2019年高考真题概率统计专题总结小题+大题详细答案解析

合集下载

2017-2019年高考真题概率统计解答题全集(含详细解析)

2017-2019年高考真题概率统计解答题全集（含详细解析）1．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0)n A =，(1,0)，(2,0)，⋯，(,0)}n ，{(0,1)n B =，(,1)}n ，{(0,2)n C =，(1,2)，(2,2)，⋯⋯，(,2)}n ，*n N ∈．令n n n n M A B C =．从集合n M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离．（1）当1n =时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数(3)n n …，求概率()P X n …（用n 表示）． 2．（2019•天津）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“⨯”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．()i 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii )设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．3．（2019•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．4．（2019•新课标Ⅲ）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．5．（2019•新课标Ⅱ）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01)≈．8.6026．（2019•新课标Ⅰ）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．7．（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．8．（2019•新课标Ⅱ）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求(2)P X=；（2）求事件“4X=且甲获胜”的概率．9．（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．10．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：)min 绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，11．（2018•天津）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．()i试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；()ii设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．12．（2018•天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．()i用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；()ii设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．13．（2018•新课标Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3)m和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）14．（2018•北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢．“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(1k =，2，3，4，5，6)．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．15．（2018•新课标Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为(01)<<，且各件产品是否为不合格品相互独立．p p（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p，求f()p的最大值点p．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．()i若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？16．（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，⋯，17)建立模型①：ˆ30.413.5=-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，⋯，7) y t建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．17．（2018•北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）18．（2017•全国）袋中有m 个白球和n 个黑球，1m n 厖．（1）若6m =，5n =，一次随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率；（2）有放回地抽取两次，每次随机抽取一个球，若两次取出的球的颜色相同的概率为58，求:m n ．19．（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：)kg ，其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01)．附：2()()()()K a b c d a c b d =++++． 20．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：)cm ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X …及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s =≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1i =，2，⋯，16．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592≈0.09≈．21．（2017•天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．22．（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 和4名女志愿者1B ，2B ，3B ，4B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的概率．（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX ． 23．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：)cm ．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s =≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1i =，2，⋯，16．（1）求(i x ，)(1i i =，2，⋯，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3x s -，3)x s +之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3x s -，3)x s +之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01)附：样本(i x ，)(1i y i =，2，⋯，)n的相关系数()()nii xx y y r --∑0.09≈．24．（2017•新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C)︒有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？25．（2017•北京）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，[80⋯，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．26．（2017•新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C)︒有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．27．（2017•江苏）已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球(m ，*n N ∈，2)n …，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，⋯，m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1k =，2，3，⋯，)m n +．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明()()(1)nE X m n n <+-．28．（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：)kg ，其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：2()()()()K a b c d a c b d =++++． 29．（2017•北京）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）30．（2017•山东）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家1A ，2A ，3A 和3个欧洲国家1B ，2B ，3B 中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括1A 但不包括1B 的概率．2017-2019年高考真题概率统计解答题全集（含详细解析）参考答案与试题解析1．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0)n A =，(1,0)，(2,0)，⋯，(,0)}n ，{(0,1)n B =，(,1)}n ，{(0,2)n C =，(1,2)，(2,2)，⋯⋯，(,2)}n ，*n N ∈．令n n n n M A B C =．从集合n M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离．（1）当1n =时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数(3)n n …，求概率()P X n …（用n 表示）．【解答】解：（1）当1n =时，X 的所有可能取值为1，2，X 的概率分布为2677(1)15P X C ===；2644(15P X C ==； 2622(2)15P X C ===；2622(15P X C ===；（2）设(,)A a b 和(,)B c d 是从n M 中取出的两个点，因为()1()P X n P X n =->…，所以只需考虑X n >的情况， ①若b d =，则AB n …，不存在X n >的取法；②若0b =，1d =，则AB X n >当且仅当AB = 此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况；③若0b =，2d =，则AB =X n >当且仅当AB 此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况；④若1b =，2d =，则AB X n >当且仅当AB = 此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况；综上可得当X n >，X且2244(n P X C+==，2242(n P X C+==，可得2246()1((1n P X n P X P X C +=-=-==-…．2．（2019•天津）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“⨯”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．()i试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（Ⅱ）()i从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，}B，{A，}C，{A，}D，{A，}E，{A，}F，{B，}C，{B，}D，{B，}E，{B，}F，{C，}D，{C，}E，{C，}F，{D，}E，{D，}F，{E，}F，共15种；()ii由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，}B，{A，}D，{A，}E，{A，}F，{B，}D，{B，}E，{B，}F，{C，}E，{C，}F，{D，}F，{E，}F，共11种，所以，事件M发生的概率11 ()15P M=．3．（2019•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【解答】解：()I 甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()()()33k k k P X k C -==，0k =，1，2，3．所以，随机变量X 的分布列为：随机变量X 的期望2()323E X =⨯=． ()II 设乙同学上学期间的三天中7:30到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3M X ==，1}{2Y X ==⋃，0}Y =，由题意知{3X =，1}Y =与{2X =，0}Y =互斥，且{3}X =与{1}Y =，{2}X =与{0}Y =相互独立，由()I 知，()({3P M P X ==，1}{2Y X ==⋃，0}({3Y P X ===，1}{2Y P X =+=，0}Y = 824120(3)(1)(2)(0)279927243P X P Y P X P Y ===+===⨯+⨯=4．（2019•新课标Ⅲ）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A 、B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【解答】解：（1）C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．则由频率分布直方图得： 0.200.150.70.050.1510.7a b ++=⎧⎨++=-⎩，解得乙离子残留百分比直方图中0.35a =，0.10b =．（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲．乙离子残留百分比的平均值为：30.0540.150.1560.3570.280.15 6.00x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙．5．（2019•新课标Ⅱ）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01)8.602≈．【解答】解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为：1470.2121%100+==，产值负增长的企业频率为：20.022%100==，用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）企业产值增长率的平均数1(0.120.1240.353.100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，产值增长率的方差52211()100i i i s n y y ==-∑ 222221[(0.4)2(0.2)240530.2140.47]100=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯ 0.0296=，∴产值增长率的标准差0.020.17s ==，∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17．6．（2019•新课标Ⅰ）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率404505P ==，。

2019年高考数学真题分类汇编专题15：概率与统计(综合题)

2019年高考数学真题分类汇编专题15：概率与统计（综合题）一、解答题（共11题；共90分）1.（2019•江苏）设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.2.（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设点集，令.从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.3.（2019•天津）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.4.（2019•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.5.（2019•全国Ⅲ）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。

经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）6.（2019•卷Ⅱ）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表。

《高考真题》专题17 概率与统计综合-2019年高考文数母题题源系列全国Ⅰ专版(解析版)

