十年数学高考试题答案解析
2003年高考数学试题（新课程卷、江苏卷、辽宁卷）
新课程卷·理工农医类
●试题部分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
2
)
3(31i i
+-等于（ ） A.
i 4341+
B.i 4341--
C.i 2
321+
D.i 2
321--
2.已知x ∈（－
2
π，0），cos x =
5
4
，则tan2x 等于（ ） A.
24
7 B.－
247
C.
7
24 D.－
7
24 3.设函数f （x ）=???
??>≤--.
0 ,,0,1221x x x x 若f （x 0）>1，则x 0的取值范围是（ ）
A.（－1，1）
B.（－1，+∞）
C.（－∞，－2）∪（0，+∞）
D.（－∞，－1）∪（1，+∞）
4.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
λ+=OA OP (
+
，λ∈［0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
5.函数y =ln
1
1
-+x x ，x ∈（1，+∞）的反函数为（ ） A.y =11+-x x e e ，x ∈（0，+∞）
B.y =1
1-+x x e e ，x ∈（0，+∞）
C.y =1
1+-x x e e ，x （－∞，0）
D.y =1
1-+x x e e ，x ∈（－∞，0）
6.棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A.3
3a
B.4
3a
C.6
3a
D.12
3a 7.设a >0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，
4
π
］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为（ ）
A.［0，
a
1
］ B.［0，
a
21
］ C.［0，|
a
b
2|］ D.［0，|
a
b 21
-|］ 8.已知方程（x 2－2x +m ）（x 2－2x +n ）=0的四个根组成一个首项为4
1
的等差数列，则 |m －n |等于（ ）
A.1
B.
4
3
C.
2
1
D.
8
3 9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线y =x －1与其相交于M 、N 两
点，MN 中点的横坐标为－
3
2
，则此双曲线的方程是（ ） A.1432
2=-y x
B.1342
2=-y x C.12
52
2=-y x
D.15
22
2=-y x 10.已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从
AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1 A.（ 3 1 ，1） B.（ 3 2 ,31） C.（ 2 1 ,52） D.（ 3 2,52） 11.)C C C C (C C C C lim 11413122 242322n n n ++++++++∞→ΛΛ等于（ ） A.3 B. 3 1 C. 6 1 D.6 12.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A.3π B.4π C.3 3π D.6π 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.（x 2－ x 21）9 展开式中x 9的系数是_____. 14.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_____、_____、_____辆. 15.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种.（以数字作答） 16.下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是_____.（写出所有符合要求的图形序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数f （x ）=2sin x ·（sin x +cos x ）. （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和最大值； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y =f （x ）在区间［－ 2, 2π π］上的图象. 18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G . （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19.（本小题满分12分）设a >0，求函数f （x ）= x －ln （x +a ） （x ∈（0，+∞））的单调区间. 20.（本小题满分12分）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η. （Ⅰ）求ξ、η的概率分布； （Ⅱ）求E ξ，E η. 21.（本小题满分12分）已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ），以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P .其中λ∈R .试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE |+|PF |为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由. 22.（本小题满分14分）设a 0为常数，且a n =3n － 1－2a n －1（n ∈N +）. （Ⅰ）证明对任意n ≥1，a n = 5 1［3n +（－1）n － 1·2n ］+（－1）n ·2n a 0； （Ⅱ）假设对任意n ≥1有a n >a n －1，求a 0的取值范围. ●答案解析 1.答案：B 解析： )60sin 60(cos 2) 60sin 60(cos 2)30sin 30(cos 2)60sin 60(cos 2) 3(31222 ?+??-?=?+??-?=+-i i i i i i .4 3 41)2321(21)]120sin()120[cos(21i i i --=--=?-+?-=. 2.答案：D 解法一：∵x ∈（－ 2 π ，0），cos x = 54，∴sin x =－53，tan x =－4 3 ，∴tan2x = 7 24 tan 1tan 22-=-x x . 解法二：在单位圆中，用余弦线作出cos x =54，x ∈（－2 π ，0），判断出2x ∈Ⅳ且tan2x =A T<－1. 3.答案：D 解法一：因为f （x 0）>1，当x ≤0时，，∴x 0<－1，当x 0>0时， 2 1 0x >1， ∴x 0>1.综上，所以x 0的取值范围为（－∞，－1）∪（1，+∞）. 解法二：首先画出函数y =f （x ）与y =1的图象.由图中易得f （x ）>1时，所对应的x 的取值范围. 4.答案：B 解析:设 B A AB AB '=||为AB 上的单位向量,C A AC AC '=||为AC 上的单位向量,则 | |||AC AC AB AB +的方向为∠BAC 的角平分线AD 的方向. 又λ∈［0，+∞］，∴λ（ ||||AC AC AB AB +）的方向与| |||AC AC AB AB +的方向相同. 而)| |||(AC AC AB AB OA OP ++=λ，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 5.答案：B 解法一：y =ln 11,11-+-+x x x x =l y ，∴x =11-+y y l l ，又12 112111-+=-+-=-+x x x x x 而x >1， ∴11-+x x >1，∴ln 11-+x x >0，因此y =ln 11 -+x x 的反函数为y =1 1-+x x l l （x >0） 解法二：因原函数的定义为（1，+∞），而y =11 21121|1<+-=+-+=+-x x x x x l l l l l .因此 排除A 、C ，又原函数的值域为（0，+∞），排除D. 6.答案：C 解析：如图，此八面体可以分割为两个正四棱锥， 而AB 2=（ 2a ）2+（2 a ）2=21a 2 ，∴V 八面体=32612131a a a =??. 7.答案：B 解析：f （x ）的导数为f ′（x ）=2ax +b ，由已知y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0， 4 π ］.因此有0≤2ax 0+b ≤1.而P 到曲线y =f （x ）的对称轴的距离 为a b ax a b ax a b x 2|2||22||2|000 +=+=+ . 8.答案：C 解析：设a 1=41，a 2=41+d ，a 3=41+2d ，a 4=4 1 +3d ，而方程x 2－2x +m =0中的两根之和 为2，x 2－2x +n =0中的两根之和也是2.∴a 1+a 2+a 3+a 4=1+6d =4，∴d = 21，∴a 1=41，a 4=4 7是一个方程的两个根，a 2= 43，a 3=45是一个方程的两个根，∴ 1615,167为m 或n .