河北省邯郸一中2016届高三下学期研六考试数学(文)试卷(扫描版)
2016年河北省邯郸市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2016年河北省邯郸市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若z＝，则z＝（）A．﹣+i B．+i C．D．2．（5分）sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．3．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2]B．（﹣2，1]C．（0，3）D．（1，3）4．（5分）设函数f（x）＝，则f（﹣2）＝（）A．3B．4C．5D．65．（5分）若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2＝1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．x2﹣＝1D．﹣＝16．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的s＝（）A．6B．15C．25D．37．（5分）从[0，1]内随机取两个数a，b，则使a≥2b的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）在等比数列{a n}中，公比q≠1，且a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，若a1+a2+a3＝1，则a12+a22+…+a102＝（）A．1B．10C．32D．1009．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[0，]内单调递增，则ω的最大值是（）A．B．1C．D．211．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A．B．1C．D．212．（5分）已知数列{b n}满足b1＝，2b n+1﹣b n•b n+1＝1，则b1+++…+＝（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在正六边形ABCDEF中，若＝+λ，则λ＝．14．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，P A＝PB＝PC＝2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为．16．（5分）设点P在圆x2+（y﹣6）2＝5上，点Q在抛物线x2＝4y上，则|PQ|的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B+b cos A ＝2c cos C．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若△ABC的面积为2，求c的最小值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，∠CBD＝∠CDB＝30°，E为棱P A的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）若平面P AB⊥平面ABCD，P A＝PB＝2，求点E到平面PBC的距离．19．（12分）在一次数学考试中，数学课代表将他们班50名同学的考试成绩按如下方式进行统计得到如下频数分布表（满分为100分）（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据中的频率分布直方图；（Ⅱ）估计该班学生数学成绩的中位数和平均值；（Ⅲ）若按照学生成绩在区间[0，60），[60，80），[80，100）内，分别认定为不及格，及格，优良三个等次，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为5的样本，计算：从该样本中任意抽取2名学生，至少有一名学生成绩属于及格等次的概率．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y＝﹣1相切于点N．（1）求C的方程；（2）若圆M与直线x＝﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．21．（12分）设函数f（x）＝（x+a）lnx+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为x+y﹣2＝0．（Ⅰ）求y＝f（x）的解析式（Ⅱ）证明：f（x）＞0．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE＝EB＝BC．（1）证明：＝；（2）若DE＝4，AD＝8，求DF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|PM|2+|PN|2的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．2016年河北省邯郸市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若z＝，则z＝（）A．﹣+i B．+i C．D．【解答】解：∵z＝＝，∴z•＝|z|2＝＝．故选：D．2．（5分）sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．【解答】解：sin15°+cos15°＝（sin15°+cos15°）＝（sin15°cos45°+cos15°sin45°）＝sin（15°+45°）＝sin60°＝×＝．故选：C．3．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2]B．（﹣2，1]C．（0，3）D．（1，3）【解答】解：由集合B＝{x|log2x＞1}＝（2，+∞），∴∁R B＝（﹣∞，2]，∵集合A＝{x|﹣2＜x＜3}＝（﹣2，3），∴A∩（∁R B）＝（﹣2，2]故选：A．4．（5分）设函数f（x）＝，则f（﹣2）＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：函数f（x）＝，则f（﹣2）＝f（2）+1＝22+1＝5．故选：C．5．（5分）若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2＝1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．x2﹣＝1D．﹣＝1【解答】解：椭圆+y2＝1的焦点为（±1，0）和顶点（±，0），设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），可得a＝1，c＝，b＝＝1，可得x2﹣y2＝1．故选：A．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的s＝（）A．6B．15C．25D．3【解答】解：模拟执行程序，可得s＝1，i＝1s＝1+1，i＝2不满足条件i＞3，s＝1+1+22，i＝3不满足条件i＞3，s＝1+1+22+32，i＝4满足条件i＞3，退出循环，输出s＝1+1+22+32＝15．故选：B．7．（5分）从[0，1]内随机取两个数a，b，则使a≥2b的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，满足a≥2b的条件为作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的区域为△OAD，则D（1，），则△OAD的面积S＝，正方形的面积S＝1，则使a≥2b的概率P＝＝，故选：D．8．（5分）在等比数列{a n}中，公比q≠1，且a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，若a1+a2+a3＝1，则a12+a22+…+a102＝（）A．1B．10C．32D．100【解答】解：在等比数列{a n}中，公比q≠1，由a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，且a1+a2+a3＝1，得，即：，解得．∴数列{}是常数列1，1，1，…，则a12+a22+…+a102＝10．故选：B．9．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）＝，∴f（x）是偶函数，即f（x）的图象关于y轴对称．排除A，C．当x＞1时，f（x）＝ln|x|＝lnx＞0，排除D．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[0，]内单调递增，则ω的最大值是（）A．B．1C．D．2【解答】解：y＝sin2x在[0，]上单调递增，周期为π．令kπ≤wx+≤，解得﹣+≤x≤+，∴当k＝0时，f（x）的单调增区间为[﹣，]．∵f（x）在[0，]上单调递增，∴≤，解得ω≤．故选：A．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A．B．1C．D．2【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为P﹣ABC，其中PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形．∴该四面体的体积＝×2＝．故选：C．12．（5分）已知数列{b n}满足b1＝，2b n+1﹣b n•b n+1＝1，则b1+++…+＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵2b n+1﹣b n•b n+1＝1，∴b n+1＝，∵b1＝，∴b2＝，b3＝，可以猜测b n＝，利用数学归纳法证明如下，①当n＝1时，b1＝，等式成立，②假设n＝k时，等式成立，即b k＝，那么n＝k+1时，b k+1＝＝＝，则n＝k+1时，等式成立，由①②可知，猜想成立，∴＝＝﹣，∴b1+++…+＝（1﹣）+（）+…（﹣）＝1﹣＝，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在正六边形ABCDEF中，若＝+λ，则λ＝﹣．【解答】解由正六边形的知识可知，∵＝，∴＝．∴故答案为：．14．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为20．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，4），化目标函数z＝2x+3y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为20．故答案为：20．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，P A＝PB＝PC＝2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为12π．【解答】解：由题意三棱锥P﹣ABC的三条侧棱P A、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大，三棱锥P﹣ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长：2所以球的直径是2，半径为，球的表面积：4π×＝12π．故答案为：12π．16．（5分）设点P在圆x2+（y﹣6）2＝5上，点Q在抛物线x2＝4y上，则|PQ|的最小值为．【解答】解：设点Q（x，y），则x2＝4y，圆x2+（y﹣6）2＝5的圆心C（0，6），半径r＝，由圆的对称性可得，当|PQ|的最小时，C，P，Q三点共线，即|PQ|＝|CQ|﹣|CP|．∴|PQ|＝﹣＝﹣＝﹣≥2﹣＝．故答案为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B+b cos A ＝2c cos C．