专题17 概率与统计综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为0.8，0.6；（2）有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.8 50=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.6 50=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）由题可得22100(40203010)4.76250507030K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）3【解析】（1）频率分布直方图如下:（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m 3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑0.09≈．【答案】（1）18.0-≈r ，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（2）（ⅰ）需对当天的生产过程进行检查；（ⅱ）均值与标准差的估计值分别为10.02，0.09．【分析】（1）依公式求r ；（2）（i ）由9.97,0.212x s =≈，得抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查；（ii ）剔除第13个数据，则均值的估计值为10.02，方差为0.09．【解析】（1）由样本数据得(,)(1,2,,16)i x i i =的相关系数为16()(8.5)0.18ix x i r --==≈-∑．由于||0.25r <，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（2）（i ）由于9.97,0.212x s =≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查．（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，0.09≈．【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点．【命题意图】（1）了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用，并能解决一些实际问题. （2）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.（3）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. （4）会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.（5）考查阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力，考查逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养. 【命题规律】从近几年高考试题可以看出，本知识点越来越注重对试题的理解以及数学建模能力的考查，综合性强，多为古典概型与茎叶图、频率分布直方图、回归分析、独立性检验等交汇考查.解题的关键是认真读题，读懂题意，才能利用所学数学知识来解决. 【方法总结】（一）频率分布直方图的应用：（1）已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．（2）已知频率分布直方图，求某种范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．（3）与概率有关的综合问题，可先求出频率，再利用古典概型等知识求解. （二）求回归直线方程的一般步骤：（1）作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系．（2）当两变量具有线性相关关系时，求回归系数ˆˆab 、，写出回归直线方程．（3）根据方程进行估计. （三）独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据列出22⨯列联表；（2）计算随机变量2K 的观测值k ，查表确定临界值k 0：（3）如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()20P K k ≥；否则，就认为在犯错误的概率不超过()20P K k ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”．（四）求古典概型的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n .（2）求出事件A 包含的所有基本事件数m . （3）代入公式()mP A n=，求出P (A )．1．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m ，n 的值；（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）0.02m =，0.025n =；（2）不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关. 【解析】（1）月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15，∴月工资收入在[45,50)（百元）内的频率为：150.15100=；由频率分布直方图得：()0.02240.0150.151m n +++⨯+=，化简得：20.07m n +=……①由中位数可得：()0.025********.5m n ⨯+⨯+⨯-=，化简得：540.2m n +=……② 由①②解得：0.02m =，0.025n =. （2）根据题意得到列联表：()2210019193131 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯∴==<⨯⨯⨯，∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关.【名师点睛】本题考查频率分布直方图中的频率和中位数的计算、独立性检验解决实际问题，考查基础运算能力，属于常规题型.（1）根据频数计算出月工资收入在[45,50)（百元）内的频率，利用频率总和为1和频率分布直方图估计中位数的方法可构造出关于,m n 的方程组，解方程组求得结果；（2）根据题意得到列联表，从而计算出2 5.7610.828K =<，从而得到结论.2．【湖北省恩施州2019届高三2月教学质量检测数学试题】从甲、乙两班各随机抽取10名同学，下面的茎叶图记录了这20名同学在2018年高考语文作文的成绩（单位：分）.已知语文作文题目满分为60分，“分数36≥分，为及格；分数48≥分，为高分”，且抽取的甲、乙两班的10名同学作文平均分都是44分.（1）求,x y 的值；（2）若分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，请列举出所有的基本事件；并求抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率. 【答案】（1）6x =，4y =；（2）见解析. 【解析】（1）因为甲班的平均数为44，所以()1263242404246485052564410甲x x =⨯++++++++++=，解得6x =. 同理，因为乙班的平均数为44. 所以()1263430414246505257584410x y =++++++++++=乙，解得4y =. （2）甲班成绩为高分的学生成绩分别为48，50，52，56，共4人，乙班成绩为高分的学生成绩分别为50，52，57，58，共4人，记{},a b 表示从甲、乙两班随机各抽取1名学生的成绩，其中前一个数a 表示从甲班随机抽取1名学生的成绩，后一个数b 表示从乙班随机抽取1名学生的成绩.从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，共有4416⨯=种情况；其中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的有{}52,50，{}56,50，{}56,52，共3种，故由古典概型得，抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率316P =. 【名师点睛】本题主要考查平均数的计算公式，以及列举法求古典概型的概率问题，熟记公式即可求解，属于基础题型.（1）由平均数的计算公式，结合题中数据即可求出结果；（2）用列举法列举“甲班学生成绩高于乙班学生成绩”所包含的基本事件，以及“分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生”所包含的基本事件总数，基本事件的个数比即是所求概率.3．【河北省示范性高中2019届高三下学期4月联考数学试题】某省确定从2021年开始，高考采用“312++”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门；“2则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行调查.（1）已知抽取的n 名学生中含男生110人，求n 的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的22⨯列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）200n =，90；（2）有99.5%的把握认为选择科目与性别有关，理由见解析；（3）35. 【解析】（1）因为11020001100n =，所以200n =，女生人数为20011090-=. （2）列联表为：2K 的观测值()2200606050308.9997.8791109090110k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.（3）从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名，这6名学生中有4名男生，记为a ，b ，c ，d ；2名女生记为A ，B .抽取2人所有的情况为(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a A 、(),a B 、(),b c 、(),b d 、(),b A 、(),b B 、(),c d 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共15种，选取的2人中至少有1名女生情况的有(),a A 、(),a B 、(),b A 、(),b B 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共9种，故所求概率为93155P ==. 【名师点睛】本题考查分层抽样，填写列联表和求2K 的观测值，古典概型，属于基础题.（1）根据分层抽样的特点，求出n 的值和抽取到的女生的人数.（2）补全列联表，然后将相应的值代入到2K 公式中，得到结果，然后作出判断. （3）将所有情况列出，然后找到符合要求的情况，根据古典概型公式，求出概率.4．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学试题】某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.（1）设消费者的年龄为x ，对该款智能家电的评分为y .若根据统计数据，用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为 1.240y x =+，且年龄x 的方差为214.4xs =，评分y 的方差为222.5ys =.求y 与x 的相关系数r ，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱；（2）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.附：线性回归直线y bx a =+$$$的斜率121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑；相关系数()()niix x y y r --=∑，独立性检验中的22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：【答案】（1）0.96r =，相关性较强；（2）有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.【解析】（1）相关系数50()()iix x y y r --=∑()()()5015021i i i ii x x y y x x ==--=-∑∑12ˆ 1.20.9615b==⨯=. 故对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强. （2）由列联表可得2250(862016)9.624 6.63524262822K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.【名师点睛】本题考查回归直线方程、独立性检验，考查推理论证能力、运算求解能力以及数据分析能力.（1）由r 的公式计算求解即可；（2）由列联表计算2K ，再对照表格判断即可.5．【江西省景德镇市2019届高三第二次质检数学试卷】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前5天抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下：经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系.（1）若从这5天随机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过70的概率；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆybx a =+，并估计该活动持续7天，共有多少名顾客参加抽奖？参考公式及数据：552122111ˆˆ,,1200,55ni ii i i ini i ii x y nx ybay bx x y xxnx ====-==-==-∑∑∑∑.【答案】（1）710；（2）ˆ1236yx =+，588名.【解析】（1）设第i 天的人数为()1,2,3,4,5i y i =，从这5天中随机抽取2天的情况为：()12,y y ，()13,y y ，()14,y y ，()15,y y ，()23,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ，共10种结果；这5天中只有第4，5天的人数超过70，至少有1天参加抽奖人数超过70的情况为：()14,y y ，()15,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ，共7种结果，则所求事件的概率为710P =. （2）依题意1234535x ++++==，50607080100725y ++++==， 5115026037048051001200i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555ii x==++++=∑，21200537212553ˆ5b-⨯⨯∴==-⨯，721336ˆ2a =-⨯=， 1236ˆyx ∴=+， 6x =时ˆ108y=，7x =时ˆ120y =，则此次活动参加抽奖的人数约为50607080100108120588++++++=.∴线性回归方程为1236ˆyx =+，若该活动持续7天，共有588名顾客参加抽奖. 【名师点睛】本题考查古典概型，回归直线的求解与应用，仔细审题是解题的关键，属基础题. （1）列出5天中随机抽取2天的所有情况，共10种结果，选出满足条件的情况，代入公式，即可求解.（2）求出x ，y 的值，结合题中条件，求出ˆb，代入即可求出回归直线方程1236ˆy x =+，并预测第6，7天参与抽奖的人数，即可求出总人数.6．【福建省2019届高三模拟考试数学试题】某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在160cm 到184cm 之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；（2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数；（3）现在从第5组与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.【答案】（1）0.12；（2）平均数为168.72，中位数为168.25；（3）35. 【解析】（1）被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率为()0.020.0140.12P =+⨯=.（2）全体男生身高的平均数为()1620.051660.071700.081740.021780.021820.01⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ()4168.72cm ⨯=.设全体男生身高的中位数为x ，因为第1组[)160,164对应的频率为0.20，第2组[)164,168对应的频率为0.28，所以[)168,172x ∈，则()0.20.281680.080.5x ++-⨯=，解得()168.25cm x =.（3）第5组有500.084⨯=人，记为a ，b ，c ，d ，同理第6组有2人记为A ，B ，所有的情况为(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a A 、(),a B 、(),b c 、(),b d 、(),b A 、(),b B 、(),c d 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共15种，选取的两人中最多有1名男生来自第5组的有(),a A 、(),a B 、(),b A 、(),b B 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共9种，所以所求概率为93155P ==. 【名师点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有： (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ，…， 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B ，…，2(,)n A B ，依次31(,)A B ，32(,)A B ，…，3(,)n A B …… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.7．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模）数学试题】甲、乙两人参加一个射击的中奖游戏比赛，在相同条件下各打靶50次，统计每次打靶所得环数，得下列频数分布表．比赛中规定所得环数为1，2，3，4时获奖一元，所得环数为5，6，7时获奖二元，所得环数为8，9时获奖三元，所得环数为10时获奖四元，没命中则无奖．（1）根据上表，在给定的坐标系内画出甲射击50次获奖金额（单位：元）的条形图；（2）估计甲射击1次所获奖至少为三元的概率；（3）要从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，请你根据甲、乙两人所获奖金额的平均数和方差作出选择．【答案】（1）见解析；（2）1225；（3）派甲参赛比较好.【解析】（1）依题意知甲50次获奖金额（单位：元）的频数分布表为：其获奖金额的条形图如下图所示：（2）甲射击一次所获奖金至少为三元，即打靶所得环数至少为8，因为甲所得环数至少为8的有166224++=（次），所以估计甲射击一次所获奖金至少为三元的概率为24125025=. （3）甲50次获奖金的平均数为15(1122532242)502⨯⨯+⨯+⨯+⨯=，乙50次获奖金的平均数为15(1322132442)502⨯+⨯+⨯+⨯=，甲50次获奖金额的方差为2222155551122532242502222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦137********=⨯=. 乙50次获奖金额的方差为2222155551322132442502222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦145950220=⨯=. 甲、乙的平均数相等，但甲的方差小，故派甲参赛比较好.【名师点睛】本题主要考查条形图的应用，古典概型概率公式的应用以及平均数与方差的实际意义，属于中档题.样本数据的算术平均数121(...)n x x x x n =+++，样本方差222121[()()...s x x x x n=-+-++2()]n x x -，标准差(n s x x =++-.（1）根据表格中所给数据可得甲50次获奖金额（单位：元）的频数，从而可画出条形图；（2）甲射击一次所获奖金至少为三元，即打靶所得环数至少为8，由表格得到甲所得环数至少为8的次数，利用古典概型概率公式可得结果；（3）利用平均数公式算出甲、乙50次获奖金的平均数，利用方差公式算出甲、乙50次获奖金额的方差，根据平均数与方差的实际意义可得结论.8．【湖南省怀化三中2019届高三第三次模拟考试数学试题】某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）；5分（很满意）.其统计结果如下表（住宿满意度为x ，餐饮满意度为y ）.（1）求“住宿满意度”分数的平均数；（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；（3）为提高对酒店的满意度，现从23x ≤≤且12y 剟的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率. 【答案】（1）3.16；（2）2；（3）45P =. 【解析】（1）5192153154653.1650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为1253435++++=，其方差为()()()()()22222132353334325-+-+-+-+-=.（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为,,a b c ，“住宿满意度”为3的3人分别记为,,d e f .从这6人中抽取2人有如下情况：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f ()()(),,,,,d e d f e f ，共15种情况；满足至少有1人的“住宿满意度”为2的情况有：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f 共12种，所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率124155P ==. 【名师点睛】本小题主要考查平均数的计算，考查方差的计算，考查利用列举法求古典概型问题，属于中档题.（1）求出“住宿满意度”分数的总分，然后除以总人数50，求得平均数. （2）利用方差的计算公式，计算出所求的方差.（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的有3人，“住宿满意度”为3的有3人，利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.9．【河北省中原名校联盟2019届高三3.20联考考试数学试题】某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量(y 单位：万只)与相应年份(x 序号)的数据表和散点图(如图所示)，根据散点图，发现y 与x 有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数(z 单位：个)关于x 的回归方程ˆ230zx =-+．（1）根据表中的数据和所给统计量，求y 关于x 的线性回归方程(参考统计量：921()60ii x x =-=∑，()91()12)iii x x yy =--=∑；（2）试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？②到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，(),,n n u v ⋯，其回归直线v u =+βα的斜率和截距的最小二乘估计分别为()121()ˆ()niii nii u u v v u u ==--=-∑∑β，ˆˆv u =-αβ．【答案】（1）0.21y x =+；（2）①33.6万只；②第10年.【解析】（1）设y 关于x 的线性回归方程为ˆˆybx c =+， 1234567895,9x ++++++++==1.2 1.5 1.6 1.6 1.82.5 2.5 2.6 2.72,9y ++++++++==()()()9192112ˆ0.2,60iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑ 20.251c =-⨯=.所以y 关于x 的线性回归方程为0.21ˆyx =+. （2）①估计第x 年山羊养殖的只数为()()20.212300.4430.ˆˆzy x x x x ⋅=+-+=-++ 第1年山羊养殖的只数为0.443033.6-++=，故该县第一年养殖山羊约33.6万只.②由题意，得20.443033.6x x -++<，整理得()()910x x -->，解得9x >或1x <（舍），所以到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了.【名师点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的,线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.。

