第三章数学悖论概率论悖论

在很多赌博游戏中，如果相信对概率认 识的直觉将会吃亏。下面是一个用三张卡片 和一顶帽子做工具的赌博例子，可以证明这 一点。 卡片由下面三张形式的卡片组成。第一 张卡片两面都是圆圈。中间那张卡片，一面 是黑点，一面是小圈。最后一张则两面都是 黑点。 庄家把卡片放在帽子里摇晃，让你取一 张。把它放到桌子上。然后，他与你以对等 的赌金，打赌下面两圈点是和上面的一样。
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帕斯卡与费马在往来的信函中讨论“合理分配 赌注问题”，后来荷兰物理学家惠更斯也参与进来。 该问题可以简化为：甲、乙两人进行某种比赛，先 赢三场赢取全部赌注。假定在甲赢两场、乙赢一场 时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌 注才算公平合理。他们两人用不同的方法得到相同 的结果。经过他们共同研究，这个问题的通解是： 如果甲需要再赢m次才能获胜，乙需要再赢n次才能 获胜，则甲乙分钱之比为
n
由于在一次试验中随机现象的规律性不容易确定，因 此我们通过重复试验来探求。 若 在次试验中，事件 A 发生了 次，则称 Fn ( A) n 为事件 A 在 n 次试验中出现的频率。由于频率的大小 表示事件发生的频繁程度，频率越大，事件发生的越频繁， 就意味着事件在一次试验中发生的可能性越大。因此频率 在一定程度上表示了事件在一次试验中发生的可能性大小。 设在 次试验中，事件 发生 A 次，当 很大时，如果 n n 其频率 n 稳定的在某一数值 p 附近摆动，且随 n 的增加，摆动 幅度越来越小，则称 p 为事件 A的概率，记为
第三章 概率论悖论
本章教学目的： （1）了解概率在实际生活的重要性；
（2）说明直觉会得出错误的结论，而正确
的解答往往与常识矛盾；
（3）用较为直观的方法深入体察问题的结构；
（4）引导学生深入到概率论较深奥的内容中 去。
在社会实践和科学实验中，人类观察到的现
象大体上可以分为两种类型。 一类是事前可以预知结果的，就是某些确定的 条件满足时，某一确定的现象必然会发生（出现）， 或者根据它过去的状态，完全可以预知它将来的发 展状态，我们称这一类现象为确定性现象或必然现 象。例如在标准大气压下，水在100℃时肯定会沸 腾；两个异性的电荷一定相互吸引；冬天过去春天 肯定会到来，等等。
数学家达朗贝尔（D′Alembert，1717— 1783）曾经考虑过下面的问题：抛掷一枚硬 币两次，问至少出现一次正面的概率是多少？ 我们知道这个概率概率是3/4。达朗贝尔认为， 如果抛掷第一次出现正面，就不必抛掷第二 次。如果第一次出现反面，第二次的抛掷结 果有两种情况，因此一共有三种情况出现， 于是问题的答案应该是2/3。达朗贝尔的错误 在于把上面每一个事件的概率都看成相同的， 这样才会得到他的结果。
比较危险，因为他们相信新炮弹命中老
弹坑的可能性较大。因为，看起来不可
能两个炮弹一个接一个都落在同一点，
这样他们就合理地认为新弹坑在一段时
间内将会安全一些。
（2）有一个故事讲的是多年前有一个人坐飞 机旅行。他担心哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸 弹，于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸 了火药的炸弹。他知道一架飞机上不太可能有某个 旅客带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时 有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。事实，他自 己带的炸弹不会影响其他旅客携带炸弹的概率，这 种想法无非是以为一个硬币扔出的正反面会影响另 一个硬币的正反面的另一种形式而已。
女孩赢的概率是3/4。
为了解决这个问题，我们列出全部可能 的情况，它是六种而不是四种。 按三个球接近立柱的次序，使最近者在 前，列表如下： ABC ACB BAC BCA CAB CBA 在六种情况中有四次是女孩赢。这就 证明了第一种观点对，女孩赢的机会是4/6＝ 2/3。
3.抽签的公平性
抽签是人们经常使用的一种方法，尤其在现 代体育比赛中得到广泛应用。在足球比赛中，每 个小组里面球队的确定往往使用抽签的办法，其 它球类比赛也往往如此。如果没有人为的故意， 大家都相信抽签的公平性，是这样吗？ 我们来看一个简单的抽签模型。假如学校给 某个班级10张电影票，而这个班级有40人，大家 都想得到一张电影票。于是班长就将40张纸条上 分别写上1-40的数字，规定抽到1-10号数字的同 学获得电影票。由于要有先后抽签的顺序，自然 就产生一个问题：先抽与后抽的机会一样吗？
学习过全概率公式的同学很容易计算书
它们的概率完全一样。我们使用古典概型也
很容易计算出来。
抽签的历史已经无从考求，但人们肯定
在很早以前就开始应用抽签方法来进行某种
决策行为了。那种认为抽签不公平的想法只
是混淆了条件概率。
4．伯特纳德箱悖论 伯特纳德设想有三个外观一模一样的箱子， 第一个箱子装着两枚金币，第二个箱子装着两枚银 币，第三个箱子装有一枚银币和一枚金币。将三个 箱子混杂在一起，然后随机选取一个箱子，显然这 个箱子里装着两个一样的钱币的概率是2/3。假定 我们从选出的箱子中拿出一枚钱币，结果看到它是 金币。这就是说，箱子里的不可能是两枚银币，因 此，它必然是两枚金币，或者是一枚金币和一枚银 币。由于两个箱子中任何一个被选中的机会相等， 看起来似乎我们取得两枚同样钱币的概率降到了 1/2。如果取出的是银币，也会改
变了箱中装两枚同样钱币的概率呢？显然这 是不可能的。当我们看到一枚金币时，其实
有两种可能：这一枚金币或者另外一枚金币。 使用全概率公式很容易算出问题的概率不会 发生变化。在伯特纳德以后，一位德国数学
并非仅有一种可能。这和前面抽签问题一样，
家将这个悖论写进一本书中，于1889年发表。
另一类现象是在一定条件下，并不总是出现相 同结果的现象，我们称为随机现象。 对于随机现象，事前不能预知结果，就是某些 确定的条件满足时，究竟会发生（出现）什么结果 也是不能确定的。或者根据它过去的状态，不能肯 定它将来的发展状态。换句话说，即使在相同的条 件下重复进行试验，每次所得到的结果未必相同。 例如抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可 能是正面（有国徽的一面）向上，也可能是反面向 上，在硬币落地之前我们不能预知哪个结果会出现。 在我们买彩票时，我们不知道哪一些号码组合会出 现，只有在摇号机摇出结果以后才知道。
（3）轮盘赌中最受欢迎的系统是戴伦伯特系统， 它正是以赌徒未能认识到事件的独立性这一“赌徒 谬误”为基础的。参与者赌红色或黑色（或其他任 何一个对等赌金的赌），每赌失败一次就加大赌数， 每赌赢一次就减少赌数。他们猜想，如果小小的象 牙球让他赢了，那么就会有某种原因“记住”它， 不太可能让他在下一次再赢；如果小球使他输了， 它将感到抱歉，很可能帮助他在下一次赢。事实是 每一次旋转，轮盘都与以前的结果无关，这就十分 简单地证明了，任何一个赌博系统给赌徒的好处都 不会比给赌场主的还多。
如果一个家庭有四个孩子，他们的性别会是什 么样呢？同上面一样，很多人会认为有两个男孩和 两个女孩的可能性最大，实际上三个男孩一个女孩 或者三个女孩一个男孩的可能性更大一些。 我们可以用抛掷硬币来说明上面的情况。如果 抛掷四枚硬币，假设每枚硬币出现正面和反面的可 能性相同，下面十六种结果出现的可能性是一样的： 正正正正，正正正反，正正反正，正正反反，正反 正正，正反正反，正反反正，正反反反，反正正正， 反正正反，反正反正，反正反反，反反正正，反反 正反，反反反正，反反反反。在这十六种情况中， 两次正面两次反面的情形只有6种，而三反一正和 三正一反的情形有八种。
庄家为了哄你，让你以为这个赌博是公
平的，比如看到上面是一个小圈，就说你的 卡片不可能是黑点—黑点卡。因此，它要么 是小圈—小圈卡，要么是黑点—小圈卡。下 面的不是黑点，便是小圈，所以你和他赢的 机会相等。 要是这个游戏是公平的，庄家怎么会这 样快就赚了你的钱呢？
一个男孩有一个玻璃球，一个女孩有两 玻璃球最接近立柱者胜。假定男孩和女孩技 巧完全相同，测量也足够精确而不会引起纠 纷。女孩赢的概率是什么？ 因此女孩赢的概率是2/3。
C
0 mn1
C
1 mn1

