第三章 数学悖论 概率论悖论
数学悖论PPT
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讨论
• 不足：生活中难以发现悖论 文献资料不足 在一些问题上面考虑的不够深刻 • 努力方向：上网查询，作报告，去图书馆 查找相关文献 询问相关研究人系列推理看起来好像无懈可击， 可是却导致逻辑上自相矛盾。
有些话，既是对的，又是错的； 有些事，既不是真的，也不是假的。
谢谢大家！
研究步骤
• 第一准备开题阶段：制定计划，撰写开题 报告。负责人：杨健 • 第二调查研究阶段：通过制作悖论图，文 献研究，网络收集资料等方法实施课题研 究。负责人：王继成 吴洋 • 第三总结报告阶段：分析资料，得出结论， 提出可行性建议；写出结题报告，做出展 板。负责人：王恒轩
例：钱包游戏：
• 史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说： “我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在 桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另 一个钱包中的所有钱。 • 学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱； 如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要 比输的多，这个游戏对我有利。” • 同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。 • 这个游戏真的对双方都有利吗？
研究数学悖论的目的意义
1)激发学生对数学的学习或研究兴趣 2)促使学生更好地了解某些重要的数学思想 3)开发丰富多彩的数学学习活动 4)帮助学生洞察数学问题(包括悖论)的解决 过程 5)提高学生对现代数学所具有的美妙、多样、 甚至幽默性质的鉴赏力.
研究内容、方法
• 研究内容：生活中的数学悖论 • 研究方法：查阅文献、上网查阅资料、制 作数学悖论图
ห้องสมุดไป่ตู้ 关键词
• 数学悖论 • 科学理论体系 • 逻辑矛盾
背景说明
• 悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常 广泛的论题，对科学发展意义不言而喻。从数学方面来看， 悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。因而研究悖论 的概念、特征以及对数学发展的影响也就非常必要。 • 数学是一门有趣的学问，严谨中包含着各种各样有趣的 规律。从几条简简单单的公理出发，就可以推理出一整套 的体系。可就是这门严密可靠的学科，却也有着像孩子一 样顽皮的一面。这其中最好的体现，就是悖论的存在。 • 早在两千多年前的古希腊，人们就发现了让人难以解释 的矛盾，用正确的方法去证明一个命题，如果认为这个命 题成立，就会发现它的否定命题也成立。相反的，如果认 为这个命题的否定命题成立，又会发现这个命题成立。这 便使人们产生里难以解释的困惑。随着时光的流逝，越来 越多这样的问题被人们发现，于是，悖论就诞生了。
数学万花筒(1) 数学悖论与数学的发展
数学万花筒(1)数学悖论与数学的发展【什么是数学悖论？】“悖论(Paradox)”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比.悖论有三种主要形式.1.一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的(佯谬).2.一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了(似是而非的理论).3.一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾.“悖论是无意义的！”“悖论没有任何作用！”这也许是某些人的看法.但是，请不要小看悖论，它直接导致了——【三次数学危机】祸起萧蔷——古希腊人是一个喜欢思考且善于思考的民族.他们一直以为，任何两条线段，一定存在一把尺子，可以整量这两个线段，称之为可“公度”.这样任何线段的长度，就都可以用有理数来表示.且当时希腊的数学均以此为基础.不料，毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯提出了这样一个问题：边长为1的正方形，其对角线的长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的“风暴”.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.时至今日，还留有当初人们的不解和无奈——称等数为无理数(没有道理的数).这一伟大发现，虽然对当时所有古希腊人的观念是一个极大的冲击.但同时，也极大地激发了他们探讨两线段长度之比含义的浓厚兴趣.古希腊人的这个发现影响至今，是人类文明史上的一个重要里程碑.它推动了人们对实数本质的认识.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这可是为当时人们的经验所确信的，完全符合常识的论断!可现在居然被小小的存在给推翻了！这应该是多么违反常识，多么不可思议的事啊！这场数学史上的风波，史称“第一次数学危机”.过了两千多年，数学家们通过建立实数理论体系，才从根本上平息了这场危机.不明就里——无穷小微积分这一数学利器，也有着艰难的发展历程.第二次数学危机源于微积分.伴随着人们科学理论与实践认识的提高，在十七世纪的几乎同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现.它一经问世，就显示出其非凡威力.