二维约束点集三角剖分算法研究
Delaunay三角形剖分约束下的图像配准算法
Delaunay三角形剖分约束下的图像配准算法张东兴;祝明波;李相平;张力【期刊名称】《信号处理》【年(卷),期】2013(029)012【摘要】针对一般的特征点匹配只考虑了特征点本身蕴含的信息,容易发生误匹配的问题,给出一种基于Delaunay三角形剖分(Delaunay Triangulation,DT)的图像匹配算法.该算法对参考图和感知图中可能的正确匹配点进行DT剖分,对剖分所得三角网进行对比并找出一致的结构,进而得到正确匹配点.实验结果表明该算法可以有效地抑制SURF(Speed Up Robust Feature,SURF)中的错误匹配,增强匹配可靠性,与RANSAC(Random Sample Consensus,RANSAC)法相比,可以大幅缩短计算时间,在基于点的图像匹配方面具有较高的应用价值.【总页数】6页(P1644-1649)【作者】张东兴;祝明波;李相平;张力【作者单位】海军航空工程学院电子信息工程系,山东烟台264001;海军航空工程学院电子信息工程系,山东烟台264001;海军航空工程学院电子信息工程系,山东烟台264001;海军航空工程学院电子信息工程系,山东烟台264001【正文语种】中文【中图分类】TP391【相关文献】1.一种约束边强行嵌入的Delaunay三角剖分算法 [J], 李源;张阳2.平面散乱点集约束Delaunay三角形剖分切割算法 [J], 陈学工;潘懋3.约束Delaunay三角剖分中强行嵌入约束边的多对角线交换算法 [J], 李立新;谭建荣4.三维可视化应用中Delaunay三角形剖分算法研究 [J], 聂焱;杨杰5.一种约束边强行嵌入的Delaunay三角剖分算法 [J], 李源;张阳因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
delaunay方法
delaunay方法
Delaunay方法，又称为Delaunay三角剖分，是前苏联数学家Delaunay在1934年提出的一种三角剖分方法。
该方法满足所谓的“最大-最小角”优化准则，即所有最小内角之和最大，从而使得划分的三角形不会出现某个内角过小的情况。
这种方法在二维情况下可以描述为：对于给定的平面点集，只存在着唯一的一种三角剖分方法，满足Delaunay三角剖分的条件，即任意一个三角形的外接圆内不包括其他结点。
Delaunay三角剖分方法在各种二维三角剖分中具有全局和局部最优性。
它可以应用于数值模拟的网格生成，尤其在复杂外形的非结构网格生成中有广泛应用。
此外，Delaunay 三角剖分方法还可以推广至多维问题，例如在三维情况下，四面体的外接球内不包含其他节点。
在具体实施过程中，三维情况下的Delaunay三角化可以包括以下步骤：在三维空间内定义一个大的凸壳区域以覆盖所有将要插入的点；根据网格步长分布要求在凸壳区域内引入一个新点；标记将被删除的四面体（其外接球包含新点的所有四面体）；建立空洞边界（由被标记的四面体组成的凸壳的外边界）；在剩余四面体中查找被标记四面体的邻居以
建立有效的空间连续性；利用空洞边界上每个三角形的三个顶点与新点组成新的四面体；建立空洞外原四面体和新生成的四面体的邻居关系。
约束Delaunay四面体剖分
约束Delaunay四面体剖分作者：张娟来源：《无线互联科技》2017年第12期摘要：文章研究了约束Delaunay四面体网格生成算法，引入了优化的网格算法，提高了四面体剖分单元的质量；重点研究了指定区域的边界边与边界面的一致性这两个Delaunay三角化算法迫切需要解决的关键性问题。
结果表明，文章提出的约束Delaunay三角化算法适用性、效率及网格单元质量等方面都得到了提高，且该算法易于实现。
关键词：约束Delaunay三角化；网格算法；四面体剖分有限元方法是一种解决复杂工程实际问题的有效手段，基于三维实体四面体剖分相对于二维领域的复杂性，Delaunay算法的研究成果还不够完善。
目前Delaunay三角化方法仍具有算法速度慢、稳定性不良、适用范围有限、网格质量较差等和其他三维区域四面体剖分算法一样普遍存在的问题。
