2017一轮复习学案圆的方程复习学案1
《圆》复习学案1
第三章《圆》学案1 姓名：__________学习目标：1、了解弧、弦、圆心角、圆周角的关系；2、了解三角形内心和外心及其性质；3、熟练将正多边形的有关计算转化为直角三角形问题来解决4、会计算弧长和扇形面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。
思想方法提炼：数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，转化思想。
（一）主要定理1、“一等二等”(圆心角、弧、弦)在同圆或等圆中，如果两个、两条、两条中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别。
2、垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条，并且平分这条弦所对的两条。
（常见辅助线1）推论：平分非直径弦的直径垂直于，并且平分弦所对的两条。
3、圆周角定理及推论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的。
（常见辅助线2）推论1：同弧或等弧所对的圆周角；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是。
例1：（09.钦州）⊙O1与x轴交于点A（1，0）和B（5，0），点O1的纵坐标为5．求⊙O1的半径．例2：（08•黄石）如下图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50°，则∠ADC= 度。
【巩固练习】1、（10•襄阳）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离为。
2、如图，在⊙O中，AB为直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于D，则∠ABD= 度。
3、如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，如果∠ABC=70°，那么∠D= 度。
第2题图第3题图第4题图第5题图4、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD= 度。
5、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠D=35°，则∠BOC的度数是。
（二）弧长和扇形相关公式1、弧长公式180n R l π=（其中n 是圆心角度数，R 是弧所在圆的半径）。
_一元二次方程复习学案
《一元二次方程》复习导学案》考点分析：必考点：一元二次方程的解法及应用常考点：一元二次方程的概念及根的情况 本节重难点知识及体系构建3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【基础知识提前整理】---------课前预习1、只含 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫一元二次方程。
2、一元二次方程的常见解法有 、 、配方法、 。
3、一元二次方程的求根公式是 。
4、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，Δ= ，Δ＞0，方程 ， Δ=0，方程 ，Δ＜0，方程 ，Δ≥0，方程 。
5、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，x 1 、x 2是方程的两个实数根，则x 1 +x 2= ， x 1 x 2= 。
应用问题中常用的数量关系及题型： 6、数字问题： （1）设个位数字为c ，十位数字为b ，百位数字为a ，则这个三位数为 ； （2）日历中前后两日差 ，上下两日差 。
7、体积变化问题： 8、打折销售问题（1）利润= -成本；（2）利润率=利润×100％. 9、行程问题10、教育储蓄问题（1）利息= ；（2）本息和= =本金х（1+利率х期数）；（3）利息税= ；（4）贷款利息=贷款数额х利率х期数考点、易错点探究：二、课内探究探究一：一元二次方程的基本概念典例1：已知方程24(2)(3)50m m m x m x --++++=是一元二次方程，求你M 的值。
变式训练：关于x 的方程是一元二次方程，则a=__________典例2：已知关于X 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2变式训练：若0是关于x 的方程（m-2）x 2+3x+ m 2+2m-8=0的解，求实数m 的值，并讨论方程解的情况。
直线与圆
直线与圆一、主要内容课标要求：（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
二、典例分析题型一.直线的倾斜角和斜率例1.已知直线l 过点(m ,1),( 1+m , 1tan +α),则 ( )A. α一定是直线l 的倾斜角B. α一定不是直线l 的倾斜角C. α 不一定是直线l 的倾斜角D.α-180一定是直线l 的倾斜角 例2.若两直线的斜率互为相反数,则它们的倾斜角的关系是例3.过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1,则a 的值为( )A.1B.4C.1或3D.1或4 例4.如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位,再沿y 轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位 置,那么直线l 的斜率是例5.若直线l 的倾斜角θ满足,3tan <θ则θ的取值范围是( ) A.Z k k k ∈+<<-,32ππθππ B.60πθ<≤或πθπ<<2C.30πθ<≤或πθπ<<2D.60πθ<≤或πθπ<<32 例6.如果直线l 过(1,2)点,且不通过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是( )A.]1,0[B.]2,0[ C .]21,0[ D .]3,0( 例7.如果0,0<⋅<⋅C B C A ,那么直线0=++C By Ax 不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限题型二、直线的方程例1 已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A 524=+y x B 524=-y x C 52=+y x D 52=-y x例2 直线10x y -+=上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转090得直线l ，则直线l 的方程是 例3 直线x a y b 221-=在y 轴上的截距是（ ） A b B 2b - C b 2 D ±b例4. 过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5 则直线的方程是-------------------------------.例5 若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A 0≠m B 23-≠m C 1≠m D 1≠m ，23-≠m ，0≠m 例6. 若方程02222=++-y x my x 表示两条直线，则m 的取值是 .例7.经过点)1,2(-P ,在x 轴和y 轴上的截距分别为b a ,,且满足b a 3=的直线方程为--------------. 例8. 直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）A (0,0)B (0,1)C (3,1)D (2,1) 题型三、直线的位置关系（平行，垂直、对称）例 1.已知直线062:1=++y ax l 与01)1(:22=-+-+a y a x l 平行,则实数a 的取 值是( )A.21或-B.-1C.10或D. 2例2. 求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线程. 例3.求与直线0532=++y x 平行，且在两坐标轴上的截距之和为65的直线的方程． 例4.