2017一轮复习学案圆的方程复习学案1
《圆》复习学案1
第三章《圆》学案1 姓名：__________学习目标：1、了解弧、弦、圆心角、圆周角的关系；2、了解三角形内心和外心及其性质；3、熟练将正多边形的有关计算转化为直角三角形问题来解决4、会计算弧长和扇形面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。
思想方法提炼：数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，转化思想。
（一）主要定理1、“一等二等”(圆心角、弧、弦)在同圆或等圆中，如果两个、两条、两条中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别。
2、垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条，并且平分这条弦所对的两条。
（常见辅助线1）推论：平分非直径弦的直径垂直于，并且平分弦所对的两条。
3、圆周角定理及推论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的。
（常见辅助线2）推论1：同弧或等弧所对的圆周角；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是。
例1：（09.钦州）⊙O1与x轴交于点A（1，0）和B（5，0），点O1的纵坐标为5．求⊙O1的半径．例2：（08•黄石）如下图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50°，则∠ADC= 度。
【巩固练习】1、（10•襄阳）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离为。
2、如图，在⊙O中，AB为直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于D，则∠ABD= 度。
3、如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，如果∠ABC=70°，那么∠D= 度。
第2题图第3题图第4题图第5题图4、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD= 度。
5、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠D=35°，则∠BOC的度数是。
（二）弧长和扇形相关公式1、弧长公式180n R l π=（其中n 是圆心角度数，R 是弧所在圆的半径）。
高考理科第一轮复习课件(8.3圆的方程)
【拓展提升】 1.求圆的方程的两种方法 （1）直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程. （2）待定系数法： ①若已知条件与圆心（a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，
依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的
值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程， 依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的 值.
又由对称性知圆C2的半径与圆C1的半径相等， 所以r2=1, 故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.
（2）方法一：∵A（6，0），B（1，5），
5 ∴线段AB的中点坐标为 7 ， ），k AB 5 0 1 （ ， 2 2 1 6 ∴AB垂直平分线方程为 y 5 x 7 ， 2 2 即x-y-1=0.
（3）先求过A，B，C三点的圆的方程，再验证点D与圆的位置
关系即可.
【规范解答】(1)选B.设圆C1圆心（-1，1）关于直线x-y-1=0
的对称点为C2(x1,y1),
y1 1 x 1 1, x1 2, 1 则有 解得 即C 2 2, 2 , y1 2, x1 1 y1 1 1 0, 2 2
考向 1
确定圆的方程
【典例1】（1）（2013·南昌模拟）已知圆C1：(x+1)2+(y1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为( （A）(x+2)2+(y-2)2=1 （B）(x-2)2+(y+2)2=1 （C）(x+2)2+(y+2)2=1 （D）(x-2)2+(y-2)2=1 )
浙教版七年级数学上册第5章一元一次方程应用专题复习学案（附答案）
浙教版七年级数学上册第5章⼀元⼀次⽅程应⽤专题复习学案（附答案）七年级数学上册第5章⼀元⼀次⽅程应⽤复习学案◆考点六：⼀元⼀次⽅程的应⽤：典例精讲：例7.⼀个三位数，百位上的数字⽐⼗位上的数字⼤4，个位上的数字⽐⼗位上的数字⼤2，这个三位数恰好是去掉百位上的数字后的两位数的21倍，求这个三位数．变式训练：已知⼀个三位数，个位上的数字是⼗位上数字的2倍还多1，百位上的数字是个位和⼗位数字的和，把这个三位数的个位数字与百位数字交换位置，得到⼀个新三位数，原三位数与新三位数的差为99，求原三位数.典例精讲：例8.某酒店客房部有三⼈间、双⼈间客房，收费标准如表：为吸引游客，实⾏团体⼊住五折优惠措施．现有⼀个100⼈的旅游团优惠期间到该酒店⼊住，住了⼀些三⼈普通间和双⼈普通间客房．若每间客房正好住满，且⼀天共花去住宿费6040元，则旅游团住了三⼈普通间和双⼈普通间客房各多少间？变式训练：某学校准备印刷⼀批证书，现有两个印刷⼚可供选择：甲⼚收费⽅式：收制版费1000元，每本印刷费0.5元；⼄⼚收费⽅式：不超过2000本时，每本收印刷费1.5元；超过2000本超过部分每本收印刷费0.25元，若该校印制证书x本．（1）若x不超过2000时，甲⼚的收费为元，⼄⼚的收费为元；（2）若x超过2000时，甲⼚的收费为元，⼄⼚的收费为元；（3）当印制证书8000本时应该选择哪个印刷⼚更节省费⽤？节省了多少？（4）请问印刷多少本证书时，甲⼄两⼚收费相同？典例精讲：例9.为发展校园⾜球运动，学校决定购买⼀批⾜球运动装备，市场调查发现：甲、⼄两商场以同样的价格出售同种品牌的⾜球队服和⾜球，已知每套队服⽐每个⾜球多50 元，两套队服与三个⾜球的费⽤相等，经洽谈，甲商场优惠⽅案是：每购买⼗套队服，送⼀个⾜球；⼄商场优惠⽅案是：若购买队服超过80套，则购买⾜球打⼋折．(1)求每套队服和每个⾜球的价格是多少？(2)若城区四校联合购买100 套队服和a 个⾜球，请⽤含a 的式⼦分别表⽰出到甲商场和⼄商场购买装备所花的费⽤；(3)假如你是本次购买任务的负责⼈，你认为到哪家商场购买⽐较合算？变式训练：⽬前节能灯在各地区基本普及使⽤，某商场计划⽤3800元购进甲、⼄两种节能灯共120只，这两种节能灯的进价、售价如下表：(1)(2)全部售完这120只节能灯后，该商场共获利多少元？典例精讲：例10.已知甲、⼄两⼈均从400⽶的环形跑道的A处出发，各⾃以每秒6⽶和每秒8⽶的速度在跑道上跑步．（1）若两⼈同时出发，背向⽽⾏，则经过秒钟两⼈第⼀次相遇；若两⼈同时出发，同向⽽⾏，则经过秒钟⼄第⼀次追上甲．（2）若两⼈同向⽽⾏，⼄在甲出发10秒钟后去追甲，经过多少时间⼄第⼆次追上甲．（3）若让甲先跑10秒钟后⼄开始跑，在⼄⽤时不超过100秒的情况下，⼄跑多少秒钟时，两⼈相距40⽶．变式训练：甲、⼄两站相距240千⽶，从甲站开出⼀列慢车，速度为每⼩时80千⽶，从⼄站开出⼀列快车，速度为每⼩时120千⽶．(1)若两车同时开出，背向⽽⾏，则经过多长时间两车相距540千⽶？(2)若两车同时开出，同向⽽⾏(快车在后)，则经过多长时间快车可追上慢车？(3)若两车同时开出，同向⽽⾏(慢车在后)，则经过多长时间两车相距300千⽶？典例精讲：例11.某⼩组⼏名同学准备到图书馆整理⼀批图书，若⼀名同学单独做要40h完成．现在该⼩组全体同学⼀起先做8h后，有2名同学因故离开，剩下的同学再做4h，正好完成这项⼯作．假设每名同学的⼯作效率相同，问该⼩组共有多少名同学？变式训练：1.信息技术课上，⽼师让七年级学⽣练习打字，要求限时40分钟打完﹣篇⽂章．已知⼩宝独⽴打完这篇⽂章需要50分钟，⽽⼩贝只需要30分钟．为了完成任务，⼩宝打了30分钟后，请求⼩贝帮助合作，他能在要求的时间打完吗？2.⼩敏和⼩强到某⼚参加社会实践，该⼚⽤⽩板纸做包装盒．设计每张⽩板纸裁成盒⾝3个或者盒盖5个，且⼀个盒⾝．．．．恰好能做成⼀个包装盒．设裁成盒⾝的⽩板纸有x张，回答下列问题．．．．．和两个盒盖(1)若有11张⽩板纸．①请完成下表．②求最多可做⼏个包装盒．(2)若仓库中已有4个盒⾝，3个盒盖和23张⽩板纸，现把⽩板纸分成两部分，⼀部分裁成盒⾝，⼀部分裁成盒盖．当盒⾝与盒盖全部配套⽤完时，可做多少个包装盒？(3)若有n张⽩板纸(70≤n≤80)，先把⼀张⽩板纸适当套裁出3个盒⾝和1个盒盖，余下⽩板纸分成两部分，⼀部分裁成盒⾝，⼀部分裁成盒盖．当盒⾝与盒盖全部配套⽤完时，n的值可以是__________．巩固提升：1.某超市店庆促销，某种书包原价为每个x元，第⼀次降价打“⼋折”，第⼆次降价每个⼜减10元，经两次降价后售价为90元，则得到⽅程( )A. 0.8x－10＝90B. 0.08x－10＝90C. 90－0.8x＝10D. x－0.8x－10＝902. 如图，⽔平桌⾯上有⼀个内部装有⽔的长⽅体箱⼦，箱内有⼀个与底⾯垂直的隔板，且隔板左右两侧的⽔⾯⾼度分别为40 cm，50 cm，现将隔板抽出，若过程中箱内的⽔量未改变，且不计箱⼦及隔板的厚度，则根据图中的数据，可知隔板抽出后⽔⾯静⽌时，箱内的⽔⾯⾼度为( )A. 43 cmB. 44 cmC. 45 cmD. 46 cm3.某书店为配合该市开展的“我读书，我快乐”读书活动推出⼀种优惠卡，每张卡售价为20元，凭卡购书可享受8折优惠﹒⼩芳同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元﹒若此次⼩芳同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？（）A﹒140元 B﹒150元 C﹒160元 D﹒200元4.⼀商店在某⼀时间以每件120元的价格卖出两件⾐服，其中⼀件盈利20%，另⼀件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（）A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元5.甲、⼄两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进⾏匀速往返跑训练，两⼈同时从A点起跑，到达B点后，⽴即转⾝跑向A点，到达A点后，⼜⽴即转⾝跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，⼄跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两⼈相遇的次数为（）A．5 B．4 C．3 D．26.将正整数1⾄2018按⼀定规律排列如下表：平移表中带阴影的⽅框，⽅框中三个数的和可能是（）A．2019 B．2018 C．2016 D．20137.《孙⼦算经》中有这样⼀道题，原⽂如下：今有百⿅⼊城，家取⼀⿅，不尽，⼜三家共⼀⿅，适尽，问：城中家⼏何？⼤意为：今有100头⿅进城，每家取⼀头⿅，没有取完，剩下的⿅每3家共取⼀头，恰好取完，问：城中有多少户⼈家？8.