十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题01 集合 Word版含解析
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题01 集合
1.(2019?全国1?理T1)已知集合M={x|-4 A.{x|-4 B.{x|-4 C.{x|-2 D.{x|2 【答案】C 【解析】由题意得N={x|-2 2.(2019?全国1?文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩?U A=( ) A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7} 【答案】C 【解析】由已知得?U A={1,6,7},∴B∩?U A={6,7}.故选C. 3.(2019?全国2?理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( ) A.(-∞,1) B.(-2,1) C.(-3,-1) D.(3,+∞) 【答案】A 【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A. 4.(2019?全国2?文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( ) A.(-1,+∞) B.(-∞,2) C.(-1,2) D.? 【答案】C 【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C. 5.(2019?全国3?T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( ) A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1,2} 【答案】A 【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A. 6.(2019?北京?文T1)已知集合A={x|-1 A.(-1,1) B.(1,2) C.(-1,+∞) D.(1,+∞) 【答案】C 【解析】∵A={x|-1 7.(2019?天津?T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( ) A.{2} B.{2,3} C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4} 【答案】D 【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D. 8.(2019?浙江?T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(?U A)∩B=( ) A.{-1} B.{0,1} C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3} 【答案】A 【解析】?U A={-1,3},则(?U A)∩B={-1}. 9.(2018?全国1?理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则?R A=( ) A.{x|-1 B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 【答案】B 【解析】A={x|x<-1或x>2},所以?R A={x|-1≤x≤2}. 10.(2018?全国1?文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( ) A.{0,2} B.{1,2} C.{0} D.{-2,-1,0,1,2} 【答案】A 【解析】由交集定义知A∩B={0,2}. 11.(2018?全国2?文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( ) A.{3} B.{5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7} 【答案】C 【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}. 12.(2018?全国3?T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( ) A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 【答案】C 【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}. 13.(2018?北京?T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( ) A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{-2,0,1,2} D.{-1,0,1,2} 【答案】A 【解析】∵A={x|-2 14.(2018?天津?理T1)设全集为R,集合A={x|0 A.{x|0 B.{x|0 C.{x|1≤x<2} D.{x|0 【答案】B 【解析】?R B={x|x<1},A∩(?R B)={x|0 15.(2018?天津?文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( ) A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{2,3,4} 【答案】C 【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}. 16.(2018?浙江?T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则?U A=( ) A.? B.{1,3} C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5} 【答案】C 【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴?U A={2,4,5},故选C. 17.(2018?全国2?理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( ) A.9 B.8 C.5 D.4 【答案】A 【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。 18.(2017?全国3?理T1,)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【解析】A表示圆x2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合,易知圆x2+y2=1与直线y=x相交,故A∩B中有2个元素. 19.(2017?全国1?理T1)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( ) A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=? 【答案】A 【解析】∵3x<1=30,∴x<0,∴B={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A. 20.(2017?全国2?理T2)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( ) A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5} 【答案】C 【解析】由A∩B={1},可知1∈B,所以m=3,即B={1,3}. 21.(2017?