Delaunay准则是保证优化的网格结构的前提，由于目前现有的算法都无法较好地保证Delaunay准则，因此导致网格质量无法保证，造成狭长三角形单元的出现，致使误差超出范围，造成算法不稳定性。
而需要解决的最关键的三维Delaunay三角化方法的问题就是指定区域的边界边、边界面的一致性问题。
为了保证指定区域边界的一致性，保证边界边、边界面在Delaunay三角化中的存在性，必须要进行边界的恢复。
1 Delaunay四面体剖分的基本理论—边界一致设Σ是一个三围区域W边界的离散化-曲面网格。
边界一致的问题是要求生成一个符合Σ的四面体网格T，即Σ是一个由Γ元素组成的组合体。
T中可以有额外的点（Steiner点），但是这种点的数目应该被限制得越少越好，这个问题对很多应用软件来说是最基本的。
在三维中，解决这个问题面临很多困难，有一些简单的多面体如果没有Steiner点（40个），就不能被四面体剖分。
判定一个非凸多面体不存在Steiner点能否进行四面体剖分，是NP（NP-complete）问题，Chazelle认为对一个简单的多面体进行四面体剖分可能需要很多Steiner点。
delaunay空圆规则
delaunay空圆规则Delaunay空圆规则是计算机图形学中常用的一种算法，用于生成三角网格。
它是由俄罗斯数学家Boris Delaunay在1934年提出的，被广泛应用于地理信息系统、计算机辅助设计等领域。
本文将详细介绍Delaunay空圆规则的原理和应用。
我们来了解一下什么是Delaunay三角剖分。
Delaunay三角剖分是将给定的点集进行三角化的一种方法，其特点是任意两个三角形不会有内接圆，即不存在一个三角形的内接圆内包含其他的点。
Delaunay空圆规则是Delaunay三角剖分的一个重要性质。
根据Delaunay空圆规则，对于三角形ABC，如果点D在ABC的外接圆内部，则D不会与ABC的边相交，否则D会与ABC的边相交。
利用这个规则，我们可以通过不断地连接点和删除边的方式来生成Delaunay三角剖分。
Delaunay空圆规则的原理是基于一个简单的事实：对于任意一个点集，如果存在一个圆，使得该圆的边界上的点集和点集的其余点都在圆的外部，那么这个圆就是该点集的Delaunay空圆。
而Delaunay三角剖分则是通过不断地寻找和调整使得所有三角形的外接圆都满足Delaunay空圆规则的方式来生成的。
生成Delaunay三角剖分的算法有多种，其中最常用的是Bowyer-Watson算法。
该算法的基本思想是从一个超大三角形开始，然后逐渐将点加入到三角形中，同时删除不满足Delaunay空圆规则的边，直到所有的点都被加入到三角形中为止。
这样就得到了一个满足Delaunay空圆规则的三角剖分。
Delaunay三角剖分在计算机图形学中有着广泛的应用。
首先，它可以用于生成地理信息系统中的三角网格，用于地形分析、地貌模拟等方面。
其次，它也可以用于计算机辅助设计中的三维建模和网格生成。
此外，Delaunay三角剖分还可以应用于计算机视觉中的图像处理，例如图像分割、特征提取等方面。
然而，Delaunay空圆规则也存在一些限制。
带内外边界约束的平面点集Delaunay三角剖分
｛
ｉｔｎ ｅ ； ／ ｎ ｄｘ ／ 三角形 的索引 ｉ
ｉ ｔｎ ｄ Ａ ，ｎ ｄ Ｂ，ｎ ｄ Ｃ； ｎ ｏ ｅ ｏｅ ｏｅ
／ 三角 形三 个顶 点 的索 引 ／
ｉ ｔｔｉｎ ｌＡ ，ｔｉｎ ｌＢ，ｔｉｎ ｌＣ； ｎ ｒａ ｇ ｅ ｒａ ｇ ｅ ｒａ ｇ ｅ
第 ３期
王 中辉 等 ： 内外边界约束 的平面点集 Ｄｅ ｕ ａ 带 ｌ ｎ ｙ三角剖分 ａ
２ 算 法描述
２ １ 算 法 的主 要流 程 ．
Байду номын сангаас
本文算法 的主要流程如图 １ 所示．
图 １ 算 法 流 程 图
Ｆ ｇ １ Ｔ ｅ ｆ ｗｃ ａ ｔｏ ｅ ａｇ ｒｔ ｍ ｉ． ｈ ｏ ｈ ｒ ｆｔ ｌｏ ｉ ｌ ｈ ｈ
，
剖分方法口 ］按平面点集的数据分布特征 ， ｅ ｕ ． Ｄｌ— ａ
ｎｙ ａ 三角剖分可 以分为无约束与约束剖 分两种［． ３ ］