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若△ABC的面积为2，求c的最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos C，…（2分）∴sin（A+B）＝2sin C cos C，∴sin C＝2sin C cos C，…（4分）∴，故C＝60°；…（6分）（Ⅱ）由已知，所以ab＝8，…（8分）由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∴c2≥2ab﹣2ab cos C⇒c2≥8，…（10分）∴（当且仅当a＝b时取等号）．∴c的最小值为．…（12分）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，∠CBD＝∠CDB＝30°，E为棱P A的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）若平面P AB⊥平面ABCD，P A＝PB＝2，求点E到平面PBC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接EF、DF，∴EF∥PB，DF⊥AB．∵∠CBD＝∠FDB＝30°，∴∠ABC＝90°，即CB⊥AB，∴DF∥BC，∵EF、DF⊂平面DEF，PB、BC⊂平面PBC，∴平面DEF∥平面PBC，∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面PBC．（Ⅱ）解：∵平面P AB⊥平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB，∵BC⊂平面PBC，∴平面P AB⊥平面PBC．∴在△P AB中，过E作EG⊥PB交BP的延长线于G点，则EG的长为点E到平面PBC的距离，设点A到PB的距离为h，则，即，∴，即点E到平面PBC的距离为．19．（12分）在一次数学考试中，数学课代表将他们班50名同学的考试成绩按如下方式进行统计得到如下频数分布表（满分为100分）（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据中的频率分布直方图；（Ⅱ）估计该班学生数学成绩的中位数和平均值；（Ⅲ）若按照学生成绩在区间[0，60），[60，80），[80，100）内，分别认定为不及格，及格，优良三个等次，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为5的样本，计算：从该样本中任意抽取2名学生，至少有一名学生成绩属于及格等次的概率．【解答】解：（Ⅰ）频率分布直方图如图所示（Ⅱ）由频率分布直方图可得该班学生数学成绩的中位数为70；该班学生数学成绩的平均值为，（Ⅲ）由题可得在抽取的5个样本中属于不及格、及格、优良三个等次的个数分别为1、3、1，对应编号分别为A、B1、B2、B3、C，从中任意抽取2名学生的情况有AB1、AB2、AB3、AC、B1B2、B1B3、B1C、B2B3、B2C、B3C，共10种，其中至少有一名学生成绩属于及格等次的情况有9种，∴至少有一名学生成绩属于及格等次的概率为．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y＝﹣1相切于点N．（1）求C的方程；（2）若圆M与直线x＝﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝y1+y2+p＝2p，又∵以AB为直径的圆M与直线y＝﹣1相切，∴|FN|＝|AB|＝+1，即|AB|＝p+2，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y．（2）设直线l的方程为y＝kx+1，代入x2＝4y中，化简整理得x2﹣4kx﹣4＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，∴，∴圆心的坐标为M（2k，2k2+1），∵圆M与直线相切于点Q，∴|MQ|＝|MN|，∴，解得，此时直线l的方程为，即x﹣2y+2＝0，圆心，半径，∴圆M的方程为．21．（12分）设函数f（x）＝（x+a）lnx+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为x+y﹣2＝0．（Ⅰ）求y＝f（x）的解析式（Ⅱ）证明：f（x）＞0．【解答】（Ⅰ）解：∵函数f（x）的导数，∴f′（1）＝1+a＝﹣1，即a＝﹣2，又点（1，f（1））在切线x+y﹣2＝0上，∴1+b﹣2＝0，即b＝1，∴y＝f（x）的解析式为f（x）＝（x﹣2）lnx+1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，又∵f′（x）在（0，+∞）内单调递增，且f′（1）＝﹣1＜0，f′（2）＝ln2＞0，∴存在x0∈（1，2）使得f′（x）＝0．当0＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴f（x）≥f（x0）＝（x0﹣2）lnx0+1．由f′（x0）＝0得，∴．令，则，∴r（x）在区间（1，2）内单调递减，所以r（x）＜r（1）＝5，∴．综上，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE＝EB＝BC．（1）证明：＝；（2）若DE＝4，AD＝8，求DF的长．【解答】（1）证明：∵EB＝BC∴∠C＝∠BEC∵∠BED＝∠BAD∴∠C＝∠BED＝∠BAD…（2分）∵∠EBA＝∠C+∠BEC＝2∠C，AE＝EB∴∠EAB＝∠EBA＝2∠C，又∠C＝∠BAD∴∠EAD＝∠C∴∠BAD＝∠EAD…（4分）∴．…（5分）（2）解：由（1）知∠EAD＝∠C＝∠FED，又∠EDA＝∠EDA∴△EAD∽△FED…（8分）∴又∵DE＝4，AD＝8，∴DF＝2．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|PM|2+|PN|2的值．【解答】解：（1）由ρsin2θ＝2cosθ得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，∵，∴y2＝2x；根据（t为参数），消去t得，x﹣y﹣3＝0，故曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2x，x﹣y﹣3＝0．（2）将直线l的参数方程化为（t为参数）代入y2＝2x中，整理得．设t1，t2是该方程的两根，则，由参数的几何意义，可知．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，由f（x）≥﹣3，可得|x﹣2|﹣|2x﹣1|≥﹣3，①或②或③，解①得；解②得；解③得x＝2，综上所述，不等式的解集为{x|﹣4≤x≤2}；（2）若当x∈[1，3]时，f（x）≤3成立，即|x﹣a|≤3+|2x﹣1|＝2x+2，故﹣2x﹣2≤x﹣a≤2x+2，即：﹣3x﹣2≤﹣a≤x+2，∴﹣x﹣2≤a≤3x+2对x∈[1，3]时成立，∴a∈[﹣3，5]．。
邯郸市一中第二学期研六考试
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作邯郸市一中2015-2016学年第二学期研六考试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}|11,|01x M x x N x x ⎧⎫=-<<=≤⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．{}|01x x ≤< B ．{}|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤ 2.复数()1z i i =+在复平面内所对应点的坐标为（ ） A ．()1,1 B ．()1,1-- C ．()1,1- D ．()1,1- 3.如图所示程序框图中，输出S =（ ） A ．45 B ．-55 C ．-66 D ．664.“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ）条件.A ．必要而不充分B ．充分不必要C ．充分必要D ．既不充分也不必要5.命题：①为了了解800名学生对学习某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40；②线性回归方程y b x a ∧∧∧=+恒过样本中心(),x y ，且至少过一个样本点； ③在某项测量中，测量结果ξ服从正太分布()()22,0N σσ>，若ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，则ξ在()2,3内取值的概率为0.4；其中真命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．36.同时具有性质“⑴最小正周期是π；⑵图象关于直线6x π=对称；⑶在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数”的一个函数可以是（ ） A ．5sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ） A ．27 B ．30 C ．32 D ．368.在ABC 中，,33,3,6A AB ACD π===在边BC 上，且2CD DB =，则AD （ ）A ．19B ．21C ．5D ．279.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，没接至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A ．36种 B ．30种 C ．24种 D ．6种10.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线by x a=-的垂线，垂足为A 交双曲线左支于B点，若2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ． 5D ．711.在菱形ABCD 中，60,3A AB =︒=，将ABD 折起到PBD 的位置，若二面角P BD C --的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的体积为（ ） A ．43πB ．32πC ．776πD ．772π12.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,01421,14xx x f x x π⎧⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭ D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()7270127x m a a x a x a x -=+++的展开式中4x 的系数是-35，则127a a a ++= .14.设不等式组00x y x y y π+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域为M ，函数[]sin ,0,y x x π=∈的图像与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内概率为 .15.已知12,F F 为222116x y a +=的左、右焦点，M 为椭圆上一点，则12MF F 内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则2a = .16.关于x 的方程2ln x x x a-=有唯一的解，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足()231n n S a n N+=-∈，等差数列{}nb 满足11323,3b a b S ==+.⑴求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； ⑵设3nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18（本小题满分12分）2015年4月21日上午10时，省会首次启动重污染天气II 级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁）[)15,25[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75频数 5 10 15 10 55 赞成人数469634⑴完成被调查人员的频率分布直方图；19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，,AB AP E =为棱PD 的中点. ⑴证明：AE CD ⊥；⑵求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；⑶若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点21F F ，其离心率为21=e ，点P 为椭圆上的一个动点，21F PF ∆内切圆面积的最大值为34π. （1）求b a ,的值；（2）若D C B A 、、、是椭圆上不重合的四个点，且满足1111//,//,0F A FC F B F D AC BD ⋅=,求AC BD +的取值范围.21.