C
n1 mn1
:C
0 mn1
C
0 mn1

C
m1 mn1
从这个结果可以看到前面帕西欧里曾经给出的分配 奖金问题的答案是错误的。
如果一个事件的发生不影响另外一个事 如果抛掷一枚硬币两次，第一次出现的
结果不会影响第二次的结果。如果你认为不
件发生的概率，则认为这两个事件是独立的。
2．哪一种情况更容易出现？ 在实际问题中，人们很容易作出错误的概 率计算。桥牌中的某一花色分布是很容易计算错 的一种情况。现在假设庄家手上有某一花色的七 张牌，对方的分布可能是什么样呢？ 庄家：“哦，外面有六张牌，最可能的情况 应该是3-3分布，即每位对方手里有三张牌。正 好我有三张大牌，拿到四墩牌没问题！”
以后的概率是一样的。
硬币是对称的。更进一步，如果抛掷一枚硬币十次，
1．独立性的误区 在网上有一种赌博游戏，人们用虚拟货 币作为赌资。游戏规则是：参与赌博的人将 自己的赌资选择押在单数或者双数上，而由 计算机随机产生一个数字，押对者获胜。 参与者甲：“我选择的一直是单数，结果 连续10次都是双数，输惨了，下一次押什么 数呢？” 参与者乙：“连续10次都是双数，下一次 肯定是单数，你多押点，不管怎么说，下一 次是单数的机会要大得多！”
个玻璃球。他们向竖在地上的一根立柱弹球，
观点一：女孩弹两个玻璃球，男孩只弹一个，
观点二：把女孩的玻璃球叫做A和B，把 男孩的叫做C，就有四种可能的情况：
（1）A和B都比C更接近立柱；
（2）仅A球比C球接近立柱；
（3）仅B球比C球接近立柱；
（4）C球比A和B都接近立柱。
这四种情况中三种都是女孩赢，所以
如果事件A的结果影响到事件B，那 么就说B是“依赖”于A的。 例如，你在明天穿雨衣的概率依赖 于明天是否下雨的概率。
在日常生活中说的“彼此没有关系” 的事件称为“独立”事件。 例如，你明天穿雨衣的概率是和美 国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。