许许多多疑难问题运用这一工具后就变得易如反掌.但是，不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的.两人的理论都是建立在无穷小分析之上的.但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的.因而，从微积分诞生之时，就遭到了一些人的反对与攻击.其中最猛烈的是英国大主教贝克莱.贝克莱指责牛顿：为计算x2的导数，先将x取一个不为0的增量Δx ，由(x +Δx)2–x2，得到2xΔx +(Δx)2，后再被Δx除，得到2x +Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x .而无穷小量,在牛顿的理论中一会儿说是0，一会儿又说不是0.就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0.但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾.这一问题的提出，在当时数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的爆发.后来,几代数学家不顾基础的不严格，论证的不严密，更多地依赖于直观去开创新的数学领地.然而粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面不断加剧.无穷级数S＝1－1＋1－1＋1…到底等于什么？当时人们认为一方面S＝(1－1)＋(1－1)＋ 0另一方面，S＝1＋(1－1)＋(1－1)＋ (1)这样一来，就导致了 0＝1这一矛盾等式的出现，而这一矛盾等式竟使像傅立叶这样顶尖的数学家也困惑不已.甚至连被后人称之为数学英雄的欧拉，在此也犯下难以饶恕的错误.他在得到 1 + x + x2+ x3+ …=后，令x=－1，得出S＝1－1＋1－1＋1…＝由此不难看出，当时数学界的混乱局面. 在十八世纪之前，人们对无穷级数的和不知所措.其根本原因是没有建立微积分的坚实理论基础.这次危机与第一次危机之间有着密不可分的联系.说到底，是没能弄清什么是实数.在这之后，柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，重建了微积分学基础.给出了什么是实数的合理解释.微积分学坚实、牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决.难圆其说——罗素问十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论.在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击.但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉.数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦.因而集合论成为了现代数学的基石.1903年，英国数学家罗素指出：集合论是有漏洞的！罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成.然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合.因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的.但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地.如果S属于S，根据S的定义，S 就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S.无论如何都是矛盾的.罗素对此有一个通俗的比喻.人称“理发师悖论”：某理发师声称，他给那些自己不能刮脸的人刮脸，但是，不给那些自己刮脸的人刮脸.有人问“那你自己呢？”理发师沉思良久，仍无言以对.如果他是自己刮脸，他就不应该自己刮脸；如果他自己不刮脸，他就必须自己给自己刮脸.这就陷入了深深的矛盾之中.这一悖论就象在平静的数学湖面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响，则导致了第三次数学危机.后来，数学家们引进了“选择公理”，建立了公理化集合系统，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地化解了第三次数学危机.由此不难看出，数学悖论在推动数学发展过程中的巨大作用.而这或许就是数学悖论的重要意义之所在——不断地使数学精准化化，完美化.趣味问题阿吉利斯悖论（Achilles Paradox）——人龟赛跑这是由古希腊哲人芝诺（Zenon of Eleates）提出的一个经典悖论.阿吉利斯是古希腊神话中善跑如飞的英雄.阿吉利斯悖论：如果乌龟先跑，让阿吉利斯追赶乌龟.他将永远追不上乌龟.因为无论阿基利斯跑得多快，他必须先跑完从他出发的起点到乌龟当下距离的一半，等他赶完这段路程，乌龟又往前挪动了一些，他则必须再追其间的一半，如此一来，永无止境.尽管阿基里斯会离乌龟越来越近，但他始终不可能追上前面的乌龟.比方说，阿吉利斯的速度是乌龟的10倍，龟在前面100米处，当阿吉利斯跑了100米到乌龟出发点时龟已向前走了10米，阿氏追10米，龟又走了1米，阿氏再追1米，龟又向前走了0.1米……这样永远隔一小段距离，所以总也赶不上.真的吗？说说你的看法？。
《数学的思维与智慧》3悖论与数学
何谓悖论
悖论是一种特殊的逻辑矛盾. 一般我们把以 下几种情况都称为悖论：
(1) 一种论断看起来好像肯定错了，但实际 上却是对的（佯谬）；
(2) 一种论断看起来好像肯定是对的，但实 际上却错了（似是而非）；
(3) 一系列推理过程看起来无懈可击，可是 却导致逻辑上自相矛盾.
