直线与圆的方程的应用 导学案
《直线与圆的位置关系》 导学案
《直线与圆的位置关系》导学案一、学习目标1、理解直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。
2、掌握直线与圆位置关系的判定方法，包括代数法和几何法。
3、能运用直线与圆的位置关系解决相关的实际问题。
二、学习重难点1、重点（1）直线与圆的三种位置关系的定义及判定。
（2）直线与圆位置关系的判定方法的应用。
2、难点（1）几何法判定直线与圆位置关系的原理。
（2）灵活运用直线与圆的位置关系解决综合问题。
三、知识链接1、圆的标准方程：＼（（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2\），其中\（（a, b)＼）为圆心坐标，＼（r\）为圆的半径。
2、点\（P(x_0, y_0)＼）到直线\（Ax ＋ By ＋ C ＝ 0\）的距离公式：＼（d ＝＼frac{｜Ax_0 ＋ By_0 ＋ C|｝｛＼sqrt{A^2 ＋ B^2}｝＼）四、学习过程（一）引入通过展示一些生活中直线与圆的位置关系的实例，如太阳升起时地平线与太阳的位置关系、自行车车轮与地面的位置关系等，引出直线与圆的位置关系这一课题。
（二）直线与圆的位置关系的定义1、相交：直线与圆有两个公共点。
2、相切：直线与圆只有一个公共点。
3、相离：直线与圆没有公共点。
（三）直线与圆位置关系的判定方法1、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去\（y\）（或\（x\））得到一个关于\（x\）（或\（y\））的一元二次方程，然后根据判别式\（＼Delta\）的值来判断直线与圆的位置关系。
（1）＼（＼Delta ＞ 0\），直线与圆相交。
（2）＼（＼Delta ＝ 0\），直线与圆相切。
（3）＼（＼Delta ＜ 0\），直线与圆相离。
2、几何法计算圆心到直线的距离\（d\），与圆的半径\（r\）进行比较。
（1）＼（d ＜ r\），直线与圆相交。
（2）＼（d ＝ r\），直线与圆相切。
（3）＼（d ＞ r\），直线与圆相离。
（四）例题讲解例 1：已知圆\（C\）：＼（x^2 ＋ y^2 2x 4y 4 ＝ 0\），直线\（l\）：＼（x 2y 2 ＝0\），判断直线\（l\）与圆\（C\）的位置关系。
高中数学(直线和圆的位置关系)导学案 北师大版必修2 学案
第10课时直线和圆的位置关系1.理解直线与圆的位置关系的种类.2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3.会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西70千米处,受影响的X围是半径为30千米的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40千米处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也是我们这节课研究的对象.问题1:直线与圆的位置关系有三种:、、.判断直线与圆的位置关系有两种方法:(1)代数法:联立直线方程与圆的方程消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式Δ,当判别式Δ<0时,直线和圆;当判别式Δ=0时,直线和圆 ;当判别式Δ>0时,直线和圆.(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d<r⇒,d=r⇒,d>r⇒.问题2:过一定点是否都存在圆的切线?如果存在,如何求圆的切线方程?(1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线.(2)若点在圆上,则过该点的切线只有,切线方程求法如下:①直接法,先求该点与圆心的连线的直线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最后用点斜式求出切线方程.②设元法,先设出切线方程(注意斜率不存在时的讨论),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数.③公式法,设A(x0,y0)是圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的一点,则过点A的切线方程为:(x-a)(x0-a)+(y-b)·(y0-b)=r2,特别地,当圆心在原点时,即:A(x0,y0)是圆x2+y2=r2上一点,则过点A的切线方程为:.(3)若点在圆外,则过该点的切线有,切线方程求法如下:首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程.问题3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有|AB|= .问题4:用直线与圆的知识解决实际问题的步骤(1)仔细审题,理解题意;(2)引入,建立;(3)用直线与圆的知识解决已建立的数学模型;(4)用结果解释.1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( ).2.自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,则切线长为().A. B.3 C.3.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,则k的取值X围是.4.过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,求切线方程.圆的切线方程已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.求圆的弦长求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.利用圆的方程求最值已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,求3x2+4y2的最值.求过点P(4,5)的圆(x-2)2+y2=4的切线方程.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程.已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则的最大值为;最小值为.1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是().2.圆C:x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为().A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=03.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于.4.已知圆x2+y2=8内一点P(-1,2),过点P的直线l的倾斜角为135°,直线l交圆于A、B两点,求AB的长.(2012年·卷) 直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.考题变式(我来改编):第10课时直线和圆的位置关系知识体系梳理问题1:相交相切相离(1)相离相切相交(2)相交相切相离问题2:(2)一条③x0x+y0y=r2(3)两条问题3:(2)·|x A-x B|=问题4:(2)数学符号数学模型(4)实际问题基础学习交流1.A∵d==1<4,∴直线与圆的位置关系是相交.2.B因为过圆外一点作圆的切线,两条切线长相等,故切线长为=3,或2-(-1)=3.3.