本文研究 了带 内外 边界约束 的平 面点集 Ｄ ｌ ｎ ｙ ｅ ｕ ａ ａ 三角 剖分 问题 ， 在 有 限元 分 析 、 见 性 计 算 、 面 它 可 曲 重建等领域均有广泛 的应用 ， 目前关 于这方面的 但 算法并不多． 简宪华等人通过不断地在 约束 边界上 插 人 新点 （ 中点 ） 进行 Ｄ ｌｕ ａ 角剖 分 ， 得最 终 ｅａｎ ｙ三 使 所有 的约束边界都位于剖分结果 的边集 中［． ４ 该算 ］ 法虽然较好地实现 了带 约束 的平 面点集 Ｄ ｌ ｎ ｙ ｅ ｕ ａ ａ
２２ 初 始 Ｄ ｌｕ ａ 角 网的构 建 ． ｅａｎ ｙ三
本文使用 Ｗａｓｎ ｔ 算法［构建约束 边界点与离 ｏ ５ ］ 散点组成的初始 Ｄ ｌ ｎ ｙ ｅ ｕ ａ 三角网， ａ 并将生成 的三角
基于点云数据的主成分分析重构表面算法
第24 卷第1 期2010 年3 月黑龙江工程学院学报(自然科学版)J o u r n al of Heilo n gjia n g In s tit u t e of Tec h n olo g yVo l . 24 №. 1Ma r.,2010基于点云数据的主成分分析重构表面算法张贺,杨金玲,曹先革(黑龙江工程学院测绘工程学院,黑龙江哈尔滨150050)摘要:提出一种基于三维点云数据的主成分分析重建三维表面模型的方法,该方法利用基于主成分分析的动态聚类方法对三维扫描数据进行聚类,进而对点云数据重构—点片,研究在局部利用二维三角网构网技术构建三角网, 然后在考虑局部三角网边缘一致性的基础上组合成整体三维表面模型的算法。
应用实例表明,该算法能有效地完成重建物体三维表面模型。
关键词:点云数据;主成分分析;三维表面重构;Dela u nay中图分类号: P208文献标识码: A文章编号:167124679 (2010) 0120039204Princip al component analysis reconstru ction surfacealgorithm ba s ed on points cloud d ataZ H A N G He , YA N G J i n2li ng , CA O Xia n2ge(Dep t . of Sur veying and Map ping Engineering , Heilo n gjia n g In stit u t e of Tech n o lo g y , Ha r b in 150050 ,China)Abstract :A met h o d of u s i n g p r i n cip a l co m po n e n t a n al y si s to reco n s t r u ct t h ree2di me n s io n al s urf a ce mo d el ba se d o n t h ree2di me n sio nal poi nt s clo ud dat a i s p u t fo rwa r d . A nd it u s e s t h e dyna mic cl u st e ri n g m et h o d of p ri ncip al co mpo ne nt a nal ysi s to cl u st e r t he t h ree2di me n sio nal sca nni ng dat a , so t hat it reco n st r u ct s t h e poi nt s clo ud dat a —poi nt s slice ; st udie s co n s t r uct t he t ria ngle net wo r k by t he t wo2di me n sio nal t r i a n gle t e c h n olo g y i n local a r ea , a n d t h e n it co m po s e s t h e al g o rit h m of t h e w h ole t h ree2di me n s io n al s urf a ce m o d el ba s e d o n co n s i d e r i n g t h e local a r ea t ria n gle cur v ed surf a ce net w o r k e d ge co n s i s t e n ce .The app l