全国1?文T1)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( ) A.A ∩B={x |x <3 2} B.A ∩B=? C.A ∪B={x |x <3 2} D.A ∪B=R 【答案】A 【解析】∵A={x|x<2},B={x |x <3 2}, ∴A ∪B={x|x<2},A ∩B={x |x <3 2},故选A. 22.(2017?全国2?文T1)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A ∪B=( ) A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,3,4} 【答案】A 【解析】因为A={1,2,3},B={2,3,4},所以A ∪B={1,2,3,4},故选A. 23.(2017?全国3?文T1)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A ∩B 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】由题意可得A ∩B={2,4},则A ∩B 中有2个元素.故选B. 24.(2017?天津?理T1)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x ∈R|-1≤x ≤5},则(A ∪B )∩C=( ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x ∈R|-1≤x ≤5} 【答案】B 【解析】∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}.∵C={x ∈R|-1≤x ≤5},∴(A ∪B )∩C={1,2,4}. 25.(2017?北京?理T1)若集合A={x|-2 【答案】A 【解析】A ∩B={x|-2 26.(2017?北京?文T1)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则?U A=( ) A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 【答案】C 【解析】因为A={x|x<-2或x>2},所以?U A={x|-2≤x ≤2}. 27.(2016?全国1?理T1)设集合A={x|x 2 -4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A ∩B=( ) A.(-3,-3 2) B.(-3,3 2) C.(1,3 2) D.(32 ,3) 【答案】D 【解析】A=(1,3),B=(32,+∞),所以A ∩B=(3 2,3),故选D. 28.(2016?全国2?理T2)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x ∈Z},则A ∪B=( ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 【答案】C 【解析】由题意可知,B={x|-1 B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞) 【答案】D 【解析】S={x|x ≤2或x ≥3}.因为T={x|x>0},所以S ∩T={x|0 【解析】A ∩B={3,5},故选B. 31.(2016?全国2?文T1)已知集合A={1,2,3},B={x|x 2 <9},则A ∩B=( ) A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2} 【答案】D 【解析】B={x|-3 32.(2016?全国3?文T1)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则?A B=( ) A.{4,8} B.{0,2,6} C.{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10} 【答案】C 【解析】根据补集的定义,知从集合A={0,2,4,6,8,10}中去掉集合B中的元素4,8后,剩下的4个元素0,2,6,10构成的集合即为?A B,即?A B={0,2,6,10},故选C. 33.(2016?四川?理T1)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】由题意,A∩Z={-2,-1,0,1,2},故其中的元素个数为5,选C. 34.(2016?天津?理T1)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=( ) A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4} 【答案】D 【解析】由题意知集合B={1,4,7,10},则A∩B={1,4}.故选D. 35.(2016?山东?理T2)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,+∞) D.(0,+∞) 【答案】C 【解析】A={y|y>0},B={x|-1 36.(2016?浙江?理T1)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(?R Q)=( ) A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞) 【答案】B 【解析】∵Q={x∈R|x≤-2,或x≥2},∴?R Q={x∈R|-2 37.(2015?全国2?理T1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 【答案】A 【解析】∵B={x|-2 38.(2015?全国1?文T1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以A∩B={8,14}.故选D. 39.(2015?全国2?文T1)已知集合A={x|-1 A.(-1,3) B.(-1,0) C.(0,2) D.(2,3) 【答案】A 【解析】由题意,得A∪B={x|-1 40.(2015?陕西?文T1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( ) A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞,1] 【答案】A 【解析】∵M={0,1},N={x|0 41.(2015?重庆?理T1,)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( ) A.A=B B.A∩B=? C.A?B D.B?A 【答案】D 【解析】因为A={1,2,3},B={2,3},所以B?A. 42.(2014?全国1?理T1)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( ) A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2) 【答案】A 【解析】由已知,可得A={x|x≥3或x≤-1},则A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1].故选A. 43.(2014?全国2?理T1)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=( ) A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 【答案】D 【解析】∵N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},∴M∩N={0,1,2}∩{x|1≤x≤2}={1,2}.故选D. 44.