某车间每天能制作甲种零件200只，或者制作⼄种零件150只，2只甲种零件与3只⼄种零件配成⼀套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，则甲、⼄两种零件各应制作多少天？9.某市⽔果批发部门欲将A市的⼀批⽔果运往本市销售，有⽕车和汽车两种运输⽅式，运输过程中的损耗均为200元/时，其他主要参考数据如下：(1)如果选择汽车的总费⽤⽐选择⽕车的总费⽤多1100元，那么你知道本市与A市之间的路程是多少千⽶吗？请你列⽅程解答；(2)若A市与某市之间的路程为s千⽶，且知道⽕车与汽车在路上耽误的时间分别为2⼩时和3.1⼩时，要想将这批⽔果运往该市进⾏销售，则当s为多少时，选择⽕车和汽车运输所需费⽤相同？10.为了保障我国海外维和部队和官兵的⽣活，现需通过A港⼝、B港⼝分别调运100吨和50吨⽣活物资，已知该物资在甲仓库存有80吨，⼄仓库存有70吨，从甲、⼄两仓库运送物资到每个港⼝的费⽤（元/吨）如下表所⽰：（1）如果从甲、⼄两仓库运送物资到两个港⼝的总费⽤为1920元，则需要从甲仓库运送多少吨物资到A港⼝？（2）根据（1）求出的结果，请你说出此时的调运⽅案﹒11.某班计划买⼀些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、⼄两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买⼀副球拍赠⼀盒乒乓球，⼄店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若⼲盒(不少于5盒)．问：(1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款⼀样？(2)当购买20盒，40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？答案◆考点六：⼀元⼀次⽅程的应⽤：典例精讲：例7.解析：设⼗位上的数为x ，则百位数字为x+4，个位数字为x+2，由题意得：100（x+4）+10x+x+2=21（10x+x+2），解得：x=3，x+4=7，x+2=5，∴这个三位数为735变式训练：解析：设这个三位数的⼗位数字为x ，则个位为()12+x ，百位为()13+x 由题意得：()()[]99131012100121013100=++++-++++x x x x x x 解得：1=x答：这个三位数为：413典例精讲：例8.解析：设三⼈普通间住了x 间，则双⼈普通间住了23100x-间，由题意得：604014023100150=?-+xx 解得：16=x答：旅游团住了三⼈普通间16间，双⼈普通间客房26间变式训练：解析：（1）若x 不超过2000时，甲⼚的收费为元，⼄⼚的收费为（1.5x ）元，故答案为：0.5x +1000，1.5x ；（2）若x 超过2000时，甲⼚的收费为元，⼄⼚的收费为2000×1.5+0.25（x ﹣2000）=0.25x +2500元，故答案为：1000+0.5x ，0.25x +2500；（3）当x =8000时，甲⼚费⽤为1000+0.5×8000=5000元，⼄⼚费⽤为：0.25×8000+2500=4500元，∴当印制证书8000本时应该选择⼄印刷⼚更节省费⽤，节省了500元；（4）当x ≤2000时，1000+0.5x =1.5x ，解得：x=1000；当x ＞2000时，1000+0.5x =0.25x +2500，解得：x =6000；答：印刷1000或6000本证书时，甲⼄两⼚收费相同典例精讲：例9.解析：（1）设每个⾜球的定价是x 元，则每套队服是()50+x 元，由题意得：()x x 3502=+，解得：100=x ，答每套队服是150元，每个⾜球是100元（2）到甲商场购买所化的费⽤为：1400010010100100100150+=??-+?a a （元）到⼄商场购买所化的费⽤为：150********.0100150+=??+?a a （元）（3）当在两家商场购买⼀样合算时，150008014000100+=+a a ，解得：50=a所以购买的⾜球数等于50个时，则在两家商场购买⼀样合算，当购买的⾜球数多于50个时，则到⼄商场购买合算，当购买的⾜球数少于50个时，则到甲商场购买合算变式训练：解析：(1)设购进甲种节能灯x 只，则购进⼄种节能灯(120－x )只．由题意得25x ＋45(120－x )＝3800，解得x ＝80，120－x ＝40.答：购进甲种节能灯80只，⼄种节能灯40只． (2)80×(30－25)＋40×(60－45)＝1000(元)．答：全部售完这120只节能灯后，该商场共获利1000元．典例精讲：例10.解析：（1）400÷（6+8）=7200（秒）； 400÷（8﹣6）=200（秒）．故答案为：7200；200．（2）设经过x 秒时⼄第⼆次追上甲，根据题意得：8x ﹣6x=400+6×10，解得：x=230．答：经过230秒钟⼄第⼆次追上甲．（3）设经过y 秒时甲⼄两⼈相距40⽶，甲、⼄同向⽽⾏时，|6（10+y ）﹣8y|=40，解得：y=10或y=50；甲、⼄背向⽽⾏时，6（10+y ）+8y=400n ﹣40或6（10+y ）+8y=400n+40；解得：750200-=n y 或710200-=n y ，∵y ≤100，∴7150=y 、7190、50、7390、7550、7590．答：当甲、⼄同向⽽⾏时，⼄跑10秒或50秒时，两⼈相距40⽶；当甲、⼄背向⽽⾏时，⼄跑7150、7190、50、7390、7550或7590秒时，两⼈相距40⽶．变式训练：解析：(1)设经过x ⼩时两车相距540千⽶，由题意得80x ＋120x ＝540－240，解得23=x . 答：经过23⼩时两车相距540千⽶．(2)设经过y ⼩时快车可追上慢车．由题意得120y －80y ＝240，解得y ＝6. 答：经过6⼩时快车可追上慢车． (3)设经过z ⼩时两车相距300千⽶．由题意得120z －80z ＝300－240.解得z ＝23. 答：经过23⼩时两车相距300千⽶．典例精讲：例11.解析：设该⼩组共有x 名同学，由题意得，()14024408=-+x x ．解得：4=x答：该⼩组共有4名同学变式训练：1.解析：设⼩贝加⼊后打x 分钟完成任务，根据题意得：（30+x ）×501+301x=1，解得：x=7.5．∵7.5+30=37.5＜40，所以他能在要求的时间打完．2.解析：(1)①填表如下：②解：由题意得2×3x ＝5(11－x )，解得x ＝5．∴3x ＝15．答：最多可做成15个包装盒．(2)解：设⽤y 张⽩板纸裁成盒⾝，由题意得2×(3y ＋4)＝3＋5(23－y )，解得y ＝10．∴3y ＋4＝34．答：可做成34个包装盒． (3)79．巩固提升：1.解析：设某种书包原价每个x 元，根据题意列出⽅程解答即可．设某种书包原价每个x 元，可得：0.8x ﹣10=90，故选择A2.解析:设长⽅形的宽为x 公分,抽出隔板后之⽔⾯⾼度为h 公分,长⽅形的长为130+70=200（公分），由题意得：()()hx x x ??=?++?+2005029070402110130解得:h =44, 故选择B3.解析：设⼩芳同学不买卡直接购书需付书款x 元，由题意，得x -(20+0.8x )＝10，解得x ＝150，即⼩芳同学不买卡直接购书需付书款150元，故选：B ﹒4.解析：设两件⾐服的进价分别为x 、y 元，根据题意得：120﹣x=20%x ，y ﹣120=20%y ，解得：x=100，y=150，∴120+120﹣100﹣150=﹣10（元）．故选：C ．5.解析：设两⼈相遇的次数为x ，依题意有：100452100=+?x 解得x=4.5，∵x 为整数，∴x 取4．故选：B ．6.解析：设中间数为x ，则另外两个数分别为x ﹣1、x+1，∴三个数之和为（x ﹣1）+x+（x+1）=3x ．根据题意得：3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013，解得：x=673，x=67232（舍去），x=672，x=671．∵673=84×8+1，∴2019不合题意，舍去；∵672=84×8，∴2016不合题意，舍去；∵671=83×7+7，∴三个数之和为2013．故选：D ．7.解析：设城中有x 户⼈家，依题意得：x+3x=100 解得x=75．答：城中有75户⼈家．8.解析：设甲种零件制作x 天，⼄种零件制作（30-x ）天由题意得：200x × 3=2×150（30-x ）解得：x=10所以30-x=30-10=20 答：甲种零件制作10天，⼄种零件制作20天9.解析：(1)设本市与A 市之间的路程是x 千⽶，由题意得200·80x ＋20·x ＋900－(200·100x ＋15·x ＋2000)＝1100，解得x ＝400.答：本市与A 市之间的路程是400千⽶．（2）选择汽车的总费⽤＝200??+1.380s ＋20s ＋900＝(22.5s ＋1520)元，选择⽕车的总费⽤＝200??+2100s ＋15s ＋2000＝(17s ＋2400)元，令22.5s ＋1520＝17s ＋2400，解得s ＝160.故当s ＝160时，选择⽕车和汽车运输所需总费⽤相同．10.解析：设从甲仓库运送x 吨物资到A 港⼝，则从⼄仓库运送（100-x ）吨到A 港⼝，从甲仓库运送（80-x ）吨物资到B 港⼝，从⼄仓库运送50-(80-x )＝(x -30)吨到B 港⼝，由题意，得14x +20(100-x )+10(80-x )+8(x -30)＝1920，化简并整理，得-8x +640＝0，解得x ＝80，答：需要从甲仓库运送80吨物资到A 港⼝；（2）当x ＝80时， 100-x ＝20，x -30＝50，故此时调配⽅案为：将甲仓库的80吨全部运送到A 港⼝，从⼄仓库运送20吨到A 港⼝，⼄仓库余下的50吨全部运送到B 港⼝﹒11.解析：(1)设该班购买乒乓球x 盒．根据题意，得甲：100×5＋(x －5)×25＝(25x ＋375)元，⼄：0.9×100×5＋0.9x ×25＝(22.5x ＋450)元，当甲＝⼄时，25x ＋375＝22.5x ＋450，解得x ＝30．答：当买30盒乒乓球时，两种⽅法付款⼀样．(2)买20盒时：甲25×20＋375＝875(元)，⼄22.5×20＋450＝900(元)，选甲；买40盒时：甲25×40＋375＝1 375(元)，⼄22.5×40＋450＝1 350(元)，选⼄．答：买20盒乒乓球时，甲店更合算；买40盒乒乓球时，⼄店更合算．。
直线与圆
直线与圆一、主要内容课标要求：（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