icatio n e x2 a m p l e ma n if e s t s t h at t h e al g o r it h m ca n reco n s t r u ct t h e o b ject t h r ee2di me n s io n al s urf a ce m o d el eff icie n tl y. K ey w ords : p oi n t s clo u d dat a ; p r i n cip a l co mpo n e n tDela u na ya n al y si s ; t h ree2di me n s io n al s urf a ce reco n s t r u ctio n ;三维激光扫描是近年来发展起来的一种新型空间数据获取手段和工具,能快速、准确地获取物体的三维几何模型,在文物保护、工业零件检测、医学、测绘等诸多领域具有重要的意义。
通用点线面集Delaunay三角剖分与动态编辑
通用点线面集Delaunay三角剖分与动态编辑丁圣陶;王磊;殷勇;李成名【摘要】This paper summarizes and presents a kind of universal algorithm of generic points,lines and polygon Delaunay triangulation and dynamic editing. Discrete points, constrained line, polygon, polygon features with zone constraints (including point, line, polygon) Delaunay triangulation can be achieved. The outer boundary of Delaunay triangulation in generalis the convex bumps of discrete points, and the inner islands generally do not dig out. The algorithm in process of the Delaunay triangulation , realized the inner and outer boundary processing.%总结并提出了一种通用点线面集Delaunay三角剖分与动态编辑的统一算法.可以实现离散点的Delaunay 三角剖分,约束线、面的Delaunay三角剖分,任意多边形内带特征约束(包括点、线、面)的三角剖分,一般Delaunay三角剖分的外边界都是其离散点集的凸包,且内岛屿一般没有挖掉,本算法实现了Delaunay三角剖分时内、外边界的保界处理.【期刊名称】《遥感信息》【年(卷),期】2011(000)003【总页数】5页(P108-111,115)【关键词】Delaunay;三角剖分;编辑;保界处理【作者】丁圣陶;王磊;殷勇;李成名【作者单位】中国测绘科学研究院,北京100039;中国矿业大学,徐州221000;中国矿业大学,徐州221000;中国测绘科学研究院,北京100039;中国测绘科学研究院,北京100039【正文语种】中文【中图分类】P2081 引言目前Delaunay不规则三角网(Delaunay Triangular Irregular Network,D-TIN)广泛用来实现二维离散数据域的剖分与建模。
高质量三角网格的生成及性质研究
三角网格生成方法
三角网格生成方法
三角网格的生成方法可以大致分为以下几类：
三角网格生成方法
1、基于扫描线的生成方法：该方法通过对二维平面或三维空间进行扫描，将 扫描线与目标边界进行交点计算，然后将交点连接成三角形网格。该方法具有较 高的生成速度，但难以保证网格质量。
三角网格生成方法
2、基于Delaunay三角剖分的生成方法：该方法通过将目标空间中的点云数 据作为输入，进行Delaunay三角剖分，从而生成三角网格。该方法具有较高的网 格质量和计算效率，但可能产生退化情况。
1、结构力学分析：有限元网格生成方法可用于桥梁、建筑等结构的力学性能 分析，为结构设计提供依据。
1、工程计算领域