直线l 过点（-1，2）且与直线0432=+-y x 垂直，则l 的方程是（ ）A.0123=-+y xB.0723=++y xC.0532=+-y xD.0832=+-y x例5 直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A 平行B 垂直C 斜交D 与,,a b θ的值有关例6.经过直线0123:1=-+y x l 和0125:2=++y x l 的交点,且垂直于直线 0653:3=+-y x l 的直线l 的方程为 .例7.已知点)3,6(),4,3(B A --到直线01=++y ax 的距离相等,则实数a 的值等( ) A. 97 B. 31- C. 3197--或 D. 3197或 例8. 直线01=++y ax 与连接)2,3(),3,2(-B A 的线段相交,则a 的取值范围是( )A. []2,1-B. ),2[)1,(+∞⋃--∞C. []1,2-D. (,2][1,)-∞-⋃+∞例9.1) 已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________；2)若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________； 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________例10.已知点01),1,3(),4,2(=+-y x l Q P ：直线.(1)在直线l 上求一点M ,使得QM PM +最小,并求出最小值;(2)在直线l 上求一点N ,使得PN QN -最大,并求出最大值.题型四、直线的有关距离计算例1 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________例2 两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A 4BCD 例3. 与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________例4 已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为例5 .求函数()f x =的最小值例6.（13辽宁理9）已知点).,(),,0(),0,0(3a a B b A O 若ABC ∆为直角三角形,则必有（ ）A.3b a =B.31b a a =+C.()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D.3310b a b a a -+--= 例7.（13新课标理12）已知)1,0(),0,1(),0,1(C B A -，直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.（0,1）B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,221C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,221 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,31 例8.(13湖南理8）在等腰直角三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 反射后又回到点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于（ ）A.2B.1C.83D.43题型五．圆的方程例1方程1x -=表示的曲线是（ ） A 一个圆 B 两个半圆 C 两个圆 D 半圆例2 以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程为---------------------------.例3动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是 例4.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程是 （ ）A. 22(2)1x y +-=B. 22(2)1x y ++=C.22(1)(3)1x y -+-=D.22(3)1x y +-= 例 5.（10新课标15）过点A (4,1)的圆C 与直线01=--y x 相切于点B （2,1），则圆C 的方程为 .例6. 已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为 （ ）A. 22(1)(1)2x y ++-=B.22(1)(1)2x y -++=C.22(1)(1)2x y -+-=D.22(1)(1)2x y +++=题型 六． 直线与圆的位置关系（一）相交例1.过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长( )例2.若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长为=a . 例3.（12陕西理4）已知圆22:40C x y x +-=，l 为过点(3,0)P 的直线，则（ ）A.l 与C 相交B.l 与C 相切C.l 与C 相离D.以上三个选项均有可能例4. 若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A 03=--y x B 032=-+y x C 01=-+y x D 052=--y x例5.（10山东理16）已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 .例6.（11重庆理8）在圆22260x y x y +--=内过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. C.例7.（11江西理9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( ) A.)33,33(-B. )33,0()0,33(⋃-C.]33,33[-D. ),33()33,(+∞⋃--∞例8.（10湖北理9）若直线b x y +=与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是（ ）A. 1,1⎡-+⎣B. 1⎡-+⎣C. 1⎡⎤-⎣⎦D. 1⎡⎤-⎣⎦例9.（13江西理9）过点引直线l 与曲线y =A,B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 （ ）A. 3B.3-C.3±(二)相切例1.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A 023=-+y xB 043=-+y xC 043=+-y xD 023=+-y x 例2 设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ） A 1± B 21± C 33± D 3±例3.（13山东理9）过点)1,3(作圆1)1(22=+-y x 的两条切线，切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为（ ）A.032=-+y xB.032=--y xC.034=--y xD. 034=-+y x例4.（12天津理8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（ ）A.[1B.(,1)-∞∞C.[2-D.(,2)-∞-∞例5.（13重庆理7）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=， ,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A. 41 C.6-（三）相离例1 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A 2B 21+C 221+ D 221+ 例2. 圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是（ ）A 6B 4C 5D 1例3．设圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234=-y x 的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A ．)6,4(B ．)6,4[C ．]6,4(D ．]6,4[例4.（10-江苏9）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 .题型七．圆与圆的位置关系例1 两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A 相离 B 相交 C 内切 D 外切例 2. 圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A 30x y ++= B 250x y --= C 390x y --= D 4370x y -+= 例3.已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为 （ ）A. A.2(2)x ++2(2)y -=1B.2(2)x -+2(2)y +=1B. C.2(2)x ++2(2)y +=1 D.2(2)x -+2(2)y -=1例4. 已知两圆04026,010102222=--++=--+y x y x y x y x ，求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长例5 如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么xy 的最大值是__ 例6. 已知实数y x ,满足122=+y x ，求12++x y 的取值范围 反馈练习1.点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是 （ ）A.22(2)(1)1x y -++=B.22(2)(1)4x y -++=C.22(4)(2)4x y ++-=D.22(2)(1)1x y ++-=2. 已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 .3.（10全国理11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为切点，那么PA PB ∙ 的最小值为( ) A. 4-3- C.4-+3-+4.（11-安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x,y)为整点.下列命题中正确的是 .（写出所有正确的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线b kx y +=不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线b kx y +=经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线5.（11江西理10）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，N M ,是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点N M ,在大圆内所绘出的图形大致是( )6.直线l 过点),2,1(-M 且与以)0,4(),3,2(Q P --为端点的线段PQ 相交,则l 的斜率的取值范围是( ) A ]5,52[- B ]5,0()0,52[ - C ]5,2()2,52[ππ - D ),5[]52,(+∞--∞ 7．已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 的值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或28. 直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为( )A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离9.（09浙江文9）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A.3B.4C.5D.610.（09四川理14）若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 .11.过原点O 作圆0208622=+--+y x y x 的两条切线，设切点分别为Q P ,，则线段PQ 的长为 .12.（12江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 .13．（09全国二文15）已知圆O ：522=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 .14.（10江西理8）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于N M ,两点，若MN ≥则k 的取值范围是（ ）A.3[,0]4- B. 3(,][0,]4-∞-+∞ C. [ D.2[,0]3- 15．（09江西文16）设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题：A .存在一个圆与所有直线相交B .存在一个圆与所有直线不相交C .存在一个圆与所有直线相切D .M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．参考答案二、典例分析题型一.直线的倾斜角和斜率例1.C; 例2. 互补; 例3.A; 例4. 13-; 例5. C; 例6.B; 例7.C. 题型二、直线的方程例1.B; 例2. 70x y +-=; 例3.B; 例4. 2510085200x y x y --=-+=或 ; 例5. C; 例6.1; 例7. 31020x y x y +-=+=或; 例8.C.题型三、直线的位置关系（平行，垂直、对称）例1.B; 例2. 2613470x y +-=; 例3. 2310x y +-=; 例4. A; 例5. B;例6. 5310x y +-=; 例7.C; 例8.D; 例9. 1)23y x =-+; 2) 23;23y x x y =--=+;例10. 1)913(,);44M d = 2) (3,4);2;N d = 题型四、直线的有关距离计算例1. 2; 例2.D; 例3. 2100x y y --=≠且 ; 例4.A; 例5. 22(2)(2)25x y -++=; 例6.B;题型五．圆的方程例1.A; 例2. 22(2)(2)25x y -++=; 例3. 2310x y +-=; 例4. A; 例5. 22(3)2x y -+=; 例6.B.题型 六． 直线与圆的位置关系（一） 相交例1.D; 例2.1; 例3.A; 例4. A ; 例5. 30x y +-= ; 例6.B; 例7. B; 例8.C; 例9.B.（二） 相切例1.D; 例2. C; 例3.A; 例4. D ; 例5. A.（三）相离例1.B; 例2. B; 例3.A; 例4. (-13,13) .题型七．圆与圆的位置关系例1.B; 例2. C; 例3.B; 例4. (1) ;250x y +-=; (2) ;例5. 例6. 3[,)4+∞.反馈练习1.A2. 5;3.D;4.①③⑤5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.。
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第三节 圆的方程(课件)
2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＞_r_2_． (2)若M(x0，y0)在圆上，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＝_r_2_．
答案：B
10
考点三 与圆有关的轨迹方程 [综合性]
[例3] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P， Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2， 2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程 为(x－1)2＋y2＝1.