二、典例分析题型一.直线的倾斜角和斜率例1.已知直线l 过点(m ,1),( 1+m , 1tan +α),则 ( )A. α一定是直线l 的倾斜角B. α一定不是直线l 的倾斜角C. α 不一定是直线l 的倾斜角D.α-180一定是直线l 的倾斜角 例2.若两直线的斜率互为相反数,则它们的倾斜角的关系是例3.过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1,则a 的值为( )A.1B.4C.1或3D.1或4 例4.如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位,再沿y 轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位 置,那么直线l 的斜率是例5.若直线l 的倾斜角θ满足,3tan <θ则θ的取值范围是( ) A.Z k k k ∈+<<-,32ππθππ B.60πθ<≤或πθπ<<2C.30πθ<≤或πθπ<<2D.60πθ<≤或πθπ<<32 例6.如果直线l 过(1,2)点,且不通过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是( )A.]1,0[B.]2,0[ C .]21,0[ D .]3,0( 例7.如果0,0<⋅<⋅C B C A ,那么直线0=++C By Ax 不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限题型二、直线的方程例1 已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A 524=+y x B 524=-y x C 52=+y x D 52=-y x例2 直线10x y -+=上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转090得直线l ，则直线l 的方程是 例3 直线x a y b 221-=在y 轴上的截距是（ ） A b B 2b - C b 2 D ±b例4. 过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5 则直线的方程是-------------------------------.例5 若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A 0≠m B 23-≠m C 1≠m D 1≠m ，23-≠m ，0≠m 例6. 若方程02222=++-y x my x 表示两条直线，则m 的取值是 .例7.经过点)1,2(-P ,在x 轴和y 轴上的截距分别为b a ,,且满足b a 3=的直线方程为--------------. 例8. 直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）A (0,0)B (0,1)C (3,1)D (2,1) 题型三、直线的位置关系（平行，垂直、对称）例 1.已知直线062:1=++y ax l 与01)1(:22=-+-+a y a x l 平行,则实数a 的取 值是( )A.21或-B.-1C.10或D. 2例2. 求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线程. 例3.求与直线0532=++y x 平行，且在两坐标轴上的截距之和为65的直线的方程． 例4.直线l 过点（-1，2）且与直线0432=+-y x 垂直，则l 的方程是（ ）A.0123=-+y xB.0723=++y xC.0532=+-y xD.0832=+-y x例5 直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A 平行B 垂直C 斜交D 与,,a b θ的值有关例6.经过直线0123:1=-+y x l 和0125:2=++y x l 的交点,且垂直于直线 0653:3=+-y x l 的直线l 的方程为 .例7.已知点)3,6(),4,3(B A --到直线01=++y ax 的距离相等,则实数a 的值等( ) A. 97 B. 31- C. 3197--或 D. 3197或 例8. 直线01=++y ax 与连接)2,3(),3,2(-B A 的线段相交,则a 的取值范围是( )A. []2,1-B. ),2[)1,(+∞⋃--∞C. []1,2-D. (,2][1,)-∞-⋃+∞例9.1) 已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________；2)若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________； 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________例10.已知点01),1,3(),4,2(=+-y x l Q P ：直线.(1)在直线l 上求一点M ,使得QM PM +最小,并求出最小值;(2)在直线l 上求一点N ,使得PN QN -最大,并求出最大值.题型四、直线的有关距离计算例1 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________例2 两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A 4BCD 例3. 与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________例4 已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为例5 .求函数()f x =的最小值例6.（13辽宁理9）已知点).,(),,0(),0,0(3a a B b A O 若ABC ∆为直角三角形,则必有（ ）A.3b a =B.31b a a =+C.()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D.3310b a b a a -+--= 例7.（13新课标理12）已知)1,0(),0,1(),0,1(C B A -，直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.（0,1）B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,221C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,221 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,31 例8.(13湖南理8）在等腰直角三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 反射后又回到点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于（ ）A.2B.1C.83D.43题型五．圆的方程例1方程1x -=表示的曲线是（ ） A 一个圆 B 两个半圆 C 两个圆 D 半圆例2 以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程为---------------------------.例3动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是 例4.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程是 （ ）A. 22(2)1x y +-=B. 22(2)1x y ++=C.22(1)(3)1x y -+-=D.22(3)1x y +-= 例 5.（10新课标15）过点A (4,1)的圆C 与直线01=--y x 相切于点B （2,1），则圆C 的方程为 .例6. 已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为 （ ）A. 22(1)(1)2x y ++-=B.22(1)(1)2x y -++=C.22(1)(1)2x y -+-=D.22(1)(1)2x y +++=题型 六． 直线与圆的位置关系（一）相交例1.过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长( )例2.若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长为=a . 例3.（12陕西理4）已知圆22:40C x y x +-=，l 为过点(3,0)P 的直线，则（ ）A.l 与C 相交B.l 与C 相切C.l 与C 相离D.以上三个选项均有可能例4. 若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A 03=--y x B 032=-+y x C 01=-+y x D 052=--y x例5.（10山东理16）已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 .例6.（11重庆理8）在圆22260x y x y +--=内过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. C.例7.（11江西理9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( ) A.)33,33(-B. )33,0()0,33(⋃-C.]33,33[-D. ),33()33,(+∞⋃--∞例8.（10湖北理9）若直线b x y +=与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是（ ）A. 1,1⎡-+⎣B. 1⎡-+⎣C. 1⎡⎤-⎣⎦D. 1⎡⎤-⎣⎦例9.（13江西理9）过点引直线l 与曲线y =A,B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 （ ）A. 3B.3-C.3±(二)相切例1.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A 023=-+y xB 043=-+y xC 043=+-y xD 023=+-y x 例2 设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ） A 1± B 21± C 33± D 3±例3.（13山东理9）过点)1,3(作圆1)1(22=+-y x 的两条切线，切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为（ ）A.032=-+y xB.032=--y xC.034=--y xD. 034=-+y x例4.（12天津理8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（ ）A.[1B.(,1)-∞∞C.[2-D.(,2)-∞-∞例5.（13重庆理7）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=， ,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A. 41 C.6-（三）相离例1 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A 2B 21+C 221+ D 221+ 例2. 圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是（ ）A 6B 4C 5D 1例3．设圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234=-y x 的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A ．)6,4(B ．)6,4[C ．]6,4(D ．]6,4[例4.（10-江苏9）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 .题型七．