+1）（x﹣4）与x轴交与点（﹣1，0），（4，0）∴对称轴为：x＝＝．故答案为：x＝．【点评】此题考查了二次函数点的对称性．解题的关键是注意审题，理解题意，根据函数的对称性解题．〖课堂练习〗二次函数y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）．【分析】将函数解析式配方成顶点式后即可得出答案．【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点坐标是（2，﹣1），对称轴是直线x＝2故答案为直线x＝2，（2，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质，把解析式化成顶点式是解题的关键．〖课后巩固〗抛物线y＝﹣2x2﹣4x+8的开口向下，对称轴直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，10）．【分析】根据抛物线y＝﹣2x2﹣4x+8，可将函数解析式化为顶点式，即可解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2﹣4x+8＝﹣2（x+1）2+10，∴该抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，10），故答案为：向下，直线x＝﹣1，（﹣1，10）．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖考前再练〗抛物线y＝﹣x2的开口向下，对称轴是直线x＝0，顶点坐标（0，0）．【分析】根据二次函数的性质和函数的解析式得出答案即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2中a＝﹣＜0，∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0），故答案为：下，直线x＝0，（0，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．2210二次函数的增减性〖案例分析〗如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a 的取值范围是a≤1．【分析】由函数图象可得函数的增减性，即可得答案．【解答】解：∵由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增大，∴a≤1，故答案为：a≤1【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．〖课堂练习〗已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为25．【分析】因为当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，那么可知对称轴就是x＝﹣2，结合顶点公式法可求出m的值，从而得出函数的解析式，再把x＝1，可求出y的值．【解答】解：∵当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，∴对称轴x＝﹣＝﹣＝﹣2，解得m＝﹣16，∴y＝4x2+16x+5，那么当x＝1时，函数y的值为25．故答案为25．【点评】本题考查了函数的性质，利用二次函数的增减性得出对称轴，从对称轴入手进行求解是关键．〖课后巩固〗抛物线y＝x2﹣2x，当y随x的增大而减小时x的取值范围为x＜1．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出x的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴当y随x的增大而减小时x的取值范围为x＜1，故答案为：x＜1【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖考前再练〗已知抛物线y＝a（x+）2+k（a＞0），点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是y2＜y3＜y1（用“＜”连接）．【分析】根据题目中的抛物线的解析式可以得到该抛物线的对称轴、开口方向，从而可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝a（x+）2+k（a＞0），苏一该函数开口向上，对称轴是直线x＝﹣，当x＞﹣时，y随x的增大而增大，当x＜﹣时，y随x的增大而减小，∵|﹣4﹣（﹣）|＝3.5，|﹣2﹣（﹣）|＝1.5，|2﹣（﹣）|＝2.5，点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，∴y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2211二次函数对称性的运用〖案例分析〗抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过（﹣1，2）和（7，2）两点，其对称轴是直线x＝3．【分析】由点（﹣1，2）和（7，2）的纵坐标相等可得出点（﹣1，2）和（7，2）关于抛物线的对称轴对称，再由点（﹣1，2）和（7，2）的横坐标即可求出抛物线的对称轴，此题得解．【解答】解：∵点（﹣1，2）和（7，2）的纵坐标相等，∴点（﹣1，2）和（7，2）关于抛物线对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝3故答案为：x＝3【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键．〖课堂练习〗某二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），则此二次函数的图象的对称轴为直线x＝2．【分析】根据二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），可以求得该函数的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），∴此二次函数的图象的对称轴为直线x＝＝2，故答案为：直线x＝2【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖课后巩固〗抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（m，n），且对称轴为直线l，则点C关于直线l的对称点C′的坐标为（2﹣m，n）（用含m，n的代数式表示）【分析】首先根据A和B点的坐标确定对称轴，然后确定点C到直线l的距离，从而确定点C关于直线l的对称的点的坐标即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），∴对称轴l为：x＝＝1，∴点C（m，n）到x＝1的距离为m﹣1，∴点C关于直线l的对称点C′的坐标为（2﹣m，n），故答案为：（2﹣m，n）．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够确定二次函数的对称轴，难度不大．〖考前再练〗如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），对称轴为直线x ＝1，则点B的坐标是（﹣1，0）．【分析】利用点B与点A关于直线x＝1对称确定B点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于直线x＝﹣1对称，而对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0）．故答案为（﹣1，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．2212双根式的运用〖案例分析〗二次函数y＝a（x+1）（x﹣4）的对称轴是x＝．【分析】首先求得方程与x轴的两个交点坐标，然后根据交点坐标求得对称轴方程即可．【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣4）＝0，解得：x＝﹣1或x＝4，∴y＝a（x+1）（x﹣4）与x轴交与点（﹣1，0），（4，0）∴对称轴为：x＝＝．故答案为：x＝．【点评】此题考查了二次函数点的对称性．解题的关键是注意审题，理解题意，根据函数的对称性解题．〖课堂练习〗抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为：y＝a（x﹣1）（x+3）（a≠0）．【分析】已知抛物线与x轴的两个交点，可以设该解析式为交点式．【解答】解：∵抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），∴设该抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x+3）（a≠0）．