（本小题满分12分）已知()ln 1mf x n x x =++（,m n 为实数），在1x =处的切线方程为20x y +-=. ⑴求()y f x =的单调区间；⑵若任意实数1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的上恒有()3222f x t t at ≥--+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于,B C 两点，20,10,PA PB BAC ==∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E . ⑴求证：AB PC PA AC ⋅=⋅； ⑵求AD AE ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0,a b ϕ>>为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=，与1C ，2C 各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=，这两个交点重合.⑴分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值；⑵设当4πα=时，l 与1C ，2C 的交点分别为11,A B ，当4πα=-，l 与1C ，2C 的交点分别为22,A B ，求四边形1221A A B B 的面积.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()22,f x x x a a R =---∈. ⑴当3a =时，解不等式()0f x >；⑵当(),2x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.邯郸市一中2015-2016学年第二学期研六考试高三理科数学答案1-12 ADBAB DDABC CC 13.1 14.28π 15.25 16.0a <或1a =17、⑴当1n =时，111231,1S a a =-∴=设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+⑵1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++① 234113572133333n n n T ++=++++②，由①-②得， 223n n n T +=-.18、⑴各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，画图⑵ξ的所有可能取值为：0,1,2,3()226422510615150104575C C P C C ξ==⋅=⋅=()211126464422225105104156243411045104575C C C C C P C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()212264442222510510415662221045104575C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⋅+⋅=()1244225106643104575C C P C C ξ==⋅=⋅=所以ξ的分布列是：ξ 0 1 2 3P1575 3475 2275 475所以ξ的数学期望是153422460123757575755E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19、⑴证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为AD CD ⊥，所以CD ⊥面PAD ，由于AE ⊂面PAD ，所以有CD AE ⊥； ⑵依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系不妨设2AB AP ==，()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P点E 为棱PD 的中点，得()()()()0,1,1,0,1,1,2,2,0,2,0,2E AE BD PB ==-=-设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则0n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩不妨令1y =，可得()1,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，所以6cos ,3AE EF 〈〉=所以，直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值为63； ⑶向量()()()2,2,2,2,2,0,2,0,0CP AC AB =--== 由点M 在棱PC 上，设(),01CM CP λλ=≤≤故()12,22,2FM FC CM λλλ=+=--，由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=因此，()()312222204λλλ-⨯+-⨯=∴=，所以13PM MC =20、（1）当P 为椭圆上下顶点时，21F PF ∆内切圆面积取得最大值，设21F PF ∆内切圆半径为r,332,342=∴=r r ππ. r PF PF F F bc b F F S F PF )(212121212121++==⋅=∆3322a c 221⨯+=）（,化为)(332c a bc +=，又222,21c b a a c +==，联立解得32,2,4===b c a ..........4分 （2）∵满足0,//,//1111=⋅BD AC D F B F C F FA∴直线AC ，BD 垂直相交于点1F ,由（1）椭圆方程1121622=+y x ，)0,2(1-F . ①直线AC ，BD 有一条斜率不存在时，1486=+=+BD AC .②当AC 斜率存在且不为0时，设方程为),(),,(),2(2211y x C y x A x k y +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=11216)2(22y x x k y ，化为0481616)43(2222=-+++k x k x k .22212221434816,4316k k x x k k x x +-=+-=+∴.4110,1,11216822≤-<∴>-+=+∴t t t tt BD AC ，)14796[，∈+∴BD AC . 综上可得：BD AC +∴的取值范围是[14,796) .......12分 21、⑴()()'21mn fx xx =-++，由条件可得：()()'111,112,2f f m n ==∴==- ()()()()''2210021f x x f x f x xx ∴=-+>∴<∴+的减区间为()0,+∞，没有递增区间；⑵由⑴可知，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()11f =∴只需3221212t t at a t t t --≤∴≥-+对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立令()()()()22'2212111,21t t t g t t t g t t t t t-++=-+=--= ∴当112t ≤<时，()()'0,g t g x <单调递减，当12t <≤时，()()'0,g t g x >单调递增 而()()1202g g g t ⎛⎫-<∴⎪⎝⎭的最大值为()522g =∴只需55224a a ≥∴≥； ⑶由⑴可知，()f x 在(]0,1上单调递减，∴对任意的正整数n ，都有()111f f n ⎛⎫≥=⎪⎝⎭即：211ln 1121n n -≥+成立，整理可得：4+ln 2+1n n n ≥ 则有：48124ln12;ln 22;ln 32,,ln 22341n n n +≥+≥+≥+≥+以上各式相加可得：()124ln1ln 2ln 2231n n n n ⎛⎫++++++≥ ⎪+⎝⎭22、⑴PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=，又P ∠为公共角，,PABPCA AB PC PA AC ∴⋅=⋅⑵PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线，240,30PA PB PC BC ∴=⋅==又22290,900CAB AC AB BC ∠=︒∴+==又由⑴知125,65AB PAAC AB AC PC=∴==，连接EC ，则CAE EAB ∠=∠ ,,65125360AB AD ACEADB AD AE AB AC AE AC=⋅=⋅=⨯=23、⑴1C 是圆，2C 是椭圆.当0α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()1,0,,0a 因为这两点间的距离为2，所以3a = 当2πα=，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()0,1,0,b 因为这两点重合，所以1b =；⑵1C ，2C 的普通方程为22221,19x x y y +=+= 当4πα=时，射线l 与1C 交点1A 的横纵表是22x =，与2C 交点1B 的横坐标是'31010x = 当4πα=-时，射线l 与1C ，2C 的两个交点22,A B 分别与交点11,A B 关于x 轴对称，因此四边形1221A AB B 为梯形，故四边形1221A A B B 的面积为()()''22225x x x x +-=. 24、⑴()1,2353,2231,2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩ 当2x >时，10x ->，即1x <，解得∅ 当322x ≤≤时，530x ->，即535323x x <∴≤< 当32x <时，10x ->即3112x x >∴<< 不等式解集为5|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； ⑵220222x x a x x a x a ---<⇒-<-⇒<-或23a x +>恒成立，即4a ≥.。
河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研六考试(理)数学试题 Word版含答案