圆与圆的位置关系例1 两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A 相离 B 相交 C 内切 D 外切例 2. 圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A 30x y ++= B 250x y --= C 390x y --= D 4370x y -+= 例3.已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为 （ ）A. A.2(2)x ++2(2)y -=1B.2(2)x -+2(2)y +=1B. C.2(2)x ++2(2)y +=1 D.2(2)x -+2(2)y -=1例4. 已知两圆04026,010102222=--++=--+y x y x y x y x ，求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长例5 如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么xy 的最大值是__ 例6. 已知实数y x ,满足122=+y x ，求12++x y 的取值范围 反馈练习1.点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是 （ ）A.22(2)(1)1x y -++=B.22(2)(1)4x y -++=C.22(4)(2)4x y ++-=D.22(2)(1)1x y ++-=2. 已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 .3.（10全国理11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为切点，那么PA PB ∙ 的最小值为( ) A. 4-3- C.4-+3-+4.（11-安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x,y)为整点.下列命题中正确的是 .（写出所有正确的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线b kx y +=不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线b kx y +=经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线5.（11江西理10）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，N M ,是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点N M ,在大圆内所绘出的图形大致是( )6.直线l 过点),2,1(-M 且与以)0,4(),3,2(Q P --为端点的线段PQ 相交,则l 的斜率的取值范围是( ) A ]5,52[- B ]5,0()0,52[ - C ]5,2()2,52[ππ - D ),5[]52,(+∞--∞ 7．已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 的值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或28. 直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为( )A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离9.（09浙江文9）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A.3B.4C.5D.610.（09四川理14）若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 .11.过原点O 作圆0208622=+--+y x y x 的两条切线，设切点分别为Q P ,，则线段PQ 的长为 .12.（12江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 .13．（09全国二文15）已知圆O ：522=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 .14.（10江西理8）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于N M ,两点，若MN ≥则k 的取值范围是（ ）A.3[,0]4- B. 3(,][0,]4-∞-+∞ C. [ D.2[,0]3- 15．（09江西文16）设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题：A .存在一个圆与所有直线相交B .存在一个圆与所有直线不相交C .存在一个圆与所有直线相切D .M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．参考答案二、典例分析题型一.直线的倾斜角和斜率例1.C; 例2. 互补; 例3.A; 例4. 13-; 例5. C; 例6.B; 例7.C. 题型二、直线的方程例1.B; 例2. 70x y +-=; 例3.B; 例4. 2510085200x y x y --=-+=或 ; 例5. C; 例6.1; 例7. 31020x y x y +-=+=或; 例8.C.题型三、直线的位置关系（平行，垂直、对称）例1.B; 例2. 2613470x y +-=; 例3. 2310x y +-=; 例4. A; 例5. B;例6. 5310x y +-=; 例7.C; 例8.D; 例9. 1)23y x =-+; 2) 23;23y x x y =--=+;例10. 1)913(,);44M d = 2) (3,4);2;N d = 题型四、直线的有关距离计算例1. 2; 例2.D; 例3. 2100x y y --=≠且 ; 例4.A; 例5. 22(2)(2)25x y -++=; 例6.B;题型五．圆的方程例1.A; 例2. 22(2)(2)25x y -++=; 例3. 2310x y +-=; 例4. A; 例5. 22(3)2x y -+=; 例6.B.题型 六． 直线与圆的位置关系（一） 相交例1.D; 例2.1; 例3.A; 例4. A ; 例5. 30x y +-= ; 例6.B; 例7. B; 例8.C; 例9.B.（二） 相切例1.D; 例2. C; 例3.A; 例4. D ; 例5. A.（三）相离例1.B; 例2. B; 例3.A; 例4. (-13,13) .题型七．圆与圆的位置关系例1.B; 例2. C; 例3.B; 例4. (1) ;250x y +-=; (2) ;例5. 例6. 3[,)4+∞.反馈练习1.A2. 5;3.D;4.①③⑤5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.。
数学一轮复习讲义第8章§8-3圆的方程2023年新高考
§8.3 圆的方程考试要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆圆心C (a ，b )标准(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)半径为r 圆心C (－D 2，－E2)方程一般x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)半径r ＝12D 2＋E 2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系：(1)|MC |>r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在圆外；(2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)|MC |<r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在圆内．常用结论1．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)圆x 2＋y 2＝a 2的半径为a .( × )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( √ )教材改编题1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )A．(2,3)，3 B．(－2,3)，3C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，13答案 D解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13. 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．答案 (－2，2)解析 ∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2<m<2.题型一 圆的方程例1 (1)(2022·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案 C解析 到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立Error!解得Error!又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1. (2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．答案 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析 方法一 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得Error!解得Error!故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二 线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，联立Error!得交点坐标O(－1，－2)，又点O到点A的距离d＝10，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.教师备选1．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为( ) A.(x－32)2＋y2＝254 B.(x＋34)2＋y2＝2516C.(x－34)2＋y2＝2516D.(x－34)2＋y2＝254答案 C解析 方法一 (待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得Error!解得Error!所以圆E的一般方程为x2＋y2－32x－1＝0，即(x－34)2＋y2＝2516.方法二 (几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－12＝2(x－1)上．由题意知圆E的圆心在x轴上，所以圆E的圆心坐标为(34，0).则圆E的半径为|EB|＝(2－34)2＋(0－0)2＝54，所以圆E的标准方程为(x－34)2＋y2＝2516.2．