实现扩展欧几里德算法实验报告

实现扩展欧几里德算法实验报告

一、扩展欧几里德算法问题简介

对于不完全为0 的非负整数a，b，gcd（a，b）表示a，b 的最大公约数，必然存在整数对x，y ，使得gcd（a，b）=ax+by。

二、扩展欧几里德算法设计方法简介

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

三、程序代码

#include

#include

using namespace std;

int x,y,q;

void extend_Eulid(int a,int b)

{

if(b == 0)

{

x = 1;y = 0;q = a;

}

else

{

extend_Eulid(b,a%b);

int temp = x;

x = y;

y = temp - a/b*y;

}

}

int main()

{

int a,b;

cout<<"请输入a"<

cin>>a;

cout<<"请输入b"<

cin>>b;

if(a < b)

{

int temp=a;

a=b;

b=temp;

}

extend_Eulid(a,b);

printf("最大公约数=%d=(%d)*%d+(%d)*%d\n",q,x,a,y,b);

return 0;

}

四、算法介绍

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

五、实验数据

a=22

b=33

六、实验结果

七、实验体会

欧几里得算法应该算是在这两个实验中比较简单的一个程序，但是就是这样的算法，我在实际操作中也遇到了很多的问题，有些是输入法问题，有些是运算问题，所幸的是最后终于完成了。