(0,)依题意有<1,解得0<k<,∴k的取值X围是(0,).4.解:已知圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆与坐标轴相切,所以切线方程为x=0或y=0.重点难点探究探究一: 【解析】(法一)当点M不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,∵圆的切线垂直于过切点的半径,∴k=-.∵k1=,∴k=-.∴经过点M的切线方程是y-y0=-(x-x0),整理得x0x+y0y=+.又∵点M(x0,y0)在圆上,∴+=r2.∴所求的切线方程是x0x+y0y=r2.当点M在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.(法二)设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当P与M不重合时,△OPM为直角三角形,OP为斜边,∴OP2=OM2+MP2,即x2+y2=++(x-x0)2+(y-y0)2,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当P与M重合时同样适合上式,故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.(法三)设P(x,y)为所求切线上的任意一点(M与P不重合),当点M不在坐标轴上时,由OM⊥MP得k OM· k MP=-1,即·=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当点M在坐标轴上时,同样适合上式;当P与M重合时亦适合上式.故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.【小结】(1)求圆的切线方程一般有三种方法:①设切线斜率,利用判别式,但过程冗长,计算复杂,易出错,通常不采用此法,但该法却是判断直线和曲线相切的通法,以后会经常用到;②设切线斜率,利用圆心到直线的距离等于半径;③设切点,利用过圆心和切点的直线与切线垂直.前两种方法要验证斜率是否存在.(2)过圆外一点可作圆的两条切线.探究二:【解析】(法一)直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组的解.根据x-y+2=0得y=x+2,代入x2+y2=4得x2+x=0,解得或∴公共点坐标为(-,1)和(0,2),直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=2.(法二)如图,设直线x-y+2=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,弦AB的中点为M,则OM⊥AB(O为坐标原点),所以OM==,所以AB=2AM=2=2=2.【小结】在本题的两种方法中,前一种方法是代数法,后一种方法是几何法.在处理与直线和圆相交形成的弦的有关问题时,我们经常用到如下解法:(1)设弦的两个端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),代入圆的方程后寻求坐标与弦的关系,然后加以求解;(2)涉及圆的弦长问题时,为了简化运算,常利用垂径定理或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算.探究三:【解析】由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64,故3x2+4y2在x=8时有最大值64,没有最小值.[问题]在圆的方程中变量x的取值X围是R吗?[结论]将x=8代入圆方程(x-2)2+y2=4,得y2=-32,矛盾,所以上述解法是错误的.因为y2=4-(x-2)2≥0,所以x的取值X围不是R.于是,正确解答如下:由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2≥0,得0≤x≤4,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64(0≤x≤4),所以当x=y=0时,3x2+4y2取得最小值0;当x=4,y=0时,3x2+4y2取得最大值48.【小结】确定圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的变量的取值X围的方法:先配方,再根据平方项非负来确定.圆的方程中变量的X围一般是以隐含条件的形式出现在试题中,因此在解题时注意挖掘出这个隐含条件.思维拓展应用应用一:把点P(4,5)代入(x-2)2+y2=4,得(4-2)2+52=29>4,即点P在圆(x-2)2+y2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0,又圆心坐标为(2,0),r=2,由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=.将k代入所设方程得此时切线方程为21x-20y+16=0.当直线的斜率不存在时,还有一条切线是x=4.因此切线方程为x=4或21x-20y+16=0.应用二:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方后得到标准方程x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.(法一)过圆心C作CD⊥AB交AB于点D,则根据题意和圆的性质,得即:+2=4.解得a=-7或a=-1.即直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.(法二)联立方程组消去y,得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.Δ=-16(4a+3)>0,即a<-,设此方程的两根分别为x1,x2,由韦达定理知x1+x2=-,x1x2=.由AB=2=,可求出a=-7或a=-1,所以直线l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=0.应用三:-因为表示的几何意义是圆上的动点与(2,1)连线的斜率,所以设=k,即kx-y+1-2k=0,当直线与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=1,解得k=±.所以的最大值为 ,最小值为-.基础智能检测1.B因为圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d=<1,故直线与圆相交,又(0,0)不在直线上,所以直线不过圆心.2.D因为点P在圆C上,k PC=-,所以切线的斜率为,所以切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0.3.-3或由题设知圆心坐标为(1,0),因为直线与圆相切,所以d==r=,解得m=或-3.4.解:k AB=-1,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.故圆心(0,0)到AB的距离d==,从而弦长|AB|=2 =.全新视角拓展2本题考查直线和圆的位置关系以及简单的平面几何知识.(法一)几何法:圆心到直线的距离为d==,圆的半径r=2,所以弦长为l=2×=2=2;(法二)代数法:联立直线和圆的方程消去y可得x2-2x=0,所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为=2.。
直线和圆的位置关系导学案