(2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
一题多变 (变问题)若例1中条件不变，求P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离
的最大值和最小值．
答案：(1)B
12
反思感悟 建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基 本不等式、函数单调性等方法求最值．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y_0－__b_)2_＜__r2_．
二、必明2个常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2) ＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程表示圆的条件 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这 一条件．
高三第一轮复习圆的方程及求法
圆的方程及求法【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 主干知识归纳1．圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 2．圆的方程：方法规律总结1．待定系数法求圆的方程(1) 若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 2．几何法求圆的方程：利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径， 弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等．3．求与圆有关的轨迹问题的四种方法【指点迷津】【类型一】确定圆的方程【例1】：求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程 【解析】： 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=+013211222222b a r b a r b a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧=-==534r b a ,∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.【例2】：已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程．【解析】：法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2.由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-+-+=+--0205)5(106)6(222E D F E D F E ,消去F 得⎩⎨⎧ D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎨⎧D ＝6E ＝4，代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0，标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝1)6(5----＝1，因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎨⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r ＝|AC |＝22)26()30(+-++＝5，所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.【类型二】与圆有关的轨迹问题【例1】：已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【例2】：已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】：(1)设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．答案：(1) x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2) (x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．例3．(2010·山东烟台调研)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y －1＝0【解析】：由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2,2)，所以过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理即得y 2＋4x －4y ＋8＝0. 答案：C.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1. 已知两点A (9，4)和B (3，6)，则以AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x －6)2＋(y －5)2＝10B ．(x ＋6)2＋(y ＋5)2＝10C ．(x －5)2＋(y －6)2＝10D ．(x ＋5)2＋(y ＋6)2＝10【解析】：线段AB 的中点坐标(6，5)为圆心坐标，半径=21|AB|=10答案：A.2. (2014·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1【解析】：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B.3. 若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)【解析】：曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a ＞2. 答案：D.4. 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞32B ．－32 ＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜32【解析】：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0转化为(x +2a )2＋(y ＋a )2＝－43a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－43a 2－a ＋1＞0，∴3a 2＋4a －4＜0，∴－2＜a ＜32 .答案：D.5. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13【解析】：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：C. 二、填空题6. 经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________． 【解析】：由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1.7. 已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________． 【解析】： ∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1).8. 圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为______________． 【解析】：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝2. 三、解答题9. 已知圆的方程是x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0， (1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆． 【解析】：(1)配方得：(x ＋m －1)2＋(y －2m )2＝9∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且⎩⎨⎧x ＝1－my ＝2m ，∴2x ＋y ＝2.∴不论m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．答案：(1) 圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3. (2) 圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．10. (2010·辽宁抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． ∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【二级目标】能力提升题组一、选择题1. 已知二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，是方程表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】：取A ＝C ＝4，D ＝2，E ＝2，F ＝1时，满足⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，但是4x 2＋4y 2＋2x ＋2y ＋1＝0不表示圆；方程13x 2＋13y 2＋x ＋y ＋1＝0表示圆，其中A ＝13，C ＝13，D ＝1，E ＝1，F ＝1，但不满足D 2＋E 2－4F ＞0.综上可知，选D ． 答案：D.2. (2010·浙江宁波调研)若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14【解析】：由题意知，圆C 的圆心坐标为(－4，－1)．又直线l 始终平分圆C ，所以直线l 必过圆心，故4＝4a ＋b ≥24ab ，故ab ≤1. 答案：C. 二、填空题3. (2009·扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．【解析】：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )， ∴ab ＋ab ＝1， ∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π， ∴面积的最小值为π.答案：π.