2、流体动力学分析：在汽车、飞机等设计过程中，利用有限元网格生成方法 可以对流体动力学性能进行准确模拟和分析。
2、生物医学领域
2、生物医学领域
1、生物组织模拟：有限元网格生成方法可以用于生成生物组织的三维模型， 为医学研究和手术治疗提供帮助。
内容摘要
在计算机图形学和数值分析等领域，三角网格模型被广泛应用于各种应用中， 如有限元分析、计算机辅助设计和流体动力学模拟等。然而，在实际应用中，常 常出现一些拓扑结构上的问题，如多角形、狭长三角形和孔洞等，这些问题可能 导致计算精度下降、计算效率低下以及模型美观度不足等问题。因此，对三角网 格模型进行优化调整是非常必要的。
内容摘要
2、网格重建：使用一些算法（如Delaunay三角剖分算法）对网格进行重建， 以获得高质量、高密度的网格。
内容摘要
3、网格优化：通过优化网格单元的大小和分布，可以使网格更加均匀，从而 提高计算精度和计算效率。
内容摘要
本次演示研究的任意拓扑结构三角网格模型优化调整技术，可以显著改善三 角网格模型的质量、密度和重建效果，为各种应用提供更好的基础数据。该技术 也可以为计算机图形学、数值分析和计算机视觉等领域的研究人员提供一种有效 的工具，以解决各种实际应用中的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第１５卷第６期 ２００３年１２月 海军工程大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＮＡＶＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ Ｖ０１．１５ Ｎｏ．６
Ｄｅｃ．２００３
文章编号：１００９—３４８６（２００３）０６—００４９—０３
二维约束点集Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分算法研究
崔汉国，方锡武，简宪华 （海军工程大学基础部，湖北武汉４３００３３） 摘要：在已有算法基础上，提出了任意二维约束点集Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分的新算法，算法仅在局部产生少量 新点，并在局部对三角剖分进行修改，便可保证整体三角剖分符合Ｄｅｌａｕｎａｙ性质． 关键词：二雏三角剖分；Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分；计算几何；网格生成 中图分类号：ＴＰ３９１ 文献标识码：Ａ
Ｄｅｌａｕｎａｙ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ｓｈａｐｅｄ ｐｌａｎａｒ ｄｏｍａｉｎｓ ＣＵＩ Ｈａｎ—ｇｕｏ，ＦＡＮＧ Ｘｉ—ＷＵ，ＪＩＡＮ Ｘｉａｎ－ｈｕａ （Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｂａｓｉｃ Ｃｏｕｒｓｅｓ，Ｎａｖａｌ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｈａｎ ４３００３３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ Ｄｅｌａｕｎａｙ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ｓｈａｐｅｄ ｐｌａｎａｒ ｄｏｍａｉｎｓ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｈａｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ａ ｆｅｗ ｎｅｗ ｐｏｉｎｔｓ ａｒｅ ｃｒｅａｔｅｄ ｉｎ ｌｏｃａｌ ａｒｅａ，ａｎｄ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ ｉｎ ｌｏｃａｌ ａｒｅａ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｄｅｌａｕ— ｎａｙ ｆｅａｔｕｒｅ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：２Ｄ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ；ｄｅｌａｕｎａｙ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ；ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｇｅｏｍｅｔｒｙ；ｍｅｓｈ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ
三角剖分（ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ）是计算几何中的一个难题，它在有限元分析、ＣＡＤ及数据场的可视化等领 域均有重要应用．任意二维约束点集的三角剖分是指将欧几里德平面上的有穷个离散点连成三角形，使 得任何两条边不在非离散点处相交，且定义平面区域边界的直线段（不是直线段的边界可用直线段代 替）必须作为三角形的边而存在． 二维Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分（简称二维ＤＴ剖分）是二维点集较理想的一种剖分方法［１ ］，剖分得到的 三角形满足最小内角之和最大的原则，使得任一三角形外接圆中均不包含点集中的其它点，各个三角形 尽可能接近于等边三角形，避免了狭长三角形的存在，这样各离散点对整个三角形网格的影响仅限于局 部．ＤＴ剖分技术发展到现在，已涌现了大量不同的算法，一般可将算法分为以下三类口］：以Ｂｏｗｙｅｒ、 Ｇｒｅｅｎ、Ｓｉｂｓｏｎｓ为代表的Ｖｏｒｏｎｏｉ图方法、以Ｗａｔｓｏｎ为代表的空外接圆法以及以Ｌａｗｓｏｎ为代表的对 角线交换算法．现有算法基本上都是以以上三类算法为原型并进一步改进的结果，但仍不能解决实际应 用中遇到的复杂情况：标准的二维ＤＴ剖分假定剖分是在给定点集凸包内进行的［１］，即为不带约束条件 的三角剖分，不能用于任意平面区域上点集的三角剖分；文献［２，４］提出在平面区域约束边界上插入新 点，使二维三角剖分的结果尽可能满足边界约束条件的算法，但在约束边界上如何插入新点？插入多少 新点？都值得研究，且多插入一点，则三角形的数量会急剧增加；文献Ｅｓ］提出“修正的外接圆”准则：三 角形外接圆内至多只能包含“不可见”顶点，而不能包含“可见”顶点，事实上依据该准则完成的三角剖分 已不再是通常意义上的ＤＴ剖分． 本文针对任意二维约束点集提出新的算法，用于自动生成平面上带约束条件点集的ＤＴ剖分．
收稿日期：２００３－０２－１５＃修订日期：２００３－０３－０９ 作者简介：崔汉国（１９６４－），男，教授，博士．
维普资讯 http://www.cqvip.com 海军 工程 大 学 学报 第ｌ５卷 １ 二维点集凸包的ＤＴ剖分 二维点集凸包的ＤＴ剖分是实现任意平面区域上点集ＤＴ剖分的基础．对于任意平面区域上点集 Ｐ一｛Ｐ ，ｉ一１，２，…，Ｎ｝，其凸包的ＤＴ剖分算法是一个递推过程：对已形成的ＤＴ剖分进行动态修改， 以构成新的ＤＴ剖分．本文算法 由以下几个步骤组成： （１）由不在同一条直线上的３个点组成第一个三角形，令ｉ一４； （２）在任意位置插入一点Ｐｉ； （３）如果Ｐ 包含在某些（至少一个）三角形的外接圆之内，则将这些三角形删除，只保留这些三角形 的外边界，形成一个多边形．该多边形包含新插入的点Ｐ ，将新插入的点Ｐ 与多边形的每个顶点相连， 便形成了新的ＤＴ剖分（见图１），令ｉ— ＋１，转（５）； （４）如果Ｐ 点不被任一个现有三角形的外接圆所包含，则Ｐ 点必在已形成的ＤＴ剖分子集凸包之 外（见图２），这时将Ｐ 点与原凸包所有“可见”的顶点相连，形成新的ＤＴ剖分，令ｉ－－ ＋１； （５）如果 ＜Ｎ，则转（２），否则结束．
图１ 新插入点位于部分三角形外接圆之内 图２ 新插入点位于已形成的三角剖分凸包之外 算法实例如图３所示．