邯郸市一中2015-2016学年第二学期研六考试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|11,|01x M x x N x x ⎧⎫=-<<=≤⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．{}|01x x ≤< B ．{}|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤ 2.复数()1z i i =+在复平面内所对应点的坐标为（ ） A ．()1,1 B ．()1,1-- C ．()1,1- D ．()1,1- 3.如图所示程序框图中，输出S =（ ） A ．45 B ．-55 C ．-66 D ．664.“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ）条件.A ．必要而不充分B ．充分不必要C ．充分必要D ．既不充分也不必要5.命题：①为了了解800名学生对学习某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40；②线性回归方程y b x a ∧∧∧=+恒过样本中心(),x y ，且至少过一个样本点；③在某项测量中，测量结果ξ服从正太分布()()22,0N σσ>，若ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，则ξ在()2,3内取值的概率为0.4； 其中真命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．36.同时具有性质“⑴最小正周期是π；⑵图象关于直线6x π=对称；⑶在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数”的一个函数可以是（ ） A ．5sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ） A ．27 B ．30 C ．32 D ．368.在ABC 中，,3,6A AB ACD π===在边BC 上，且2CD DB =，则AD （ ）A ．5 D ．9.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，没接至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A ．36种B ．30种C ．24种D ．6种10.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作直线b y x a =-的垂线，垂足为A 交双曲线左支于B 点，若2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2 C ．11.在菱形ABCD 中，60,A AB =︒=ABD 折起到PBD 的位置，若二面角P BD C --的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的体积为（ ）A ．43π B．2 C．6 D．212.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,01421,14xx x f x x π⎧⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭ D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()7270127x m a a x a x a x -=+++ 的展开式中4x 的系数是-35，则127a a a ++= .14.设不等式组00x y x y y π+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域为M ，函数[]sin ,0,y x x π=∈的图像与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内概率为 .15.已知12,F F 为222116x y a +=的左、右焦点，M 为椭圆上一点，则12MF F 内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则2a = .16.关于x 的方程2ln x x x a-=有唯一的解，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足()231n n S a n N +=-∈，等差数列{}n b 满足11323,3b a b S ==+.⑴求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；⑵设3nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18（本小题满分12分）2015年4月21日上午10时，省会首次启动重污染天气II 级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：⑴完成被调查人员的频率分布直方图；19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，,AB AP E =为棱PD 的中点.⑴证明：AE CD ⊥；⑵求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；⑶若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点21F F ，其离心率为21=e ，点P 为椭圆上的一个动点，21F PF ∆内切圆面积的最大值为34π. （1）求b a ,的值；（2）若D C B A 、、、是椭圆上不重合的四个点，且满足1111//,//,0F A FC FB FD AC BD ⋅=,求AC BD + 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知()ln 1mf x n x x =++（,m n 为实数），在1x =处的切线方程为20x y +-=.⑴求()y f x =的单调区间；⑵若任意实数1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的上恒有()3222f x t t at ≥--+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于,B C 两点，20,10,PA PB BAC ==∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E . ⑴求证：AB PC PA AC ⋅=⋅； ⑵求AD AE ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0,a b ϕ>>为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=，与1C ，2C 各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=，这两个交点重合.⑴分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值； ⑵设当4πα=时，l 与1C ，2C 的交点分别为11,A B ，当4πα=-，l 与1C ，2C 的交点分别为22,A B ，求四边形1221A A B B 的面积.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()22,f x x x a a R =---∈. ⑴当3a =时，解不等式()0f x >；⑵当(),2x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.邯郸市一中2015-2016学年第二学期研六考试高三理科数学答案1-12 ADBAB DDABC CC 13.1 14.28π15.25 16.0a <或1a = 17、⑴当1n =时，111231,1S a a =-∴=设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+⑵1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++ ① 234113572133333n n n T ++=++++ ②，由①-②得， 223n n n T +=-.18、⑴各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，画图⑵ξ的所有可能取值为：0,1,2,3()226422510615150104575C C P C C ξ==⋅=⋅=()211126464422225105104156243411045104575C C C C C P C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()212264442222510510415662221045104575C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⋅+⋅=()1244225106643104575C C P C C ξ==⋅=⋅=所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望是0123757575755E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 19、⑴证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为AD CD ⊥，所以CD ⊥面PAD ，由于AE ⊂面PAD ，所以有CD AE ⊥； ⑵依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系不妨设2AB AP ==，()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P点E 为棱PD 的中点，得()()()()0,1,1,0,1,1,2,2,0,2,0,2E AE BD PB ==-=-设(),,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 不妨令1y =，可得()1,1,1n = 为平面PBD 的一个法向量，所以cos ,3AE EF 〈〉=所以，直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值为3⑶向量()()()2,2,2,2,2,0,2,0,0CP AC AB =--==由点M 在棱PC 上，设(),01CM CP λλ=≤≤故()12,22,2FM FC CM λλλ=+=--，由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=因此，()()312222204λλλ-⨯+-⨯=∴=，所以13PM MC = 20、（1）当P 为椭圆上下顶点时，21F PF ∆内切圆面积取得最大值，设21F PF ∆内切圆半径为r,332,342=∴=r r ππ. r PF PF F F bc b F F S F PF )(212121212121++==⋅=∆3322a c 221⨯+=）（,化为)(332c a bc +=，又222,21c b a a c +==，联立解得32,2,4===b c a ..........4分（2）∵满足0,//,//1111=⋅F F F∴直线AC ，BD 垂直相交于点1F ,由（1）椭圆方程1121622=+y x ，)0,2(1-F . ①直线AC ，BD1486=+=.②当AC 斜率存在且不为0时，设方程为),(),,(),2(2211y x C y x A x k y +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=11216)2(22y x x k y ，化为0481616)43(2222=-+++k x k x k .22212221434816,4316kk x x k k x x +-=+-=+∴.4110,1,11216822≤-<∴>-+=t t t tt，)14796[，.综上可得：[14,796) .......12分 21、⑴()()'21mn f x xx =-++，由条件可得：()()'111,112,2f f m n ==∴==- ()()()()''2210021f x x f x f x xx ∴=-+>∴<∴+ 的减区间为()0,+∞，没有递增区间；⑵由⑴可知，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()11f =∴只需3221212t t at a t t t --≤∴≥-+对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立令()()()()22'2212111,21t t t g t t t g t t t t t -++=-+=--=∴当112t ≤<时，()()'0,g t g x <单调递减，当12t <≤时，()()'0,g t g x >单调递增 而()()1202g g g t ⎛⎫-<∴⎪⎝⎭的最大值为()522g =∴只需55224a a ≥∴≥； ⑶由⑴可知，()f x 在(]0,1上单调递减，∴对任意的正整数n ，都有()111f f n ⎛⎫≥=⎪⎝⎭即：211ln 1121n n -≥+成立，整理可得：4+ln 2+1n n n ≥ 则有：48124ln12;ln 22;ln 32,,ln 22341nn n +≥+≥+≥+≥+ 以上各式相加可得：()124ln1ln 2ln 2231n n n n ⎛⎫++++++≥⎪+⎝⎭22、⑴PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=，又P ∠为公共角，,PAB PCA AB PC PA AC ∴⋅=⋅⑵PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线，240,30PA PB PC BC ∴=⋅== 又22290,900CAB AC AB BC ∠=︒∴+==又由⑴知AB PAAC AB AC PC=∴==EC ，则CAE EAB ∠=∠,,360AB ADACE ADB AD AE AB AC AE AC=⋅=⋅==23、⑴1C 是圆，2C 是椭圆.