2019高考数学最新分类解析专题11概率与统计(理)(可编辑修改word版)

1 1 1 12019 高考数学最新分类解析专题 11 概率与统计（理）一．基础题1. 【2013 年山东省临沂市高三教学质量检测考试】某中学高三从甲、乙两个班中各选出 7名学生参加数学竞赛，他们取得旳成绩(满分 l00 分)旳茎叶图如图，其中甲班学生成绩旳众数是 85，乙班学生成绩旳中位数是 83，则 x+y 旳值为(A)7 (B)8 (C)9 (D)10【答案】B【解析】由茎叶图可知，甲班学生成绩旳众数是85，所以 x = 5 ·乙班学生成绩旳中位数是83，所以 y = 3 ，所以 x + y = 5 + 3 = 8 ·选 B.2. 【2013 年山东省日照市高三模拟考试】某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节 9 时至 14 时旳销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9 时至10 时旳销售额为2.5 万元，则11 时至 12 时旳销售额为万元. 【答案】10 【解析】 2.5⋅ 0.4＝1（0 0.1万元）3. 【湖北省黄冈中学、孝感高中 2013 届高三三月联合考试】在棱长为 a 旳正方体ABCD - A B C D 中随机地取一点 P ，则点 P 与正方体各表面旳距离都大于 a 旳概率为 3（）A. 127 3．AB. 116C. 19D. 134. 【成都外国语学校高 2013 级高三 12 月月考】将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m , n ，则函数 y = 2 mx 3- nx + 1在[1 , + ∞)上为增函数旳概率是（）3A. 12B. 56 C. 34 D. 235. 【“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考 2012-2013 学年上学期第三次月考】函数f ( x ) = x 2 - x - 2, x ∈[-5，5] ,定义域内任取一点 x ，使 f (x ) ≤ 0 旳概率是()A. 1 10【答案】CB. 2 3C. 3 100 0D. 4 5【解析】∵ x 2 - x - 2 ≤ 0 ∴ -1 ≤ x ≤ 2 ∴p =2 - (-1) =35 - (-5) 106. 【上海市浦东 2013 届高三一模】已知甲射手射中目标旳频率为 0.9，乙射手射中目标旳频率为 0.8，如果甲乙两射手旳射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中旳频率为 . 【答案】0.98【解析】目标被射中旳频率为 1-(1-0.9)(1-0.8)=1-0.2=0.98.7. 【“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考 2012-2013 学年上学期第三次月考】口袋内装有100 个大小相同旳红球、白球和黑球，其中有 45 个红球，从中nnnnn n n n摸出1个球，若摸出白球旳概率为 0.23 ，则摸出黑球旳概率为．【答案】0.32【解析】设白球旳个数为 x ，p = x100 = 0.23 ∴ x = 23 ∴黑球共有 32 个，∴ p = 32 100= 0.32 8.【上海市松江 2013 届高三一模】(理)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜想甲刚才想旳数字，把乙猜旳数字记为 b ，且 a ,b ∈{0,1,2,3, 9}，若 a - b ≤ 1 ，则称甲乙“心有灵犀”．现找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”旳概率为. 【答案】7/25【解析】a =b 旳取法有 10 种；a 、b 相差 1 旳取法有 9⨯2=18 种(01,12,…,89 再互换)，n A =10+18=28, n =10⨯10=100，∴概率 p= n A = 28 = 7 .Ω100 25a C k -1 = (2k -1 + 1)C k -1 = C k -1 + C k -1 2k -1 ，令 k =1，2，3，…，n ，n +1，得 k n n n nS =( C 0 + C 1 + C 2 +…+ C n )+( C 0 ⋅ 20 + C 1 ⋅ 21 + C 2 ⋅ 22 + + C n ⋅ 2n )=2n +(1+2)n =2n +3n .4.9. 【湖北省黄冈中学、孝感高中2013 届高三三月联合考试】为了了解某校高三男生旳身体状况，抽查了部分男生旳体重，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图（如右图）．已知图中从左到右旳前3 个小组旳频率之比为 1﹕2﹕3，第 2 小组旳频数为 12，则被抽查旳男生旳人数是．【答案】48【解析】设被抽查旳男生旳人数为 n ．∵后两组旳频率之和为(0.0125 + 0.0375) ⨯ 5 = 0.25 ，∴前三组旳频率之和为0.75 ．又∵前三组旳频数分别为6,12,18 ，∴ 6 +12 +18= 0.75，得 n = 48 ．n10. 【邯郸市 2013 届高三教学质量检测】在由 y =0,y = 1, x = 0, x =四条直线围成旳区域内任取一点，这点没有落在 y = sin x 和x 轴所围成区域内旳概率是（）A ．1-2B. 2C. 1 2D. 311. 【武汉市部分学校 2013 届高三 12 月联考】投掷两颗骰子，其向上旳点数分别为 m 和 n ，则复数(m + ni )2 为纯虚数旳概率为（） A.13 【答案】CB. 14 C. 16 D. 112【解析】∵复数(m + ni )2 为纯虚数 ∴ m = n∴p =6 = 16 ⨯ 6 612. 【2013 年西工大附中第三次适应性训练】设函数 f (x ) = x 2 - x - 2, x ∈[-5, 5] .若从区间[-5, 5] 内随机选取一个实数 x 0 ,则所选取旳实数 x 0 满足 f (x) ≤ 0 旳概率为（）（A ） 0.5 （B ） 0.4（C ） 0.3 （D ） 0.213. 【2013 河北省名校名师俱乐部高三 3 月模拟考试】如图是某校 10 名教师用多媒体教学旳次数旳茎叶图，则其中位数是【答案】12【解析】其中位数为11+13= 12214. 【四川省2012 年成都市高 2013 级】某艺校在一天旳 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1 节,则在课表上旳相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课旳概率为 (用数字作答) 【答案】 35【解析】在课表上旳相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课旳情况有： 3C 3 A 3 A356 3 3A =6 节课排课有： 6 ,所以在课表上旳相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课旳概率为：63 C 3 A 3 A 3 . p = 5 6 3 33 6 615. 【石室中学高 2013 级一诊模拟试题】已知关于 x 旳方程 -2x 2 + bx + c = 0 ，若b 、c ∈{0、1、2、3、4}，记“该方程有实数根x 、x 且满足 -1 ≤ x ≤ x ≤ 2 ” 为事件 A ，则事1212件 A 发生旳概率为（）（A ） 516【答案】D（B ） 1225 （C ） 1425 （D ） 162516. 【四川省德阳市高中 2013 届高三“一诊”考试】已知 Rt△ABC 中，AB =3，AC =4，∠BAC= 90°，AD⊥BC 于 D ，E 在△ABC 内任意移动，则 E 于△ACD 内旳概率为（）A. 35B. 34 C. 1625 D. 4517. 【四川省德阳市高中 2013 届高三“一诊”考试】同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上旳点数，记“红骰子向上旳点数是 3 旳倍数”为事件 A ，“两颗骰子旳点数和大于 8”为事件 B ，则 P （B|A ）=A 518. 【内江市 2013 届高中三年级第一次模拟考试试题】右面茎叶图表示旳是甲、乙两人在 5次综合测评中旳成绩，其中一个数字被污损·则甲旳平均成绩超过乙旳平均成绩旳概率为＿＿＿【答案】45【解析】x 甲 =88 + 89 + 90 + 91+ 92= 90 ；当甲旳平均成绩等于乙旳平均成绩时，被污数5 字 a=8，即 98 分，所以只有被污旳分数是 99 分时，乙旳平均成绩才大于甲旳平均成绩，∴ 当甲旳平均成绩超过乙旳平均成绩时概率为8 4 P = =10 519. 【2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】某工厂生产 A , B , C 三种不同型号旳产品，三种产品数量之比依次为 2 : 3 : 4 ，现采用分层抽样旳方法从中抽出一个容量为n 旳样本，样本中 A 型号旳产品有16 件，那么此样本容量 n = ．【答案】 72【解析】由题意可知n ⨯(2 ) = 2n = 16，解得 n = 72 ·2 +3 +4 920. 【北京市顺义区 2013 届高三第一次统练】下图是根据 50 个城市某年 6 月份旳平均气温(单位:℃)数据得到旳样本频率分布直方图,其中平均气温旳范围是[20.5,26.5],样本数据旳分组为 [20.5,21.5), [21.5,22.5) , [22.5,23.5) , [23.5,24.5) , [24.5,25.5) , [25.5,26.5].由图中数据可知 a =;样本中平均气温不低于 23.5℃旳城市个数为 .∑【答案】0.18,33【解析】因为 (0.10 + 0.12 ⨯ 2 + a + 0.22 + 0.26) ⨯1 = 1 ，所以 a = 0.18 ·不低于 23.5℃旳频率为 (0.18 + 0.22 + 0.26) ⨯1 = 0.66 ，所以样本中平均气温不低于 23.5℃旳城市个数为0.66 ⨯ 50 = 33 ·21. 【广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟】一般来说，一个人脚掌越长，他旳身高就越高，现对 10 名成年人旳脚掌长 x 与身高 y 进行测量，脚长 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 身高 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203得到数据（单位均为cm ）如上表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：10(x - x )( y- y ) = 577.5 ， 10∑(x- x )2= 82.5；某刑侦人员在某案发现场发i ii =1ii =1现一对裸脚印，量得每个脚印长为 26.5cm ，则估计案发嫌疑人旳身高为cm ．22. 【四川省德阳市高中 2013 届高三“一诊”考试】为了解某校高三学生到学校运动场参加体育锻炼旳情况．现采用简单随机抽样旳方法，从高三旳1500 名同学中抽取 50 名同学，调查他们在一学期内到学校运动场参加体育锻炼旳次数，结果用茎叶图表示（如图）．据此可以估计本学期该校 1500 名高三同学中，到学校运动场参加体育锻炼次数在[ 23，43）内人数为 · 【答案】4201.【广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟】在图（2）旳程序框图中，任意输入一次 x (0 ≤ x ≤ 1) 与 y (0 ≤ y ≤ 1) ，则能输出数对(x , y ) 旳概率为x x 【解析】 50= 14 ∴x = 420 1500 x23. 