悖论
在很多情况下悖论表现为不符合排中律的矛 盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它 的假，则可以推出它为真.
－－“戴德金分割”理论正是欧多克索斯思想的继 承和发展．
虽然欧多克索斯理论是建筑在几何量的基础之上的， 回避了把无理数作为数来处理．但欧多克索斯的这 些定义给不可公度比提供了逻辑基础．
比例论有了公理化的雏形
为了防止在处理这些量时出错，欧多克索斯 建立了以明确的公理为依据的演绎体系，从 而大大推进了几何学的发展．
3．谈谈悖论对数学发展的意义.
Zeno’s Paradox(芝诺悖论)
T
4
T 2
T
011
1
84
2
1
Zeno：T
T 2
T 4
T 8
，
这是一个没有终结的过程，因此永 远跑不到原点。
芝诺悖论
实际经验告诉我们：若等速行进，
跑一半路程化时间T，则跑完全程
应化时间2T，即有
T T T T 2T . 248
欧多克索斯的比例论
设有A，B，C，D四个量，如果满足 （1）由mA＞nB，可以推出mC＞nD； （2）由mA=nB，可以推出mC=nD； （3）由mA＜nB，可以推出 mC＜nD．
就说两个比A/B与C/D相等，或者说四 个量可构成比例式A/B=C/D．
比例论避开了量是否可公度的问题
关于数学悖论的探讨
关于数学悖论的探讨摘要：中西方哲学界和数学界对悖论问题的研究已经持续了长达几十年，这个问题牵涉到逻辑和哲学。
具体说来,它还同多种数理逻辑上的实际问题有关。
因此,，对于悖论的研究不仅有着哲学上的意义，对于数学逻辑的养成以及解决实际问题上也有着深远的意义。
许多悖论到如今依旧没有在这篇论文中我希望通过阐述几个世界上较为知名的悖论，并且通过自己的分析得出结论来谈一谈我对悖论的理解。
关键字：悖论罗素悖论说谎者悖论芝诺悖论逻辑正文：一．悖论的基本概念悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。
悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确。
悖论的成因极为复杂且深刻，但深入研究有助于数学、逻辑学、语义学、形而上学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。
其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托尔悖论等等。
悖论，亦称为吊诡、诡局或佯谬，是指一种导致矛盾的命题。
在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。
二．悖论的主要形式悖论的主要形式有以下三种。
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
三．悖论的分类悖论可大致分为三类：逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论。
时间悖论通常是指因时间旅行或穿梭时空而导致的逻辑上可以推导出互相矛盾的结论，同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。
逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言的，如果在一个公理系统中既可以证明公式A又可以证明A的否定元A',则我们说在这个公理系统中含有一个悖论，因为这时A和A'在系统中是可证等价的。
统计悖论可追溯到18世纪，它是一个非传递关系的典型，这种关系是在人们作两两对比选择时可能产生的。
人们也许已经很熟悉传递关系的概念。
高二数学必修3第三章概率知识点归纳
高二数学必修3第三章概率知识点归纳聪明出于勤劳，天赋在于积聚。
小编预备了高二数学必修3第三章概率知识点，希望能协助到大家。
一.随机事情的概率及概率的意义1、基本概念：(1)肯定事情：在条件S下，一定会发作的事情，叫相关于条件S的肯定事情; (2)不能够事情：在条件S下，一定不会发作的事情，叫相关于条件S的不能够事情; (3)确定事情：肯定事情和不能够事情统称为相关于条件S确实定事情;(4)随机事情：在条件S下能够发作也能够不发作的事情，叫相关于条件S的随机事情;(5)频数与频率：在相反的条件S下重复n次实验，观察某一事情A能否出现，称n次实验中事情A出现的次数nA为事情A出现的频数;称事情A出现的比例fn(A)=nnA为事情A出现的概率：关于给定的随机事情A，假设随着试验次数的添加，事情A发作的频率fn(A)动摇在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事情A的概率。