当0α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()1,0,,0a 因为这两点间的距离为2，所以3a = 当2πα=，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()0,1,0,b 因为这两点重合，所以1b =；- 11 - ⑵1C ，2C 的普通方程为22221,19x x y y +=+= 当4πα=时，射线l 与1C 交点1A的横纵表是2x =，与2C 交点1B的横坐标是'10x = 当4πα=-时，射线l 与1C ，2C 的两个交点22,A B 分别与交点11,A B 关于x 轴对称，因此四边形1221A A B B 为梯形，故四边形1221A A B B 的面积为()()''22225x x x x +-=. 24、⑴()1,2353,2231,2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩ 当2x >时，10x ->，即1x <，解得∅ 当322x ≤≤时，530x ->，即535323x x <∴≤< 当32x <时，10x ->即3112x x >∴<< 不等式解集为5|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； ⑵220222x x a x x a x a ---<⇒-<-⇒<-或23a x +>恒成立，即4a ≥.。
河北省邯郸一中高考数学一模试卷(文科).docx
高中数学学习材料唐玲出品2016年河北省邯郸一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．∅B．[0，1）∪（3，+∞）C．A D．B2．若复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．i B．0 C．1 D．﹣13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2、a4是方程x2﹣x﹣2=0的两个根，则S5=（）A．B．5 C．D．﹣54．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为（）A．B．C．D．5．函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A．B．C．D．π6．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A． B．3πC．D．π7．函数f（x）=x2﹣elnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．设椭圆+=1，双曲线﹣=1，（其中m＞n＞0）的离心率分别为e1，e2，则（）A．e1，e2＞1 B．e1，e2＜1C．e1，e2=1 D．e1，e2与1大小不确定9．程序框图如图：如果上述程序运行的结果S的值比2016小，若使输出的S最大，那么判断框中应填入（）A．k≤10？B．k≥10？C．k≤9？D．k≥9？10．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．则平面区域所围成的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．511．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）A． B． C．πD．12．已知平面向量的集合A到B的映射f为f（）=﹣2（•），其中为常向量，若映射f满足f（）•f（）=•对任意，∈A恒成立，则用坐标可能是（）A．B． C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB﹣bcosA=c，则的值为．14．已知x＞0，y＞0， ++1=2，则2x+y的最小值为．15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，=λ，=（1﹣λ），则•的取值范围是．16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=﹣f（x）=f（4﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是．三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），=sin2C且A、B、C分别为△ABC 的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且=18，求c的值．．18．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：喜欢不喜欢合计大于40岁20 5 2520岁至40岁10 20 30 合计30 25 55（Ⅰ）判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（Ⅱ）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）平面A1MC1将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．20．如图，已知抛物线C：y2=4x，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．（Ⅰ）若线段AB的长为5，求直线l的方程；（Ⅱ）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣1﹣．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线过（0，﹣1），求a的值；（Ⅱ）求证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．2016年河北省邯郸一中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．∅B．[0，1）∪（3，+∞）C．A D．B【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即A=（1，3），由B中y=x2≥0，得到B=[0，+∞），则A∩B=（1，3）=A，故选：C．2．若复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．i B．0 C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣i为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=1．故选：C．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2、a4是方程x2﹣x﹣2=0的两个根，则S5=（）A．B．5 C． D．﹣5【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据韦达定理a2+a4=1，通过等差数列的等差性质可知a1+a5=a2+a4，最后把a1+a5代入S5即可得到答案．【解答】解：依题意可知a2+a4=1，∴a1+a5=a2+a4=1∴S5==故答案选A4．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于10分钟的事件包含的时间长度是10，两值一比即可求出所求．【解答】解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率的公式可得p（A）==，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为；故选C5．函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A．B．C．D．π【考点】余弦函数的图象；余弦函数的对称性．【分析】先根据函数的表达式求出函数的最小正周期，然后根据两向量对称轴间的距离等于半个周期可得答案．【解答】解：对于，T=∴两条相邻对称轴间的距离为=故选B．6．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A． B．3πC．D．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为1的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在正方体中，所以我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD满足题意，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由题意可知，正方体的棱长为1，所以外接球的半径为R=，所以此四面体的外接球的体积V==．故选C．7．函数f（x）=x2﹣elnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数的导数，根据导数求的函数的极小值为f（）＞0，可得函数无零点．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣elnx，∴f′（x）=2x﹣=．令f′（x）=0，解得x=．由于f′（x）在（0，）上小于零，在（，+∞）上大于零，故x=时，函数f（x）取得极小值．由于f（）=﹣eln=﹣ln=（1﹣ln）＞0，所以函数无零点．故选A．8．设椭圆+=1，双曲线﹣=1，（其中m＞n＞0）的离心率分别为e1，e2，则（）A．e1，e2＞1 B．e1，e2＜1C．e1，e2=1 D．e1，e2与1大小不确定【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程与双曲线方程分别求出椭圆与双曲线的离心率，作积后结合m＞n得答案．【解答】解：在椭圆+=1中，，∴，在双曲线﹣=1中，，∴，∴=．故选：B．9．程序框图如图：如果上述程序运行的结果S的值比2016小，若使输出的S最大，那么判断框中应填入（）A．k≤10？B．k≥10？C．k≤9？D．k≥9？【考点】程序框图．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果判断出当k为何值时输出，得到判断框中的条件．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得K=12，S=1不满足条件，执行循环体，S=12，K=11不满足条件，执行循环体，S=132，K=10不满足条件，执行循环体，S=1320，K=9不满足条件，执行循环体，S=11880，K=8…观察可得：如果上述程序运行的结果S的值比2016小，若使输出的S最大，那么判断框中应填入K≤9？．故选：C．10．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．则平面区域所围成的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的单调性与导数的关系；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由函数y=f′（x）的图象可得：当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．