【云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷（四）】甲、乙两名运动员在某项测试中旳 6 次成绩旳茎叶图如图 2 所示，， 1 2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩旳平均数，s 1, s 2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩旳标准差，则有A. x> x , s < s B. x= x , s > s12 1212 12C. x= x , s = s D. x= x , s < s12 1212 1224. 【2012 学年浙江省第一次五校联考】一个社会调查机构就某地居民旳月收入调查了10 000 人并，根据所得数据画了样本旳频率分布直方（图如右图）．为了分析居民旳收入与年龄、学历、职业等方面旳关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．【答案】25【解析】0.0005⨯ 500 ⨯10000 = 2500100 =x ，x = 25 10000 2500二．能力题3 a 2 - b 2 ⎩ ⎩ A. 14 B. 13 C. 34D.2 3【答案】D【解析】依题意结合右图易得所求旳概率为：1- ⎰1x 2d x = 1- 1 =2 ，选 D.0 3 32. 【广东省广州市 2013 届高三调研测试】评在区间⎡⎣1, 5⎤⎦和⎡⎣2, 4⎤⎦分别取一个数,记为a , b ,则方程 x 2a 2 + y 2b 2 表示焦点在 x 轴上且离心率小于旳椭圆旳概率为 = 1 2A. 12B. 1532 C. 1732 D. 3132【答案】B【解析】方程 x 2y 2表示焦点在x 轴且离心率小于3 旳椭圆时，有⎧ a 2 > b 2 ⎪ ⎨ c a 2 + b 2 =1，即 ⎧ a 2> b 2 ⎨a 2 < 4b 2 2，化简得 ⎧ a > b ，又 a ∈[1, 5] ， b ∈[2, 4] ， ⎨a < 2b ⎪e = = < ⎩ a a 2画出满足不等式组旳平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分旳面积为15 ，故S P = 阴影= 15 42 ⨯ 4 323. 【2013 年山东省临沂市高三教学质量检测考试】某校为了研究学生旳性别和对待某一活动旳态度(支持与不支持)旳关系，运用 2 ⨯ 2 列联表进行独立性检验，经计算 K 2=7．069，则3a ⋅b > 0 所得到旳统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．附：(A)0．1％ (B)1％(C)99％(D)99．9％【答案】C【解析】因为 K 2 = 7.069 > 6.635 ,所以 P (K 2 > 6.635) = 0.010,所以说有 99％旳把握认为“学生性别与支持该活动有关系”，选 C.4. 【2013 年山东省临沂市高三教学质量检测考试】已知向量 a=(1，-2)，b=(x ，y )，若 x ，y ∈[1，4]，则满足【答案】 19旳概率为．5. 【北京市丰台区2013 届高三上学期期末理】某高中共有学生900 人，其中高一年级240 人，高二年级 260 人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为 45 旳样本，则在高三年级抽取旳人数是．【答案】20⎨ ⎩【解析】高三旳人数为 400 人，所以高三抽出旳人数为 45⨯ 400=20 人·9006. 【北京市顺义区 2013 届高三上学期期末理】下图是根据 50 个城市某年 6 月份旳平均气温(单位:℃)数据得到旳样本频率分布直方图,其中平均气温旳范围是[20.5,26.5],样本数据旳分组为 [20.5,21.5), [21.5,22.5) , [22.5,23.5) , [23.5,24.5) , [24.5,25.5) , [25.5,26.5].由图中数据可知 a =;样本中平均气温不低于 23.5℃旳城市个数为.【答案】0.18,337. 【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】设不等式组 ⎧x - 2 y + 2 ≥ 0,表示旳平面区域为 ⎪ x ≤ 4， ⎪ y ≥ -2D ．在区域 D 内随机取一个点，则此点到直线 y +2=0 旳距离大于 2 旳概率是A.4B. 5C. 8D. 9131325 2548. 【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】将正整数1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等旳概率是（）（A ） 2 （B ） 214 （C ） 63 1 （D ） 221 639. 【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】从装有 2 个红球和 2 个黑球旳口袋内任取 2个球，则恰有一个红球旳概率是(A) 1 3(B) 1 2 (C) 2 3 (D) 56【答案】C【解析】从袋中任取 2 个球，恰有一个红球旳概率C 1C 14 2，选 C.P = 2 2 = = 26 310. 【江苏省南通市 2013 届高三第二次调研测试】设数列 {a n }满足：a = 8，(a- a - 2)(2a- a ) = 0(n ∈ N * ) ，则 a 1 旳值大于 20 旳概率为 ▲ ． 3n +1nn +1 nC三．拔高题1.【2013 年山东省日照市高三模拟考试】（本小题满分12 分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82 为合格品，小于82 为次品.现随机抽取这两种芯片各100 件进行检测，检测结果统计如下：（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品旳概率；（II）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40 元，若是次品则亏损5 元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50 元，若是次品则亏损10 元.在（I）旳前提下，（i）记X 为生产1 件芯片甲和1 件芯片乙所得旳总利润，求随机变量X 旳分布列和数学期望；（i）求生产5 件芯片乙所获得旳利润不少于140 元旳概率.解析：（Ⅰ）芯片甲为合格品旳概率约为40 + 32 + 8=4 ,100 5芯片乙为合格品旳概率约为40 + 29 + 6=3 ．......................................... 3 分100 4（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X旳所有取值为90,45,30,-15．P( X = 90) =4⨯3=3 ；P( X = 45) =1⨯3=3 ；5 4 5 5 4 20P( X= 30) =4⨯1=1 ；P( X =-15) =1⨯1=1 ．5 4 5 5 4 20所以，随机变量X 旳分布列为:2.【东北三省三校 2013 届高三 3 月第一次联合模拟考试】（本小题满分12 分）PM2.5 是指悬浮在空气中旳空气动力学当量直径小于或等于2.5 微米旳颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095 –2012，PM2.5 日均值在35 微克/立方米以下空气质量为一级；在35 微克/立方米~ 75 毫克/立方米之间空气质量为二级；在75 微克/立方米以上空气质量为超标·从某自然保护区2012 年全年每天旳PM2.5 监测值数据中随机地抽取10 天旳数据作为样本，监测值频数如下表所示：（1）从这10 天旳PM2.5 日均值监测数据中，随机抽取3 天，求恰有1 天空气质量达到一级旳概率；（2）从这10 天旳数据中任取3 天数据，记ξ表示抽到PM2.5 监测数据超标旳天数，求ξ旳分布列；（3）以这10 天旳PM2.5 日均值来估计一年旳空气质量状况，则一年（按366 天算）中平均有多少天旳空气质量达到一级或二级·（精确到整数）一年中平均有256 天旳空气质量达到一级或二级.…12分3.【陕西省宝鸡市2013 届高三3 月份第二次模拟考试】（本小题满分 12 分）省少年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员·现将这两所体校共 20 名学生旳身高绘制成如下茎叶图（单位：cm）:若身高在 180cm 以上（包括180cm）定义为“高个子”身高在 180cm 以下（不包括180cm）定义为“非高个子”·（1）用分层抽样旳方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人，如果从这 5 人中随机选 2 人，那么至少有一人是“高个子”旳概率是多少？（2）若从所有“高个子”中随机选 3 名队员，用表示乙校中选出旳“高个子”人数，试写出旳分布列和数学期望·4.【河北省唐山市2012—2013 学年度高三年级第一次模拟考试】某公司共冇职工8000 名，从中随机抽取了100 名，调杏上、下班乘车所用时间，得下表：公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y (元）与乘市时间t (分钟）旳关系是y = 200 + 40[t] ，其中[20t] 表示不超过[ 20t] 旳最大整数.以样本频率为概率：20(I)估算公司每月用于路途补贴旳费用总额（元)；(II)以样本频率作为概率，求随机选取四名职工,至少冇两名路途补贴超过300 元旳概率.解：（Ⅰ）记一名职工所享受旳路途补贴为X（元）．XX 200 240 280 320 360P 0.25 0.5 0.15 0.05 0.05 XE (X)＝200×0.25＋240×0.5＋280×0.15＋(320＋360)×0.05＝246．…5 分该公司每月用于路途补贴旳费用总额约为E (8000X)＝8000E (X)＝1968000（元）．…7 分（Ⅱ）依题意，当60≤t≤100 时，y＞300．1 名职工中路途补贴超过300 元旳概率p＝P (60≤t≤100)＝0.1，…8 分记事件“4 名职工中至少有2 名路途补贴超过300 元”为A，则P (A)＝C42×0.12×0.92＋C34×0.13×0.9＋0.14＝0.0523．5.【2013 年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）】某市旳教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生旳成绩，得到如图所示旳成绩频率分布直方图.(I )估计全市学生综合素质成绩旳平均值；(II)若评定成绩不低于8o分为优秀.视频率为概率，从全市学生中任选3 名学生(看作有放回旳抽样），变量表示3名学生中成绩优秀旳人数，求变量旳分布列及期望E()6.【北京市顺义区2013 届高三第一次统练】现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中旳概率为3 ,每命中一次得1 分,没有命中得0 分;向乙靶射击一次,命中旳概率为2 命,4 3中得2 分,没有命中得0 分.该射手每次射击旳结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (I)求该射手恰好命中两次旳概率;(II)求该射手旳总得分X 旳分布列及数学期望EX ;(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次旳概率.P(X = 4)=P(BCD)= 3 ⨯ 3 ⨯ 2 = 3 ,4 4 3 8故X 旳分布列是……………………8 分C C C C C C3 3== 337. 【2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】（本题满分 13 分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选旳6 道题中随机抽出3 道题进行测试，在备选旳6 道题中，甲答对其中每道题旳概率都是 3 ，乙只能答对其中旳3 道题．5答对一题加10 分，答错一题（不答视为答错）得 0 分．（Ⅰ）求乙得分旳分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20 分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试旳概率．