(6)频率与概率的区别与联络：随机事情的频率，指此事情发作的次数nA与实验总次数n的比值nnA，它具有一定的动摇性，总在某个常数左近摆动，且随着实验次数的不时增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事情的概率，概率从数量上反映了随机事情发作的能够性的大小。
频率在少量重复实验的前提下可以近似地作为这个事情的概率二.概率的基本性质1、基本概念：Page 8 of 8(1)事情的包括、并事情、交事情、相等事情(2)假定AB为不能够事情，即AB=ф，那么称事情A与事情B互斥;(3)假定AB为不能够事情，AB为肯定事情，那么称事情A与事情B互为统一事情;(4)当事情A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B);假定事情A与B为统一事情，那么AB为肯定事情，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B) 2、概率的基本性质：1)肯定事情概率为1，不能够事情概率为0，因此01; 2)当事情A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B);3)假定事情A与B为统一事情，那么AB为肯定事情，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=14)互斥事情与统一事情的区别与联络，互斥事情是指事情A 与事情B在一次实验中不会同时发作，其详细包括三种不同的情形：(1)事情A发作且事情B不发作; (2)事情A不发作且事情B发作;(3)事情A与事情B同时不发作，而统一事情是指事情A 与事情B有且仅有一个发作，其包括两种情形;(1)事情A发作B不发作;(2)事情B发作事情A不发作，统一事情互斥事情的特殊情形。
第36课概率悖论 误区解密+概率统计+命题探秘第二版一题一课
课堂笔记尸
、典型考题‘
(2009 年高考福建卷文科第 14 题）点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上 随机取一点 B，则劣弧AB 的长度小于 1的概率为
李探市溯源 ‘
在普通高中课程标准实验教科书《数学 ・ 必修 3)（) 江苏教育出版社 2006 年 6 月第 4 版）第三章习题 2. 3 第 6 题（第 104 页）后有这样一段文字：
卜长～小JJ于~A~C-4的f长r ，--从-而---A'~M~的-长 --小--于--'A~C~的--长--的--概--率-为 --粤-2．'~据~此J可'""编"题~~1 题 1 （普通高中课程标准实验教科书《数学 ・ 必修 3（) 江苏教育出版社 2006 年 6 月
第 4 版）第 102 页例 3）在等腰 RtAABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM<AC 的 概率．
嵘趾
． 第 36 课 概率悖论 误区解密
假设弦长是等可能分布的． 这是各种不同的等可能假定，是不能够互相转化的．比如，当认为弦由端点决定，假
设端点在圆上等可能分布时，必然使得另外几种情况的等可能性假设失效．当作不同的 假定后，计算的结果也就不同了．所以这几种方法实际上都做到了真正的等可能取弦．
贝特朗悖论确实不奇，这并不是指它应该有唯一的答案，而是指它其实是一道开放 性的，条件并不充分的题目，当把题目补充完整后，答案就唯一了，这个不充分的条件正 是关于弦的等可能性分布的假定．只是有的人对任意作弦的方式有个人偏好，因此倾向 于某种等可能性假设，而偏向于某种解法．实际上这种假定还不限于前面所提及的 5 种， 所以贝特朗问题的答案非但不唯一，甚至是有无数个解．当然，当等可能性条件补充完整 后，贝特朗问题的解就唯一了．
数学悖论 - 讲解数学悖论并探讨其中的数学思想
06
如何面对与防范数 学悖论对生活的影
响
Part One
单击添加章节标题
Part Two
数学悖论的定义与 分类
悖论的定义与特征
添加 标题
悖论的定义：数学悖论是指数学中存在一些与直觉或常识相矛盾的结论或推理，使得人们对数学的基本概念、 定理或公理产生怀疑或困惑。
添加 标题
悖论的特征：数学悖论通常具有与常识或直觉相矛盾的特性，常常涉及到一些看似简单但实际上深奥的概念 或问题，如无穷大、无穷小、集合论等。
解决方法：寻找新的数学 工具或方法
思考：深入探讨数学悖论 的本质和影响
扩展数学理论体系
引入新的数学概念 和工具，以解决数 学悖论问题
建立新的数学理论 体系，以更好地解 释和解决数学悖论
探索新的数学思想 和原理，以更好地 理解和解决数学悖 论
