十年高考真题分类汇编 数学 专题 函数

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题03函数

1.(2019?天津?理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1,

x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,

则a 的取值范围为( )

A.[0,1]

B.[0,2]

C.[0,e]

D.[1,e] 【答案】C

【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2

-2a 2

+2a ≥0.a 2

-2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a

x =

x -a x

>0

此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a ≤1.

(2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立. 此时f'(x)=

x -a x

,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增.

需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知1

2.(2019?天津?文T8)已知函数f(x)={2√x ,0≤x ≤1,1x

,x >1.

若关于x 的方程f(x)=-1

4x+a(a ∈R)恰有两个互异的实

数解,则a 的取值范围为( ) A.54,9

4

B.

54,94 C.

54,9

4

∪{1} D.54,

94

∪{1}

【答案】D

【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=5

4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=9

4. 故当54≤a≤9

4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x 0)=-1x 0

2=-1

4,x 0=2.

此时切点为2,1

2,此时a=1.故选D.

3.(2019?浙江?T9)设a,b ∈R,函数f(x)={x ,x <0,

13x 3-12(a +1)x 2

+ax ,x ≥0.若函数y=f(x)-ax-b 恰有3个零点, 则( )

A.a<-1,b<0

B.a<-1,b>0

C.a>-1,b<0

D.a>-1,b>0 【答案】C

【解析】当x<0时,由x=ax+b,得x=b

1-a ,最多一个零点取决于x=b

1-a 与0的大小,所以关键研究当x≥0时,

方程1

3x 3

-1

2(a+1)x 2

+ax=ax+b 的解的个数,令b=1

3x 3

-1

2(a+1)x 2

=1

3x 2

x-3

2(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,

可以发现分类讨论的依据是3

2(a+1)与0的大小关系.

①若32(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=3

2(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b 最多只能有一个交点,不符合题意.

②若3

2(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.

③若32(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=3

2(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b 可以有两个交点,且此时要求x=b

1-a <0,故-1

4.(2019?北京?文T3)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=x 1

2

B.y=2-x

C.y=lo g 12x

D.y=1

x

【答案】A

【解析】函数y=2-x

,y=lo g 12

x,y=1

x 在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=x 1

2在区间(0,+∞)上单调递增,故选A.

5.(2019?全国1?理T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:

①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(π

2

,π)内单调递增

③f(x)在[-π,π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④

B.②④

C.①④

D.①③ 【答案】C

【解析】因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确;

当π2

2,π)内单调递减,故②错误;

当0≤x ≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点0和π;当-π≤x ≤0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;

当x ∈[2k π,2k π+π](k ∈N *

)时,f(x)=2sin x;当x ∈(2k π+π,2k π+2π](k ∈N *

)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确; 综上可知①④正确,故选C.

6.(2019?全国3?理T11文T12)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( ) A.f (log 31

4)>f(2-32)>f(2-2

3) B.f (log 31

4)>f(2-23)>f(2-3

2) C.f(2-

32

)>f(2-

23

)>f (log 31

4)D.f(2-

23

)>f(2-

32

)>f (log 31

4) 【答案】C

【解析】∵f(x)是R 上的偶函数, ∴f (log 31

4)=f(-log 34)=f(log 34). 又y=2x

在R 上单调递增, ∴log 34>1=20

>2-23>2-3

2.

又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减, ∴f(log 34)

23

)

32

), ∴f(2-

32

)>f(2-

23

)>f (log 31

4).故选C.

7.(2019?全国1?理T3文T3)已知a=log 20.2,b=20.2

,c=0.20.3

,则( ) A.a

C.c

D.b

【解析】因为a=log 20.2<0,b=20.2

>20

=1, 又0

<0.20

<1, 所以a

8.(2019?天津?理T6)已知a=log 52,b=log 0.50.2,c=0.50.2

,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a

【解析】∵a=log 52

2, b=log 0.50.2>log 0.50.5=1,

c=0.50.2

=（1

2

）0.2

>（1

2

）1

,∴b>c>a.故选A.