故答案是：y＝a（x﹣1）（x+3）（a≠0）．【点评】本题考查了抛物线的三种形式．交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a是常数，a ≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．〖课后巩固〗已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【分析】（1）直接利用抛物线对称轴方程求得对称轴即可；（2）化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；【解答】解：（1）抛物线的对称轴方程为x＝﹣＝；（2）y＝ax2﹣3ax﹣4a＝a（x+1）（x﹣4），当（x+1）（x﹣4）＝0，即x＝﹣1或4时y＝0，∴抛物线一定经过（﹣1，0），（4，0）；【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键时了解抛物线的对称轴方程，难度不大．〖考前再练〗已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），根据与x轴的交点坐标可知其对称轴为直线x＝．；（2）求出二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0），画出二次函数的大致图象即可判断顶点的位置．（3）分析可知当a＝0时，明显不符合题意；然后讨论a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）当a＝0时，明显不符合题意；∴a≠0；由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．【点评】本题主要考查二次函数性质、与x轴的交点的坐标，解题关键是要熟练掌握二次函数的图象和性质，能快速画出简图分析问题，同时也要多方面考虑问题，避免漏解．2213二次函数图像与系数的信息处理〖案例分析〗如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断，正确的个数是（）①abc＜0；②4a+c＜b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝﹣1时，y＝0得到b＝a+c，由a＜0得到2a+c＜a+c，即2a+c＜b，即可判断；③根据m是方程ax2+bx+c＝0的根，结合两根之积﹣m＝，即可判断；④根据两根之和﹣1+m＝﹣，可得ma＝a﹣b，可得am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，⑤根据抛物线与x 轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，。
初中数学一轮复习《二次函数专题--动点最值问题》
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引例： 某种中性笔的进价为1元，在某时段若 以每支x元出售，可卖（5-x)支，应如何 定价才能使利润最大？ 解：设利润为y元.
知识点1：二次函数的解析式. 1.二次函数的图象交x轴于A、B点，交y轴于点D， 点B的坐标（5,0），顶点C的坐标为（3 , 4） 求二次函数的解析式________________
（1）若每件衬衫降低 x 元（x 取整数），商场平均 每天盈利 y 元， 试写出 y 与 x 之间的函数关系式，并写 出自变量 x 的取值范围．
y =（（20+2x）（0≤x≤12）．
2．练习，巩固所学二次函数内容
（2）每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均） 盈利最多？
y =-2（x - 15）2 +1 250（0≤x≤12）． 当 x = 12 时，盈利最多，为 1 232 元．
知识点3：二次函数综合应用
知识点4：二次函数综合应用
知识点4：二次函数综合应用
3．小结
（1）我们是如何研究二次函数的动点最值问题？ （2）二次函数在动点最值问题应用中需要注意什么？
4．布置作业
学有余力：巩固所学二次函数内容
问题 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，
进价是每件 80 元，售价是每件 120 元，为了扩大销售， 增加盈利， 减少库存， 商场决定采取适当的降价措施， 经调查发现，如果每件衬衫降低 1 元， 商场平均每天可 多售出 2 件，但每件最低价不得低于 108 元．
中考数学专题之二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题
2020年中考数学必考经典专题2二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题【方法指导】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。
有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。
解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．（4）同底三角形的面积比等于高的比．（5）同高三角形的面积比等于底的比．【题型剖析】【类型1】二次函数与面积最值问题【例1】如图，抛物线2(1)y x k =-+与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点(0,3)C -．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且0m >．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求ABP ∆面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点)P 最高点与最低点的纵坐标之差为h ．①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当9h =时，直接写出BCP ∆的面积．【变式训练】如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点(0,4)C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 坐标为(4,0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK KN +最小，并求出点K 的坐标；（3）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作//QE AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当CQE ∆的面积最大时，求点Q 的坐标；【类型2】二次函数与面积定值问题【例2】抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(5,0)B 两点，顶点为C ，对称轴交x 轴于点D ，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与C ，D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ，交x 轴于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）当PCF ∆的面积为5时，求点P 的坐标；（3）当PCF ∆为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．【变式训练】已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为____，抛物线的顶点坐标为____；（2）如图1，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标；（3）如图2，点E 的坐标为(0,1)-，点G 为x 轴负半轴上的一点，15OGE ∠=︒，连接PE ，若2PEG OGE ∠=∠，请求出点P 的坐标；（4）如图3，是否存在点P ，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型3】二次函数与等面积问题【例3】如图，二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)-，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上．