借鉴其他学科的理 论和方法，以扩展 数学理论体系并解 决数学悖论
无穷大与无穷小： 数学悖论中的无穷 大和无穷小，揭示 了数学中一些看似 简单却深奥的数学 思想。
无限循环：无限循 环是数学悖论中的 一种常见现象，它 引发了许多关于数 学基础和数学推理 的问题。
无限与数学证明： 数学证明中的无限 过程，常常引发数 学悖论，需要深入 探讨和思考。
自指与数学悖论
数学悖论中的自指 概念：指的是一个 数学陈述或系统在 自我描述或引用时 产生的矛盾或不一 致性。
防范数学悖论在决策中的应用
了解数学悖论的概念和影响
掌握防范数学悖论的方法和技巧
添加标题
添加标题
识别常见的数学悖论类型
添加标题
添加标题
在决策中应用防范数学悖论的实践 案例
倡导科学精神与批判性思维
面对数学悖论， 应保持理性思 考，不盲目接 受表面现象。
数学悖论
悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。
数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。
按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
目录历史定义数学悖论第一次数学危机起因经过影响第二次数学危机起因经过影响第三次数学危机起因经过影响悖论一览理发师悖论说谎者悖论跟无限相关的悖论预料不到的考试的悖论电梯悖论硬币悖论谷堆悖论宝塔悖论鸡与蛋问题展开历史定义数学悖论第一次数学危机起因经过影响第二次数学危机起因经过影响第三次数学危机起因经过影响悖论一览理发师悖论说谎者悖论跟无限相关的悖论预料不到的考试的悖论电梯悖论硬币悖论谷堆悖论宝塔悖论鸡与蛋问题展开“……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。
” ——N·布尔巴基编辑本段历史悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。
“悖数学悖论图论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。
在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。
公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”。
在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者悖论”。
埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍余波未息。
在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辩证的思想内容。
在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。
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n
由于在一次试验中随机现象的规律性不容易确定，因
此我们通过重复试验来探求。
A 为若事n件在次试在验n 中次，试事验件中出A发现生的了频率次。，由则于称频F率n(的A) 大n小
如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷 入了所谓“赌徒的谬误”之中。在掷骰子时，每 掷一次都与以前掷出的点数完全无关。
如果事件A的结果影响到事件B，那么 就说B是“依赖”于A的。
例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于 明天是否下雨的概率。
在日常生活中说的“彼此没有关系” 的事件称为“独立”事件。
例如，你明天穿雨衣的概率是和美国 总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。
3.抽签的公平性
抽签是人们经常使用的一种方法，尤其在现代 体育比赛中得到广泛应用。在足球比赛中，每个 小组里面球队的确定往往使用抽签的办法，其它 球类比赛也往往如此。如果没有人为的故意，大 家都相信抽签的公平性，是这样吗？
我们来看一个简单的抽签模型。假如学校给某 个班级10张电影票，而这个班级有40人，大家 都想得到一张电影票。于是班长就将40张纸条上 分别写上1-40的数字，规定抽到1-10号数字的 同学获得电影票。由于要有先后抽签的顺序，自 然就产生一个问题：先抽与后抽的机会一样吗？