在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8 D ．x 2＋(y －1)2＝16答案 B解析 由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1,2)，设圆心为B (0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝(－1－0)2＋(2－1)2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练1 (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝4答案 A解析 根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.(2)(2022·长春模拟)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1答案 B解析 设圆心坐标为(a ，b )(a >0，b >0)，由圆与直线4x －3y ＝0相切，可得圆心到直线的距离d ＝|4a －3b |5＝r ＝1，化简得|4a －3b |＝5，①又圆与x 轴相切，可得|b |＝r ＝1，解得b ＝1或b ＝－1(舍去)，把b ＝1代入①得4a －3＝5或4a －3＝－5，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)，所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.题型二 与圆有关的轨迹问题例2 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝yx ＋1，k BC ＝yx －3，所以yx ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．教师备选已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知点P 坐标为(2x －2,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2 (1)当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M 的轨迹方程是( )A．(x＋3)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1答案 C解析 设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，所以Error!所以Error!又因为P在圆x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以M的轨迹方程即为(2x－3)2＋4y2＝1.(2)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0答案 D解析 由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，连接PC，CQ(图略)，因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0.题型三 与圆有关的最值问题命题点1 利用几何性质求最值例3 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)求y －3x ＋2的最大值和最小值；(3)求y －x 的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝22.又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝22.(2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k .设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.∵直线MQ 与圆C 有交点，∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.(3)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值，∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.∴y －x 的最大值为9，最小值为1.命题点2 利用函数求最值例4 (2022·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)．则PA → ·PB →的最大值为________．答案 12解析 由题意，得PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA → ·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA → ·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，PA → ·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.延伸探究 若将本题改为“设点P (x ，y )是圆(x －3)2＋y 2＝4上的动点，定点A (0,2)，B (0，－2)”，则|PA → ＋PB →|的最大值为________．答案 10解析 由题意，知PA →＝(－x ，2－y )，PB →＝(－x ，－2－y )，所以PA → ＋PB →＝(－2x ，－2y )，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4，故y 2＝－(x －3)2＋4，所以|PA → ＋PB →|＝4x 2＋4y 2＝26x －5.由圆的方程(x －3)2＋y 2＝4，易知1≤x ≤5，所以当x ＝5时，|PA → ＋PB →|的值最大，最大值为26×5－5＝10.教师备选1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7 B ．6 C ．5 D ．4答案 B解析 ∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点，|AB |＝2m (m >0)，∴|OC |－r ≤m ＝|OP |≤|OC |＋r ，又C (3,4)，r ＝1，∴4≤|OP |≤6，即4≤m ≤6.2．若点P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，A (－1,0)，B (1,0)为两个定点，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．2 B ．22 C ．42 D ．4答案 B解析 由已知得线段AB 为圆的直径．所以|PA |2＋|PB |2＝4，由基本不等式得(|PA |＋|PB |2)2≤|PA |2＋|PB |22＝2，所以|PA |＋|PB |≤22，当且仅当|PA |＝|PB |＝2时，等号成立．思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝y －bx －a，t ＝ax ＋by ，(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练3 (1)已知A (－2,0)，B (2,0)，点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －7)2＝1上的动点，则|AP |2＋|BP |2的最小值为( )A ．9 B ．14 C ．16 D ．26答案 D解析 设O 为坐标原点，P (x ，y )，则|AP |2＋|BP |2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8＝2|PO |2＋8.圆C 的圆心为C (3，7)，半径为r ＝1，OC ＝4，所以|PO |2的最小值为(OC －r )2＝(4－1)2＝9，所以|AP |2＋|BP |2的最小值为26.(2)已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则2x ＋3y ＋3x ＋3的最大值为( )A ．2 B.174 C.295 D.13134答案 B解析 由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0得(x －2)2＋(y －1)2＝9.2x ＋3y ＋3x ＋3＝2＋3×y －1x ＋3＝2＋3k PA ，其中A (－3,1)为定点，点P (x ，y )为圆上一点．设过定点A 的直线l ：y －1＝k (x ＋3)与圆相切，则|5k |1＋k 2＝3，解得k ＝±34，所以－34≤k PA ≤34，所以2x ＋3y ＋3x ＋3的最大值为2＋3×34＝174.课时精练1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A ．(4，－6)，16 B ．(2，－3)，4C ．(－2,3)，4 D ．(2，－3)，16答案 C解析 将圆的一般方程化为标准方程得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.2．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1答案 A解析 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，所以圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析 设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝|3a＋4|32＋42＝3a＋45＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x ＝0，故选D.4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案 A解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则Error!解得Error!因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.5．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )A．圆M的圆心坐标为(1,3)B．圆M的半径为5C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点(2,3)在圆M内答案 ABD解析 设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则Error!解得Error!所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1,3)，圆M的半径为5，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M 不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M内．6．