9.(2019?天津?文T5)已知a=log 27,b=log 38,c=0.30.2

,则a,b,c 的大小关系为( ) A.c

命题点比较大小,指、对数函数的单调性. 解题思路利用指、对数函数的单调性比较. 【答案】A

【解析】a=log 27>log 24=2. b=log 381. 又c=0.30.2

<1,故c

10.(2019?全国1?T5)函数f(x)=sinx+x

cosx+x 2在[-π,π]的图像大致为( )

【答案】D

【解析】由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除A. 又f (π

2

)=

1+

π2(π2

)2=

4+2ππ2

>1,f(π)=

π

-1+π2>0,排除B,C.故选D.

11.(2019?全国3?理T7)函数y=2x 3

2x +2-x 在[-6,6]的图像大致为( )

【答案】B

【解析】设y=f(x)=2x 3

2x +2-x ,

则f(-x)=

2(-x )

3

2-x +2x

=-

2x 3

2x +2-x

=-f(x),

故f(x)是奇函数,图像关于原点对称,排除选项C. f(4)=2×43

24+2-4>0,排除选项D. f(6)=2×6326+2-6≈7,排除选项A. 故选B.

12.(2019?浙江?T6)在同一直角坐标系中,函数y=1

a x ,y=log a x+1

2(a>0,且a ≠1)的图象可能是 ( )

【答案】D

【解析】当0

的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=1

a x 的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=log a （x+1

2）的图象过定点（1

2,0）且单调递减,D 选项符合;当a>1时,函数y=a x 的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1

a x 的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=log a （x+1

2）的图象过定点（1

2,0）且单调递增,各选项均不符合.故选D.

13.(2019?全国2?理T12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x ∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x ∈(-∞,m],都有f(x)≥-8

9,则m 的取值范围是( ) A.-∞,9

4

B.-∞,7

3

C.-∞,5

2 D.-∞,8

3

【答案】B

【解析】∵f (x+1)=2f(x),∴f (x)=2f(x-1). ∵当x ∈(0,1]时,f(x)=x(x-1), ∴f (x)的图象如图所示.

∵当2

-45x+56=0, 即(3x-7)(3x-8)=0, 解得x 1=7

3,x 2=8

3.

∵当x ∈(-∞,m]时,f(x)≥-8

9恒成立,即m≤7

3,故m ∈-∞,7

3.

14.(2018?全国1?文T12)设函数f(x)={2-x ,x ≤0,

1,x >0,则满足f(x+1)

A.(-∞,-1]

B.(0,+∞)

C.(-1,0)

D.(-∞,0)

【答案】D

【解析】画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知:

①当x+1≥0且2x ≥0,即x ≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意; ②当x+1>0且2x<0,即-1

③当x+1≤0时,x ≤-1,此时2x<0,若f(x+1)2x,解得x<1.故x ≤-1. 综上所述,x 的取值范围为(-∞,0).

15.(2018?全国2?理T11文T12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( ) A.-50 B.0 C.2 D.50 【答案】C

【解析】∵f(-x)=f(2+x)=-f(x), ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).

∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.

∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. ∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.

16.(2018?全国3?文T7)下列函数中,其图像与函数y=ln x 的图像关于直线x=1对称的是( ) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 【答案】B

【解析】设所求函数的图像上点P(x,y)关于x=1对称的点为Q(2-x,y),由题意知Q 在y=ln x 上, ∴y=ln(2-x),故选B.

17.(2018?上海?T16)设D 是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D 上的函数.若f(x)的图像绕原点逆时针旋转π

6后与原图像重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( ) A.√3 B.√3

2

C.√3

3

D.0

【答案】B

【解析】若f(1)=√3,则f(√3)=1,f(1)=-√3,与函数的定义矛盾,舍去; 若f(1)=√3

3,则f (

2√33)=0,f(1)=-√3

3

,与函数的定义矛盾,舍去; 若f(1)=0,则f (1

2

)=

√32,f (12)=-√3

2

,与函数的定义矛盾,舍去. 因此f(1)的可能取值只能是√3

2

,故选B.