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帕斯卡与费马在往来的信函中讨论“合理分配 赌注问题”，后来荷兰物理学家惠更斯也参与进来。 该问题可以简化为：甲、乙两人进行某种比赛，先 赢三场赢取全部赌注。假定在甲赢两场、乙赢一场 时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌 注才算公平合理。他们两人用不同的方法得到相同 的结果。经过他们共同研究，这个问题的通解是： 如果甲需要再赢m次才能获胜，乙需要再赢n次才 能获胜，则甲乙分钱之比为
2．哪一种情况更容易出现？
在实际问题中，人们很容易作出错误的概率 计算。桥牌中的某一花色分布是很容易计算错的 一种情况。现在假设庄家手上有某一花色的七张 牌，对方的分布可能是什么样呢？
庄家：“哦，外面有六张牌，最可能的情况应 该是3-3分布，问题！”
（1）第一次世界大战期间，前线的战士 要找新的弹坑藏身。他们确信老的弹坑 比较危险，因为他们相信新炮弹命中老 弹坑的可能性较大。因为，看起来不可 能两个炮弹一个接一个都落在同一点， 这样他们就合理地认为新弹坑在一段时 间内将会安全一些。
（2）有一个故事讲的是多年前有一个人坐飞 机旅行。他担心哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸 弹，于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸 了火药的炸弹。他知道一架飞机上不太可能有某个 旅客带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时 有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。事实，他自 己带的炸弹不会影响其他旅客携带炸弹的概率，这 种想法无非是以为一个硬币扔出的正反面会影响另 一个硬币的正反面的另一种形式而已。
如果一个家庭有四个孩子，他们的性别会是什 么样呢？同上面一样，很多人会认为有两个男孩和 两个女孩的可能性最大，实际上三个男孩一个女孩 或者三个女孩一个男孩的可能性更大一些。
我们可以用抛掷硬币来说明上面的情况。如果 抛掷四枚硬币，假设每枚硬币出现正面和反面的可 能性相同，下面十六种结果出现的可能性是一样的： 正正正正，正正正反，正正反正，正正反反，正反 正正，正反正反，正反反正，正反反反，反正正正， 反正正反，反正反正，反正反反，反反正正，反反 正反，反反反正，反反反反。在这十六种情况中， 两次正面两次反面的情形只有6种，而三反一正和 三正一反的情形有八种。
庄家为了哄你，让你以为这个赌博是公平 的，比如看到上面是一个小圈，就说你的卡 片不可能是黑点—黑点卡。因此，它要么是 小圈—小圈卡，要么是黑点—小圈卡。下面 的不是黑点，便是小圈，所以你和他赢的机 会相等。
要是这个游戏是公平的，庄家怎么会这样 快就赚了你的钱呢？
一个男孩有一个玻璃球，一个女孩有两个 玻璃球。他们向竖在地上的一根立柱弹球， 玻璃球最接近立柱者胜。假定男孩和女孩技 巧完全相同，测量也足够精确而不会引起纠 纷。女孩赢的概率是什么？ 观点一：女孩弹两个玻璃球，男孩只弹一个， 因此女孩赢的概率是2/3。
按三个球接近立柱的次序，使最近者在前，
列表如下：
ABC ACB
BAC
BCA CAB
CBA
在六种情况中有四次是女孩赢。这就证
明了第一种观点对，女孩赢的机会是4/6＝
2/3。
5．女朋友的烦恼
人们在排队等候进行某种事情时总会有这样的 感觉：自己所排的队伍总是比较慢，自己很少排在 行进最快的队伍中。银行的服务窗口开展多种服务， 每一种服务所需要的时间不一样，而且即使同样的 业务不同的人需要的时间也可能不一样，这样导致 人们等待时间不同。去银行办理业务的人往往困惑
P( A) p 。
在1487年，帕西欧里（Paccioli）曾经考虑过 下面的分配奖金问题：甲乙两人比赛，奖金64元， 先赢60次的人获得全部奖金。当甲赢50次、乙赢 30次时，由于某种原因，比赛不得不终止，问甲 乙如何分此64元才公平。帕西欧里的答案是甲得
64 5 元40，乙得
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6元4，3 公 2平4 吗？
为了说明问题，我们可以假定一个人抛掷硬 币，前面三次都是国徽向上。这时再扔第四次，国 徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半， 硬币对于它过去的结果是不会有记忆的，因此也不
会为出现哪一面提供帮助。