由f（2a+b）＜1，f（4）=1，及f（2a+b）＜1=f（4）．可得2a+b＜4．再利用线性规划的有关知识即可得出．【解答】解：由函数y=f′（x）的图象可得：当x∈[﹣2，0）]时，f′（x）＜0，此时函数f （x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∵a≥0，b≥0，∴2a+b≥0．又∵f（4）=1，f（2a+b）＜1，∴f（2a+b）＜f（4）．∴0≤2a+b＜4．由，画出图象如图∴阴影部分的面积S==4．故选C．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）A ．B ．C ．πD ．【考点】球内接多面体．【分析】球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上．由空间几何知识能求出这两段弧的长度之和．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上．在面AA 1B 1B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为AE=2，AA 1=，则∠A 1AE=．同理∠BAF=，所以∠EAF=，故弧EF 的长为：2×=， 而这样的弧共有三条．在面BB 1C 1C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半径为1，∠FBG=，所以弧FG 的长为：1×=．于是，所得的曲线长为： +=． 故选：A ．12．已知平面向量的集合A 到B 的映射f 为f （）=﹣2（•），其中为常向量，若映射f 满足f （）•f （）=•对任意，∈A 恒成立，则用坐标可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量数量积的运算；映射．【分析】通过赋值列出关于向量的方程，通过向量的运算法则化简方程，得到满足的条件．【解答】解：令=，则f （）•f （）=•又f （）•f （）=[﹣2（•）]2=2﹣4（•）2+4[（•）]2即﹣4（•）2+4[（•）]2=0，∴（•）2（2﹣1）=0∴=0或||=1，对于选项D，||=1，故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB﹣bcosA=c，则的值为4．【考点】正弦定理的应用．【分析】先根据正弦定理得到sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，再由两角和与差的正弦公式进行化简可得到sinAcosB=4sinBcosA，然后转化为正切的形式可得到答案．【解答】解：由acosB﹣bcosA=c及正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，即sinAcosB﹣sinBcosA=sin（A+B），即5（sinAcosB﹣sinBcosA）=3（sinAcosB+sinBcosA），即sinAcosB=4sinBcosA，因此tanA=4tanB，所以=4．故答案为：414．已知x＞0，y＞0， ++1=2，则2x+y的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0， ++1=2，∴2x+y=（2x+y）=4+=8，当且仅当y=2x=4时取等号．∴2x+y的最小值为8．故答案为：8．15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，=λ，=（1﹣λ），则•的取值范围是[0，2] ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】通过向量的坐标运算转化为二次函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1）．=（1，1）+（1﹣λ），λ∈[0，1]．=（1，1）+（1﹣λ）（1，﹣1）=（2﹣λ，λ）．==（0，1）+=（0，1）+λ（1，0）=（λ，1）．∴f（λ）==（2﹣λ，λ）•（λ，1）=λ（2﹣λ）+λ=﹣λ2+3λ=，∵λ∈[0，1]，∴f（0）≤f（λ）≤f（1），∴0≤f（λ）≤2．∴•的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=﹣f（x）=f（4﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是或．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】判断函数是奇函数和函数的周期性，可得0、±2是函数f（x）的零点，将函数f （x）在区间[﹣2，2]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，2）时，x2﹣x+b＞0恒成立，且x2﹣x+b=1在（0，2）有一解，由此构造关于b的不等式组，解不等式组可得实数b的取值范围．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，因为f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，所以f（﹣2）=f（2），且f（﹣2）=﹣f（2），则f（﹣2）=f（2）=0，即±2也是函数f（x）的零点，因为函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数为5，且当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x2﹣x+b），所以当x∈（0，2）时，x2﹣x+b＞0恒成立，且x2﹣x+b=1在（0，2）有一解，即或，解得＜b≤1或b=，故答案为：或．三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），=sin2C且A、B、C分别为△ABC 的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且=18，求c的值．．【考点】平面向量数量积的运算；等比数列的通项公式；正弦定理．【分析】（1）由=sin2C，结合向量的数量积的坐标表示及两角和的正弦公式可求cosC，进而可求C（2）由已知可得，sin2C=sinAsinB，结合正弦定理可得c2=ab，再由向量的数量积的定义可求ab，进而可求c【解答】解：（1）∵=sin2C∴sinAcosB+sinBcosA=sin2C∴sin（A+B）=sinC=sin2C=2sinCcosC∵sinC≠0∴cosC=∵C∈（0，π）∴（2）∵sinA，sinB，sinB成等比数列，∴sin2C=sinAsinB由正弦定理可得c2=ab∵=18，∴==18，∴ab=36∴c2=36，c=618．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：喜欢不喜欢合计大于40岁20 5 2520岁至40岁10 20 30合计30 25 55（Ⅰ）判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（Ⅱ）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）计算K2的值，与临界值比较，即可得到结论；（II）确定样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，利用列举法确定基本事件，即可求得结论．【解答】解：（1）由公式K2=≈11.978＞7.879，所以有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关…（II）设所抽样本中有m个“大于40岁”市民，则，得m=4人所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作B1，B2，B3，B4，G1，G2．从中任选2人的基本事件有（B1，B2）、（B1，B3）、（B1，B4）、（B1，G1）、（B1，G2）、（B2，B3）、（B2，B4）、（B2，G1）、（B2，G2）、（B3，B4）、（B3，G1）、（B3，G2）、（B4，G1）、（B4，G2）、（G1，G2），共15个，…其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的事件有（B1，G1）、（B1，G2）、（B2，G1）、（B2，G2）、（B3，G1）、（B3，G2）、（B4，G1）、（B4，G2），共8个，所以恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的概率为P=．…19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）平面A1MC1将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）先证明A1，M，N，C1四点共面，利用DE∥平面A1MC1，可得DE∥C1N，利用D为CC1的中点，即可求；（2）将几何体AA1M﹣CC1N补成三棱柱AA1M﹣CC1F，求出几何体AA1M﹣CC1N的体积、直三棱柱ABC﹣A1B1C1体积，即可求较小部分与较大部分的体积之比．【解答】解：（1）取BC中点为N，连结MN，C1N，…∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，…且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N又DE⊂平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1∴DE∥C1N∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…∴．…（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，又AC⊥AB，则AC⊥平面ABB1A1设AB=2AA1=2，又三角形A1MC1是等腰三角形，所以．如图，将几何体AA1M﹣CC1N补成三棱柱AA1M﹣CC1F∴几何体AA1M﹣CC1N的体积为：…又直三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为：…故剩余的几何体棱台BMN﹣B1A1C1的体积为：∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：．…20．如图，已知抛物线C：y2=4x，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．（Ⅰ）若线段AB的长为5，求直线l的方程；（Ⅱ）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则联立方程化简可得y2﹣4my﹣4=0，从而可得，从而求直线l的方程；（Ⅱ）设M（a2，2a），则k MA==，k MB=，k MD=，则=，从而可得（a2﹣1）（m+）=0，从而求出点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（1，0）∵直线l的斜率不为0，所以设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）由得y2﹣4my﹣4=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，，，∴，∴．∴直线l的斜率k2=4，∵k＞0，∴k=2，∴直线l的方程为2x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）设M（a2，2a），k MA==，同理，k MB=，k MD=，∵直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，∴2=+恒成立；∴=，又∵y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴（a2﹣1）（m+）=0，∴a=±1，∴存在点M（1，2）或M（1，﹣2），使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列．