18.(2018?全国3?理T12)设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( ) A.a+b

【解析】∵a=log 0.20.3>0,b=log 20.3<0,∴ab<0. 又a+b=

lg0.3lg0.2

+

lg0.3lg2

=

lg3-1lg2-1

+

lg3-1lg2

=

(lg3-1)(2lg2-1)(lg2-1)?lg2

而lg 2-1<0,2lg 2-1<0,lg 3-1<0,lg 2>0, ∴a+b<0.

a+b ab

=1b +1

a =log 0.32+log 0.30.2=log 0.30.4

19.(2018?天津?理T5)已知a=log 2e,b=ln 2,c= lo g 12

1

3,则a,b,c 的大小关系为( )

A.a>b>c

B.b>a>c

C.c>b>a

D.c>a>b 【答案】D

【解析】因为c=lo g 12

1

3=log 23,a=log 2e,且y=log 2x 在(0,+∞)上单调递增,所以log 23>log 2e>log 22=1,即c>a>1.

因为y=ln x 在(0,+∞)上单调递增,且b=ln 2, 所以ln 2a>b.故选D.

20.(2018?天津?文T5)已知a=log 372,b=(1

4)1

3

,c=lo g 13

1

5

,则a,b,c 的大小关系为( )

A.a>b>c

B.b>a>c

C.c>b>a

D.c>a>b 【答案】D

【解析】∵c=lo g 13

15=log 35>log 37

2>log 33=1,

∴c>a>1.又b=（1

4

） 13

<（1

4

）0

=1,∴c>a>b.

21.(2018?全国2?T3)函数f(x)=

e x -e -x x 2

的图像大致为( )

【答案】B 【解析】∵f(-x)=

e -x -e x x 2

=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=

e 10-

1e 10

100

>1,排除C 、D,故选B.

22.(2018?全国3?理T7文T9)函数y=-x 4

+x 2

+2的图像大致为( )

【答案】D

【解析】当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=1

2时,y=-(12)4+(12)2

+2>2.排除C.故选D. 23.(2018?浙江?T5)函数y=2|x|

sin 2x 的图象可能是( )

【答案】D

【解析】因为在函数y=2|x|

sin 2x 中,y 1=2|x|

为偶函数,y 2=sin 2x 为奇函数, 所以y=2|x|

sin 2x 为奇函数.

所以排除选项A,B.当x=0,x=π

2,x=π时,sin 2x=0,故函数y=2|x|

sin 2x 在[0,π]上有三个零点,排除选项C,故选D.

24.(2018?全国1?理T9)已知函数f(x)={e x ,x ≤0,

lnx ,x >0,g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围

是( ) A.[-1,0)

B.[0,+∞)

C.[-1,+∞)

D.[1,+∞) 【答案】C

【解析】要使得方程g(x)=f(x)+x+a 有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a 有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a 的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a 位于直线y=-x+1的下方,所以-a ≤1,即a ≥-1.故选C.

25.(2017?山东?理T1)设函数y=√4-x 2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A ∩B=( ) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1)

【答案】D

【解析】由4-x 2

≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A ∩B=[-2,1).故选D.

26.(2017?山东?文T9)设f(x)={√x ,0

若f(a)=f(a+1),则f (1

a )=( )

A.2

B.4

C.6

D.8

【答案】C

【解析】由x≥1时,f(x)=2(x-1)是增函数可知,若a≥1,则f(a)≠f(a+1),所以01,由f(a)=f(a+1)得√a =2(a+1-1),解得a=1

4,则f

1a

=f(4)=2(4-1)=6

27.(2017?全国1?理T5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[-2,2]

B.[-1,1]

C.[0,4]

D.[1,3] 【答案】D

【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x ≤3.所以x 的取值范围是[1,3].