图３二维点集凸包的ＤＴ剖分 ２任意二维约束点集的ＤＴ剖分 设有任意平面区域上点集Ｐ一｛Ｐｉ，ｉ一１，２，…，Ｎ｝，区域边界多边形Ｂ由一个外环及若干个内环组 成，即Ｂ一｛Ｂ。，Ｂ 一，Ｂ ），其中Ｂ。为外环，Ｂ 一，Ｂ 为内环，点集Ｐ中有部分点位于外环上，部分点 位于内环上，部分点位于内、外环之间的区域中． 当用二维点集凸包的ＤＴ剖分算法对上述区域进行剖分时，可形成三类三角形：之一为三角形在区 域内部；之二为三角形在区域外部；之三为三角形的一部分在区域内部，另一部分在区域外部．其中第一 类为符合要求的剖分结果；第二类可设法标记为“虚三角形”，如图４所示，并予以消除；第三类是不合要 求的剖分，需要特殊处理，如图５所示． 本文提出“交点插入算法”来恢复约束边界，其基本思想是用区域约束边界Ｂ一｛Ｂ。，Ｂ。，…，Ｂ ｝对 已形成的三角剖分集进行求交，用交点动态地对二维点集凸包的ＤＴ剖分的结果进行修改，从而将修改 后的三角形简单地分为在区域内部或在区域外部两种情况，且三角形以约束边界为其边界，“交点插入 算法”描述如下：
维普资讯 http://www.cqvip.com 第６期 崔汉国等：二维约束点集Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分算法研究 ｏ （ａ）原始数据 （ｂ）标准ＤＴ剖分结果 图４带有“虚三角形”的情况 （ａ）原始数据 （ｂ）标准ＤＴ剖分结果
图５标准ＤＴ剖分出现错误的情况 将２Ｄ多边形内外环的直线段边界Ｂ＝｛Ｂ。，Ｂ ”，Ｂ ）汇总，形成一个边的链表Ｅｌｉｓｔ； 对给定点集的凸包按上面介绍的二维点集凸包的ＤＴ剖分算法进行剖分； Ｗｈｉｌｅ Ｅｌｉｓｔ非空 ｂｅｇｉｎ 从Ｅｌｉｓｔ中取出一条直线段与已形成的三角形集求交，得到交点； 用新求得的交点对三角剖分结果进行动态修改； ｅｎｄｗｈｉｌｅ 去除“虚三角形”得到正确的三角剖分结果． 算法说明：“用新求得的交点对三角剖分结果进行动态修改”的方法与“二维点集凸包的ＤＴ剖分” 算法步骤中的（３）、（４）相同． 算法实例如图６、７所示．
图６单孔约束点集ＤＴ剖分实例 ３ 结 论 图７多孔约束点集ＤＴ剖分实例 本文提出通过用约束边界与二维点集凸包的ＤＴ剖分形成的三角形集求交，并对交点进行分类的 办法，在约束边界上产生少量的新点，进而用这些新点对三角形集进行动态修改，使得约束边界被分割 成许多部分，每一部分又都成为三角形的边界，保证整体剖分符合ＤＴ剖分的性质，新点的产生不是盲 目的，而是必需的．本文算法针对复杂情况较文献［７３增加更少的新点．算法可用于具有复杂内外边界或 具有特征约束区域的二维点集三角剖分，算法简洁、适应性强．
参考文献： ［１］唐泽圣，徐志强．二维点集三角剖分动态生成和修改［Ｊ］．计算机辅助设计与图形学报，１９９０，２（３）：１—８． ［２］Ｓａｐｉｄｉｓ Ｎ，Ｐｅｒｕｅｅｈｉｏ Ｒ．Ｄｅｌａｕｎａｙ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａｒｂｉｔｒａｒｉｔｙ ｓｈａｐｅｄ ｐｌａｎａｒ ｄｏｍａｉｎｓ［Ｊ］．ＣＡＧＤ，１９９１，８：４２ｌ一４３７． ［３］胡恩球，张新访，向 文，等．有限元网格生成发展综述［Ｊ］．计算机辅助设计与图形学报，１９９７，９（４）：３７８—３８３． ［４］ Ｓｃｈｒｏｅｄｅｒ Ｗ Ｊ，Ｓｈｅｐｈａｒｄ Ｍ Ｓ．Ｇｅｏｍｅｔｒｙ—ｂａｓｅｄ ｆｕｌｌｙ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｍｅｓｈ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ Ｄｅｌａｕｎａｙ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ ［Ｊ］．Ｉｎｔ．Ｊ．Ｎｕｍｅｒ．Ｍｅｔｈ．Ｅｎｇ．，１９８８，２６：２５０３—２５１５． ［５］丁永详，夏巨谌，王英，等．任意多边形的Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分［Ｊ］．计算机学报，１９９４，１７（４）：２７１—２７６． ［６］方锡武，崔汉国．有限元网格自动生成的Ｄｅｌａｕｎａｙ算法［Ｊ］．海军工程学院学报，１９９８，（４）：３１—３４． ［７］简宪华，崔汉国，曹茂春．带内边界约束散乱数据的Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分算法研究［Ｊ］．计算机工程，２００１，２７（５）： １０５－－１Ｏ６．
维普资讯 http://www.cqvip.com