∴|m －n |=2 1. 9.答案：D 解法一：设所求双曲线方程为172 2 22 =--a y a x 由?? ???-==--1 172 2 22x y a y a x 得17)1(2 2 22=---a x a x ，（7－a 2）x 2－a 2（x －1）2=a 2（7－a 2） 整理得：（7－2a 2）x 2+2a 2x －8a 2+a 4=0.又 MN 中点横坐标为－3 2 ， ∴x 0=32)7(2222 221-=--=+a a x x 即3a 2=2（7－2a 2），∴a 2=2. 故所求双曲线方程为15 22 2=-y x . 解法二：因所求双曲线与直线y =x －1的交点的中点横坐标为－ 3 2 <0，故双曲线的渐近线的斜率（k >0）时，为k >1，因此，排除B 、C.经检验?? ???-==- 115 22 2x y y x 的交点的中点横坐标为－ 3 2. 解法三：由已知MN 中点横坐标x 0=－ 32 ，可得中点纵坐标y 0=x 0－1=－3 5，设MN 与双曲线交点分别为M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则有22 122 1b y a x -=1 ①，22 222 2b y a x -=1 ② 则②－①得： 0) )(())((2 211221212=+--+-b y y y y a x x x x ， ∴2 21122 2112))(())((b y y y y a x x x x +-=+-， ∴2 5))(())((2112211222=+-+-=x x x x y y y y a b . 10.答案：C 解析：设P 1B =x ，∠P 1P 0B =θ，则CP 1=1－x ，∠P 1P 2C 、∠P 3P 2D 、∠AP 4P 3均为θ，所以tan θ= B P B P 01=x ，又tan θ=2 21 1CP x CP CP -==x ， ∴CP 2=x x x 1 1=-－1，而tan θ=x x DP x DP D P D P =- =--=13)11(23 323， ∴DP 3=x （3－ x 1 ）=3x －1，又tan θ=4 44332)13(1AP x AP x AP AP -=--==x ， ∴AP 4= x x x 232=-－3，依题设1 2 －3<2， ∴4< x 2<5，51241>>x ，∴5 221>>x . 11.答案：B 解析：∵m n m n m n 1 1332 2C C C ,1C C +-=+== ∴2 24342242333224232 2 C C C C C C C C C C C n n n +++=++++=++++ΛΛΛ 31 C +=n ，1C C C C C C 2 1115141312-=++++++n n Λ 3 1]12 )1([123) 1()1(lim )1C (C lim )C C C (C C C lim 2131 113122 2322=-+??-+=-=++++++∞→++∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n ΛΛ 12.答案：A 解法一：,3 632,26=== AD AO AD 33 2 22= -=AO SA SO . ∴R 2=3 2 )332( 2+-R ，∴R = 23. ∴球的表面积为3π. 解法二：构造棱长为1的正方体，则C 1A 1BD 为棱长为 2的 正四面体，正方体的外接球体也为正四面体的外接球.此时球的直径为 3，因此球的表面积为4π（ 2 3）2 =3π. 13.答案：－ 2 21 解析：（x 2－ x 21）9的展开式中，T r +1=r 9C ·（x 2）9－ r （－x 21）r =（－2 1）r r r r x x --2189C ， r r r x 3189C )21(-?-=由题意得18－3r =9，∴r =3，因此x 9的系数为（－21）3·12378981C 39????-= 2 21- =. 14.答案：6 30 10 解析：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为 200 1 920046=，而三种型号的轿车有显著区别.根据分层抽样分为三层按 200 1 比例抽样分别有6、30、10辆. 15.答案：120 解法一：先排1区，有4种方法，把其余四个区视为一个圆环（如图1），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如图2的五个空格，在五个空格中放3种不同元素，且①相同元素不能相邻.②两端元素不能相同.共有15种不同方法.然后再把图2粘成圆形即可.下面解决两端元素相同的情况.在这种情况下我们在六个空格如图 3.要求①相同元素不能相邻.②两端元素必须相同，共有15种不同方法.然后再把图3粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可.综上，共有4（15+15）=120种方法. 图2 图3 16.答案：①④⑤ 解析：①、④易判断，⑤中△PMN 是正三角形且AM =AP =AN ，因此，三棱锥A —PMN 是正三棱锥.所以图⑤中l ⊥平面MNP ，由此法，还可否定③.∵AM ≠AP ≠AN .也易否定②. 图1 17.解：（Ⅰ）f （x ）=2sin 2x +2sin x cos x =1－cos2x +sin2x =1+ 2（sin2x cos 4 π －cos2x sin 4 π） =1+ 2sin （2x － 4 π）， 所以函数f （x ）的最小正周期为π，最大值为1+2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 x 8 3π - 8 π- 8 π 83π 8 5π y 1 21- 1 21+ 1 故函数y =f （x ）在区间［－ 2 π， 2 π］上的图象是 18.解法一：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ， ∵D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，又DC ⊥平面ABC ， ∴CDEF 为矩形. 连结DF ，G 是△ADB 的重心， ∴G ∈DF .在直角三角形EFD 中，EF 2=FG ·FD = 3 1FD 2， ∵EF =1，∴FD = 3. 于是ED = 2，EG = 36 3 21=?. ∵FC =ED = 2，∴AB =22，A 1B =23，EB =3. ∴sin EBG = 32 3 136=?=EB EG . ∴A 1B 与平面ABD 所成的角是arcsin 3 2. （Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D ADE A V V 1 1--=. ∵ED ⊥AB ，ED ⊥EF ，又EF ∩AB =F ，∴ED ⊥平面A 1AB ， 设A 1到平面AED 的距离为h ，则S △AED ·h =AE A S 1?·E D. 又2 621,2412111 1=?==?== ???ED AE S AB A A S S AED AB A AE A . ∴36 22 6 22=?= h . 即A 1到平面AED 的距离为 3 6 2. 解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O .设CA =2a ， 则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1）， A 1（2a ，0，2），E （a ，a ，1），G （ 3 1 ,32,32a a ）. ∴BD a a GE ),3 2 ,3,3( ==（0，－2a ，1）. ∴03 2 322=+-=?a BD GE ， 解得a =1. ∴)3 1 ,34,32(),2,2,2(1 -=-=BG BA . ∴cos A 1BG =37213 132314 ||||11=?=BG BA . A 1 B 与平面ABD 所成角是arccos 3 7. （Ⅱ）由（Ⅰ）有A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，1，1），D （0，0，1）. ED AE ?=（－1，1，1）·（－1，－1，0）=0， ED AA ?1=（0，0，2） ·（－1，－1，0）=0， ∴ED ⊥平面AA 1E ，又ED ?平面AED ， ∴平面AED ⊥平面AA 1E ， 又面AED ∩面AA 1E =AE .∴点A 1在平面AED 的射影K 在AE 上. 设=λAE ，则A A A 111+==（－λ，λ，λ－2）. 由K A 1·AE =0，即λ+λ+λ－2=0，解得λ= 3 2. ∴)34,32,32(1--=K A . ∴3 62||1=A . 故A 1到平面AED 的距离为 3 6 2. 19.解：f ′（x ）= a x x +- 1 21（x >0）. 当a >0，x >0时，f ′（x ）>0?x 2+（2a －4）x +a 2>0， f ′（x ）<0?x 2+（2a －4）x +a 2<0. （i ）当a >1时，对所有x >0，有x 2+（2a －4）x +a 2>0， 即f ′（x ）>0，此时f （x ）在（0，+∞）内单调递增. （ii ）当a =1时，对x ≠1，有x 2+（2a －4）x +a 2>0， 即f ′（x ）>0，此时f （x ）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增. 