（1）b =______；（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这样的点P ，使得PM MN NH ==？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ BD ⊥，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且2PQB QRB S S ∆∆=，求点P 的坐标．【变式训练】如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及PAC ∆的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆=？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型4】二次函数与面积数量关系【例4】如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为(5,0)，点D 的坐标为(1,3)．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E 是线段BD 上的一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为F ，且ED EF =，求点E 的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G ，使得ADG ∆的面积是BDG ∆的面积的35？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 、E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【达标检测】1．如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ，交y 轴于点C ，过点C 作//CD x 轴，交抛物线于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线(30)y m m =-<<与线段AD 、BD 分别交于G 、H 两点，过G 点作EG x ⊥轴于点E ，过点H 作HF x ⊥轴于点F ，求矩形GEFH 的最大面积；（3）若直线1y kx =+将四边形ABCD 分成左、右两个部分，面积分别为1S ，2S ，且12:4:5S S =，求k 的值．2．如图，抛物线2(0)y ax bx a =+<过点(10,0)E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左边），点C ，D 在抛物线上．设(,0)A t ，当2t =时，4AD =．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．3．已知：如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，该抛物线的顶点为M ．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）求直线BM 的函数解析式．（3）试说明：90CBM CMB ∠+∠=︒．（4）在抛物线上是否存在点P ，使直线CP 把BCM ∆分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线21:C y x ax =+与22:C y x bx =-+相交于点O 、C ，1C 与2C 分别交x 轴于点B 、A ，且B 为线段AO 的中点．（1）求a b的值；（2）若OC AC ⊥，求OAC ∆的面积；（3）抛物线2C 的对称轴为l ，顶点为M ，在（2）的条件下：①点P 为抛物线2C 对称轴l 上一动点，当PAC ∆的周长最小时，求点P 的坐标；②如图2，点E 在抛物线2C 上点O 与点M 之间运动，四边形OBCE 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线232y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(2,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y x n =-+与该抛物线在第四象限内交于点D ，与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，且4BE EC =．①求n 的值；②连接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，AGF ∆与CGD ∆是否全等？请说明理由；（3）直线(0)y m m =>与该抛物线的交点为M ，N （点M 在点N 的左侧），点M 关于y 轴的对称点为点M '，点H 的坐标为(1,0)．若四边形OM NH '的面积为53．求点H 到OM '的距离d 的值．6．如图，已知二次函数23(2)34y ax a x =--+的图象经过点(4,0)A ，与y 轴交于点B ．在x 轴上有一动点(C m ，0)(04)m <<，过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D ．（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，设ACE ∆，DEF ∆的面积分别为1S ，2S ，若124S S =，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且DEGH 周长取最大值时，求点G 的坐标．7．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -、(3,0)B 两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ ．（Ⅰ）若点P 的横坐标为12-，求DPQ ∆面积的最大值，并求此时点D 的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，DPQ ∆面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．8．已知抛物线2(1)y a x =-过点(3,1)，D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B 、C 均在抛物线上，其中点1(0,)4B ，且90BDC ∠=︒，求点C 的坐标；（3）如图，直线4y kx k =+-与抛物线交于P 、Q 两点．①求证：90PDQ ∠=︒；②求PDQ ∆面积的最小值．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，PBQ ∆的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ ∆面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使BMC ∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，且与x 轴相交于A ，B 两点(B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使PBC ∆的面积最大．若存在，请求出PBC ∆的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当3MN =时，求M 点的坐标．。
2020年中考数学考点一遍过考点11二次函数(含解析)
3．抛物线的移动主要看顶点的移动， y=ax2 的顶点是（ 0，0）， y=a（ x–h）2 的顶点是（ h，0）， y=a
（x–
h） 2+k 的顶点是（ h， k）．
4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．
典例 7 如果将抛物线 y=–x2–2 向右平移 3 个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是
左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小
6．（ 2019 ·南通市启秀中学初三期中）关于下列说法：（
1）反比例函数 y 1 ，在每个象限内 y
3mx
随 x 的增大而减小； （ 2）函数 y
1 x ， y 随 x 的增大减小； （ 3）函数 y
3
12 x ，当 x 0 时，
A ． –1 【答案】 A
B．2
C． –1 或 2
【解析】依题意
m2 m 2
，解得 m=–1，故选 A.