28.(2017?天津?理T6)已知奇函数f(x)在R 上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log 25.1),b=g(20.8

),c=g(3),则a,b,c 的大小关系为( ) A.a

【解析】∵f(x)是R 上的奇函数, ∴g(x)=xf(x)是R 上的偶函数. ∴g(-log 25.1)=g(log 25.1). ∵奇函数f(x)在R 上是增函数, ∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.

∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立, ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.

∵2

<2,∴20.8

29.(2017?北京?理T5)已知函数f(x)=3x

-(13)x

,则f(x)( ) A.是奇函数,且在R 上是增函数 B.是偶函数,且在R 上是增函数 C.是奇函数,且在R 上是减函数 D.是偶函数,且在R 上是减函数 【答案】A

【解析】因为f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x

-(13)

-x

=(13)x

-3x

=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.

又y=3x

和y=-(13)x

在R 上都是增函数,所以函数f(x)在R 上是增函数.故选A.

30.(2017?全国1?理T11)设x,y,z 为正数,且2x

=3y

=5z

,则( ) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 【答案】D

【解析】由2x

=3y

=5z

,同时取自然对数,得xln 2=yln 3=zln 5.由2x 3y =2ln33ln2=ln9ln8>1,可得2x>3y;再由2x 5z =2ln5

5ln2=

ln25ln32

<1,可得2x<5z;所以3y<2x<5z,故选D.

31.(2017?全国2?文T8)函数f(x)=ln(x 2

-2x-8)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 【答案】D

【解析】由题意可知x 2

-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x 2

-2x-8在(-∞,-2)内单调递减,在(4,+∞)内单调递增.因为y=ln t 在t ∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D. 32.(2017?全国1?文T9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( ) A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减

C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称

D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 【答案】C

【解析】f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x 2

+2x),x ∈(0,2).当x ∈(0,1)时,x 增大,-x 2

+2x 增大,ln(-x 2

+2x)增大,当x ∈(1,2)时,x 增大,-x 2

+2x 减小,ln(-x 2

+2x)减小,即f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.

33.(2017?山东?理T7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ) A.a+1

b

2a

b C.a+1

b

2a

D.log 2(a+b)

b

2a

【答案】B

【解析】不妨令a=2,b=1

2

,则a+1

b

=4,

b 2a

=18

,log 2(a+b)=log 252

∈(log 22,log 24)=(1,2),即b 2

a

b

.故选

B.

34.(2017?浙江?理T5)若函数f(x)=x 2

+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a 有关,且与b 有关 B.与a 有关,但与b 无关 C.与a 无关,且与b 无关 D.与a 无关,但与b 有关 【答案】B

【解析】因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f (-a

2)=b-a 2

4中取,所以最值之差一定与a 有关,与b 无关,故选B.

35.(2017?全国1?文T8)函数y=sin2x

1-cosx 的部分图象大致为( )

【答案】C 【解析】令f(x)=

sin2x 1-cosx

,因为f(-x)=

sin (-2x )

1-cos (-x )

=-

sin2x

1-cosx

=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排

除选项B;因为f(π)=

sin2π

1-cosπ

=0,故排除选项D;因为f(1)=

sin2

1-cos1

>0,故排除选项A.故选C.

36.(2017?全国3?文T7)函数y=1+x+sinx x 2

的部分图象大致为( )

【答案】D

【解析】当x=1时,y=1+1+sin 1=2+sin 1>2,故排除A,C;当x →+∞时,y →+∞,故排除B,满足条件的只有D,故选D.

37.(2017?山东?理T10)已知当x ∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2

的图象与y=√x +m 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[2√3,+∞)

B.(0,1]∪[3,+∞)

C.(0,√2]∪[2√3,+∞)

D.(0,√2]∪[3,+∞)

【答案】B

【解析】在同一直角坐标系中,分别作出函数f(x)=(mx-1)2=m 2（x-1

m ）2与g(x)=√x +m 的大致图象.分两种情形:

(1)当0

m ≥1,如图①,当x ∈[0,1]时, f(x)与g(x)的图象有一个交点,符合题意;

(2)当m>1时,0<1

m <1,如图②,

要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需g(1)≤f(1), 即1+m≤(m -1)2

,解得m≥3或m≤0(舍去). 综上所述,m ∈(0,1]∪[3,+∞).故选B.