又知函数f （x ）在x =1处连续，因此，函数f （x ）在（0，+∞）内单调递增. （iii ）当00，即x 2+（2a －4）x +a 2>0， 解得x <2－a －2 a -1，或x >2－a +2a -1. 因此，函数f （x ）在区间（0，2－a －2 a -1）内单调递增，在区间（2－a +2a -1， +∞）内也单调递增. 令f ′（x ）<0，即x 2+（2a －4）x +a 2<0， 解得2－a －2 a -1 因此，函数f （x ）在区间（2－a －2 a -1，2－a +2a -1）内单调递减. 20.解：（Ⅰ）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0. P （ξ=3）= 75 8 525232=??， P （ξ=2）= 7528525332525231535232=??+??+??， P （ξ=1）= 52525331535231535332=??+??+??， P （ξ=0）= 25 3535331=??； 根据题意知ξ+η=3，所以 P （η=0）=P （ξ=3）= 758 ，P （η=1）=P （ξ=2）=75 28， P （η=2）=P （ξ=1）= 52，P （η=3）=P （ξ=0）=25 3. （Ⅱ）E ξ=15 222530521752827583=?+?+?+? ； 因为ξ+η=3，所以E η=3－E ξ= 15 23 . 21.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程.据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值. ∵i =（1，0），c =（0，a ），∴c +λi =（λ，a ），i －2λc =（1，－2λa ）. 因此，直线OP 和AP 的方程分别为λy =ax 和y －a =－2λax . 消去参数λ，得点P （x ，y ）的坐标满足方程y （y －a ）=－2a 2x 2， 整理得1)2 ()2(812 2 2 =-+a a y x ① 因为a ＞0，所以得： （i ）当a = 2 2 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ii ）当0＜a ＜ 22时，方程①表示椭圆，焦点E （2 ,21212a a -）和F （－?21 2 ,212a a -）为合乎题意的两个定点； （iii ）当a ＞ 22时，方程①也表示椭圆，焦点E ))2 1(21,0(2 -+a a 和F （0，21（a － 2 12- a ））为合乎题意的两个定点. 22.（Ⅰ）证法一：（i ）当n =1时，由已知a 1=1－2a 0.等式成立； （ii ）假设当n =k （k ≥1）等式成立，即a k = 5 1［3k +（－1）k － 12k ］+（－1）k 2k a 0， 那么a k +1=3k －2a k =3k － 52［3k +（－1）k － 1·2k ］－（－1）k 2k +1a 0=5 1［3k +1+（－1）k 2k +1］+（－1）k +12k +1a 0， 也就是说，当n =k +1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N +成立. 证法二：如果设a n －a 3n =－2（a n －1－a 3n － 1）， 用a n =3n －1 －2a n －1代入，可解出a =5 1. 所以{a n －53n }是公比为－2，首项为a 1－53 的等比数列， ∴a n －53n =（1－2a 0－53）（－2）n － 1（n ∈N +）， 即a n =5 2)1(31n n n --++（－1）n 2n a 0. （Ⅱ）解法一：由a n 通项公式 a n －a n －1=5 23)1(32111---?-+?n n n +（－1）n 3×2n － 1a 0， ∴a n >a n －1（n ∈N +）等价于（－1）n － 1（5a 0－1）<（ 2 3）n －2 （n ∈N +）. ① （i ）当n =2k －1，k =1，2，…时，①式即为（－1）2k － 2（5a 0－1）<（ 2 3）2k －3， 即为a 0< 51（23）2k －3+5 1. ② ②式对k =1，2，…都成立，有a 0< 51×（2 3）－1+51=31 . （ii ）当n =2k ，k =1，2，…时，①式即为（－1）2k － 1（5a 0－1）<（ 2 3）2k －2 ， 即为a 0>－ 51×（2 3）2k － 2+51. ③ ③式对k =1，2，…都成立，有 a 0>－ 51×（2 3）2×1－2+51=0. 综上，①式对任意n ∈N +成立，有0 3 1 . 故a 0的取值范围为（0， 3 1）. 解法二：如果a n >a n －1（n ∈N +）成立，特别取n =1，2有a 1－a 0=1－3a 0>0， a 2－a 1=6a 0>0，因此0 1 . 下面证明当0 3 1 时，对任意n ∈N +，有a n －a n －1>0. 由a n 通项公式5（a n －a n －1）=2×3n － 1+（－1）n － 13×2n － 1+（－1）n 5×3×2n － 1a 0. （i ）当n =2k －1，k =1，2，…时， 5（a n －a n －1）=2×3n －1+3×2n －1－5×3×2n －1a 0>2×2n －1+3×2n －1－5×2n － 1=0. （ii ）当n =2k ，k =1，2，…时， 5（a n －a n －1）=2×3n －1－3×2n －1+5×3×2n －1a 0>2×3n －1－3×2n － 1≥0. 故a 0的取值范围为（0， 3 1）. 新课程卷·文史类 （与理工农医类不同的部分） ●试题部分 1.不等式 24x x A.（0，2） B.（2，+∞） C.（2，4] D.（－∞，0）∪（2，+∞） 2.抛物线y =ax 2的准线方程是y =2，则a 的值为（ ） A. 8 1 B.－ 8 1 C.8 D.－8 5.等差数列{a n }中，已知a 1= 3 1 ，a 2+a 5=4，a n =33，则n 为（ ） A.48 B.49 C.50 D.51 6.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. 2 6 C. 3 6 D. 3 3 11.已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.若P 4与P 0重合，则tan θ等于（ ） A. 3 1 B. 5 2 C. 2 1 D.1 15.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 . 16.将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种 17.已知正四棱柱11111=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点. （Ⅰ）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （Ⅱ）求点D 1到面BDE 的距离. 18.已知抛物线C 1：y =x 2+2x 和C 2：y =－x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线.公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. （Ⅰ）a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （Ⅱ）若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分. 19.已知数列{a n }满足a 1=1，a n =3n － 1+a n －1（n ≥2）. （Ⅰ）求a 2、a 3； （Ⅱ）证明a n =2 31 -n . 20.有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率； （Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） 21.已知函数f （x ）=sin （ωx +?）（ω>0，0≤?≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （ 43π ，0）对称，且在区间［0，2 π］上是单调函数，求?和ω的值. 22.已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直 线与经过定点A （0，a ），以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P .其中λ∈R .试问：是否 存在两个定点E 、F ，使得|PE |+|PF |为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由. ●答案解析 1.答案：C 解法一：??? ??>≤<≥≤??? ???>≥≤-??????->≥≥-2 42,044200440 0422222x x x x x x x x x x x x x x x 解法二：由于5不满足4x －x 2≥0排除B 、D.1不满足24x x - 2.答案：B 解析：y =ax 2?8 1 ,241,12-=-== a a y a x . 5.答案：C 解析：∵a 1=31设a n =a 1+（n －1）d =31 +（n －1）d ，a 2+a 5=a 1+d +a 1+4d =4，3 2+5d =4， d = 32，a n =a 1+（n －1）d =31 +（n －1）3 2=33，n =50. 