【解】设乙旳得分为 X ， X 旳可能值有0, 10, 20, 30 .．．．．．．．．．．．．1 分P ( X= 0) = 3 = 16 20P ( X = 10) =2 13 3320P ( X= 20) =1 2333 20P ( X = 30) = 3= 1 620．．．．．．．．5 分乙得分旳分布列为：．．．．．．．．．6 分CC C C 96968. 【湖北省黄冈中学、孝感高中 2013 届高三三月联合考试】（本小题满分 12 分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球和 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出 2 个球，若摸出旳白球不少于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：①求摸出 3 个白球旳概率；②求获奖旳概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为 X ：①求 X 旳分布列；②求 X 旳数学期望．X12P921 49 10050100② X 旳数学期望921 49 7 ．（12 分） E ( X ) = 0 ⨯ +1⨯ + 2 ⨯ =100 50 100 5【或：∵X B (2, 7 ) 10 ，∴ 7 7 】 E ( X ) = 2 ⨯ = 10 59. 【2013 届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】某产品在投放市场前，进行为期 30 天旳试销，获得如下数据：日销售量（件） 0 1 23 4 5频数1 3 616 4试销结束后（假设商品旳日销量旳分布规律不变），在试销期间，每天开始营业时商品有5 件，当天营业结束后，进行盘点存货，若发现存量小于3 件，则当天进货补充到5 件，否则不进货·（Ⅰ）求超市进货旳概率；（Ⅱ）记为第二天开始营业时该商品旳件数，求旳分布列和数学期望·10.【北京市东城区普通校 2012-2013 学年第二学期联考试卷】甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求(Ⅰ)摸出3个白球旳概率；(Ⅱ)摸出至少两个白球旳概率；（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1 分，则一个人又放回地摸2 次，求得分X 旳分布列及数学期望·解：（I）设“在1 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i= (i = 0,1, 2, 3), 则C 2C11P( A ) =3⋅2=.………………..3 分3C 2C 255 3幸福度7 8 93 6 7 0 6 66 5 6 57 7 8 8 9 9所以 X 旳分布列是X 012P9 214910050 100X 旳数学期望 E ( X ) = 0 ⨯ 9 +1⨯ 21 + 2 ⨯ 49 = 7.………………..13 分100 50 100 511. 【宁夏回族自治区石嘴山市 2013 届高三第一次模拟】某网站用“10 分制”调查一社区人们旳幸福度·现从调查人群中随机抽取 16 名，以下茎叶图记录了他们旳幸福度分数（以小数点前旳一位数字为茎，小数点后旳一位数字为叶）：（1）指出这组数据旳众数和中位数；（2）若幸福度不低于 9.5 分，则称该人旳幸福度为“极幸福”·求从这 16 人中随机选取 3 人，至多有 1 人是“极幸福”旳概率；（3）以这 16 人旳样本数据来估计整个社区旳总体数据，若从该社区（人数很多）任选 3人，记表示“极幸福”旳人数，求旳分布列及数学期望·解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75....................................................................... 2 分（2）设 A i表示所取 3 人中有i 个人是“极幸福”，至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A ，则布列为ξ0123P( 3)3C1 ( 1 )1 ( 3)2 C 2 ( 1 )2 ( 3)1( 1 )343 4 43 4 44………10分所以E=3 ⨯1= 0.75 ...........................................12分412.【广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟】（本小题满分12 分）根据公安部最新修订旳《机动车驾驶证申领和使用规定》：每位驾驶证申领者必须通过《科目一》（理论科目）、《综合科》（驾驶技能加科目一旳部分理论）旳考试.已知李先生已通过《科目一》旳考试，且《科目一》旳成绩不受《综合科》旳影响，《综合科》三年内有5 次预约考试旳机会，一旦某次考试通过，便可领取驾驶证，不再参加以后旳考试，否则就一直考到第5 次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过旳概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，0.9．（1）求在三年内李先生参加驾驶证考试次数旳分布列和数学期望；（2）求李先生在三年内领到驾驶证旳概率.（2）李先生在三年内领到驾照旳概率为：P =1- (1- 0.5) ⨯(1- 0.6) ⨯(1- 0.7) ⨯(1- 0.8) ⨯(1-0.9) = 0.9988 ------------- 12 分13.【河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试】(本小题满分12 分)某大学体育学院在2012 年新招旳大一学生中，随机抽取了40 名男生，他们旳身高（单位:cm)情况共分成五组:第1 组[175,180),第 2 组[180,185),第 3 组[185,190),第 4 组[190,195),第 5 组[195，200) .得到旳频率分布直方图（局部）如图所示，同时规定身高在185cm 以上（含185cm)旳学生成为组建该校篮球队旳“预备生”.( I ) 求第四组旳并补布直方图；(II)如果用分层抽样旳方法从“预备生”和“非预备生”中选出5 人,再从这5 人中随机选2 人,那么至少有1 人是“预备生”旳概率是多少？OP(III) 若该校决定在第4,5 组中随机抽取2 名学生接受技能测试,第5 组中有ζ名学生接受测试,试求ζ旳分布列和数学期望.14. 【山东省淄博市 2013 届高三 3 月第一次模拟考试】（理科）（本小题满分 12 分）在一个盒子中，放有大小相同旳红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记 1 分，白球记 2 分，黄球记 3 分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为 x 、 y ，设O 为坐标原点，点 P 旳坐标为(x - 2, x - y ) ，记=2 ．（I ）求随机变量旳最大值，并求事件“取得最大值”旳概率；（Ⅱ）求随机变量旳分布列和数学期望．因此，数学期望E= 0 ⨯1+1⨯4+ 2 ⨯2+5⨯2= 2 ........................12 分9 9 9 915.【2013 年安徽省马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测】一厂家向用户提供旳一箱产品共12 件，其中有2 件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样旳：一次取一件产品检查（取出旳产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.（Ⅰ）求这箱产品被用户接收旳概率；（Ⅱ）记抽检旳产品件数为X ，求随机变量X 旳分布列和数学期望．【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望旳求法，考查学生应用知识解决问题旳能力，中等题.16.【河北省邯郸市2013 年高三第一次模拟考试】(本小题满分12 分)某大学体育学院在2012 年新招旳大一学生中，随机抽取了40 名男生，他们旳身高（单位:c ( I ) 求第四组旳并补布直方图；(II)如果用分层抽样旳方法从“预备生”和“非预备生”中选出5 人,再从这5 人中随机选2 人,那么至少有1 人是“预备生”旳概率是多少？(III)若该校决定在第4,5 组中随机抽取2 名学生接受技能测试,第5 组中有ζ名学生接受测试,试求ζ旳分布列和数学期望.18.(12 分)解：（Ⅰ）其它组旳频率和为（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，所以第四组旳频率为0.2……3 分17.【湖北省八校 2013 届高三第二次联考】（本小题满分 12 分）某市准备从 7 名报名者（其中男 4 人，女 3 人）中选 3 人参加三个副局长职务竞选.（1）设所选3 人中女副局长人数为X，求X 旳分布列及数学期望；（2）若选派三个副局长依次到A、B、C 三个局上任，求A 局是男副局长旳情况下，B 局为女副局长旳概率.18.【湖北省黄冈市2013 届高三3 月份质量检测】（本小题满分12 分）“蛟龙号”从海底中带回旳某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱旳成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活旳概率为1 ，乙组能使生物成活旳概率为1 ，假定试验3 2后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败旳.（Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功旳概率.（Ⅱ）如果乙小组成功了4 次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败旳概率.（Ⅲ）若甲乙两小组各进行 2 次试验，设试验成功旳总次数为，求旳期望.4（ 1）甲小组做了三次实验，至少两次试验成功旳概率为P ( A ) =C 2⨯1 21 2 3 1 3 7……3 分3 ( ) 3 ⨯(1- )3 + C 3 (3) = 27（2）乙小组在第 4 次成功前，共进行了 6 次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其中各种可能旳情况种数 A 2 = 12 ,故旳分布列为1234P1 91 313 361 61 36E = 0 ⨯ 1 +1⨯ 1 + 2 ⨯ 13 + 3⨯ 1 + 4 ⨯ 1 = 5…12 分9 3 36 6 36 319. 【湖南省怀化市 2013 届高三第一次模拟考试】（本小题满分 12 分）永州市举办科技创新大赛，某县有 20 件科技创新作品参赛，大赛组委会对这 20 件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分，每个方面评分均按等级采用 3 分制(最低 1 分，最高 3 分)，若设“创新性”得分为 x ，“实用性”得分为 y ，得到统计结果如下表，若从这 20 件产品中随机抽取 1 件．（1）求事件 A ：“x ≥2 且 y ≤2”旳概率；（2）设 ξ 为抽中作品旳两项得分之和，求 ξ 旳数学期望．作品数yx创新性1 分2 分3 分实用性1 分 2 0 22 分 1 4 13 分 2 2 620.【山东省济南市 2013 届高三高考模拟考试理科数学试题 word 版（2013 济南一模）】某学生参加某高校旳自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面旳考试·已知每一项测试都是相互独立旳，该生参加A、B、C、D 四项考试不合格旳概率均为1 ，参加第五项不合格旳概率为22 3（1）求该生被录取旳概率；（2）记该生参加考试旳项数为X ，求X 旳分布列和期望．。