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π答案 ABD解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．7．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，6)在圆C内，则m 的取值范围为________．答案 (0,4)解析 设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝(2＋1)2＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋(6)2<10，解得0<m<4.8．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．答案 25解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝5的圆．设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故Error!解得Error!故A′(－4，－2)．连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝25.9．已知圆心为C的圆经过点A(－1,1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上．(1)求圆心为C的圆的标准方程；(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．解 (1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵圆经过点A (－1，1)和B (－2，－2)，且圆心在直线l ：x ＋y －1＝0上，∴Error!解得a ＝3，b ＝－2，r ＝5，∴圆的标准方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝25.(2)∵圆心C 到直线x －y ＋5＝0的距离为d ＝|3＋2＋5|2＝52>5，∴直线与圆C 相离，∴|PQ |的最小值为d －r ＝52－5.10．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当|QM |最小时，|CQ |最小，此时CQ ⊥l 1，|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.11．点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，|PA |＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x答案 B解析 ∵|PA |＝1，∴点P 和圆心的距离恒为2，又圆心坐标为(1,0)，设P (x ，y )，∴由两点间的距离公式，得(x －1)2＋y 2＝2.12．等边△ABC 的面积为93，且△ABC 的内心为M ，若平面内的点N 满足|MN |＝1，则NA →·NB →的最小值为( )A ．－5－23B ．－5－43C ．－6－23D ．－6－43答案 A解析 设等边△ABC 的边长为a ，则面积S ＝34a 2＝93，解得a ＝6.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由M 为△ABC 的内心，则M 在OC 上，且OM ＝13OC ，则A (－3,0)，B (3,0)，C (0,33)，M (0，3)，由|MN |＝1，则点N 在以M 为圆心，1为半径的圆上．设N (x ，y )，则x 2＋(y －3)2＝1，即x 2＋y 2－23y ＋2＝0，且3－1≤y ≤1＋3，又NA →＝(－3－x ，－y )，NB →＝(3－x ，－y )，所以NA →·NB →＝(x ＋3)(x －3)＋y 2＝x 2＋y 2－9＝23y －11≥23×(3－1)－11＝－5－23.13．(多选)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为42答案 ACD解析 因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a >0)，故圆心在直线y ＝－x 上，A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C 上，故C 正确；它们的圆心距为(5－1)2＋(－5＋1)2＝42，D 正确．14．已知长为2a (a ＞0)的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝a 2解析 如图，不论直线怎么移动，线段AB 的中点P (x ，y )与原点O 的连线始终为Rt △OAB 斜边上的中线，即|OP |＝a ，即x 2＋y 2＝a 2.故所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.15．已知直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0，圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0，则圆C 的半径r ＝________；若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，则实数m 的取值范围是______．答案 2 [－16，4] 解析 圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2，圆心为C (2,0)，半径为r ＝2，若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，过P 作圆的两条切线PM ，PN (M ，N 为切点)，则由题意得，∠MPN ≥90°，而当CP ⊥l 时，∠MPN 最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C 到直线l 的距离为d ＝|CP |＝|6＋m |5.所以r d ＝2|6＋m |5≥22，解得－16≤m ≤4.16．在平面直角坐标系Oxy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解 由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1，0)，B (x 2，0)，可得Δ＝m 2－8m ＞0，则m ＜0或m ＞8，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0,2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC → ·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12.此时C (0，－1)，AB 的中点M (－14，0)即圆心，半径r ＝|CM |＝174，故所求圆的方程为(x ＋14)2＋y 2＝1716.(2)证明 设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0,2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0.整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令Error!可得Error!或Error!故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0,1)和(25，45).。
高考数学一轮单元复习：第44讲 圆的方程
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│要点探究
要点探究
► 探究点1 探究点 求圆的方程
重庆卷] 轴上， 例 1 [2009·重庆卷 圆心在 y 轴上，半径为 1， 重庆卷 ，且过点 (1，2)的圆的方程为 的圆的方程为( ) ， 的圆的方程为 A. x2＋(y－2)2＝1 － B. x2＋(y＋2)2＝1 ＋ C. (x－1)2＋(y－3)2＝1 － － D. x2＋(y－3)2＝1 －
│要点探究
思路】 二次函数图象与x轴有两个交点 【思路】 (1)二次函数图象与 轴有两个交点，与y轴 二次函数图象与 轴有两个交点， 轴 的交点中b≠0，(2)设圆的一般方程用待定系数法，(3)含 设圆的一般方程用待定系数法， 含 的交点中 ， 设圆的一般方程用待定系数法 b的两项为一组，并提取 ， 不含 的为另一组， 用恒等 的两项为一组， 的为另一组， 的两项为一组 并提取b，不含b的为另一组 式求. 式求
│要点探究
江苏卷]在平面 变式题 [2008·江苏卷 在平面直角坐标系 xOy 中， 江苏卷 在平面直角坐标系 记二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交 ＝ ＋ ∈ 与两坐标轴有三个交 点，经过三个交点的圆记为 C。 。 (1)求实数 b 的取值范围； 求实数 的取值范围； (2)求圆 C 的方程； 求圆 的方程； (3)问圆 C 是否经过定点 其坐标与 b 无关 ？请证明你 问圆 是否经过定点(其坐标与 无关)？ 的结论。 的结论。
│要点探究
【解答】 (1)设所求圆的方程为 解答】 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则由题意有 ＋ ＋ ＝ ，
高三第一轮复习圆的方程及求法
圆的方程及求法【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 主干知识归纳1．圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 2．圆的方程：方法规律总结1．待定系数法求圆的方程(1) 若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 2．几何法求圆的方程：利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径， 弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等．3．求与圆有关的轨迹问题的四种方法【指点迷津】【类型一】确定圆的方程【例1】：求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程 【解析】： 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=+013211222222b a r b a r b a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧=-==534r b a ,∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.【例2】：已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程．【解析】：法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2.