(2014?全国1?文T1)已知集合M={x|-1 A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-2,3) 【答案】B 【解析】由已知得M∩N={x|-1 45.(2014?全国2?文T1)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=( ) A.? B.{2} C.{0} D.{-2} 【答案】B 【解析】易得B={-1,2},则A∩B={2},故选B. 46.(2014?辽宁?理T1)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0 【答案】D 【解析】∵A∪B={x|x≤0或x≥1},∴?U(A∪B)={x|0 47.(2013?全国2?理T1)已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=( ) A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 【答案】A 【解析】M={x|-1 48.(2013?全国1?文T1)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=( ) A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 【答案】A 【解析】∵B={1,4,9,16},∴A∩B={1,4}. 49.(2013?全国2?文T1)已知集合M={x|-3 A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1} 【答案】C 【解析】由题意可得M∩N={-2,-1,0}.故选C. 50.(2013?上海?理T15)设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1}.若A∪B=R,则a的取值范围为( ) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 【答案】B 【解析】当a>1时,集合A={x|x≤1或x≥a},由A∪B=R,可知a-1≤1,即a≤2.故1 当a=1时,集合A=R,显然A∪B=R.故a=1,满足题意. 当a<1时,集合A={x|x≥1或x≤a},由A∪B=R,可知a-1≤a显然成立,故a<1. 综上可知,a的取值范围是a≤2.故选B. 51.(2013?广东?理T8)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n},令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 【答案】B 【解析】由(x,y,z)∈S,不妨取x 要使(z,w,x)∈S,则w 当w 故(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S. 当x 综上可知,(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S. 52.(2013?山东?理2,T5)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9 【答案】C 【解析】当x,y取相同的数时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=2,y=0时,x-y=2;其他则重复.故集合B中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选C. 53.(2013?江西?文T2)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( ) A.4 B.2 C.0 D.0或4 【答案】A 【解析】当a=0时,显然不成立;当a≠0时,需Δ=a2-4a=0,得a=4.故选A. 54.(2013?全国1?理1)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|?√5 A.A∩B=? B.A∪B=R C.B?A D.A?B 【答案】B 【解析】集合A={x|x<0或x>2},由图象可以看出A∪B=R,故选B. 55.(2012?课标全国?理T1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 【答案】D 【解析】由x∈A,y∈A,x-y∈A,得(x,y)可取如 下:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),故集合B中所含元素的个数为10. 56.(2012?大纲?理2)已知集合A={1,3,√m},B={1,m},A∪B=A,则m=() A.0或√3 B.0或3 C.1或√3 D.1或3 【答案】B 【解析】∵A∪B=A,∴B?A, ∴m=3或m=√m.∴m=3或m=0或m=1. 当m=1时,与集合中元素的互异性不符,故选B. 57.(2012?全国?文1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1 A.A?B B.B?A C.A=B D.A∩B=? 【答案】B 【解析】由题意可得A={x|-1 58.(2012?大纲全国?文T1,)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( ) A.A?B B.C?B C.D?C D.A?D 【答案】B 【解析】∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集,∴C?B. 59.(2012?湖北?文T1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】A={1,2},B={1,2,3,4}.又∵A?C?B,∴C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},故选D. 60.(2011?全国?文1)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 【答案】B 【解析】P=M∩N={1,3},∴P的子集有22=4个. 61.(2011?辽宁?理T2)已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(?I M)=?,则M∪N=( ) A.M B.N C.I D.? 【答案】A 【解析】作出满足条件的韦恩(Venn)图,易知M∪N=M. 62.(2011?广东?理T8)设S是整数集Z的非空子集,如果?a,b∈S,有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T,有abc∈T;?x,y,z∈V,有xyz∈V,则下列结论恒成立的是( ) A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A 【解析】令T=N,V=?Z N,则T对乘法封闭,而V对乘法不封闭排除D. 令T={-1,0,1},V=?Z T,则T,V都对乘法封闭,排除B,C.故选A. 63.(2011?福建?文T12)在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2 011∈[1]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】对于①:2 011=5×402+1,∴2 011∈[1].对于②:-3=5×(-1)+2,∴-3∈[2],故②不正确;对于③:∵任意一个整数z被5除,所得余数共分为五类,∴Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故③正确;对于④:若整数a,b 属于同一类,则a=5n1+k,b=5n2+k,∴a-b=5n1+k-5n2-k=5(n1-n2)=5n,∴a-b∈[0],若a-b∈[0],则a-b=5n,即a=b+5n,故a与b被5除的余数为同一个数,∴a与b属于同一类,所以“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”,故④正确.