38.(2017?天津?文T8)已知函数f(x)={|x |+2,x <1,x +2

x

,x ≥1.

设a ∈R,若关于x 的不等式f(x)≥|x

2+a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[-2√3,2] C.[-2,2√3] D.[-2√3,2√3]

【答案】A

【解析】若a=2√3,则当x=0时,f(0)=2,而x 2

+a =2√3,不等式不成立,故排除选项C 、D.

若a=-2√3,则当x=0时,f(0)=2,而

x 2

+a =2√3,不等式不成立,故排除选项B.故选A.

39.(2017?全国3?理T11文T12)已知函数f(x)=x 2

-2x+a(e x-1

+e -x+1

)有唯一零点,则a=( )

A.-1

2 B.1

3

C.1

2

D.1

【答案】C

【解析】∵f (x)=x 2

-2x+a(e x-1

+e -x+1

),

∴f (2-x)=(2-x)2

-2(2-x)+a(e

2-x-1

+e -(2-x)+1

)

=x 2-4x+4-4+2x+a(e 1-x +e x-1

) =x 2

-2x+a(e x-1

+e

-x+1

),

∴f (2-x)=f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴. ∵f (x)有唯一零点,∴f (x)的零点只能为1, 即f(1)=12

-2×1+a(e 1-1

+e

-1+1

)=0,解得a=1

2

.

40.(2017?北京?理T8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361

,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080

.则下列各数中与M

N 最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48) A.1033

B.1053

C.1073

D.1093

【答案】D

【解析】设M

N =x=3361

1080,两边取对数,得lg x=lg 3361

1080=lg 3361

-lg 1080

=361×lg 3-80≈93.28,所以x ≈10

93.28

,即与

M

N

最接近的是1093

.故选D. 41.(2016?全国2?文T10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x

的定义域和值域相同的是 ( )

A.y=x

B.y=lg x

C.y=2x

D.y=√

x

【答案】D 【解析】y=10

lg x

=x,定义域与值域均为(0,+∞).

y=x 的定义域和值域均为R;y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R; y=2x

的定义域为R,值域为(0,+∞); y=√x 的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.

42.(2016?北京?文T4)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) A.y=1

1-x B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x

【答案】D

【解析】选项A,y=1

1-x 在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数,故在(-1,1)上为增函数; 选项B,y=cos x 在(-1,1)上先增后减; 选项C,y=ln(x+1)在(-1,+∞)上递增, 故在(-1,1)上为增函数;

选项D,y=2-x

=

12

x

在R 上为减函数,故在(-1,1)上是减函数.

43.(2016?山东?文T9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x 3

-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12

时,f (x +1

2)=f (x -1

2),则f(6)= ( )

A.-2

B.-1

C.0

D.2

【答案】D

【解析】由题意可知,当-1≤x ≤1时,f(x)为奇函数; 所以f(6)=f(5×1+1)=f(1). 而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3

-1]=2. 所以f(6)=2.故选D.

44.(2016?全国1?文T8)若a>b>0,0

B.log c a

C.a c

D.c a

>c b

【答案】B

【解析】对于A,log a c=lgc

lga ,log b c=

lgc lgb

,∵0

∴lg c<0,而a>b>0,∴lg a>lg b,但不能确定lg a,lg b 的正负,故log a c 与log b c 大小不能确定,A 不正确; 对于B,在lg a>lg b 两边同乘以一个负数1

lgc ,不等号改变,得log c a

对于C,∵0

∴幂函数y=x c

在(0,+∞)上为增函数. ∵a>b>0,∴a c

>b c ,故C 不正确;

对于D,∵0

在R 上为减函数.∵a>b>0,∴c a

,故D 不正确. 45.(2016?全国1?理T8)若a>b>1,0

B.ab c

C.alog b c

D.log a c

【解析】特殊值验证法,取a=3,b=2,c=1

2, 因为√3>√2,所以A 错;

因为3√2=√18>2√3=√12,所以B 错;

因为log 312

=-log 32>-1=log 21

2

,所以D 错;

因为3log 212

=-3<2log 31

2

=-2log 32,所以C 正确.故选C.