6.答案：B 解析：设双曲线为22 22b y a x -=1，∵△MF 1F 2为等腰三角形， ∠F 1MF 2=120°，∴∠MF 1F 2=30°， ∴tan30°=2 3 )(,32)(,31)(1,31,332222 2222===-=-==a c c a c a c a c c b c b ， ∴2 6= e . 11.答案：C 解析：因为P 4与P 0重合，∴P 1为BC 中点，P 2为CD 中点，P 3为AD 中点.∴tan θ= 2 1. 15.答案：2 2 2 2 BCD ADB ACD ABC S S S S ????=++ 解析：过A 作BC 垂线AE 与BC 交于E ，连接DE ，则BC ⊥DE ，∵S △ABC 2= 41AB 2·AC 2，S △DAB 2=4 1 AB 2·DA 2， S △DAC 2= 41AC 2·DA 2，S △DBC 2=4 1 BC 2·DE 2 = 41BC 2（AE 2+DA 2）=41 （AB 2+AC 2）（AE 2+DA 2） = 41AB 2·DA 2+41AC 2·AD 2+4 1 BC 2·AE 2， ∴S △DBC 2=S △DAB 2+S △DAC 2+S △ABC 2. 16.答案：42 解析：分别用a 、b 、c 代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a ，再安排第二块田有b 或c 2种方法.不妨设放入b .第三块田也有2种方法a 或c . （Ⅰ）若第三块田放c ：，则第四、五块田分别有2种方法， 共2·2种方法. （Ⅱ）若第三块田放a ：，第四块田仍有b 或c 2种放法. （i ）若第四块田放c ： ，第五块田仍有2种方法. （ii ）若第四块田放b ：，则第五块田只能放c ，共有3种 方法. 综上，共有3·2（2·2+3）=42种方法. 17.（Ⅰ）证法一：取BD 中点M ，连结MC 、FM . ∵F 为BD 1中点，∴FM ∥D 1D 且FM = 2 1 D 1D. 又EC = 2 1 CC 1且EC ⊥M C. ∴四边形EFMC 是矩形，∴EF ⊥CC 1. 又CM ⊥面DBD 1，∴EF ⊥面DBD 1，∵BD 1 面DBD 1， ∴EF ⊥BD 1. 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. 证法二： 建立如图的坐标系，得 B （0，1，0），D 1（1，0，2），F （21，2 1 ，1）， C 1（0，0，2），E （0，0，1）. ∴EF =（ 21，2 1 ，0），1CC =（0，0，2）. 1BD =（1，－1，2）. ∴·1CC =0，1BD ·=0. 即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1. 故EF 是CC 1与BD 1的公垂线. （Ⅱ）解：连结ED 1，有DBE D DBD E V V --=1 1.由（Ⅰ）知EF ⊥面DBD 1， 设点D 1到面BDE 的距离为d ， 则S △DBE ·d =1DBD S ?·EF . ∵AA 1=2，AB =1.∴BD =BE =ED = 2，EF = 2 2. ∴23 )2(2321.2222121 = ??==??= ??DBE DBD S S . ∴3322 3 22 2=? = d . 故点D 1到平面BDE 的距离为 3 3 2. 18.解：函数y =x 2+2x 的导数y ′=2x +2. 曲线C 1在点P （x 1，x 12+2x 1）的切线方程是y －（x 12+2x 1）=（2x 1+2）（x －x 1）. 即y =（2x 1+2）x －x 12 ① 函数y =－x 2+a 的导数y ′=－2x ， 曲线C 2在点Q （x 2，－x 22+a ）的切线方程是y －（－x 22+a ）=－2x 2（x －x 2）， 即y =－2x 2x +x 22+a . ② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程， 所以???+=--=+. ,12 22121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a =0. 若判别式Δ=4－4×2（1+a ）=0时，即a =－ 21时解得x 1=－2 1 .此时点P 与Q 重合. 即当a =－ 2 1 时C 1和C 2有且仅有一条公切线.由①得公切线方程为y =x －41. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当a <－ 2 1 时C 1和C 2有两条公切线. 设一条公切线上切点为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）. 其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有x 1+x 2=－1， y 1+y 2=x 12+2x 1+（－x 22+a ）=x 12+2x 1－（x 1+1）2+a =－1+a . 线段PQ 的中点为（2 1,21a +-- ）. 同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是（2 1,21a +-- ）. 所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分. 19.（Ⅰ）解：∵a 1=1，∴a 2=3+1=4，a 3=32+4=13. （Ⅱ）证法一：由已知a n －a n －1=3n － 1，故a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+…+（a 2－ a 1）+a 1=3n －1 +3n －2 +…+3+1=2 1 3-n . 所以证得a n =2 1 3-n . 证法二：（1）当n =1时，命题成立. （2）假设n =k 时，命题成立.即a k =213-k ，那么n =k +1时，a k +1=3k +a k =3k +2 1 3-k 2 1 321)12(3213321-=-+=-+?=+k k k k 即n =k +1时命题成立. 综合（1）（2），命题对n ∈N 均成立. 20.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C . （Ⅰ）P （A ）=0.90，P （B ）=P （C ）=0.95.P （A ）=0.10，P （B ）=P （C ）=0.05. 因为事件A 、B 、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）+P （A ）· P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （C ）=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176. 答：恰有一件不合格的概率为0.176. （Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为 P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）=0.90×0.052+ 2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052=0.012. 答：至少有两件不合格的概率为0.012. 解法二：三件产品都合格的概率为 P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.90×0.952=0.812. 由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－［P （A ·B ·C ）+0.176］=1－（0.812+0.176）=0.012. 答：至少有两件不合格的概率为0.012. 21.解：由f （x ）是偶函数，得f （－x ）=f （x ） 即sin （－ωx +?）=sin （ωx +?）. 所以－cos ?sin ωx =cos ?sin ωx 对任意x 都成立，且ω＞0，所以得cos ?=0. 依题设0≤?≤π，所以解得?= 2 π. 由f （x ）的图象关于点M 对称，得f （ 43π－x ）=－f （4 3π+x ）. 取x =0，得f （ 43π）=－f （43π），所以f （4 3π ）=0. ∵f （ 4 3π ）=sin （243πωπ+）=cos 43ωπ， ∴cos 43ωπ=0，又ω＞0，得 2 43π ωπ++k π，k =0，1，2，…. ∴ω= 3 2 （2k +1），k =0，1，2，…. 当k =0时，ω= 32 ，f （x ）=sin （2 32π+x ） 在［0， 2 π］上是减函数； 当k =1时，ω=2，f （x ）=sin （2x + 2 π）在［0， 2 π］上是减函数； 当k ≥2时，ω≥ 310 ，f （x ）=sin （ωx +2π）在［0，2 π］上不是单调函数. 所以，综合得ω= 3 2 或ω=2. 22.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程.据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值. ∵i =（1，0），c =（0，a ），∴c +λi =（λ，a ），i －2λc =（1，－2λa ）. 