m20
【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意
a 0.
典例 2 （ 2019·河北初三期中）下列函数是二次函数的是
D． m 不存在
A ． y=2x+2 【答案】 C
B ． y=﹣ 2x
【解析】直接根据二次函数的定义判定即可．
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称 轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点 .
典例 3 函数 y=ax2+bx+a+b（ a≠0）的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【解析】 A ，由图象可知，开口向下，则 a<0 ，又因为顶点在 y 轴左侧，则 b<0 ，则 a+b<0，而图象 与 y 轴交点为（ 0， a+b）在 y 轴正半轴，与 a+b<0 矛盾，故此选项错误； B，由图象可知，开口向下，则 a<0，又因为顶点在 y 轴左侧，则 b<0，则 a+b<0，而图象与 y 轴交 点为（ 0， 1）在 y 轴正半轴，可知 a+b=1 与 a+b<0 矛盾，故此选项错误； C，由图象可知，开口向上，则 a>0，顶点在 y 轴右侧，则 b<0， a+b=1 可能成立，故此选项正确； D，由图象可知，开口向上，则 a>0，顶点在 y 轴右侧，则 b<0 ，与 y 轴交于正半轴，则 a+b>0，而 图象与 x 轴的交点为 （1，0），则 a+b+a+b=0，显然 a+b=0 与 a+b>0 矛盾， 故此选项错误． 故选 C． 典例 4 如果二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是
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2020年中考数学一轮复习之二次函数动点问题（面积、长度最值与定长）1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E（﹣1，4），对称轴交x轴于点F．（1）请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式；（2）连接AC、AE、CE，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴于点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．在点D的运动过程中，①DG、GH、HK这三条线段能否相等？若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明理由；②在①的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4＝a（x2+2x+1）+4，故a+4＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AE的表达式为：y＝2x+6；同理可得：直线AC的表达式为：y＝x+3；（2）点A、C、E的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3）、（﹣1，4），则AC2＝18，CE2＝2，AE2＝20，故AC2+CE2＝AE2，则△ACE为直角三角形；（3）①设点D、G、H的坐标分别为：（x，﹣x2﹣2x+3）、（x，2x+6）、（x，x+3），DG＝﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣3；HK＝x+3；GH＝2x+6﹣x﹣3＝x+3；当DG＝HK时，﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），故x＝﹣2，当x＝﹣2时，DG＝HK＝GH＝1，故DG、GH、HK这三条线段相等时，点D的坐标为：（﹣2，3）；②CG＝＝；AE＝＝2，故AE＝2CG．2．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（0，3），抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0，3），则a+4＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点M作MH⊥x轴于点H，设点M（m，﹣m2+2m+3），则S＝S梯形BOHM﹣S△OAB﹣S△AMH＝（﹣m2+2m+3+3）×m﹣[3×1+（m﹣1）（﹣m2+2m+3）]＝﹣m2+m，∵0，故S有最大值，当m＝时，S的最大值为：；（3）当S取得最大值时，此时，m＝，则y＝﹣m2+2m+3＝，故点M′的坐标为：（，）．3．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C①试判断△ABC的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）将点M、N的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）①y＝x2﹣x﹣4，令y＝0，则x＝﹣2或8，x＝0，则y＝﹣4，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）、（0，﹣4），则函数的对称轴为：x＝3，则AB＝10，BC＝，AC＝，则AB2＝BC2+AC2，故△ABC为直角三角形；②作点M关于函数对称轴的对称点D（10，6），连接CD交函数对称轴于点P，则点P为所求，将点CD的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线CD的表达式为：y＝x﹣4，当x＝3时，y＝﹣1，故点P（3，﹣1），此时PM+PC的值最小为CD＝10．