由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-+-+=+--0205)5(106)6(222E D F E D F E ,消去F 得⎩⎨⎧ D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎨⎧D ＝6E ＝4，代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0，标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝1)6(5----＝1，因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎨⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r ＝|AC |＝22)26()30(+-++＝5，所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.【类型二】与圆有关的轨迹问题【例1】：已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【例2】：已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】：(1)设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．答案：(1) x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2) (x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．例3．(2010·山东烟台调研)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y －1＝0【解析】：由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2,2)，所以过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理即得y 2＋4x －4y ＋8＝0. 答案：C.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1. 已知两点A (9，4)和B (3，6)，则以AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x －6)2＋(y －5)2＝10B ．(x ＋6)2＋(y ＋5)2＝10C ．(x －5)2＋(y －6)2＝10D ．(x ＋5)2＋(y ＋6)2＝10【解析】：线段AB 的中点坐标(6，5)为圆心坐标，半径=21|AB|=10答案：A.2. (2014·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1【解析】：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B.3. 若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)【解析】：曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a ＞2. 答案：D.4. 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞32B ．－32 ＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜32【解析】：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0转化为(x +2a )2＋(y ＋a )2＝－43a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－43a 2－a ＋1＞0，∴3a 2＋4a －4＜0，∴－2＜a ＜32 .答案：D.5. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13【解析】：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：C. 二、填空题6. 经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________． 【解析】：由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1.7. 已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________． 【解析】： ∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1).8. 圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为______________． 【解析】：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝2. 三、解答题9. 已知圆的方程是x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0， (1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆． 【解析】：(1)配方得：(x ＋m －1)2＋(y －2m )2＝9∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且⎩⎨⎧x ＝1－my ＝2m ，∴2x ＋y ＝2.∴不论m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．答案：(1) 圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3. (2) 圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．10. (2010·辽宁抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． ∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【二级目标】能力提升题组一、选择题1. 已知二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，是方程表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】：取A ＝C ＝4，D ＝2，E ＝2，F ＝1时，满足⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，但是4x 2＋4y 2＋2x ＋2y ＋1＝0不表示圆；方程13x 2＋13y 2＋x ＋y ＋1＝0表示圆，其中A ＝13，C ＝13，D ＝1，E ＝1，F ＝1，但不满足D 2＋E 2－4F ＞0.综上可知，选D ． 答案：D.2. (2010·浙江宁波调研)若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14【解析】：由题意知，圆C 的圆心坐标为(－4，－1)．又直线l 始终平分圆C ，所以直线l 必过圆心，故4＝4a ＋b ≥24ab ，故ab ≤1. 答案：C. 二、填空题3. (2009·扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．【解析】：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )， ∴ab ＋ab ＝1， ∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π， ∴面积的最小值为π.答案：π.【高考链接】1. （2016年浙江省文科第10题）已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a +2)y 2+4x+8y +5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 【解析】：由题可得a 2=a +2，解得a =－1或a =2当a =－1时，方程为x 2＋y 2+4x+8y －5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5 当a =2时，方程不表示圆 答案：(－2，－4)，5.2. （2009年上海第题）点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【解析】：设中点M 的坐标为(x ，y )，与之对应的圆上动点Q 的坐标为(x 0，y 0)，显然M 与Q 的对应关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋(－2)2，同时Q 满足在圆x 2＋y 2＝4上，即x 20＋y 20＝4；利用M 与Q 的对应关系将x 、y 代入，得中点M 的轨迹方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A.3. （2015年湖北省第16题）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【解析】:试题分析：设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1， 即01x =，半径0r y =.又因为2AB =，所以222011y +=，即0y r =，所以圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+=，令0x =得：1)B .设圆C 在点B处的切线方程为1)kx y -=，则圆心C到其距离为：d ==，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x 1)y =+，于是令0y =可得x 1=，即圆C 在点B 处的切线在x轴上的截距为1--故应填22(1)(2x y -+=和1--答案：（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1--。
高三数学一轮复习圆的方程复习课
典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且 直线y=x截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程。 7 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 ， 则有（
知识梳理
4、圆的参数方程：
x a r cos y b r sin
( r 0 , 为参数 )
其中圆心为(a, b)，半径为r. 说明：1、几何性质比较明显，很好体现半径 与x轴的圆心角的关系。 2、方程中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2， 把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.