【高考链接】1. （2016年浙江省文科第10题）已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a +2)y 2+4x+8y +5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 【解析】：由题可得a 2=a +2，解得a =－1或a =2当a =－1时，方程为x 2＋y 2+4x+8y －5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5 当a =2时，方程不表示圆 答案：(－2，－4)，5.2. （2009年上海第题）点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【解析】：设中点M 的坐标为(x ，y )，与之对应的圆上动点Q 的坐标为(x 0，y 0)，显然M 与Q 的对应关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋(－2)2，同时Q 满足在圆x 2＋y 2＝4上，即x 20＋y 20＝4；利用M 与Q 的对应关系将x 、y 代入，得中点M 的轨迹方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A.3. （2015年湖北省第16题）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【解析】:试题分析：设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1， 即01x =，半径0r y =.又因为2AB =，所以222011y +=，即0y r =，所以圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+=，令0x =得：1)B .设圆C 在点B处的切线方程为1)kx y -=，则圆心C到其距离为：d ==，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x 1)y =+，于是令0y =可得x 1=，即圆C 在点B 处的切线在x轴上的截距为1--故应填22(1)(2x y -+=和1--答案：（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1--。
高三数学一轮复习圆的方程复习课
典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且 直线y=x截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程。 7 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 ， 则有（
知识梳理
4、圆的参数方程：
x a r cos y b r sin
( r 0 , 为参数 )
其中圆心为(a, b)，半径为r. 说明：1、几何性质比较明显，很好体现半径 与x轴的圆心角的关系。 2、方程中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2， 把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.
能力培
（1）
y x
的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值； （3）x2+y2的最大值和最小值.
思悟小结
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F） 的值需要确定，因此需要三个独立的条件. 利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组， 解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤： （1）选用圆的方程两种形式中的一种 （若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程； 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）； （2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值， 并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.
A. a 1
B. a
.
1
C. a
数学中考一轮复习学案 第24节 圆的有关概念与性质（含解析）
第四章图形的性质第24节圆的有关概念与性质■知识点一：圆的有关概念(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角．(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆．(8)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性．■知识点二：垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．■知识点三：圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．■知识点四：圆周角定理及推论①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．②圆内接四边形的任意一组对角互补．■考点1.圆的有关概念◇典例：（2017年黑龙江大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ 为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为．【考点】正方形的性质；勾股定理；圆的认识．【分析】连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，再由勾股定理求出a的值即可．解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，在Rt△OPN中，ON2+PN2=OP2，即（）2+a2=（）2，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查的是正方形的性质，勾股定理；圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．◆变式训练（2017•宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________■考点2.垂径定理及其推论◇典例：（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）如图，AB为⊙O 的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．【考点】垂径定理，勾股定理【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．◆变式训练1.（2018年山东省烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为．2.（2018年浙江省绍兴市）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）■考点3. 圆心角、弧、弦的关系◇典例（2017•牡丹江）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】连接OC，先根据=得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD ≌△COE，由此可得出结论．证明：连接OC，∵=，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．◆变式训练（2017•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA■考点4. 圆周角定理及其推论◇典例：1.（2018 年广西梧州市）如图，已知在⊙O 中，半径 OA=2，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与AB 交于点 C，则∠ACO=__________度．【考点】圆周角定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB 的形状，由圆周角定理可以求得∠BOD 的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC的度数．解：∵OA=2，OB=2，AB=2，∴OA 2+OB2=AB2，OA=OB，∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°，∵∠BAD=18°，∴∠BOD=36°，∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°，故答案为：81．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．◆变式训练1.（2018年四川省南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B 的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°2.（2017•锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．40°一、选择题1.（2018年广西柳州市）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°2.（2018年内蒙古赤峰市）如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A．B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°3.（2018年浙江省衢州市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．35°4.（2018年湖北省襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C． D．25.（2018年四川省甘孜州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD二、填空题6.（2018年广东省）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是．7.（2018年青海省）如图，A．B、C是错误!未找到引用源。
高考数学一轮复习圆的方程
F＝0，
16＋4D＋F＝0， 2－D＋E＋F＝0，
D＝－4，
解得E＝－6， F＝0，
易得 D2＋E2－4F>0，所以过这
三点的圆的方程为 x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13.
