矩阵理论试题答案最终版

阵
G
为
(2, 2) (2, t + 1) (2, t 2 − 1) 2 (t + 1, 2) (t + 1, t + 1) (t + 1, t − 1) (t 2 − 1, 2) (t 2 − 1, t + 1) (t 2 − 1, t 2 − 1)
1 ∫−1 4dt 1 = ∫ 2*(t + 1)dt −1 1 ∫ 2*(t 2 − 1)dt −1 −8 4 8 3 10 −4 = 4 3 3 −8 −4 16 3 15 3
所以 T 的特征值为 0，-1，3，对应的特征向量为 (0,1,1)T , (0, 0,1)T , (2, 0,1)T
1 1 2、 设{e1=(1 0 0)T,e2= (-2 2 1)T,e3= (1 1 1)T}为 R3 的一组基。 3 3
(1) 将上述基标准正交化； (2) 求一个镜面反射矩阵，H：R3 → R3,它使 He2 为平面 2x1 +x2 + 2x3 – 1 = 0 的 单位法向量； (3) 写出构造镜面反射矩阵 H 的 matlab 函数。 解：(1) 正交化得： 1 e= β= 1 1 0, 0 0 (e2 , β1 ) 1 2, e2 − β2 = β1 = ( β1 , β1 ) 3 1 0 (e3 , β1 ) (e3 , β 2 ) 3 −1 e3 − β3 = β1 − β2 = (β2 , β2 ) 15 ( β1 , β1 ) 2 单位化得：
即 x 放大-1 倍，x 向右平移 1，y 放大 2 倍，y 向左平移 1 所以 = y '+ 1 带入(1)中方程得：
x y
1 − x '
2
y '+ 1 = −0.9548 + 0.2487(1 − x ') + 0.4045(1 − x ') 2 2 = −1 − 1.9096 + 0.4974 − 0.4974 x '+ 0.8090 + 0.8090 x '2 − 2*0.8090 x ' 1.6032 − 2.1154 x '+ 0.8090 x '2 = Matlab 程序如下： x=[1 -1 2 -3]';y=[0 -1 1 2]'; H=zeros(4,3); H(:,1)=x.^2; H(:,2)=x; H(:,3)=ones(4,1); [Q,R]=qr(H,0); a=R\(Q'*y) xx=-4:0.1:4;
2
+ (1 + x)
dP( x) dx
− P( x)
并取 B={x2,x,1}为 P2[x] 的一组基。 (1) 试证明 T 是一个线性变换； (2) 试说明 TB = {Tx2,Tx,T1}的线性相关性； (3) 求出线性变换 T 关于基 B 的矩阵表示； (4) 求出线性变换 T 的特征值与特征向量。 解： (1) 要 证 明 T 是 线 性 变 换 ， ∀ p(x),q(x) T( p ( x ) + q ( x )) = (1 − x + x 2 )
解得 a0 = 0.9963, a1 = −1.1036, a2 = 0.5367 即 ϕ (t).=0.9963-1.1036t+0.5367t2
4、(1)求出拟合平面上四个点（1,0） ， （-1，-1） ， （2,1） ， （-3,2）的多项式 P(x) = a0 + a1x + a2x (2)给定仿射变换（伸缩及平面变换）
(3)
选取基为{1，t，t2},即由方程（2.1.4）得
2 0 2 3
0 2 3 0
2 3 a 0 0 a1 = a 2 2 5
e − e −1 −1 −2e e − 5e −1
免责声明 虽然是最终版，但仍不保证答案100%正确，只能说是比较接近正确 答案吧。希望大家好好备考矩阵理论。(可打印，可复制) 1、 在 3 维实系数多项式线性空间 P2[x]上定义如下变换 T：P2[x]→P2[x]
P( x) → TP ( x ) = (1 − x + x 2 ) d 2P( x) dx
2
2 1 −1 1 −1 −1 则 B2=B1A，所以 A = = 0 1 0 * 0 2 1 0 0 1 0 0 1
(2)
−1
0.5 −1.5 −0.5 2 1 0 0 0 1
B1
的
度
量
矩
T
所以 P( x) = 即y= −0.9548 + 0.2487 x + 0.4045 x 2 ， −0.9548 + 0.2487 x + 0.4045 x 2 x ' −1 0 x 1 1 − x (2) = + = y ' 0 2 y −1 2 y − 1
−1 1
(1) 求 B1 到 B2 的过渡矩阵； (2) 写出基 B1 的度量矩阵； (3) 求函数 f(t) = exp(-t) 在 P2[t]，t ∈[-1,1]的最佳平方逼近多项式 ϕ (t).