46.(2016?全国3?理T6)已知a=243,b=425,c=2513

,则( ) A.b

【解析】因为a=243=423>425=b,c=2513=523>423

=a, 所以b

47.(2016?全国3?文T7)已知a=243,b=323,c=251

3,则( ) A.b

【解析】因为a=243=423,c=2513=523,b=323

, 且函数y=x 2

3在[0,+∞)内是增函数, 所以323<423<523

,即b

48.(2016?全国2?文T12)已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x 2

-2x-3|与y=f(x)图象的交点为

(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1m

x i =( )

A.0

B.m

C.2m

D.4m

【答案】B

【解析】由题意可知,y=f(x)与y=|x 2

-2x-3|的图象都关于x=1对称,所以它们的交点也关于x=1对称. 当m 为偶数时,∑i=1m

x i =2×m

2=m;

当m 为奇数时,∑i=1

m x i =2×

m -12

+1=m,故选B.

49.(2016?全国1?T9)函数y=2x 2

-e |x|

在[-2,2]的图象大致为( )

【答案】D

【解析】特殊值验证法,取x=2,则y=2×4-e 2

≈8-2.7182

≈0.6∈(0,1),排除A,B;当0

-e x

,则y'=4x-e x

,

由函数零点的判定可知,y'=4x-e x

在(0,2)内存在零点,即函数y=2x 2

-e x

在(0,2)内有极值点,排除C,故选D. 50.(2016?浙江?文T3)函数y=sin x 2的图象是( )

【答案】D

【解析】∵f (-x)=sin(-x)2

=sin x 2

=f(x), ∴y=sin x 2

的图象关于y 轴对称,排除A,C; 又当x=±π

2

时,sin π2

4

≠1,∴排除B,故选D.

51.(2016?浙江?文T7)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|,且f(x)≥2x

,x ∈R.( ) A.若f(a)≤|b|,则a ≤b B.若f(a)≤2b

,则a ≤b C.若f(a)≥|b|,则a ≥b D.若f(a)≥2b ,则a ≥b 【答案】B

【解析】∵f (x)≥|x|且f(x)≥2x

,∴f (x)表示的区域如图阴影部分所示.

∵对于选项A 和选项C 而言,无论f(a)≤|b|还是f(a)≥|b|,均有a ≤b 或a ≥b 都成立,∴选项A 和选项C 均不正确;

对于选项B,若f(a)≤2b

,只能得到a ≤b,故选项B 正确;

对于选项D,若f(a)≥2b

,由图象可知a ≥b 与a ≤b 均有可能,故选项D 不正确. 52.(2015?湖北?文T7)设x ∈R,定义符号函数sgnx={1,x >0,

0,x =0,-1,x <0,则( )

A.|x|=x|sgn x|

B.|x|=xsgn |x|

C.|x|=|x|sgn x

D.|x|=xsgn x 【答案】D

【解析】利用排除法逐项验证求解.当x<0时,|x|=-x,x|sgn x|=x;xsgn|x|=x,|x|sgn x=(-x )?(-1)=x,故排除A,B,C 项,选D.