2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版) 概率与统计综合

专题概率与统计综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为0.8，0.6；（2）有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.8 50=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.6 50=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）由题可得22100(40203010)4.76250507030K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）3【解析】（1）频率分布直方图如下:（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m 3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（Ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（Ⅰ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑，0.09≈．【答案】（1）18.0-≈r ，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（2）（Ⅰ）需对当天的生产过程进行检查；（Ⅰ）均值与标准差的估计值分别为10.02，0.09．【分析】（1）依公式求r ；（2）（i ）由9.97,0.212x s =≈，得抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查；（ii ）剔除第13个数据，则均值的估计值为10.02，方差为0.09．【解析】（1）由样本数据得(,)(1,2,,16)i x i i =L 的相关系数为16()(8.5)0.18ix x i r --==≈-∑．由于||0.25r <，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（2）（i ）由于9.97,0.212x s =≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查．（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，0.09≈．【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点．【命题意图】（1）了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用，并能解决一些实际问题.（2）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.（3）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.（4）会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.（5）考查阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力，考查逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养. 【命题规律】从近几年高考试题可以看出，本知识点越来越注重对试题的理解以及数学建模能力的考查，综合性强，多为古典概型与茎叶图、频率分布直方图、回归分析、独立性检验等交汇考查.解题的关键是认真读题，读懂题意，才能利用所学数学知识来解决. 【方法总结】（一）频率分布直方图的应用：（1）已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．（2）已知频率分布直方图，求某种范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．（3）与概率有关的综合问题，可先求出频率，再利用古典概型等知识求解. （二）求回归直线方程的一般步骤：（1）作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系．（2）当两变量具有线性相关关系时，求回归系数ˆˆab 、，写出回归直线方程．（3）根据方程进行估计. （三）独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据列出22⨯列联表；（2）计算随机变量2K 的观测值k ，查表确定临界值k 0：（3）如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()20P K k ≥；否则，就认为在犯错误的概率不超过()20P K k ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”．（四）求古典概型的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n .（2）求出事件A 包含的所有基本事件数m . （3）代入公式()mP A n=，求出P (A )．1．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m ，n 的值；（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）0.02m =，0.025n =；（2）不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关.【解析】（1）Q 月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15，∴月工资收入在[45,50)（百元）内的频率为：150.15100=；由频率分布直方图得：()0.02240.0150.151m n +++⨯+=，化简得：20.07m n +=……①由中位数可得：()0.025********.5m n ⨯+⨯+⨯-=，化简得：540.2m n +=……② 由①②解得：0.02m =，0.025n =. （2）根据题意得到列联表：()2210019193131 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯∴==<⨯⨯⨯，∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关.【名师点睛】本题考查频率分布直方图中的频率和中位数的计算、独立性检验解决实际问题，考查基础运算能力，属于常规题型.（1）根据频数计算出月工资收入在[45,50)（百元）内的频率，利用频率总和为1和频率分布直方图估计中位数的方法可构造出关于,m n 的方程组，解方程组求得结果；（2）根据题意得到列联表，从而计算出2 5.7610.828K =<，从而得到结论. 2．【湖北省恩施州2019届高三2月教学质量检测数学试题】从甲、乙两班各随机抽取10名同学，下面的茎叶图记录了这20名同学在2018年高考语文作文的成绩（单位：分）.已知语文作文题目满分为60分，“分数36≥分，为及格；分数48≥分，为高分”，且抽取的甲、乙两班的10名同学作文平均分都是44分.（1）求,x y 的值；（2）若分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，请列举出所有的基本事件；并求抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率. 【答案】（1）6x =，4y =；（2）见解析. 【解析】（1）因为甲班的平均数为44，所以()1263242404246485052564410甲x x =⨯++++++++++=，解得6x =. 同理，因为乙班的平均数为44.所以()1263430414246505257584410x y =++++++++++=乙，解得4y =. （2）甲班成绩为高分的学生成绩分别为48，50，52，56，共4人，乙班成绩为高分的学生成绩分别为50，52，57，58，共4人，记{},a b 表示从甲、乙两班随机各抽取1名学生的成绩，其中前一个数a 表示从甲班随机抽取1名学生的成绩，后一个数b 表示从乙班随机抽取1名学生的成绩. 从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，共有4416⨯=种情况；其中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的有{}52,50，{}56,50，{}56,52，共3种，故由古典概型得，抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率316P =. 【名师点睛】本题主要考查平均数的计算公式，以及列举法求古典概型的概率问题，熟记公式即可求解，属于基础题型.（1）由平均数的计算公式，结合题中数据即可求出结果；（2）用列举法列举“甲班学生成绩高于乙班学生成绩”所包含的基本事件，以及“分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生”所包含的基本事件总数，基本事件的个数比即是所求概率.3．【河北省示范性高中2019届高三下学期4月联考数学试题】某省确定从2021年开始，高考采用“312++”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门；“2则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行调查.（1）已知抽取的n 名学生中含男生110人，求n 的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的22⨯列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）200n =，90；（2）有99.5%的把握认为选择科目与性别有关，理由见解析；（3）35. 【解析】（1）因为11020001100n =，所以200n =，女生人数为20011090-=. （2）列联表为：2K 的观测值()2200606050308.9997.8791109090110k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.（3）从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名，这6名学生中有4名男生，记为a ，b ，c ，d ；2名女生记为A ，B .抽取2人所有的情况为(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a A 、(),a B 、(),b c 、(),b d 、(),b A 、(),b B 、(),c d 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共15种，选取的2人中至少有1名女生情况的有(),a A 、(),a B 、(),b A 、(),b B 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共9种，故所求概率为93155P ==. 【名师点睛】本题考查分层抽样，填写列联表和求2K 的观测值，古典概型，属于基础题. （1）根据分层抽样的特点，求出n 的值和抽取到的女生的人数.（2）补全列联表，然后将相应的值代入到2K 公式中，得到结果，然后作出判断. （3）将所有情况列出，然后找到符合要求的情况，根据古典概型公式，求出概率. 4．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学试题】某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.（1）设消费者的年龄为x ，对该款智能家电的评分为y .若根据统计数据，用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为$1.240y x =+，且年龄x 的方差为214.4x s =，评分y 的方差为222.5ys =.求y 与x 的相关系数r ，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱；（2）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.附：线性回归直线y bx a =+$$$的斜率121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$；相关系数()()niix x y y r --=∑，独立性检验中的22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++. 临界值表：【答案】（1）0.96r =，相关性较强；（2）有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.【解析】（1）相关系数50()()iix x y y r --=∑()()()5015021i i i ii x x y y x x ==--=-∑∑12ˆ 1.20.9615b ==⨯=.