能力培
（1）
y x
的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值； （3）x2+y2的最大值和最小值.
思悟小结
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F） 的值需要确定，因此需要三个独立的条件. 利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组， 解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤： （1）选用圆的方程两种形式中的一种 （若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程； 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）； （2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值， 并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.
A. a 1
B. a
.
1
C. a
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9. 圆 的圆心在 轴上，并且过点 和 ，求圆 的方程。
10.点 和圆 的位置关系是（ ）
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆 D.以上都不对
11.若 在圆 的部，则实数 的取值围是____________。
12.求以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程。
⑵圆的一般方程______________________________________________
其中圆心_____________，半径为_________________
例1.判断下列二元一次方程是否表示圆的方程？如果是，求出圆心和半径。
1 ⑵
⑶
例2.，已知：圆心为 , 半径长为r，圆上的任意一点 应该满足的关系式？
2.圆的标准方程是__________________________，其中圆心________，半径为_____。
题型一：由圆的的标准方程写出圆心和半径：
练习：⑴根据条件写圆的方程：
①圆心 ，半径为
②圆心 ，半径为
9.求与 轴相切，圆心在直线 上，且被直线 截得的弦长为 的圆的方程。
10.求圆 的圆心到直线 的距离。
11.设 为直线 与圆 的两个交点，求
12.已知一圆过 、 两点，且在 轴上截得的线段长为 ，求圆的方程。
13.如果圆的方程为 ，那么当圆面积最大时，求圆心坐标。
1. 圆 的圆心和半径分别为 （ ）.
A． ,5 B． , 5 C． , 5 D． ,5
2. 若方程 表示一个圆，则有（ ）.
A． B. C． D．
3.若直线 平分圆 且不过第四象限，则直线 的斜率 的取值围是_________。
4.将圆 平分的直线是（ ）
A. B. C. D.
5. 求过点M(-1,1) ，且圆心与已知圆C： 相同的圆的方程
思考：①方程 表示什么图形？
②方程 表示什么图形？
③方程 一定是圆吗？ 呢？
【总结】
⑴二元一次方程 ，配方得____________________________，
① 时，该方程表示________________，
② 时，该方程表示________________，
③ 时，该方程表示________________，
A. B. C. D.
2.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1
3.若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线方程为( )
A. B. C. D.
4.方程 表示的曲线是( )
圆的方程
教学目标：1.掌握圆的标准方程和一般方程；
2.理解圆的一般方程与标准方程的联系；会熟练地互化。
3.会根据条件准确的求圆的方程
教学重点：利用圆的方程解决一些问题
教学难点：能 准确的利用圆的方程解决问题
知识梳理：
1.关于圆的知识：平面到的距离等于的点的集合称为圆。
我们把定点称为，定长称为。确定了圆的位置,确定了圆的大小。
总结： 特别地，当 时，圆的方程变为___________
题型二：由圆心和半径写出圆的的标准方程：
(1)圆心在 ，半径长为4；__________________________
(2)圆心在 ，半径长为 ；__________________________
(3)圆心在 ，半径长为5；__________________________
A． B． C． D．
10. 已知圆C：x2+y2-2x+4y+1=0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(-2，2)的圆的方程是（ ）.
A． B．
C． D．
课后作业（二）
1.求圆心在 ，且经过点 的圆的方程。
2.已知三点 、 、 ，以 为圆心作一个圆，使 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆，求这个圆的方程。
3.已知 、 ，求以 为直径的圆的方程。
4.求圆心在 轴，半径为 ，且过点 的圆的方程。
5.求过 、 、 的圆的方程。
6.求圆心在 轴上，且过点 、 的圆的方程。
7.已知圆 的圆心在直线 上，并且经过原点和点 ，求圆 的标准方程。
8.若直线 平分圆 且不过第四象限，则直线 的斜率 的取值围是_________。
1点在圆上 ______________________
2点在圆 ______________________
3点在圆外 ______________________
例2.已知 的三个顶点 、 、 ，求它的外接圆方程。
例3.求圆心在直线 ，且经过 和 的圆的标准方程。
课后练习1.圆 的圆心坐标是( )
③圆心 ，半径为
（2）：由圆的标准方程写出下列圆的圆心坐标和半径。
圆心坐标半径
__________ __________
__________ __________
___________ ___________
__________ __________
__________ __________
___________ ___________
一轮复习-------圆的一般方程
复习初中学习的容：圆的标准方程常用的几何性质:
①弦的垂直平分线必过_________；
②圆任意两条弦的垂直平分线的交点一定是________；
③圆心与切点的连线长是____________；④圆心与切点的连线必与切线___________。
一、知识点梳理：圆的一般方程：
6.求 圆 的点到直线 的距离的最大值.
7.已知圆过 ，且圆心到直线AB的距离为 .求这个圆的方程。
三、课后作业（一）
1.方程 表示圆，则 的取值围____________。
2.将圆 平分的直线是（ ）
A. B. C. D.
3.已知圆 ，圆心在直线 上，且圆心在第二象限，半径为 ，求圆的方程。
4.经过点M(2，1)，并且与圆 相切的直线方程是.
5．直线 被曲线 所截得的弦长等于__________．
6．如果实数 满足等式 ，那么 的最大值是________．
7．圆 上的点到直线 的距离最大值是（）.
A． B． C． D．
8．圆 在点 处的切线方程为（）.
A． B． C． D．
9. 过点A(2，1)的直线交圆x2+y2-2x+4y= 0与B、C两点，当|BC|最大时，直线BC的方程是（ ）.
(4)已知 ，求以线段 为直径的圆的方程
例1已知圆心在 ，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点 、 、 和圆的位置关系。
例1.判断下列各点是否在以 为圆心，半径为5的圆上？
(1) (2) (3)
分析：点在圆上，则点的坐标满足圆的方程；反之，点的坐标满足圆的方程，则点在圆上。
归纳规律：坐标平面的点 与圆 的位置关系有哪些？
A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆
5.已知BC是圆x2＋y2＝25的动弦，且|BC|=6，则BC中点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝9C．x2＋y2＝16D．x＋y＝4
6.若圆 与圆 关于原点对称，则圆 的标准方程为.
7.求过点 ,且圆心 在直线 上的圆的标准方程