因此，直线OP 和AP 的方程分别为λy =ax 和y －a =－2λax . 消去参数λ，得点P （x ，y ）的坐标满足方程y （y －a ）=－2a 2x 2， 高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值 6 数列 一．基础题组 1. 【2014全国2，文5】等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 【2010全国2，文6】如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 【答案】： C 【解析】∵{a n }为等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝12，∴a 4＝4. ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝ ＝7a 4＝28. 3. 【2006全国2，文6】已知等差数列中，，则前10项的和＝( ) （A ）100 (B)210 (C)380 (D)400 【答案】B 【解析】依题意可知：，，解得：， ∴. 4.【2005全国2，文7】如果数列是等差数列，则（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】∵数列是等差数列，∴， ∴. 5. 【2012全国新课标，文14】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝__________． 【答案】：－2 【解析】：由S 3=－3S 2，可得a 1+a 2+a 3=－3(a 1+a 2)， 即a 1(1+q +q 2 )=－3a 1(1+q )， {}n a 248,,a a a {}n a n S =(1)n n +(1)n n -(1)2n n +(1) 2 n n -177() 2 a a +{}n a 247,15a a ==10S 217a a d =+=41315a a d =+=14,3d a ==101109109 1030421022 S a d ??=+ =+?={}n a 1845a a a a +<+1845a a a a +=+1845a a a a +>+1845a a a a ={}n a m n p q m n p q a a a a +=+?+=+1845a a a a +=+ 2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 平面向量专题 （附详细答案解析） 一、选择题。 1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足 a =2 b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角 为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 【答案】B ． 【解析】因为()-⊥a b b ， 所以()22cos ,0-??-=?<>-=a b b =a b b a b a b b ， 所以2 2 cos ,2<>===?b b a b a b b 又因为0,]π[<>∈，a b ，所以π,3<>= a b ．故选B ． 2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= A B ．2 C ． D ．50 【答案】A ． 【解析】因为(2,3)=a ，(3,2)=b ，所以-(1,1)=-a b ， 所以-==a b A. 3.（2018全国卷Ⅰ）在?ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344 AB AC + 【答案】A. 【解析】法一、通解 如图所示， CB AD DB ED EB 2121+= += ()()AC AB AC AB -++?=212121 3144 =-AB AC ．故选A ． C B 法二、优解 111()222=-=- =-?+EB AB AE AB AD AB AB AC 3144 =-AB AC ．故选A ． 4.（2018全国卷Ⅱ）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】B. 【解析】2 (2)22(1)3?-=-?=--=a a b a a b ，故选B ． 5.（2018天津）在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =， 120MON ∠=，2BM MA =， 2C N N A =，则· BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 【答案】C. 【解析】由2BM MA =，可知||2||BM MA =，∴||3|| BA MA =． 由2CN NA =，可知||2||CN NA =，∴||3|| CA NA =，故||||3||||BA CA MA NA ==， 连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =， ∴33()BC MN ON OM ==-， ∴2 3()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ?=-?=?- 23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-．故选C ． 6.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2 430-?+= b e b ，则||-a b 的最小值是 A 1 B 1 C ．2 D ．2 【答案】A. 【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ， 由2430-?+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=， 所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆． N M O C B A 历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积 一．选填题（每题5分） 1. （2017年，第6题）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 2. （2017年，第16题）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 3. （2016年，第7题）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是 （ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 4.（2016年，第11题）平面过正文体ABCD —A1B1C1D1的顶点A,，，则m ，n 所成角的正弦值为 （ ） （A ）（B ）（C ）（D ） 5.（2015年，第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 斛 斛 斛 斛 6.（2015年，第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r = （A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 7.（2014年，第8题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题03函数 1.(2019?天津?理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1, x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立, 则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 【答案】C 【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2 -2a 2 +2a ≥0.a 2 -2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a x = x -a x >0 此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a ≤1. (2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立. 此时f'(x)= x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增. 需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知11. 若关于x 的方程f(x)=-1 4x+a(a ∈R)恰有两个互异的实 数解,则a 的取值范围为( ) A.54,9 4 B. 54,94 C. 54,9 4 ∪{1} D.54, 94 ∪{1} 【答案】D 【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=5 4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=9 4. 