53.(2015?重庆?文T3)函数f(x)=log 2(x 2

+2x-3)的定义域是( ) A.[-3,1]

B.(-3,1)

C.(-∞,-3]∪[1,+∞)

D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 【答案】D

【解析】要使函数有意义,应满足x 2

+2x-3>0,解得x>1或x<-3,故函数的定义域是(-∞,-3)∪(1,+∞). 54.(2015?湖北?文T6)函数f(x)= √4-|x |+lg x 2-5x+6x -3

的定义域为( )

A.(2,3)

B.(2,4]

C.(2,3)∪(3,4]

D.(-1,3)∪(3,6] 【答案】C

【解析】要使函数有意义,需{4-|x |≥0,

x 2-5x+6x -3>0,

即{-4≤x ≤4,

x >2且x ≠3,即2

55.(2015?全国1?文T10)已知函数f(x)={2x -1-2,x ≤1,

-log 2(x +1),x >1,且f(a)=-3,则f(6-a)=( )

A.-7

4

B.-5

4

C.-3

4

D.-1

4

【答案】A

【解析】当a ≤1时,f(a)=2a-1

-2=-3,即2a-1

=-1,此等式显然不成立. 当a>1时,f(a)=-log 2(a+1)=-3,即a+1=23

,解得a=7. ∴f(6-a)=f(-1)=2

-1-1

-2=14-2=-7

4.

56.(2015?陕西?文T4)设f(x)={1-√x ,x ≥0,2x

,x <0,

则f(f(-2))=( )

A.-1

B.1

4

C.1

2

D.3

2

【答案】C

【解析】f(f(-2))=f (14)=1-√14=1

2

.

57.(2015?山东?文T10)设函数f(x)={3x -b ,x <1,

2x ,x ≥1.

若f (f (56))=4,则b=( )

A.1

B.78

C.34

D.1

2

【答案】D

【解析】∵f (5

6)=3×5

6-b=5

2-b,∴f (f (5

6))=f (5

2-b). 当5

2-b<1,即b>3

2

时,f (5

2

-b)=3×(5

2

-b)-b=4,∴b=7

8

(舍去).

当52-b≥1,即b≤32

时,f (5

2

-b)=25

2-b =4,

即5

2-b=2,∴b=1

2. 综上,b=1

2

58.(2015?全国2?文T12)设函数f(x)=ln(1+|x|)-1

1+x ,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 的取值范围是( )

A.(1

3,1)

B.(-∞,1

3)∪(1,+∞) C.(-1

3,13)

D.(-∞,-1

3)∪(1

3,+∞) 【答案】A

【解析】函数f(x)的定义域为R,又由题意可知f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数. 当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+x 2

,因为y 1=ln(1+x)单调递增,y 2=-

1

1+x 2

亦为单调递增,所以f(x)在(0,+∞)为增函

数.

由f(x)>f(2x-1)?f(|x|)>f(|2x-1|),得|x|>|2x-1|,解得x ∈(1

3,1).

59.(2015?北京?文T3)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=x 2

sin x B.y=x 2

cos x C.y=|ln x| D.y=2-x

【答案】B

【解析】A 选项中函数为奇函数,B 选项中函数为偶函数,C 选项中函数定义域为(0,+∞)不具有奇偶性,D 选项中函数既不是奇函数也不是偶函数.故选B.

60.(2015?天津?文T7)已知定义在R 上的函数f(x)=2|x-m|

-1(m 为实数)为偶函数.记

a=f(log 0.53),b=f(log 25),c=f(2m),则a,b,c 的大小关系为( ) A.a

-1=2

|x+m|

-1,且f(x)为偶函数,

∴2

|x+m|

-1=2

|x-m|

-1对任意的x ∈R 恒成立,解得m=0.

∴f (x)=2|x|

-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数.

∵a=f (log 0.53)=f(-log 23)=f(log 23),c=f(2m)=f(0),且0

61.(2015?全国2?理T5)设函数f(x)={1+log 2(2-x ),x <1,

2x -1, x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )

A.3

B.6

C.9

D.12 【答案】C

【解析】∵f (-2)=1+log 24=3,f(log 212)=2log 212-1=

2log 21221

=

122

=6,∴f (-2)+f(log 212)=9.

62.(2015?全国2?理T10文T11)如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )

【答案】B

【解析】当x ∈0,π

4时,f(x)=tan x+√4+tan 2x ,图象不是线段,从而排除A,C; ∵f

π4

=f

3

4

π=1+√5,f π2

=2√2,2√2<1+√5,