扩展欧几里得算法详细举例解析
欧几里得（扩展）算法
欧⼏⾥得（扩展）算法欧⼏⾥得算法欧⼏⾥得算法⼜称辗转相除法，是指⽤于计算两个⾮负整数a，b的最⼤公约数。
应⽤领域有数学和计算机两个⽅⾯。
计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a modb)。
证明记a|d表⽰a可以整除d(d为a的倍数)设d为a和b的公约数，即d|a，d|b。
a modb = a-kb，显然d也为a mod b 的和b的公约数。
设d为a mod b和b的公约数，即d|b，d|(a mod b)则有d|(a-kb)，因为ad−kbd和bd为整数，所以ad必为整数，即d也为a和b的公约数。
综上，(a,b)与(b,a mod b)有相同的公约数，故其最⼤公约数也相等。
C++实现int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);//其实b⽐a⼤时也是对的}扩展欧⼏⾥得算法扩展欧⼏⾥得算法是欧⼏⾥得算法（⼜叫辗转相除法）的扩展。
除了计算a、b两个整数的最⼤公约数，此算法还能找到整数x、y（其中⼀个很可能是负数）。
通常谈到最⼤公因⼦时, 我们都会提到⼀个⾮常基本的事实: 给予⼆整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。
有两个数a,b，对它们进⾏辗转相除法，可得它们的最⼤公约数——这是众所周知的。
然后，收集辗转相除法中产⽣的式⼦，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。
证明我们先假设ax+by=gcd(a,b)①存在整数解，令r=a%b，根据假设我们⼜可以得到个式⼦：bx′+ry′=gcd(b,r)=gcd(a,b)存在整数解，将r=a−⌊ab⌋b带⼊并整理得：b(x′−⌊ab⌋y′)+ay′=gcd(a,b)②我们发现①②具有相同的形式，即①式的解可以从②式中获得：x=y′,y=x′−⌊ab⌋y′这就是说只要我们找到②式的解，就能得到①式(上⼀层)的解。
根据相同的形式，从②式的原式我们⼜可以得到rx′′+r′y′′=gcd(r,r′)=gcd(a,b),r′=b%r...根据欧⼏⾥得，这个过程会有⼀个尽头：dx+0y=gcd(a,b)，其中d=gcd(a,b)，为使等式成⽴，我们可以令x=1,y=0(当然也可以为其他值)这就找到了⼀组可⾏解，在⼀层层倒退回去，就能得到原始⽅程的⼀组整数解。
扩展欧几里得迭代算法
扩展欧几里得迭代算法
欧几里得迭代算法是一种求解最大公约数的算法，它可以求出两个正整数a和b的最大公约数。
算法的基本思想是：
1. 计算a除以b的余数，记为r；
2. 如果r=0，则b即为最大公约数；
3. 否则，用b除以r，得到的余数记为r’；
4. 重复步骤2，直至r’=0，则最后一次计算的r即为所求的最
大公约数。
可以将欧几里得迭代算法扩展为求多个数的最大公约数的算法。
假设要求多个数a1,a2,...,an的最大公约数，算法的步骤如下：
1. 令x=a1，y=a2；
2. 计算x除以y的余数，记为r；
3. 如果r=0，则y即为所求的最大公约数；
4. 否则，令x=y，y=r；
5. 重复步骤2，直至r=0，则最后一次计算的r即为所求的最
大公约数；
6. 将a3,a4,...,an依次与最大公约数比较，如果都能整除，则最
大公约数即为所求；否则，重复步骤1，令x=最大公约数，y=a3，重新计算最大公约数，直至所有数都能整除。
扩展欧几里得算法以及求逆元的几种方法
扩展欧⼏⾥得算法以及求逆元的⼏种⽅法扩展欧⼏⾥得算法：ax+by=gcd(a,b)a x+by=gcd(a,b)a x+by=gcd(a,b)求出满⾜条件唯⼀的x,y的值设：设：设：r0=q1∗r1+r2r_{0}=q_{1}*r_{1}+r_{2}r0=q1∗r1+r2r1=q2∗r2+r3r_{1}=q_{2}*r_{2}+r_{3}r1=q2∗r2+r3r2=q3∗r3+r4r_{2}=q_{3}*r_{3}+r_{4}r2=q3∗r3+r4..............................rk−1=qk∗rk r_{k-1}=q_{k}*r_{k}r k−1=qk∗rk其中rk r_{k}r k就是最⼤公约数，因为rk r_{k}r k可由rk−1r_{k-1}r k−1和rk−2r_{k-2}r k−2,且rn=rn−2−qn−1∗rn−1r_{n}=r_{n-2}-q_{n-1}*r_{n-1}r n=rn−2−qn−1∗rn−1故rk−1r_{k-1}r k−1可表⽰为rk−2r_{k-2}r k−2和rk−3r_{k-3}r k−3的线性组合同理rk−2r_{k-2}rk−2也可向上表⽰。