故当54≤a≤9 4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x 0)=-1x 0 2=-1 4,x 0=2. 此时切点为2,1 2,此时a=1.故选D. 11 概率与统计 一．基础题组 1. 【2012全国新课标，文3】在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为( ) A ．－1 B ．0 C ． D ．1 【答案】D 【解析】样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线上，样本的相关系数应为1． 2. 【2015新课标2文数】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ） A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D 【考点定位】本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解 【名师点睛】本题把统计知识与时下的热点环保问题巧妙地结合在一起,该题背景比较新颖,设问比较灵活,是一道考查考生能力的好题.解答此题的关键是学生能从图中读出有用的信息,再根据得到的信息正确作出 1 12 y x =+1 2 1 12 y x = + 判断. 3. 【2016新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一 名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】B 【解析】 试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B. 【考点】几何概型 【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法． 4. 【2014全国2，文13】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______. 【答案】 5. 【2013课标全国Ⅱ，文13】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________． 【答案】：0.2 【解析】：该事件基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共有10个，记A ＝“其和为5”＝{(1,4)，(2,3)}有2个，∴P (A )＝ ＝0.2. 6. 【2007全国2，文13】一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 . 【答案】： 【解析】这是考察的简单随机抽样的特点，其中一个特点是：用简单随机抽样从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为1/N ；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为n/N ，所以本题中N=100，n=5，则概率P=5/100=1/20. 7105838310 40155 408 -=1 3 2 10 120 2007-2017高考全国卷线性归划问题总结 2011年： （13）若变量,x y 满足约束条件329,69, x y x y ≤+≤?? ≤-≤?则2z x y =+的最小值为 . 2012年： (14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥??-≥-??+≤? ；则2z x y =-的取值范围为_________. 2013年： 9．已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥??+≤??≥-? ，若2z x y =+的最小值为1，则a = （A ）14 （B ） 12 （C ）1 （D ）2 2014年： 9.不等式组124 x y x y +≥??-≤?的解集记为D .有下面四个命题： 1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-. 其中真命题是 A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P 2015年： （15）若x ,y 满足约束条件10040x x y x y -≥??-≤??+-≤?，则y x 的最大值为 . 2016年： （16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． (2019-1-3)3. 已知3.02.022.022.0log ===c b a ，，，则 A. c b a << B. b c a << C. b a c << D. a c b << (2019-1-5)5. 函数],[cos sin )(2 ππ-++=在x x x x x f 的图像大致为 A. B. C. D. (2019-2-6)6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ． B ．e 1x -+ C ． D ．e 1x --+ (2019-2-11)11．已知a ∈（0， π 2 ），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15 B ．5 C ． D ． 25 (2019-3-12)12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则 A ．f （log 314）＞f （3 2 2-）＞f （2 32-） B ．f （log 31 4 ）＞f （2 32-）＞f （3 22-） C ．f （32 2 - ）＞f （232 - ）＞f （log 3 14 ） e 1x --e 1x ---3 D ．f （23 2 - ）＞f （32 2 - ）＞f （log 3 14 ） (2018-1-12)12．设函数()20 1 0x x f x x -?=?>?，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是 A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-， D ．()0-∞， (2018-1-13)13．已知函数()() 2 2log f x x a =+，若()31f =，则a =________． (2018-2-3)3．函数()2 e e x x f x x --=的图像大致为 (2018-2-12)12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =， 则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=L A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 (2018-3-7)7.下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是 A ．()ln 1y x =- B ．()ln 2y x =- C ．()ln 1y x =+ D ．()ln 2y x =+ (2018-3-9)9．422y x x =-++的图像大致为( ) x x x x D. C. B. A. 2010年高考试题数学试题（文史类）-福建卷 第I卷（选择题共60分） 1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于 A {x | 2＜x≤3} B {x | x≥1} C {x | 2≤x＜3} D {x | x＞2} 2.计算1－2sin222.5°的结果等于 A.1/2 B. /2 C/3 D/2 3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积 ．．．等于 A. B.2 C.2 D.6 4.i是虚数单位，（（1+i）/(1-i)）4等于 A.i B.-i C.1 D.-1 5.若x，y∈R，且，则z=x+2y的最小值等于 A.2 B.3 C.5 D.9 6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数f（x）= 的零点个数为 A.2 B.2 C.1 D.0 8.若向量a=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“| a |=5”的 A.充分而不必要 B.必要而不充分 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A.91.5和91.5 B.91.5和92 C 91和91.5 D.92和92 10.将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图像向左平移π/2个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能 ．．．等于 A.4 B.6 C.8 D.12 11.若点O和点F分别为椭圆x2/4 +y2/3 =1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 12.