学案48 直线、圆的位置关系导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．自主梳理1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：①代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧ >0⇔ ，＝0⇔ ，<0⇔ .②几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔________，d ＝r ⇔________，d >r ⇔________.2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．3．圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________. 判断圆与圆的位置关系常用方法：设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2 (r 1≠r 2)，则O 1O 2>r 1＋r 2；O 1O 2＝r 1＋r 2；|r 1－r 2|<O 1O 2<r 1＋r 2；O 1O 2＝|r 1－r 2；0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2． 自我检测1．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为______________．3．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有________条．4．过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为________．5．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是______________.探究点一 直线与圆的位置关系例1 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；变式迁移1 从圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．探究点二 圆的弦长、中点弦问题例2 已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；变式迁移2 已知圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0和直线kx －y －4k ＋3＝0.(1)证明：不论k 取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)求当k 取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．探究点三 圆与圆的位置关系例3 )已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求：(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)m 取何值时两圆相交1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”．3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是________．2．直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m ＝______________.3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为________．4．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是______________．5．已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋4y －5＝0上任意一点，A 点关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________.6．已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A →·PB →的最小值为____________．。
直线与圆的位置关系
4.2.1直线与圆的位置关系导学案【问题导学】1．直线与圆有三种位置关系(1)直线与圆 ，有两个公共点；(2)直线与圆 ，只有一个公共点；(3)直线与圆 ，没有公共点．试一试：过平面一点P 可作几条圆的切线？2．直线与圆的位置关系的判定方法(1)代数法：直线与圆的方程联立消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，此方程的判别式为Δ，则直线与圆相交⇔Δ＞0；直线与圆相切⇔Δ＝0；直线与圆相离⇔Δ＜0.(2)几何法：设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交⇔ ；直线与圆相切⇔ ；直线与圆相离⇔ .想一想：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？3．直线与圆相交时弦长的求法(1)求出交点坐标，利用两点间距离公式，求出弦长；(2)利用弦长公式求：d ＝|x 1－x 2|1＋k 2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]其中x 1，x 2为交点的横坐标，k 为已知直线斜率．(3)设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有⎝⎛⎭⎫l 22＋d 2＝r 2，即半弦长，弦心距，半径构成直角三角形，数形结合，利用勾股定理求解．【合作探究】1、已知直线4x +3 y –35 = 0与圆心在原点的圆C 相切，求圆C 的方程。
2、判断直线3x +4 y +2 = 0与圆2220x y x +-=的位置关系。
3、已知直线l ：y =x + 6，圆C ：22240x y y +--=，试判断直线l 与圆C 有无公共点，有几个公共点。
4、求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形。
（1）圆心为M （3，-5），且与直线x-7 y +2 = 0相切；（2）圆心在y 轴上，半径是5，且与直线y = 6相切；【深化提高】1、已知直线l ：3x + y – 6 = 0和圆心为C 的圆04222=--+y y x ，判断直线l 与圆C 的位置关系；如果相交，求直线l 被圆C 所截得的弦长。
《直线的两点式方程》教案与导学案和同步练习
《2.2.2直线的两点式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的两点式方程。
本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形。
直线方程的两点式可由点斜式导出，若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程。
由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便。
在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式。
解决问题的关键是理解理解直线方程的两点式和截距式的形式特点及适用范围。
教学中应充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础。