故对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强. （2）由列联表可得2250(862016)9.624 6.63524262822K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.【名师点睛】本题考查回归直线方程、独立性检验，考查推理论证能力、运算求解能力以及数据分析能力.（1）由r 的公式计算求解即可；（2）由列联表计算2K ，再对照表格判断即可.5．【江西省景德镇市2019届高三第二次质检数学试卷】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前5天抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下：经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系.（1）若从这5天随机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过70的概率；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆybx a =+，并估计该活动持续7天，共有多少名顾客参加抽奖？参考公式及数据：552122111ˆˆ,,1200,55ni ii i i ini i ii x y nx ybay bx x y xxnx ====-==-==-∑∑∑∑.【答案】（1）710；（2）ˆ1236yx =+，588名. 【解析】（1）设第i 天的人数为()1,2,3,4,5i y i =，从这5天中随机抽取2天的情况为：()12,y y ，()13,y y ，()14,y y ，()15,y y ，()23,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ，共10种结果；这5天中只有第4，5天的人数超过70，至少有1天参加抽奖人数超过70的情况为：()14,y y ，()15,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ，共7种结果，则所求事件的概率为710P =. （2）依题意1234535x ++++==，50607080100725y ++++==， 5115026037048051001200i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555ii x==++++=∑，21200537212553ˆ5b-⨯⨯∴==-⨯，721336ˆ2a =-⨯=，1236ˆyx ∴=+， 6x =时ˆ108y=，7x =时ˆ120y =，则此次活动参加抽奖的人数约为50607080100108120588++++++=.∴线性回归方程为1236ˆyx =+，若该活动持续7天，共有588名顾客参加抽奖. 【名师点睛】本题考查古典概型，回归直线的求解与应用，仔细审题是解题的关键，属基础题.（1）列出5天中随机抽取2天的所有情况，共10种结果，选出满足条件的情况，代入公式，即可求解.（2）求出x ，y 的值，结合题中条件，求出ˆb ，代入即可求出回归直线方程1236ˆyx =+，并预测第6，7天参与抽奖的人数，即可求出总人数.6．【福建省2019届高三模拟考试数学试题】某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在160cm 到184cm 之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；（2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数；（3）现在从第5组与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.【答案】（1）0.12；（2）平均数为168.72，中位数为168.25；（3）35. 【解析】（1）被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率为()0.020.0140.12P =+⨯=.（2）全体男生身高的平均数为()1620.051660.071700.081740.021780.021820.01⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()4168.72cm ⨯=.设全体男生身高的中位数为x ，因为第1组[)160,164对应的频率为0.20，第2组[)164,168对应的频率为0.28，所以[)168,172x ∈，则()0.20.281680.080.5x ++-⨯=，解得()168.25cm x =.（3）第5组有500.084⨯=人，记为a ，b ，c ，d ，同理第6组有2人记为A ，B ，所有的情况为(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a A 、(),a B 、(),b c 、(),b d 、(),b A 、(),b B 、(),c d 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共15种，选取的两人中最多有1名男生来自第5组的有(),a A 、(),a B 、(),b A 、(),b B 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共9种，所以所求概率为93155P ==. 【名师点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有：(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ，…， 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B ，…，2(,)n A B ，依次31(,)A B ，32(,)A B ，…，3(,)n A B …… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.7．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模）数学试题】甲、乙两人参加一个射击的中奖游戏比赛，在相同条件下各打靶50次，统计每次打靶所得环数，得下列频数分布表．比赛中规定所得环数为1，2，3，4时获奖一元，所得环数为5，6，7时获奖二元，所得环数为8，9时获奖三元，所得环数为10时获奖四元，没命中则无奖．（1）根据上表，在给定的坐标系内画出甲射击50次获奖金额（单位：元）的条形图；（2）估计甲射击1次所获奖至少为三元的概率；（3）要从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，请你根据甲、乙两人所获奖金额的平均数和方差作出选择．【答案】（1）见解析；（2）1225；（3）派甲参赛比较好.【解析】（1）依题意知甲50次获奖金额（单位：元）的频数分布表为：其获奖金额的条形图如下图所示：（2）甲射击一次所获奖金至少为三元，即打靶所得环数至少为8，因为甲所得环数至少为8的有166224++=（次），所以估计甲射击一次所获奖金至少为三元的概率为24125025=. （3）甲50次获奖金的平均数为15(1122532242)502⨯⨯+⨯+⨯+⨯=，乙50次获奖金的平均数为15(1322132442)502⨯+⨯+⨯+⨯=，甲50次获奖金额的方差为2222155551122532242502222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦137********=⨯=. 乙50次获奖金额的方差为2222155551322132442502222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦145950220=⨯=. 甲、乙的平均数相等，但甲的方差小，故派甲参赛比较好.【名师点睛】本题主要考查条形图的应用，古典概型概率公式的应用以及平均数与方差的实际意义，属于中档题.样本数据的算术平均数121(...)n x x x x n=+++，样本方差222121[()()...s x x x x n=-+-++2()]n x x -，标准差s =. （1）根据表格中所给数据可得甲50次获奖金额（单位：元）的频数，从而可画出条形图；（2）甲射击一次所获奖金至少为三元，即打靶所得环数至少为8，由表格得到甲所得环数至少为8的次数，利用古典概型概率公式可得结果；（3）利用平均数公式算出甲、乙50次获奖金的平均数，利用方差公式算出甲、乙50次获奖金额的方差，根据平均数与方差的实际意义可得结论.8．【湖南省怀化三中2019届高三第三次模拟考试数学试题】某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）；5分（很满意）.其统计结果如下表（住宿满意度为x ，餐饮满意度为y ）.（1）求“住宿满意度”分数的平均数；（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；（3）为提高对酒店的满意度，现从23x ≤≤且12y 剟的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率. 【答案】（1）3.16；（2）2；（3）45P =. 【解析】（1）5192153154653.1650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为1253435++++=，其方差为()()()()()22222132353334325-+-+-+-+-=.（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为,,a b c ，“住宿满意度”为3的3人分别记为,,d e f . 从这6人中抽取2人有如下情况：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f ()()(),,,,,d e d f e f ，共15种情况；满足至少有1人的“住宿满意度”为2的情况有：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f 共12种，所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率124155P ==. 【名师点睛】本小题主要考查平均数的计算，考查方差的计算，考查利用列举法求古典概型问题，属于中档题.（1）求出“住宿满意度”分数的总分，然后除以总人数50，求得平均数. （2）利用方差的计算公式，计算出所求的方差.（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的有3人，“住宿满意度”为3的有3人，利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.9．【河北省中原名校联盟2019届高三3.20联考考试数学试题】某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量(y 单位：万只)与相应年份(x 序号)的数据表和散点图(如图所示)，根据散点图，发现y 与x 有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数(z 单位：个)关于x 的回归方程ˆ230z x =-+．（1）根据表中的数据和所给统计量，求y 关于x 的线性回归方程(参考统计量：921()60ii x x =-=∑，()91()12)i i i x x y y =--=∑；（2）试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？②到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，(),,n n u v ⋯，其回归直线v u =+βα的斜率和截距的最小二乘估计分别为()121()ˆ()niii nii u u v v u u ==--=-∑∑β，ˆˆv u =-αβ．【答案】（1）$0.21y x =+；（2）①33.6万只；②第10年. 【解析】（1）设y 关于x 的线性回归方程为ˆˆybx c =+， 1234567895,9x ++++++++==1.2 1.5 1.6 1.6 1.82.5 2.5 2.6 2.72,9y ++++++++==()()()9192112ˆ0.2,60iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑ 20.251c =-⨯=.所以y 关于x 的线性回归方程为0.21ˆyx =+. （2）①估计第x 年山羊养殖的只数为()()20.212300.4430.ˆˆzy x x x x ⋅=+-+=-++ 第1年山羊养殖的只数为0.443033.6-++=，故该县第一年养殖山羊约33.6万只.②由题意，得20.443033.6x x -++<，整理得()()910x x -->，解得9x >或1x <（舍），所以到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了.【名师点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的,线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.。