设非空集合S=={x | m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m=－1/2 ，则1/4 ≤ l ≤ 1；③l=1/2，则－/2≤m≤0 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13.若双曲线x2 / 4－y2 / b2=1 (b＞0) 的渐近线方程为y=±1/2 x ，则b等于. 14.将容量为n的样本中的数据分成6组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频率之和等于27，则n等于. 15. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）. 16.观察下列等式： ①cos2α=2 cos2α－1； ②cos 4α=8 cos4α－8 cos2α+1； ③cos 6α=32 cos6 α－48 cos4α＋18 cos2α－1； ④cos 8α= 128 cos8α－256cos6 α＋160 cos4α－32 cos2α＋1； 2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（文史类） 数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概 率 k n k k n n P P C k P- - =) 1( ) ( 第一部分（选择题共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆 5 )2 (2 2= + +y x关于原点（0，0）对称的圆的方程为（） A． 5 )2 (2 2= + -y x B．5 )2 (2 2= - +y x C． 5 )2 ( )2 (2 2= + + +y x D．5 )2 (2 2= + +y x 2． = + -) 12 sin 12 )(cos 12 sin 12 (cos π π π π （）A．2 3 - B．2 1 - C．2 1 D．2 3 3．若函数 ) (x f是定义在R上的偶函数，在]0, (-∞上是减函数，且0 ) (= x f，则使得x x f的 ) (<的取值范围是（） A． )2, (-∞B．) ,2(+∞ C． ) ,2( )2 , (+∞ - -∞ D．（－2，2） 4．设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于（）A．（1，1）B．（－4，－4）C．－4 D．（－2，－2） 专题八 立体几何 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 2019年 1.（2019全国II 文16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 2.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1. （1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1； （2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 3.(2019全国III 文16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长 方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O ?EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密 度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g. 4.（2019江苏9）如图，长方体1111ABCD A B C D 的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱 锥E -BCD 的体积是 . 5.（2019天津文12若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 6.（2019北京文12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如 果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 7.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 参考公式： 如果事件A 、B 互斥， 那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立， 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }， B ＝{1， m} ,A U B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点， 焦距为 4 一条准线为x=-4 ， 则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ， AB=2， CC 1=22 E 为CC 1的中点， 则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=5， S 5=15， 则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中， AB 边的高为CD ， 若 a·b=0， |a|=1， |b|=2， 则 (A) （B ） (C) (D) 导数 一．基础题组 1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A 2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)x ＋ x 2 ． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)＋x . 所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1 ，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋ x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12 由于f ′(x )＝e x －1＋x ， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x －(a ＋1)x ≥b .① (ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x －(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立． (ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0. 所以f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．② 因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))． 所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b = 十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学 真题 2008-21 ．（12 分） 双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1 uuur uuur uuur uuur uuur 的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向． AB OB （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程． 2009-21 ．（12 分） 如图，已知抛物线 E : y 2 x 与圆 M : ( x 4)2 y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个 点。 （I ）求 r 的取值范围： (II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 A 、 B 、 C 、 D 的交点 p 的坐标。 2010-21 (12 分 ) 已知抛物线 C : y 2 4x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点， 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . （Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上； uuur uuur 8 （Ⅱ）设 FAgFB BDK 的内切圆 M 的方程 . ，求 9 1 / 13 2011-20 （12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满 足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 2012-20 （12 分） 设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准 线为 l ， A C ， 已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点； （1）若 BFD 90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程； （2）若 A, B, F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点， 求坐标原点到 m, n 距离的比值。 