1 −1 −1 2 1 −1 2 解：(1) B1= (1, t , t ) 0 1 0 ，B2= (1, t , t ) 0 2 1 ，设过度矩阵为 A， 0 0 1 0 0 1
(3) function H=householder(x,y) %x,y 为两个列向量 x1=x/norm(x); y1=y/norm(y); u=(x1-y1)./norm(x1-y1); H=eye(length(u))-2*u*u'; 1 %这里 x 为 e2，y 为 (2,1, 2)T 3 3、 已知 B1 = {2,t + 1, t2 – 1} 和 B2 = {1,2t – 1,t2 + t - 1}是 P2[t], t ∈[-1,1]的两组 基，且对于 ∀ p(t), q(t)∈P2[t],定义内积： ( p (t ), q (t )) = ∫ p (t )q (t )dt .
T
a13 4 −1 15 a23 = −1 15 −19 a33 15 −19 99
1124 −186 −206 1 ( AT = −186 171 61 A) −1 1592 59 −206 61 2 1124 −186 −206 2 −0.9548 1 61 * −3 = 0.2487 A b= −186 171 −3 , 所以x = 1592 21 0.4045 59 21 −206 61
设 A=[1 1 1;1 -1 1;1 2 4;1 -3 9] x=[a0 a1 a2]T b=[0 -1 1 2]T,则上述方程可表 T T 示为 Ax=b；方程两边同时乘以 A 得 A Ax=ATb；所以 x=(ATA)-1ATb;
a11 a12 A A= a21 a22 a 31 a32
∫ ∫ ∫
1 −1 1
1
−1
2*(t + 1)dt
−1
(t 2 + 2t + 1)dt
(t + 1) *(t 2 − 1)dt
1 2 ∫−1 (t + 1) *(t − 1)dt 1 2 2 t dt t ( 1) *( 1) − − ∫−1
∫
1
−1
2*(t 2 − 百度文库)dt
∈ P2(x) ，
d 2 ( p ( x) + q ( x)) d ( p ( x) + q ( x)) + (1 + x) − ( p ( x) + q ( x)) 2 dx dx (1 − x + x 2 ) d 2 p( x) dp ( x) + (1 + x) − p( x) 2 dx dx
2
x ' −1 0 x 1 = + y ' 0 2 y −1 求多项式 P(x)经此仿射变换所得到的曲线，变换后的曲线是什么曲线？ 解：(1)由平面的四个点我们可得如下方程。
a0 + a1 *1 + a2 *12 = 0 2 −1 a0 + a1 *(−1) + a2 *(−1) = 2 1 a0 + a1 * 2 + a2 * 2 = a + a *(−3) + a *(−3) 2 = 2 2 0 1
3 0 0 = (3 x + 2,1, −1) = ( x , x,1) 0 0 0 (3) TB=BA, T ( x , x,1) 2 1 −1
2 2 2
(4)
3 0 0 线性变换 T 在基 B 下对应的矩阵为 A= 0 0 0 ,于是 2 1 −1 0 λ −3 0 det 0 λ 0 = λ (λ + 1)(λ − 3) det(λ E − A) = −2 −1 λ + 1
yy=polyval(a,xx); figure(1) plot(xx,yy,x,y,'ro') p=polyfit(x,y,2); yp=polyval(p,xx); figure(2) plot(xx,yp,x,y,'ro') 可知 a0 -0.9548, = = a1 0.2487, = a2 0.4045
=
+(1 − x + x 2 )
d 2 q( x) dq ( x) + (1 + x) − q( x) = Tp ( x) + Tq ( x) 2 dx dx
2
∀p(x) ∈P2(x)， T( kp ( x )) = (1 − x + x ) = kTp ( x ) 所以 T 是线性变换
d 2 ( kp ( x )) dx 2
1 1 u 为 u=e2-y2= (−4,1, −1)T ,单位化得 w= (−4,1, −1)T ，则 H=In-2wwT， 3 3 2
−7 4 −4 −0.7778 0.4444 −0.4444 1 则 H 为 4 8 1 = 0.4444 0.8889 0.1111 9 −4 1 8 −0.4444 0.1111 0.8889
对于任意 k1 , k2 , k3 , k1 (3 x 2 + 2) + k2 *1 + k3 *(−1) = 0得
3k1 = 0 则 有无穷解， 所以说 TB = {Tx2,Tx,T1} 3k1 x 2 + 2k1 + k2 − k3 = 0， 0 2k1 + k2 − k3 =
是线性相关的。
+ (1 + x)
d ( kp ( x )) dx
− (kp ( x))
(2) Tx2 = (1 − x + x 2 ) * 2 + (1 + x) * 2 x − x 2 = 3 x 2 + 2
Tx = (1 − x + x 2 ) *0 + (1 + x) *1 − x = 1 T1 = (1 − x + x 2 ) *0 + (1 + x) *0 − 1 = −1
0 1 2 0, r2 = = r1 = , r3 5 0 1 5 0 −1 5 2 5
1 (2)平面 2x1 +x2 + 2x3 – 1 = 0 的单位法向量为 y2= (2,1, 2)T ， 则镜面的法向量 3