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m．①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；②连接AP，CP，求当△ACP面积为时点P的坐标；（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），①将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣3，则点Q（m，﹣3m﹣3），n＝PQ＝m2﹣2m﹣3+3m+3＝m2+m；②连接AP交y轴于点H，同理可得：直线AP的表达式为：y＝（m﹣3）x+m﹣3，则OH＝3﹣m，则CH＝m，△ACP面积＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝，解得：m＝（不合题意的值已舍去），故点P（，﹣）；（3）点C（0，﹣3），点B（3，0），设点M（m，n），n＝m2﹣2m﹣3，点N（1，s），①当BC是边时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N（M），即m±3＝1，n±3＝s，解得：m＝﹣2或4，s＝8或2，故点N（1，2）或（1，8），则BN＝2或2；②当BC是对角线时，由中点公式得：3＝m+1，﹣3＝s+n，解得：s＝0，故点N（1，0），则BN＝2，综上，BN＝2或2或2．5．如图直角坐标系中，△ABO，O为坐标原点，A（0，3），B（6，3），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A，B，点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．（1）求b，c的值；（2）当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标．解：（1）把A（0，3），B（6，3）代入y＝﹣x2+bx+c并解得：；（2）设P（m，﹣m2+6m+3）∵∠P＝∠B，∠AHP＝∠OAB＝90°，∴△ABO～△HPA，∴，∴，解得m＝4．∴P（4，11）（3）当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，则2（AO+HQ）＝PH∴，得：m1＝4，m2＝3，∴P（4，11）或P（3，12）6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x＝时，PD最大值为：；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH表达式中的k值为，则直线CH的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝3﹣，当y＝0时，x＝，故点N、M的坐标分别为：（1，3﹣）、（，0），CN+MN+MB的最小值＝CH＝CM+FH＝．7．如图，抛物线y＝（x+2）（x﹣2k）交x轴于点A、B，（A左B右），与y轴交于点C，把射线BC沿x轴翻折交抛物线于点D，交y轴于点F，点D纵坐标为6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第四象限抛物线上一点，连接PB、PC，设点P横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；（3）在（2）的条件下，PD交y轴于点E，交BC于点M，过点P作y轴平行线交BD、BC于点G、H，若△MEF与△MGH面积的和为6，求△PBC的面积．解：（1）过点D作DS⊥x轴于S．令y＝0，即（x+2）（x﹣2k）＝0解得x＝﹣2或x＝2k∴OA＝2，OB＝2k令x＝0，则y＝﹣k，∴OC＝k∴tan∠OBC＝tan∠OBD＝，∵点D纵坐标为6，∴DS＝6，BS＝12，∴OS＝12﹣2k∴点D坐标为（2k﹣12，6），代入解析式得：6＝（2k﹣12+2）（2k﹣12﹣2k）解得k＝4∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣8）或y＝x2﹣x﹣4；（2）过点P作PN⊥BC于N，PR⊥x轴于R，PR交BC于K 令x＝0，y＝﹣4，∴OC＝4C（0，﹣4），由（1）得B（8，0）先求出直线BC解析式y＝x﹣4，PK＝PR﹣RK点P（m，m2﹣m﹣4）PR＝m2﹣m﹣4），K（m，m﹣4）RK＝m+4PK＝﹣（m2﹣m﹣4）﹣（m+4）＝﹣，∠NPK＝∠OBC∴cos∠OBC＝cos∠NPK＝PN＝PK cos∠NPK＝﹣m2+m BC ＝4S＝BC×PN＝（﹣m2+m）S＝﹣m2+8m；（3）在（1）图基础上，过点P作PQ⊥DS，设PQ交y轴于点L，tan∠DPQ＝＝＝，即∴EL＝可知点F（0，4）EF＝FL﹣EL＝4﹣（）﹣EF＝8﹣m，求出直线BF解析式为y＝﹣x+4，点G纵坐标为﹣m+4，点H纵坐标为m﹣4，GH＝（﹣m+4，）﹣（m﹣4，）＝8﹣m，∵△MEF面积与△MGH面积和为6∴（8﹣m）m＝6解得m＝2或m＝6∵S＝﹣m2+8m∴S＝12．8．如图，抛物线y＝﹣x﹣1与y轴交于点A，点B是抛物线上的一点，过点B 作BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为（9，0）．