∴正确结论的个数是3. 64.(2011?福建?理T1)i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则( ) A.i∈S B.i2∈S C.i3∈S D.2 i ∈S 【答案】B 【解析】∵i2=-1,而集合S={-1,0,1},∴i2∈S. 65.(2010?浙江?理T1)设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则( ) A.P?Q B.Q?P C.P??R Q D.Q??R P 【答案】B 【解析】P={x|x<4},Q={x|-2 66.(2010?天津?理T9)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若A?B,则实数a,b必满足( ) A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3 【答案】D 【解析】A={x|a-1 67.(2010?全国?T1)已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|√x≤4,x∈Z},则A∩B等于( ) A.(0,2) B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2} 【答案】D 【解析】∵A={x|-2≤x≤2},B={0,1,2,3,…,16}, ∴A∩B={0,1,2}. 68.(2018?江苏?T1)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B= . 【答案】{1,8} 【解析】由题设和交集的定义可知,A∩B={1,8}. 69.(2017?江苏?T1)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为. 【答案】1 【解析】由已知得1∈B,2?B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1. 70.(2013?湖南,文T15)对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={a i 1,a i 2 ,…,a i k },定义X的“特征数列”为 x1,x2,…,x100,其中x i 1=x i 2 =…=x i k =1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0, 0 (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于; (2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,p i+p i+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,q j+q j+1+q j+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为. 【答案】（1）2 （2）17 【解析】(1){a1,a3,a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0,…,0,∴前3项和为2. (2)根据题意知,P的特征数列为1,0,1,0,1,0,…, 则P={a1,a3,a5,…,a99}有50个元素,Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1,…, 则Q={a1,a4,a7,a10,…,a100}有34个元素, =17个. ∴P∩Q={a1,a7,a13,…,a97},共有1+97-1 6 71.(2013?江苏?T4)集合{-1,0,1}共有个子集. 【答案】8 【解析】由于集合{-1,0,1}有3个元素,故其子集个数为23=8. 72.(2012?天津?文T9,)集合A= {x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为. 【答案】-3 【解析】∵|x-2|≤5,∴-3≤x≤7,∴最小整数为-3. 73.(2018?北京?理T20)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,t n),t k∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,x n)和β=(y1,y2,…,y n),记M(α,β)=1 [(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(x n+y n-|x n-y n|)]. 2 (1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值; (2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值; (3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由. 【答案】（1）2 1 （2）4 （3）n+1 【解析】(1)M(α,α)=1 [(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2; 2 [(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1. M(α,β)=1 2 (x m+y m-|x m-y m|)=1; (2)当x m,y m同为1时,1 2 (x m+y m-|x m-y m|)=0; 当x m,y m中只有一个1或者两个都是0时,1 2 当α,β相同时,?α=(x1,x2,x3,x4)∈B,M(α,α)=x1+x2+x3+x4为奇数, 则x k(k=1,2,3,4)中有一个1或者三个1,即为以下8种: 形式1:(1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1); 形式2:(1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (0,1,1,1); 当α,β不同时,M(α,β)是偶数,则α,β同为1的位置有4个或2个或0个; 形式1中的元素不能和形式2的三个元素同时共存; 形式2中的元素不能和形式1的三个元素同时共存; 如果B中元素全是形式1,当α,β不同时,M(α,β)=0满足条件; 如果B中元素全是形式2,当α,β不同时,M(α,β)=2满足条件. 所以B中元素至多为4个. (3)B中元素个数最多为n+1,构造如下: 对于γk=(z k1,z k2,…,z kn)∈B(k=1,2,3,…,n),z kk=1,其他位置全为0; γn+1=(0,0,0,…,0),可以验证M(γi,γj)=0(i,j=1,2,…,n+1)且i≠j, 下面证明:当B中元素个数大于等于n+2时,总存在α,β∈B,M(α,β)≠0. 设γk=(z k1,z k2,z k3,…,z kn)∈B,k=1,2,3,…,n+1,…,m(m≥n+2); S k=z k1+z k2+…+z kn(k=1,2,3,…,n),可以得到: S1+S2+…+S m≥0+1×n+2=n+2; 设C k=z1k+z2k+…+z mk(k=1,2,3,…,n),可以得到: C1+C2+…+C n=S1+S2+…+S m≥n+2,所以存在C t≥2,t∈{1,2,3,…,n}, 即存在α,β∈B(α≠β),使得α,β在同一个位置同为1,即M(α,β)≥1≠0,矛盾. 所以,B中元素个数最多为n+1.