2013-21 (12 分 ) 2 2 已知双曲线 C ： x 2 y 2 =1 (a ＞ 0， b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为 3，直线 y a b ＝2 与 C 的两个交点间的距离为6 . (1)求 a ， b ； (2)设过 F 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A ， B 两点，且 | AF | ＝| BF | ，证明： | AF | ， 2 1 1 2 | AB| ， | BF 2| 成等比数列． 2014-20 已知点 A(0，－ 2)，椭圆 E ： x 2 2 3 ， F 是椭圆 E 的右焦点， 2 y 2 =1 (a>b>0) 的离心率为 a b 2 直线 AF 的斜率为 2 3 ， O 为坐标原点 . 3 2 / 13 专题十 概率与统计 第三十讲 概率 2019年 1.解析：由题意,通过列举可知从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为10, 恰有2只测量过该指标的所有情况数为6.所以63105 p ==.故选B. 2.解析 设两位男同学分别为1B ,2B ,两位女同学分别为1G ,2G . 根据列举法,两位男同学跟两位女同学排成一列可能会出现的情况有：1212B B G G ,1221B B G G ,1122B G B G ,1122B G G B ,1212B G G B ,1221B G B G ,2112B B G G ,2121B B G G ,2112B G B G ,2211B G B G ,2121B G G B ,2211B G G B ,1212G G B B ,1122G B G B ,1221G B G B ,1122G B B G ,1212G B B G ,1221G G B B ,2112G G B B ,2121G G B B ,2112G B G B ,2121G B B G ,2211G B B G ,2211G B G B ,共24种. 其中,两位女同学相邻的情况有：1212B B G G ,1221B B G G ,1122B G G B ,1212B G G B ,2112B B G G ,2121B B G G ,2121B G G B ,2211B G G B ,1212G G B B ,1221G G B B ,2112G G B B ,2121G G B B ,共12种. 根据古典概型计算公式可得两位女同学相邻的概率为121242 P ==. 故选D. 2010-2018年 答案部分 1.D 【解析】将2名男同学分别记为x ,y ,3名女同学分别记为a ,b ,c .设“选中的2人都是 女同学”为事件A ,则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(,)x y ,(,)x a ,(,)x b ,(,)x c ,(,)y a ,(,)y b ,(,)y c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c 共19种,其中事件A 包含的可能情况有(,)a b ,(,)a c ,(,)b c 共3种,故3()0.310 P A ==,故选D. 2.B 【解析】设“只用现金支付”为事件A ,“既用现金支付也用非现金支付”为事件B ,“不用 现金支付”为事件C ,则()1()()10.450.150.4P C P A P B =--=--=,故选B. 3.B 【解析】设正方形的边长为2a ,由题意可知,太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一半, 真题 2008--22．（12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈， ，整数11ln a b k a b -≥．证明：1k a b +>． 2009--22．（12分） 设函数3 2 ()33f x x b x c x =++有两个极值点[][]12211,2.x x x ∈-∈，，0，且 （Ⅰ）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b ，c ）和区域； (Ⅱ)证明：1102 -2≤f (x )≤- 2010--22 (12分) 已知数列{}n a 中，1111,n n a a c a +==- . （Ⅰ）设51,2 2 n n c b a = = -，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 . 2011--21（12分） 已知函数 ln ()1 a x b f x x x = ++，曲线 () y f x =在点 (1,(1)f 处的切线方程为 230 x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）如果当0 x >，且1x ≠时，ln ()1 x k f x x x > + -，求k 的取值范围。 2012--21（12分） 已知函数()f x 满足1 2 1()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+ ； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2 1()2 f x x a x b ≥++，求(1)a b +的最大值。 2013--22 (12分) 已知函数f (x )＝1ln (1+)1x x x x λ(+)- +. (1)若x ≥0时，f (x )≤0，求λ的最小值； (2)设数列{a n }的通项111=1+2 3 n a n + + +，证明：a 2n －a n ＋ 14n ＞ln 2. 2014--21. (12分) 设函数1 (0ln x x b e f x a e x x -=+ ，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >. 全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 （2019全国2卷文）8．若x 1=4π，x 2=4 3π 是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．3 2 C ．1 D ． 1 2 答案：A （2019全国2卷文）11．已知a ∈（0， π 2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15 B C D 答案：B （2019全国2卷文）15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 答案：4 3π （2019全国1卷文）15．函数3π ()sin(2)3cos 2 f x x x =+-的最小值为___________． 答案：-4 （2019全国1卷文）7．tan255°=（ ） A ．－2 B ．－ C ．2 D ． 答案：D （2019全国1卷文）11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 C c B b A a sin 4sin sin =- ，4 1cos -=A ，则b c =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：A （2019全国3卷理） 18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围． （1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2 A C A B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2 A C B +=． 由180A B C ++=?，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222 B B B =． 因为cos 02 B ≠，故1 sin =22B ，因此60B =?． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积ABC S ?． 由正弦定理得sin sin(120)1 sin sin 2 c A c C a C C ?-= ==+． 由于△ABC 为锐角三角形，故090A ?<近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
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