（1）求直线AB的表达式；（2）若直线MN∥y轴，分别与抛物线，直线AB，x轴交于点M、N、Q，且点Q位于线段OC之间，求线段MN长度的最大值；（3）当四边形MNCB是平行四边形时，求点Q的坐标．解：（1）令x＝0，则y＝﹣1，即A（0，﹣1）．∵B为抛物线上的一点，BC⊥x轴，C（9，0），∴B点的横坐标为9，纵坐标为，即B（9，2）．设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，将A（0，﹣1），B（9，2）代入上式并解得：直线AB的函数解析式为；（2）设线段MN的长为L，由抛物线和直线AB的解析式，得：＝＝．故线段MN长度的最大值为；（3）若四边形MNCB是平行四边形，则需要MN＝BC，由点B、C的坐标可知BC＝2，∴，解得：x＝1或x＝8．故当点Q的坐标为（1，0）或（8，0）时，四边形MNCB是平行四边形．9．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HP sin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，此时点P（2，﹣6）．10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）函数表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），﹣3a＝2，解得：a＝﹣，抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，当x＜﹣3或x＞1时，y＜0；（2）存在，理由：过点P作平行于y轴的直线交AC于点H，将点A（﹣3，0）、C（0，2）的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AC的表达式为：y＝x+2，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点H（x，x+2），△ACP面积S＝×PH×OA＝×3（﹣x2﹣x+2﹣x﹣2）＝﹣x2﹣3x，∵＜0，故当x＝﹣时，S有最大值，此时点P（﹣，）；（3）设点M的坐标为：（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2，点Q（s，0），点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，2），①当AC是平行四边形的一条边时，点A向右平移3个单位、向上平移2个单位得到C，同样点M（Q）向右平移3个单位、向上平移2个单位得到Q（M），即：m+3＝s，n+2＝0或m﹣3＝s，n﹣2＝0，且n＝﹣m2﹣m+2，解得：s＝2或﹣5；②当AC是平行四边形的对角线时，则m+s＝﹣3，n+0＝2，且n＝﹣m2﹣m+2，解得：s＝﹣1，故点Q的坐标为：（﹣1，0）或（﹣5，0）或（2，0）或（2﹣，0）．11．如图，抛物线y＝x2+bx+c与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，作直线BC，点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，﹣6）．（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；（2）D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线BC上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q．使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出Q点的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，令y＝0，则x＝﹣2或6，则点A（﹣2，0），则函数的对称性x＝2；（2）①当∠BCD＝90°时，将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：直线BC的表达式为：y＝x﹣6，则直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣6，当x＝2时，y＝﹣8，故点D（2，﹣8）；②当∠DBC＝90°时，同理可得点D（2，4），故点D（2，﹣8）或（2，4）；（3）①当CE为菱形的一条边时，则PQ∥CE，设点P（m，m﹣6），则点Q（m，n），则n＝m2﹣2m﹣6…①，由题意得：CP＝PQ，即m＝m﹣6﹣n…②，联立①②并解得：m＝6﹣2，n＝4﹣8，则点Q（6﹣2，4﹣8）；②当CE为菱形的对角线时，则PQ⊥CE，即PQ∥x轴，设点P（m，m﹣6），则点Q（s，m﹣6），其中m﹣6＝s2﹣2s﹣6…③，则PC＝﹣m，CQ2＝s2+m2，由题意得：CQ＝CP，即：（﹣m）2＝s2+m2…④，联立③④并解得：m＝6或﹣2（舍去6），故点（2，﹣8）；综上，点Q（6﹣2，4﹣8）或（2，﹣8）．12．如图，直线AB经过x轴上一点A（3，0），且与抛物线y＝ax2+1相交于B、C两点，点B的坐标为（1，2）．