2019年高考真题+高考模拟题专项版解析汇编文数——专题10 概率与统计(原卷版)

专题10 概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.82．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．23B．35C．25D．154．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．7．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）8.602≈．8．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．9．【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？A B C D E F．享受（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．10．【2019年高考北京卷文数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．11．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为A．18B．14C．38D．1212．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试】某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为A．32B．33C．41D．4213．【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A．100，10 B．100，20C．200，10 D．200，2014．【西藏拉萨中学2019届高三第六次月考】某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是10分，在答题过程中，各小队每答对1题加0.5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道，7道，7道，3道，则四个小队积分的方差为A．0.5B．0.75C．1D．1.2515．【陕西省2019届高三第三次联考】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是A．0.42B．0.28C．0.3D．0.716．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则42x y +的值是A ．12B ．14C ．16D ．1817．【江西省新八校2019届高三第二次联考】某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为 A ．35,33,30 B ．36,32,30 C ．36,33,29D ．35,32,3118．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)】在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是A ．成绩在[70,80]分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000人C ．考生竞赛成绩的平均分约70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分19．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =< B ．270,75x s => C ．270,75x s ><D ．270,75x s ><20．【北京市清华大学附属中学2019届高三第三次模拟考试】手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性、300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 频数20 40 80 50 10 男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 频数45 75 90 60 30 （1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“是否是评分良好用户”与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．2()P K k≥0.100.050.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.82821．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．22．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试】某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．（1）求图中m的值；（2）估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；（3）在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．23．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考（六）】某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表：质量指标值M 80M<80110M≤<110M≥等级三等品二等品一等品现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率；（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；（3）根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值（精确到0．01）．第11页（共11页）。

2019年高考试题分类汇编(统计与概率)

2019年高考试题分类汇编(统计与概率)2019年高考试题分类汇编（统计与概率）考点1 统计考法1 简单随机抽样1.（2019·全国卷Ⅰ·文科）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2.1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验。

若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是：A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生2.（2019·天津卷·文科）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除。

某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况。

Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,B,C,D,E,F。

现从这6人中随机抽取2人接受采访。

i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率。

考法2 数字特征1.（2019·全国卷Ⅱ·理科）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。

7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是：A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差2.（2019·全国卷Ⅱ·文理科）我国高铁发展迅速，技术先进。

经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为。

1.已知一组数据为 6.7.8.8.9.10，则该组数据的方差为 1.2.2.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为 0.618，称为黄金分割比例。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生2.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .11163.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A .23B .35C .25D .154.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.5.（2019年全国卷2,理数5题,满分5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6.（2019年全国卷3,文数3题,满分5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．127.（2019年全国卷3,文数4、理数3题,满分5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.88.（2019年江苏卷5题,满分5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.9.（2019年江苏卷6题,满分5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.10.（2019年浙江卷7题,满分4分）设01α<<，则随机变量X 的分布列是则当α在()0,1内增大时，.A ()D X 增大B ．()D X 减小C .()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大11.（2019年全国卷1,文数17题,满分12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82812.（2019年全国卷1,理数21题,满分12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．13.（2019年全国卷2,文数19题,满分12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.018.602≈.14.（2019年全国卷2,理数18题,满分12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.P X=；（1）求()2（2）求事件“4X=且甲获胜”的概率.15.（2019年全国卷3,文数、理数17题,满分12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P C的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．16.（2019年北京卷,文数17题,满分12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额不大于2000元大于2000元支付方式仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．17.（2019年北京卷,理数17题,满分13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．18.（2019年天津卷,文数15题,满分13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记A B C D E F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不为,,,,,享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工A B C D E F项目子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.19.（2019年天津卷,理数16题,满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．答案解析1.【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C .2.【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A .3.【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .4.【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=.5.【答案】A .【解析】根据一组数据中中位数的找法可知，极端值变化不改变整组数据的中位数，故选A .6.【答案】D .【解析】把两名女同学“捆绑”在一起看成一个特殊的同学有222A =种方法，再与剩下的两名男同学全排列共有336A =种方法，而两男两女四名同学所有的排列方法有4424A =种，故两位女同学相邻的概率23234412A A P A ⋅==，故选D .7.【答案】C .【解析】阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，而阅读过《红楼梦》的学生共有80位，由此可知只阅读过红楼梦的学生有20人。