21．已知函数f（x）=e x﹣1﹣．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线过（0，﹣1），求a的值；（Ⅱ）求证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）将x=2代入原函数和导函数，求出切点坐标和切线斜率，得到切线的点斜式方程，将（0，﹣1）代入，可求a的值；（Ⅱ）若证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．只需证：（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x ∈[0，+∞），利用导数法求其最值后，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）解由x﹣1≠0得：函数f（x）=e x﹣1﹣的定义域为x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞），f（2）=e2﹣1﹣2a，，∴f'（2）=e2+a，∴曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线y﹣（e2﹣1﹣2a）=（e2+a）（x﹣2）将（0，﹣1）代入，得﹣1﹣（e2﹣1﹣2a）=﹣2e2﹣2a，解得：证明：（Ⅱ）若证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．只需证：在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，∵x∈（0，1）∪（1，+∞）时，恒成立，∴只需证：（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0在（0，+∞）恒成立设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x∈[0，+∞）∵g（0）=0恒成立∴只需证：g（x）≥0在[0，+∞）恒成立∵g'（x）=x•e x﹣1﹣a，g''（x）=（x+1）•e x＞0恒成立，∴g'（x）单调递增，∴g'（x）≥g'（0）=﹣1﹣a≥0∴g（x）单调递增，∴g（x）≥g（0）=0∴g（x）≥0在[0，+∞）恒成立即在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）要证明四点共圆，可根据圆内接四边形判定定理：四边形对角互补，而由AP 是⊙O的切线，P为切点，易得∠APO=90°，故解答这题的关键是证明，∠AMO=90°，根据垂径定理不难得到结论．（2）由（1）的结论可知，∠OPM+∠APM=90°，只要能说明∠OPM=∠OAM即可得到结论．【解答】证明：（Ⅰ）连接OP，OM．因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP．因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC．于是∠OPA+∠OMA=180°．由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形M的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．由（Ⅰ）得OP⊥AP．由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．又∵A，P，O，M四点共圆∴∠OPM=∠OAM所以∠OAM+∠APM=90°．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（1）a=5时，表达式中对数的真数大于0，即|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0，分情况讨论不等式的解集，最后取并集即可得到函数f（x）的定义域．（2）函数f（x）的定义域为R，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|＞a恒成立，根据绝对值不等式的性质求出左边的最小值，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①①当x≤1时，不等式①等价于﹣2x+1＞0，解之得x；②当1＜x≤5时，不等式①等价于﹣1＞0，无实数解；③当x＞5时，不等式①等价于2x﹣11＞0，解之得x综上所述，函数f（x）的定义域为（﹣∞，）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，∴不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣a＞0恒成立，∴只要a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即可，又∵|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，（当且仅当1≤x≤5时取等号）∴a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即a＜4，可得实数a的取值范围是（﹣∞，4）．2016年10月17日。
2016高三邯郸一模数学(文)试题及答案
邯郸市2016届高三第一次模拟考试 文科数学 2016.3本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷，第22题~24题为选考题，其他部分为必考题。
考生作答时，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔记清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把题目对应的题号涂黑。
第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1.若1izi-，则z z ⋅=A. 1122i -+ B.1122i + C.2D. 122.sin15cos15+=A.12 B.2 C. 2 D.23.已知集合2{|23},{|log 1}A x x B x x =-<<=>，则()R A C B = A. (2,2]- B. (2,1]- C. (0,3) D. (1,3)4.设函数2(0)()()1(0)x x f x f x x ⎧>=⎨-+<⎩，则(2)f -=A. 3B. 4C.5D.65.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆2212x y +=的焦点和顶点，则该双曲线方程为A. 221x y -= B. 2212x y -= C. 2212y x -= D. 22132x y -= 6.执行如图所示的程序框图，则输出的s=A. 6B. 15C. 25D. 317.从[0,1]内随机取两个数,a b ，则使2a b ≥得概率为 A.34 B. 23 C. 13 D. 148.公比不为1的等比数列{}n a 中，且123456,,a a a a a a +++成等差数列，若1231a a a ++=，则2221210...a a a +++=A.1B. 10C. 32D. 100 9.函数1()ln ||f x x =的图像大致为10.已知函数2()2sin ()(0)6f x x πωω=+>在区间[0,]2π内单调递增，则ω的最大值是 A.23 B. 1 C. 32D. 211.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为A. 23 B. 1 C. 43D. 212.已知数列{}n b 满足1111,212n n n b b b b ++=-⋅=，则31002222...23100b b b +++= A.97100 B.99100 C. 100101 D. 102101第II 卷（非选择题 共90分）本题包括必考题和选考题两部分。
邯郸市一中第二学期研六考试.docx
邯郸市一中2015-2016学年第二学期研六考试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}|11,|01x M x x N x x ⎧⎫=-<<=≤⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．{}|01x x ≤< B ．{}|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤ 2.复数()1z i i =+在复平面内所对应点的坐标为（ ） A ．()1,1 B ．()1,1-- C ．()1,1- D ．()1,1- 3.如图所示程序框图中，输出S =（ ） A ．45 B ．-55 C ．-66 D ．664.“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ）条件.A ．必要而不充分B ．充分不必要C ．充分必要D ．既不充分也不必要5.命题：①为了了解800名学生对学习某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40；②线性回归方程y b x a ∧∧∧=+恒过样本中心(),x y ，且至少过一个样本点； ③在某项测量中，测量结果ξ服从正太分布()()22,0N σσ>，若ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，则ξ在()2,3内取值的概率为0.4；其中真命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．36.同时具有性质“⑴最小正周期是π；⑵图象关于直线6x π=对称；⑶在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数”的一个函数可以是（ ） A ．5sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ） A ．27 B ．30 C ．32 D ．368.在ABC 中，,33,3,6A AB ACD π===在边BC 上，且2CD DB =，则AD （ ）A ．19B ．21C ．5D ．279.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，没接至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A ．36种 B ．30种 C ．24种 D ．6种10.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线by x a=-的垂线，垂足为A 交双曲线左支于B点，若2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ． 5D ．711.在菱形ABCD 中，60,3A AB =︒=，将ABD 折起到PBD 的位置，若二面角P BD C --的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的体积为（ ） A ．43πB ．32πC ．776πD ．772π12.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,01421,14xx x f x x π⎧⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭ D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()7270127x m a a x a x a x -=+++的展开式中4x 的系数是-35，则127a a a ++= .14.设不等式组00x y x y y π+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域为M ，函数[]sin ,0,y x x π=∈的图像与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内概率为 .15.已知12,F F 为222116x y a +=的左、右焦点，M 为椭圆上一点，则12MF F 内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则2a = .16.