若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点， 设过这三点的圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点
第二节
圆与方程
第二节 圆与方程
1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
必备知识·系统归纳 先整体系统知识，再分课时研究题点考法
Ⅰ.主干知识的再认再现
圆心到直线 l 的距离为 2 ＝ 2<2，所以直线 l 与圆相交．又圆 心不在直线 l 上，所以直线不过圆心．故选 D. 答案：D
4．(人教 A 版选择性必修①P98·T3 改编)直线 y＝ 3x 被圆 C：x2＋y2－2x
＝0 截得的线段长为
()
A．2
B. 3
C．1
D. 2
解析：圆 C：x2＋y2－2x＝0 的圆心为(1,0)，半径为 1，圆心到直线 y ＝ 3x 的距离为 d＝ |3＋3| 1＝ 23，弦长为 2· 1－ 232＝1，故选 C.
16＋4D＋F＝0，
可 得 2－D＋E＋F＝0， 20＋4D＋2E＋F＝0，
D＝－156， 解 得 E＝－2，
F＝－156，
易得 D2＋E2－
4F>0，所以过这三点的圆的方程为 x2＋y2－156x－2y－156＝0，即x－852 ＋(y－1)2＝12659.
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2017一轮复习学案圆的方程复习学案1圆的方程教学目标：1.掌握圆的标准方程和一般方程；2.理解圆的一般方程与标准方程的联系；会熟练地互化。
3.会根据条件准确的求圆的方程教学重点：利用圆的方程解决一些问题教学难点：能准确的利用圆的方程解决问题知识梳理：1. 关于圆的知识：平面内到的距离等于的点的集合．．．．称为圆。
我们把定点称为，定长称为。
确定了圆的位置, 确定了圆的大小。
在平面直角坐标系中，已知：圆心为)aA, 半径长为r，圆上的任意一点)(b,xM应该满(y,MA=足的关系式？r2.圆的标准方程是__________________________，其中圆心________，半径为_____。
题型一：由圆的的标准方程写出圆心和半径：练习：⑴根据条件写圆的方程：①圆心)1,2(-，半径为2②圆心)3,0(，半径为3③圆心)0,0(，半径为r（2）：由圆的标准方程写出下列圆的圆心坐标和半径。
圆心坐标半径6)1()4(22=-+-y x __________ __________4)4()1(22=++-y x __________ __________9)2(22=++y x ___________ ___________8)3(22=-+y x __________ __________222)3(-=+y x __________ __________222)(a y a x =+- ___________ ___________总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为___________题型二：由圆心和半径写出圆的的标准方程：(1) 圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________(2) 圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________(3) 圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________(4)已知 )3,6(),9,4(21P P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程 例1已知圆心在)4,3(--C ，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)0,1(1-P 、)1,1(2-P 、)4,3(3-P 和圆的位置关系。
例1. 判断下列各点是否在以)3,2(-A 为圆心，半径为5的圆上？(1) )7,5(1-M (2) )1,2(2--M (3) )1,3(3-M分析：点在圆上，则点的坐标满足圆的方程；反之，点的坐标满足圆的方程，则点在圆上。
归纳规律：坐标平面内的点),(000y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有哪些？① 点在圆上⇔______________________② 点在圆内⇔______________________③ 点在圆外⇔______________________例2.已知ABC ∆的三个顶点)1,5(A 、)3,7(-B 、)8,2(-C ，求它的外接圆方程。
例3.求圆心在直线01=+-y x ，且经过)1,1(A 和)2,2(-B 的圆的标准方程。
课后练习1.圆22:(2)(1)3C x y -++=的圆心坐标是( )A.(2,1)B.(2,1)-C.(2,1)-D.(2,1)--2. 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝13.若点(1,1)P 为圆22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( )A.230x y +-=B.210x y -+=C.230x y +-=D.210x y --=4.方程29y x =-( )A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆5.已知BC 是圆x 2＋y 2＝25的动弦，且|BC|=6，则BC 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝9C ．x 2＋y 2＝16D ．x ＋y ＝46.若圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于原点对称，则圆C 的标准方程为 .7.求过点(11),(1,1)A B --，,且圆心C 在直线20x y +-=上的圆的标准方程8.求圆心在直线270x y --=上且与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --的圆的标准方程9. 圆C 的圆心在x 轴上，并且过点)1,1(-A 和)3,1(B ，求圆C 的方程。