很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转 过很多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就 可以赢了。事情将是这样进行的吗？ 埃德加·阿 兰·坡坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出 五次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于 1/6了。他说得对不对呢？
第三章 概率论悖论
本章教学目的： （1）了解概率在实际生活的重要性； （2）说明直觉会得出错误的结论，而正确
的解答往往与常识矛盾； （3）用较为直观的方法深入体察问题的结构； （4）引导学生深入到概率论较深奥的内容中
去。
在社会实践和科学实验中，人类观察到的现象 大体上可以分为两种类型。
一类是事前可以预知结果的，就是某些确定的 条件满足时，某一确定的现象必然会发生（出现）， 或者根据它过去的状态，完全可以预知它将来的发 展状态，我们称这一类现象为确定性现象或必然现 象。例如在标准大气压下，水在100℃时肯定会沸 腾；两个异性的电荷一定相互吸引；冬天过去春天
C0 mn1
C1 mn1
L
C n1 mn1
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C0 mn1
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L
C m1 mn1
从这个结果可以看到前面帕西欧里曾经给出的分配
奖金问题的答案是错误的。
如果一个事件的发生不影响另外一个事 件发生的概率，则认为这两个事件是独立的。
如果抛掷一枚硬币两次，第一次出现的 结果不会影响第二次的结果。如果你认为不 是这样，可以这样来考虑：硬币是没有记忆 的，它不会记下第一次的结果而影响第二次 的结果，反过来也是。
取出箱中的一枚钱币看一看，怎么就改变 了箱中装两枚同样钱币的概率呢？显然这是 不可能的。当我们看到一枚金币时，其实有 两种可能：这一枚金币或者另外一枚金币。 并非仅有一种可能。这和前面抽签问题一样， 使用全概率公式很容易算出问题的概率不会 发生变化。在伯特纳德以后，一位德国数学 家将这个悖论写进一本书中，于1889年发表。
观点二：把女孩的玻璃球叫做A和B，把 男孩的叫做C，就有四种可能的情况：
（1）A和B都比C更接近立柱； （2）仅A球比C球接近立柱； （3）仅B球比C球接近立柱； （4）C球比A和B都接近立柱。 这四种情况中三种都是女孩赢，所以 女孩赢的概率是3/4。
为了解决这个问题，我们列出全部可能的
情况，它是六种而不是四种。
事实真是这样吗？如果外面有偶数张牌， 许多庄家就会认为是平均分布，但是这种看 法不准确。只有外面是两张牌时，1-1分布 才比2-0分布略高一丁点，这时1-1分布是 52%，2-0分布是48%。当外面有4张牌时， 3-1分布是49.7%，2-2分布是40.7%。当外 面有6张牌时，3-3分布是35.5%，4-2分布 是48.5%。当外面有8张牌时，差距更大，53分布是47.1%，4-4分布是32.7%。
肯定会到来，等等。
另一类现象是在一定条件下，并不总是出现相 同结果的现象，我们称为随机现象。
对于随机现象，事前不能预知结果，就是某些 确定的条件满足时，究竟会发生（出现）什么结果 也是不能确定的。或者根据它过去的状态，不能肯 定它将来的发展状态。换句话说，即使在相同的条 件下重复进行试验，每次所得到的结果未必相同。
表示事件发生的频繁程度，频率越大，事件发生的越频繁，
就意味着事件在一次试验中发生的可能性越大。因此频率
在一定程度上表示了事件在一次试验中发生的可能性大小。
设在 其频率
次试n验中，事件
n
发生 A 次，当
很大n时，如果
稳定的在某一数值 p附近摆动，且随 n 的增加，摆动
幅度越来越小，则称 p为事件 A的概率，记为
数学家达朗贝尔（D′Alembert，1717— 1783）曾经考虑过下面的问题：抛掷一枚硬 币两次，问至少出现一次正面的概率是多少？ 我们知道这个概率概率是3/4。达朗贝尔认 为，如果抛掷第一次出现正面，就不必抛掷 第二次。如果第一次出现反面，第二次的抛 掷结果有两种情况，因此一共有三种情况出 现，于是问题的答案应该是2/3。达朗贝尔 的错误在于把上面每一个事件的概率都看成
相同的，这样才会得到他的结果。
在很多赌博游戏中，如果相信对概率认识 的直觉将会吃亏。下面是一个用三张卡片和 一顶帽子做工具的赌博例子，可以证明这一 点。
卡片由下面三张形式的卡片组成。第一张 卡片两面都是圆圈。中间那张卡片，一面是 黑点，一面是小圈。最后一张则两面都是黑 点。