历年全国理科数学高考试题立体几何部分含答案
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如
右图所示，则相应的俯视图可以为
2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23
==,则棱锥
AB BC
-的体积为。
O ABCD
3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
1.D
2.83
3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD =
从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD
又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD
所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则
()1,0,0A ，()03,0B ，，()1,3,0C -，()0,0,1P 。
(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-uu u v uu v uu u v
设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{
n AB n PB ?=?=u u u r u u u r 即 30
30x y y z -+=-=
因此可取n=(3,1,3)
设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{PB BC ?=?=u u u r u u u r
可取m=（0，-1，3-） 27cos ,27
m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27-
1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63
2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?u u u v u u u v 的最小值为
(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+
3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为
(A) 23
3 (B)43
3 (C) 23 (D) 83
3
4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，
DC=SD=2，E
为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB ；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .
1. D
2. D
3. B
4. 解法一：
(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ，连接BG,
由此知 1,DG GC BG ===即ABC ?为直角三角形，故BC BD ⊥.
又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,
所以，BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .
作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足，因平面平面，
故,BK EDC BK DE DE ⊥⊥平面，与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直
DE ⊥平面SBC ，DE ⊥EC,DE ⊥SB 226SB SD DB =+=
3
SD DB DE SB ==g 22626-,-EB DB DE SE SB EB ==
== 所以，SE=2EB
(Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知
22121,AD=133AE SA AB ????=+= ? ?????
又. 故ADE ?为等腰三角形.
取ED 中点F,连接AF ,则226,3AF DE AF AD DF ⊥=
-=. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.
所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角.
连接AG,A G=2,2263
FG DG DF =-=, 2221cos 22
AF FG AG AFG AF FG +-∠==-g g ,
所以，二面角A DE C --的大小为120°.
解法二：
以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，
设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)
（Ⅰ）(0,2,-2),(-1,1,0)SC BC ==u u u r u u u r
设平面SBC 的法向量为n=(a, b, c)
由,n SC n BC ⊥⊥u u u r u u u r ，得0,0n SC n BC ==u u u r u u u r g g
故2b-2c=0,-a+b=0
令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)
又设SE EB λ=u u r u u u r (0)λ>，则 2(,,)111E λλλλλ+++ 2(,,),(0,2,0)111DE DC λλλλλ
==+++u u u r u u u r 设平面CDE 的法向量m=(x,y,z)
由,m DE m DC ⊥⊥,得
0m DE ⊥=，0m DC ⊥=
故 20,20111x y z y λλλλλ
++==+++. 令2x =，则(2,0,)m λ=-.
由平面DEC ⊥平面SBC 得m ⊥n,0,20,2m n λλ=-==g
故SE=2EB
（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(,,)333E ，取DE 的中点F ，则111211(,,),(,,)333333F FA =--u u u r ， 故0FA DE =u u u r u u u r g ，由此得FA DE ⊥
又242(,,)333EC =--u u u r ，故0EC DE =u u u r u u u r g ，由此得EC DE ⊥， 向量FA u u u r 与EC uuu r 的夹角等于二面角A DE C --的平面角
于是 1cos(,)2||||
FA EC FA EC FA EC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 所以，二面角A DE C --的大小为120o
（三）
1. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A 3（B 5（C 7 (D) 34
2. 已知二面角l αβ--为60o ，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 3，Q 到α的距离为3则P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ）
(A) (B)2 (C) 33. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。
4.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，
2AD =,2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°
（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点
（II ）求二面角S AM B --的余弦值。
（三）
1. 解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1
CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113co c s 4os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠?=?=.故选D 2. 解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于
PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=?则
23,3AQ BP ==，2AC PD ∴==
又2221223PQ AQ AP AP =+=+≥Q
当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。故答案选C 。
3. 解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,可得23BC =,由正弦定理,可得ABC ?外接圆半径r=2 设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '?中，易得球半径5R =，故此球的表面积为2420R ππ=.解法一：（I ）作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD
连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形
作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形
设ME x =，则SE x =，222(2)2AE ED AD x =+=-+
2(2)2,2MF AE x FB x ==-+=-
由2tan 60,(2)23(2)MF FB x x =?-+=-。得
解得1x =
即1ME =，从而12
ME DC = 所以M 为侧棱SC 的中点
（Ⅱ）222MB BC MC =+=，又60,2ABM AB ∠==o ,所以ABM ?为等边三角形，
又由（Ⅰ）知M 为SC 中点
2,6,2SM SA AM ===，故222,90SA SM AM SMA =+∠=o
取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知BGH ∠为二面角S AM B --的平面角 B
C B C A 111A D