10.点)22(-，-P 和圆422=+y x 的位置关系是（ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都不对11.若)1,1(在圆4)()(22=-++a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是____________。
12.求以点)3,1(C 为圆心，且与直线0743=--y x 相切的圆的方程。
一轮复习-------圆的一般方程复习初中学习的内容：圆的标准方程常用的几何性质:①弦的垂直平分线必过_________；②圆内任意两条弦的垂直平分线的交点一定是________；③圆心与切点的连线长是____________；④圆心与切点的连线必与切线___________。
一、知识点梳理：圆的一般方程：思考：①方程4)2()1(22=++-y x 表示什么图形？②方程014222=++-+y x y x 表示什么图形？③方程022=++++F Ey Dx y x 一定是圆吗？064222=++-+y x y x 呢？【总结】⑴二元一次方程022=++++F Ey Dx y x ，配方得____________________________， ①0422>-+F E D 时，该方程表示________________，②0422=-+F E D 时，该方程表示________________，③0422<-+F E D 时，该方程表示________________，⑵圆的一般方程______________________________________________其中圆心_____________，半径为_________________例1.判断下列二元一次方程是否表示圆的方程？如果是，求出圆心和半径。
⑴ 044822=+++y x y x - ⑵0822=-+y y x⑶0111244422=++-+y x y x例2. 求过三点)0,0(A 、)1,1(B 、)2,4(C 的圆的方程。
二、课后练习：1. 圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为 （ ）.A ．(2,0),5B ．(0,2)-, 5C ．(0,2), 5D ．(2,2) ,52. 若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则有（ ）.A ．2m ≤ B. 2m < C ．12m < D ．12m ≤ 3.若直线l 平分圆5)2()1(22=-+-y x 且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是_________。
4.将圆014222=+--+y x y x 平分的直线是（ ）A.01=-+y xB.03=++y xC.01=+-y xD.03=--y x5. 求过点M(-1,1) ，且圆心与已知圆C ：036422=-+-+y x y x 相同的圆的方程6.求 圆22450x y x +--=的点到直线34200x y -+=的距离的最大值.7.已知圆过)2,3(),4,1(-B A ，且圆心到直线AB 的距离为10.求这个圆的方程。
三、课后作业（一）1.方程022=+++m y x y x -表示圆，则m 的取值范围____________。
2.将圆014222=+--+y x y x 平分的直线是（ ）A.01=-+y xB.03=++y xC.01=+-y xD.03=--y x3.已知圆0322=++++Ey Dx y x ，圆心在直线01=-+y x 上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的方程。
4. 经过点M (2，1)，并且与圆2268240xy x y +--+=相切的直线方程是 .5．直线20x y +=被曲线2262150xy x y +---=所截得的弦长等于__________．6．如果实数, x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么y x 的最大值是________．7．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（ ）.A ．2B ．12+C ．212+D ．122+8．圆2240xy x +-=在点(1,3)P 处的切线方程为（ ）. A ．320x y +-= B ．340x +-= C ．340x -+= D ．320x y -+=9. 过点A(2，1)的直线交圆x2+y2-2x+4y = 0与B、C两点，当|BC|最大时，直线BC的方程是（）.A．350x y+-=+-=C．350 x y--=B．370x yD．350x y-+=10. 已知圆C：x2+y2-2x+4y+1=0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(-2，2)的圆的方程是（）.A．22x y(1)(2)25-++=(1)(2)5x y-++=B．22C．22x y++-=(1)(2)25(1)(2)5x y++-=D．22课后作业（二）1.求圆心在)3,8(-C ，且经过点)1,5(--M 的圆的方程。
2.已知三点)2,3(A 、)3,5(-B 、)3,1(-C ，以)12(-，P 为圆心作一个圆，使C B A 、、三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程。
3.已知)9,4(1P 、)3,6(2P ，求以21P P 为直径的圆的方程。
4.求圆心在y 轴，半径为1，且过点)2,1(-的圆的方程。
5.求过)0,4(A 、)3,0(B 、)0,0(O 的圆的方程。
6.求圆心在x 轴上，且过点)2,5(A 、)2,3(-B 的圆的方程。
7.已知圆C 的圆心在直线012=--y x 上，并且经过原点和点)1,2(A ，求圆C 的标准方程。
8.若直线l 平分圆5)2()1(22=-+-y x 且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是_________。
9.求与x 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线0=-y x 截得的弦长为72的圆的方程。
10.求圆034222=++-+y x y x 的圆心到直线1=-y x 的距离。
11.设B A 、为直线x y =与圆122=+y x 的两个交点，求AB12.已知一圆过)2,4(-P 、)3,1(-Q 两点，且在y 轴上截得的线段长为34，求圆的方程。