一个小波变换实例与Matlab实现
1、 选择()t ?或?()?
ω，使{}()k Z t k ?∈-为一组正交归一基； 2、 求n h 。
1,(),()n n h t t ??-=
或??()(2)/()H ω?
ω?ω= 3、 由n h 求n g 。
1(1)n n n g h -=- 或()()i G e H t ωωωπ-=
4、 由n g ，()t ?构成正交小波基函数()t φ
1,()()n n t g t φ?-=∑
或??()(/2)(/2)G φ
ωω?ω= Haar 小波的构造
1）、选择尺度函数。
101()0t t ? ≤≤?=? ?其他
易知(n)t ?-关于n 为一正交归一基。
2）、求n h
1,(),()n n h t t ??-
=()2t-n)t dt ??（
其中
11(2)220n n t t n ?+? ≤≤?-=?? ?其他
当n=0时，
11(2)20t t ?? 0≤≤?=?? ?其他
当n=1时，
111(21)20t t ?? ≤≤?-=?? ?其他
故，当n=0，n=1时
1()(2)0n n t t n ?? =0,=1??-=? ?
其他 当n=0时，
()(2)t t n ???-1120t ? 0≤≤?=?? ?其他
当n=1时，
()(2)t t n ???-11120t ? ≤≤?=?? ?其他
故
n
h ()2t-n)t dt ??
（1/0n n ?=0,=1?=? ??
其他 3）、求n g 。
11/0(1)1/10n n n n g h n -?=??=-=-=?? ??
其他
4）、求()t φ。
1,()()n n t g t φ?-=∑
=0-1,011,1()()g t g t ??-+
(2)(21)t t - =110211120t t ? ≤≤???- ≤≤?? ???
其他
其图形如下：
1、 Haar 尺度函数
101()0t t ? ≤≤?=? ?
其他 Haar 尺度函数空间：
}{,(22),(21),(2),(21),(21),j j j j j x x x x x ?????++-- j 为非负的整数，该空间又称为j 级阶梯函数空间j V 。则
01211j j j V V V V V V -+???????
随j 的增加，分辨更为精细。
2、 性质
函数集}{/22(2):j j x k k Z ?-∈是j V 的一个标准正交基。
0()f x V ∈当且仅当(2)j j f x V ∈。
3、 Haar 小波函数
函数满足两点：（1）φ是1V 的成员；（2）φ与0V 正交。
()x φ=(2)(21)x x ??--
性质：
()0x dx φ+∞
-∞=?
()x φ是对称的、局部支撑的函数；
小波函数空间:(2),j j k
k k Z W a x k a R φ∈-∈∑
j W 是j V 的正交互补，即1j j j V V W +=⊕
函数集}{/22(2):j j x k k Z φ-∈是j W 的一个标准正交基
4、 Haar 小波分解与重建
对Haar 小波，有11(2)((2)(2))j j j x x x φφ?--=+/2 11(21)((2)(2))/2j j j x x x φφ?---=-
Haar 小波分解定理：
设：()(2),()j j k
j j k Z f x a x k f x V φ∈=-∈∑
则它可以有如下分解：
11j j j f f ω--=+
11111(2),()j j j k j j k Z
f a x k f x V φ-----∈=-∈∑
11111(2),()j j j k j j k Z
b x k x W ω?ω-----∈=-∈∑
12212
j k k k a a a -++= 12212j k
k k a a b -+-= 把函数f 分解成一个小波空间与一个尺度空间的分量
()2(4)2(41)(42)(43)f x x x x x φφφφ=+-+---
解：按照分解定理，此j=2,；k=0,1,2,3对应的系数是2,2,1，-1；代入公式，得出分解后尺度函数空间元素的系数是2222+=，1102-=；分解后小波函数空间元素的系数是2202-=，1(1)12
--=；从而 ()2(2)(21)f x x x φ?=+-
Matlab程序
image1=imread('512.jpg');
image1=rgb2gray(image1);
subplot(2,2,1);
imshow(image1);
title('original image');
image1=double(image1);
imagew=imread('shuiyin.bmp');
imagew=rgb2gray (imagew);
subplot(2,2,2);
imshow(imagew);
title('original watermark');
[ca,ch,cv,cd]=dwt2(image1,'db1');
[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(ca,'db1');
[cas,chs,cvs,cds]=dwt2(ca1,'db1');
M=512;
N=64;
for i=1:N
for j=1:N
Ca(i,j)=cas(i,j)+0.01*imagew(i,j);
end;
end;
IM=idwt2(Ca,chs,cvs,cds,'db1');
IM1=idwt2(IM,ch1,cv1,cd1,'db1');
markedimage=double(idwt2(IM1,ch,cv,cd,'db1'));
subplot(2,2,3);
colormap(gray(256));
image(markedimage);
title('marked image');
imwrite(markedimage,gray(256),'watermarked.bmp','bmp'); image1=imread('512.jpg');
image1=rgb2gray(image1);
image1=double(image1);
imaged=imread('watermarked.bmp');
[ca,ch,cv,cd]=dwt2(image1,'db1');
[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(ca,'db1');
[cas,chs,cvs,cds]=dwt2(ca1,'db1');
[caa,chh,cvv,cdd]=dwt2(imaged,'db1');
[caa1,chh1,cvv1,cdd1]=dwt2(caa,'db1');
[caas,chhs,cvvs,cdds]=dwt2(caa1,'db1');
for p=1:N
for q=1:N
W(p,q)=100*(caas(p,q)-cas(p,q));
end;
subplot(2,2,4);
colormap(gray(256));
image(W);
title('从含水印图像中提取的水印'); imwrite(W,gray(256),'watermark.bmp','bmp');