发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握直线的两点式方程和截距式方程.B.会选择适当的方程形式求直线方程.C.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题. 1.数学抽象：直线的两点式方程和截距式方程2.逻辑推理：直线方程之间的关系3.数学运算：用直线的两点式方程与截距式方程求直线方程4.直观想象：截距的几何意义【教学重点】：掌握直线方程的两点式及截距式【教学难点】：会选择适当的方程形式求直线方程【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学我们知道在直角坐标系内确定一条直线的几何要素：点和倾斜角（斜率），即已知直线上的一点和直线的斜率可以确定一条直线，或已知两点也可以确定一条直线。
这样，在直角坐标系中，给定一个点通过对直线几何要素及点斜式方程的回顾，提出问题，让p 0(x 0,y 0)和斜率k,可得出直线方程。
若给定直线上两点p 1(x 1,y 1)p 2(x 2,y 2),你能否得出直线的方程呢?二、探究新知 1．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义 ________________就是经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1点睛：1.当两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)的直线斜率不存在(x 1=x 2)或斜率为0(y 1=y 2)时,不能用两点式方程表示,即两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.2.对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺序无关,如直线过点P 1(1,1),P 2(2,3),由两点 式可得y -13-1=x -12-1,也可以写成y -31-3=x -21-2.1. 把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式(y-y 1)(x 2-x 1)=(y 2-y 1)(x-x 1),对两点的坐标还有限制条件吗?答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.2.已知直线l 过点A(3,1),B(2,0),则直线l 的方程为 . 解析:由两点式,得y -10-1=x -32-3,化简得x-y-2=0. 答案:x-y-2=0二、直线的截距式方程 点睛：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x 轴和y 轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 3．在x ，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A ．x －3＋y 4＝1 B ．x 3＋y－4＝1 C ．x －3－y 4＝1 D ．x 4＋y－3＝1 答案A解析：由截距式方程知直线方程为x －3＋y4＝1.选A. 4.直线xa 2−yb 2=1(ab≠0)在y 轴上的截距是( )A.a 2B.b 2C.-b 2D.|b|答案:C解析:原直线方程化为截距式方程为x 2a 2+y 2-b 2=1,故在y 轴上的截距是-b 2.三、典例解析例1 已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求: (1)BC 边所在的直线方程; (2)BC 边上中线所在的直线方程.思路分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.解:(1)直线BC 过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得y+31+3=x -0-2-0,化简得2x+y+3=0.(2)由中点坐标公式,得BC 的中点D 的坐标为0-22,-3+12,即D(-1,-1).又直线AD 过点A(-4,0),由两点式方程得y+10+1=x+1-4+1,化简得x+3y+4=0.延伸探究例1已知条件不变,求: (1)AC 边所在的直线方程; (2)AC 边上中线所在的直线方程. 解:(1)由两点式方程,得y -01-0=x -(-4)-2-(-4),化简得x-2y+4=0.(2)由中点坐标公式得AC 边的中点E(-3,12),中线BE 所在直线的方程为y -(-3)12-(-3)=x -0-3-0,化简得7x+6y+18=0. 两点式方程的应用用两点式方程写出直线的方程时,要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.已知直线上的两点坐标,也可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程.例2过点P(1,3),且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0 C.3x-y=0D.x-3y+8=0思路分析:设出直线的截距式方程,然后利用点P 在直线上以及三角形的面积列出参数所满足的条件,解方程求出参数. 解析:设所求的直线方程为xa +yb =1(a>0,b>0),由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6, 因此有{1a+3b =1,12ab =6,解得{a =2,b =6,故所求直线的方程为3x+y-6=0.荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少?思路分析将问题转化为在线段AB 上求一点P,使矩形面积最大,根据图形特征,可建立适当的坐标系,求出AB 的方程.这里设点P 的坐标是关键.解:以BC 所在直线为x 轴,AE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(如图),由已知可得A(0,60),B(90,0), ∴AB 所在直线的方程为x 90+y60=1,即y=60(1-x90).∴y=60-23x.从而可设P(x,60-23x),其中0≤x≤90, ∴所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y).故S=(300-x)(240-60+23x)=-23x 2+20x+54 000(0≤x≤90), ∴当x=-202×(-23)=15,且y=60-23×15=50时,S 取最大值为-23×152+20×15+54 000=54 150(m 2). 因此点P 距AE 15 m,距BC 50 m 时所开发的面积最大, 最大面积为54 150 m 2.归纳总结 二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结合图形求解,有时并非在顶点处取得最值. 三、达标检测四、小结五、课时练【教学反思】通过本节学习，要求学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程。
直线与圆的位置关系导学案
标题： 直线与圆的位置关系
日期：
制作：
课型 复习课 班级：
学生姓名：
学习目标
重点
难点
1、理解直线与圆的位置的种类； 2、会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系 3、掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题
直线与圆的位置关系及其判断方法.
掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题
究
A2 B2
d ______ r d ______ r d ______ r
1
一、小组探究，合作交流 判定下列所给直线与圆的位置关系，并给出你的判断依据
1 请判断直线 x y 2 0 与圆 x2 y2 1 的位置关系？
2、请判断直线 x y 1 0 与圆 x2 y2 1 的位置关系？
知识回顾：
1、点 Px0 y0 到直线 l：Ax By C 0 的距离：
课
前 2、一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 根的个数与判别式 的关系？
预 3、圆的标准方程：
习 4、圆的一般方程：
；圆心：
；半径：
5、直线与圆的位置关系有
，
，
．
归纳
分
已知直线 Ax By C 0 与圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 ，据方程判断直线与圆的位置关系
练习
1、（2018 年）圆心为两直线 x y 2 0 和 x 3y 10 0 的交点，且与直线 x y 4 0 相
切的圆的标准方程是
.
（2019 年）已知圆 C 和y 轴相切于点 (0,5) ，半径为 5 ，则圆 C 的标准方程是 ( )
4.2.3-1直线与圆的方程的应用教案
张喜林制4、2、3直线与圆的方程的应用（一）【教学目标】利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 【教学重难点】教学重点：直线的知识以及圆的知识 教学难点：用坐标法解决平面几何. 【教学过程】 一、复习准备：(1) 直线方程有几种形式? 分别为什么? (2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? (4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢? (5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ (6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系? 二、讲授新课： 提出问题、自主探究例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB ＝84米，拱高A 6P 6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A 3P 3的长度（精确到0.01米）．方法一：在O AA Rt 6∆中 R 2 =422 +(R-15)2 可求出半径R ，而在CO P Rt 3∆中222321-=R C P ，∴O A C P P A 6333-=，从而可求得33P A 长度。
能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？方法二：先求圆的方程，再把求33P A 长度看成3P 的纵坐标。
首先应建立坐标系。
如何建系？四种不同的建系方案：分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。
归纳总结、巩固步骤 总结解决应用问题的步骤：(1)审题----分清条件和结论，将实际问题数学化；(2)建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；(3)解模----求解数学问题，得出数学结论；(4) 还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题． 流程图：实际问题实际问题结论（审题） （建模） （解模） （还原）变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。
有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？深入讨论、提炼思想在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。
圆的标准方程导学案
《圆的标准方程》导学案一、课前预习：自主学习1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？3.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么P ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？4.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：________________5.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是：圆心在原点、半径为1的圆的方程：思考：确定圆的标准方程的基本要素？预习自测1.写出下列各圆的方程：（1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3；（2） 圆心在圆点，半径为5；（3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)；（4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。
2.圆22(3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为二、学习目标1．知识目标：⑴ 掌握确定圆的几何要素⑵ 掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程⑶ 能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径2．水平目标：本节内容通过对直线的方程的回忆基础上，引导我们用方程语言刻画圆的特征，然后通过具体例题，解决思考、探究、练习中的问题。
3．情感目标：通过本节知识的学习，将培养我们联系旧知识、提出问题、解决问题的探究水平，进一步培养学生学习数学的兴趣。
三、重点难点重点：1.对圆的方程的理解； 2.待定系数法求圆的方程。
难点：待定系数法的掌握和应用。
四、课堂探究：合作探究基础知识探究1.圆的标准方程是一个____元____次方程.2.写出圆心为(2,3)A -，半径长为 5 的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M -- 是否在这个圆上.3.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是4.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足怎样的关系式P P P ⇒⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩点在圆内点在圆外点在圆上综合应用探究1.已知ABC Rt ∆ 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？2.ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)A B C --，求它的外接圆的方程.3.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。
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4.2.3直线与圆的方程的应用
1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．
138140
，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有
.
2．圆224450
x y x y
++--=和圆2284
x y x y
+-+
70
+=的位置关系为.
3．过两圆22640
x y x
+--=和22628
x y y
++-
=的交点的直线方程.
二、新课导学
※学习探究
1．直线方程有几种形式? 分别是?
2．圆的方程有几种形式?分别是哪些? 3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?
什么条件下用一般方程?
4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?
※典型例题
例 1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20
AB m
=,拱高4
OP m
=,建造时每间隔4m
需要用一根支柱支撑,求支柱
22
A B的高度(精确0.01m)
变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程
例 2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.
※ 动手试试
练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.
练2. 讨论直线2y x =+
与曲线y =的交点个数.
三、总结提升
※ 学习小结
1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”. 2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A.
很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（ ）.
A ．()2
244x y -+=
B ．()2
2416x y -+= C
．
22(4)4x y +-=
D ．22(4)16x y +-=
2. 如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则y
x
的最大值为（ ） A ．1
3. 圆22
2430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有（ ）. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4. 圆()()22
114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 .
5. 求圆()()22
114x y -++=关于点()2,2对
称的圆的方程 .
1. 坐标法证明:三角形的三条高线交于一
点.
2. 机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.。