关于x 的方程2ln x x x a-=有唯一的解，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足()231n n S a n N+=-∈，等差数列{}nb 满足11323,3b a b S ==+.⑴求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； ⑵设3nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18（本小题满分12分）2015年4月21日上午10时，省会首次启动重污染天气II 级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁）[)15,25[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75频数 5 10 15 10 55 赞成人数469634⑴完成被调查人员的频率分布直方图；19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，,AB AP E =为棱PD 的中点. ⑴证明：AE CD ⊥；⑵求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；⑶若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点21F F ，其离心率为21=e ，点P 为椭圆上的一个动点，21F PF ∆内切圆面积的最大值为34π. （1）求b a ,的值；（2）若D C B A 、、、是椭圆上不重合的四个点，且满足1111//,//,0F A FC F B F D AC BD ⋅=,求AC BD +的取值范围.21.（本小题满分12分）已知()ln 1mf x n x x =++（,m n 为实数），在1x =处的切线方程为20x y +-=. ⑴求()y f x =的单调区间；⑵若任意实数1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的上恒有()3222f x t t at ≥--+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于,B C 两点，20,10,PA PB BAC ==∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E . ⑴求证：AB PC PA AC ⋅=⋅； ⑵求AD AE ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0,a b ϕ>>为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=，与1C ，2C 各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=，这两个交点重合.⑴分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值；⑵设当4πα=时，l 与1C ，2C 的交点分别为11,A B ，当4πα=-，l 与1C ，2C 的交点分别为22,A B ，求四边形1221A A B B 的面积.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()22,f x x x a a R =---∈. ⑴当3a =时，解不等式()0f x >；⑵当(),2x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.邯郸市一中2015-2016学年第二学期研六考试高三理科数学答案1-12 ADBAB DDABC CC 13.1 14.28π 15.25 16.0a <或1a =17、⑴当1n =时，111231,1S a a =-∴=设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+⑵1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++① 234113572133333n n n T ++=++++②，由①-②得， 223n n n T +=-.18、⑴各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，画图⑵ξ的所有可能取值为：0,1,2,3()226422510615150104575C C P C C ξ==⋅=⋅=()211126464422225105104156243411045104575C C C C C P C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()212264442222510510415662221045104575C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⋅+⋅=()1244225106643104575C C P C C ξ==⋅=⋅=所以ξ的分布列是：ξ 0 1 2 3P1575 3475 2275 475所以ξ的数学期望是153422460123757575755E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19、⑴证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为AD CD ⊥，所以CD ⊥面PAD ，由于AE ⊂面PAD ，所以有CD AE ⊥； ⑵依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系不妨设2AB AP ==，()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P点E 为棱PD 的中点，得()()()()0,1,1,0,1,1,2,2,0,2,0,2E AE BD PB ==-=-设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则0n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩不妨令1y =，可得()1,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，所以6cos ,3AE EF 〈〉=所以，直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值为63； ⑶向量()()()2,2,2,2,2,0,2,0,0CP AC AB =--== 由点M 在棱PC 上，设(),01CM CP λλ=≤≤故()12,22,2FM FC CM λλλ=+=--，由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=因此，()()312222204λλλ-⨯+-⨯=∴=，所以13PM MC =20、（1）当P 为椭圆上下顶点时，21F PF ∆内切圆面积取得最大值，设21F PF ∆内切圆半径为r,332,342=∴=r r ππ. r PF PF F F bc b F F S F PF )(212121212121++==⋅=∆3322a c 221⨯+=）（,化为)(332c a bc +=，又222,21c b a a c +==，联立解得32,2,4===b c a ..........4分 （2）∵满足0,//,//1111=⋅BD AC D F B F C F FA∴直线AC ，BD 垂直相交于点1F ,由（1）椭圆方程1121622=+y x ，)0,2(1-F . ①直线AC ，BD 有一条斜率不存在时，1486=+=+BD AC .②当AC 斜率存在且不为0时，设方程为),(),,(),2(2211y x C y x A x k y +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=11216)2(22y x x k y ，化为0481616)43(2222=-+++k x k x k .22212221434816,4316k k x x k k x x +-=+-=+∴.4110,1,11216822≤-<∴>-+=+∴t t t tt BD AC ，)14796[，∈+∴BD AC . 综上可得：BD AC +∴的取值范围是[14,796) .......12分 21、⑴()()'21mn fx xx =-++，由条件可得：()()'111,112,2f f m n ==∴==- ()()()()''2210021f x x f x f x xx ∴=-+>∴<∴+的减区间为()0,+∞，没有递增区间；⑵由⑴可知，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()11f =∴只需3221212t t at a t t t --≤∴≥-+对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立令()()()()22'2212111,21t t t g t t t g t t t t t-++=-+=--= ∴当112t ≤<时，()()'0,g t g x <单调递减，当12t <≤时，()()'0,g t g x >单调递增 而()()1202g g g t ⎛⎫-<∴⎪⎝⎭的最大值为()522g =∴只需55224a a ≥∴≥； ⑶由⑴可知，()f x 在(]0,1上单调递减，∴对任意的正整数n ，都有()111f f n ⎛⎫≥=⎪⎝⎭即：211ln 1121n n -≥+成立，整理可得：4+ln 2+1n n n ≥ 则有：48124ln12;ln 22;ln 32,,ln 22341n n n +≥+≥+≥+≥+以上各式相加可得：()124ln1ln 2ln 2231n n n n ⎛⎫++++++≥ ⎪+⎝⎭22、⑴PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=，又P ∠为公共角，,PABPCA AB PC PA AC ∴⋅=⋅⑵PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线，240,30PA PB PC BC ∴=⋅==又22290,900CAB AC AB BC ∠=︒∴+==又由⑴知125,65AB PAAC AB AC PC=∴==，连接EC ，则CAE EAB ∠=∠ ,,65125360AB AD ACEADB AD AE AB AC AE AC=⋅=⋅=⨯=23、⑴1C 是圆，2C 是椭圆.当0α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()1,0,,0a 因为这两点间的距离为2，所以3a = 当2πα=，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()0,1,0,b 因为这两点重合，所以1b =；—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————桑水 ⑵1C ，2C 的普通方程为22221,19x x y y +=+= 当4πα=时，射线l 与1C 交点1A 的横纵表是22x =，与2C 交点1B 的横坐标是'31010x = 当4πα=-时，射线l 与1C ，2C 的两个交点22,A B 分别与交点11,A B 关于x 轴对称，因此四边形1221A AB B 为梯形，故四边形1221A A B B 的面积为()()''22225x x x x +-=. 24、⑴()1,2353,2231,2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩ 当2x >时，10x ->，即1x <，解得∅ 当322x ≤≤时，530x ->，即535323x x <∴≤< 当32x <时，10x ->即3112x x >∴<< 不等式解集为5|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； ⑵220222x x a x x a x a ---<⇒-<-⇒<-或23a x +>恒成立，即4a ≥.。