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）若点D是抛物线上一点，且D在直线BC下方，若S△BCD＝3，求点D的坐标；（3）设抛物线顶点为M，问在抛物线上是否存在点P使△PMC是以MC为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+3…②，同理将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：抛物线的表达式为：y＝x2+1…②；（2）联立①②并解得：x＝1或﹣2，故点C（﹣2，5），如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H，设点D（x，x2+1），则点H（x，﹣x+3），则S△BCD＝3＝DH×（x B﹣x C）＝（x2+1﹣x+3）×（1+2），解得：x＝0或﹣1，故点D（﹣1，2）或（0，1）；（3）如图2，点M的坐标为：（0，1），点C（﹣2，5），则直线CM函数表达式中的k值为：﹣2，①当∠PCM＝90°时，则直线CP的函数表达式为：y＝x+m，将点C的坐标代入上式并解得：m＝6，故直线PC的表达式为：y＝x+6…③，联立②③并解得：x＝﹣2或（舍去﹣2），故点P的坐标为：（，）；②当∠CMP（P′）＝90°时，同理可得：点P（P′）（，），综上，点P的坐标为：（，）或（，）．13．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使S△BDE：S△BEF＝2：3，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．解：（1）令y＝0，则x＝﹣1或5，令x＝0，则y＝5，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（5，0）、（0，5）；（2）抛物线的对称轴为：x＝2，点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求，直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，当x＝2时，y＝3，故点P（2，3）；（3）设点D（x，﹣x2+4x+5），则点E（x，﹣x+5），S△BDE：S△BEF＝2：3，则，即：＝，解得：m＝或5（舍去5），故点D（，）；（4）设点M（2，m），而点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），则MB2＝9+m2，MC2＝4+（m﹣5）2，BC2＝50，①当MB为斜边时，则9+m2＝4+（m﹣5）2+50，解得：m＝7；②当MC为斜边时，同理可得：m＝﹣3；③当BC为斜边时，同理可得：m＝6或﹣1；综上点M的坐标为：（2，7）或（2，﹣3）或（2，6）或（2，﹣1）．14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式并解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…①；（2）抛物线的对称轴为：x＝，点D（3，4），过点D作x轴的垂线交BP于点H，交x轴于点G，过点H作HR⊥BD与点R，则BG＝1，GD＝4，tan∠BDG＝，∠DBP＝45°，设：HR＝BR＝x，则DR＝4x，BD ＝5x＝＝，x＝，BH＝x，BG＝1，则GH＝＝，故点H（3，），而点B（4，0），同理可得直线HB的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝4或﹣（舍去4），故点P（﹣，）；（3）设点M（，m），而点A（﹣1，0）、点C（0，4），则AM2＝+m2，CM2＝+（m﹣4）2，AC2＝17，①当AM是斜边时，+m2＝+（m﹣4）2+17，解得：m＝；②当CM是斜边时，同理可得：m＝﹣；③当AC是斜边时，同理可得：m＝或；综上，点M的坐标为：（，）或（，﹣）或（，）或（，）．15．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，点F是点B关于x轴的对称点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点F，与直线AB交于点C．（1）求b和c的值；（2）点P是直线AC下方的抛物线上的一动点，连结PA，PB．求△PAB的最大面积及点P到直线AC的最大距离；（3）点Q是抛物线上一点，点D在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A，P，D，Q为顶点且AP为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）直线y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，），则点F（0，﹣），抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点F，则c＝﹣，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣，b＝，c＝﹣；（2）过点P作y轴的平行线交AB于点H，设点P（x，x2+x﹣），则点H（x，x+），则△PAB的面积S＝×PH×OA＝（x+﹣x2﹣x+）＝（﹣x2﹣x+2），当x＝﹣时，S的最大值为，此时点P（﹣，﹣），设：P到直线AC的最大距离为d，AB＝2S＝AB×d＝，解得：d＝；（3）存在，理由：点A（﹣3，0），点P（﹣，﹣），设点Q（m，n），n＝m2+m﹣，①当点D在x轴上时，若存在以A，P，D，Q为顶点且AP为边的平行四边形时，则n＝±，即m2+m﹣＝±，解得：m＝﹣（舍去）或﹣或﹣1；②当点D在y轴上时，同理可得：0±＝m，故点P（，）或（﹣，﹣）；故点Q的坐标为：（﹣1﹣，）或（，﹣）或（﹣1+，）或（，）或（﹣，﹣）．。