这样得到最⼤公约数之后，⼀直向上回溯即可找到满⾜条件的x，y#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;ll ExGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//求 a b 最⼤公约数，且得到gcd(a,b)=x*a+y*b;{if(!b){x=1;y=0;return a;}ll gcd=ExGcd(b,a%b,x,y);ll temp,k;k=a/b;temp=x;x=y;y=temp-k*y;return gcd;}利⽤扩展欧⼏⾥得求⼀次同余⽅程形如式⼦a∗x=c (mod m)a*x=c\ \ \ (mod \ \ m)a∗x=c (mod m),求满⾜条件的x。
sagemath扩展欧几里得算法求x和y
sagemath扩展欧几里得算法求x和y全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：Sagemath是一个开源的数学软件，它可以用于代数计算、几何、数论、统计学等领域的求解。
在数论中，扩展欧几里得算法是一个用于求解给定两个整数a和b的最大公约数以及满足ax+by=gcd(a,b)的整数解x和y的算法。
在本文中，我们将介绍如何使用Sagemath来实现扩展欧几里得算法，求得整数a和b的最大公约数以及对应的整数解x和y。
Step 1：初始化我们需要将a和b初始化为要求解的两个整数，同时设置初始值x0=1，y0=0，x1=0，y1=1，以及r0=a，r1=b。
Step 2：迭代计算然后，我们可以通过迭代计算的方式来更新r、x和y的值，直到r 的值为0为止。
具体的迭代过程如下：1. 计算商和余数：q=r0//r1，r=r0%r1。
2. 更新x和y的值：x=x0-q*x1，y=y0-q*y1。
3. 更新r、x和y的索引：r0=r1，r1=r，x0=x1，x1=x，y0=y1，y1=y。
Step 3：返回结果最终，当r的值为0时，就可以得到整数a和b的最大公约数为r0，同时满足ax+by=r0的整数解x为x0，y为y0。
在Sagemath中，我们可以使用内置的函数来实现扩展欧几里得算法。
下面是一个示例代码：```pythondef extended_euclidean_algorithm(a, b):x0, y0, x1, y1 = 1, 0, 0, 1r0, r1 = a, bwhile r1 != 0:q = r0 // r1r = r0 % r1x = x0 - q * x1y = y0 - q * y1x0, y0, x1, y1 = x1, y1, x, yr0, r1 = r1, rreturn r0, x0, y0a, b = 35, 15gcd, x, y = extended_euclidean_algorithm(a, b)通过上面的示例代码，我们可以求得整数35和15的最大公约数为5，同时满足35x+15y=5的整数解x为2，y为-5。
扩展欧几里德算法
扩展欧几里德算法扩展欧几里德算法是一种求解两个整数的最大公约数和一组贝祖等式的算法。
它是欧几里德算法的扩展，用于求解不仅仅是最大公约数，还有一组贝祖等式。
扩展欧几里德算法的应用非常广泛，包括密码学、线性同余方程、模运算等。
本文将介绍扩展欧几里德算法的基本原理、算法步骤和应用实例。
一、基本原理扩展欧几里德算法的基本原理是利用欧几里德算法的递归性质，将求解最大公约数的过程中，每次递归时所得到的两个余数之间的关系，通过逆向的递归过程，得到一组贝祖等式。
贝祖等式的形式为ax+by=gcd(a,b)，其中a和b是待求解的两个整数，x和y是满足等式的一组整数解，gcd(a,b)是a和b的最大公约数。
二、算法步骤扩展欧几里德算法的步骤如下：Step 1：输入待求解的两个整数a和b。
Step 2：初始化r0=a，r1=b，x0=1，y0=0，x1=0，y1=1。
Step 3：使用欧几里德算法求解a和b的最大公约数gcd(r0,r1)。
Step 4：使用递归的方式，求解贝祖等式ax+by=gcd(a,b)。
Step 5：输出结果。
算法的详细步骤如下：Step 1：输入待求解的两个整数a和b。
Step 2：初始化r0=a，r1=b，x0=1，y0=0，x1=0，y1=1。
Step 3：使用欧几里德算法求解a和b的最大公约数gcd(r0,r1)。
Step 4：使用递归的方式，求解贝祖等式ax+by=gcd(a,b)。
扩展欧几里德算法的递归过程如下：1. 如果r1=0，则返回x0和y0，此时gcd(a,b)=r0。
2. 否则，计算q=r0/r1和r2=r0-q*r1。
3. 计算x2=x0-q*x1和y2=y0-q*y1。
4. 令r0=r1，r1=r2，x0=x1，x1=x2，y0=y1，y1=y2。
5. 重复步骤1-4，直到r1=0。
Step 5：输出结果。
三、应用实例扩展欧几里德算法的应用非常广泛，包括密码学、线性同余方程、模运算等。
拓展的欧几里得算法求乘法逆元
拓展的欧几里得算法求乘法逆元拓展的欧几里得算法又叫扩展欧几里得算法，是一种求解一元线性同余方程的方法，可以用来求解乘法逆元。
假设要求a在模n下的乘法逆元，即找到x满足ax ≡ 1 (mod n)。
算法步骤如下：1. 用欧几里得算法求出a和n的最大公约数gcd(a,n)以及对应的系数s和t。
2. 如果gcd(a,n)不等于1，则a在模n下没有乘法逆元。
3. 如果gcd(a,n)等于1，则ax ≡ 1 (mod n)可以转化为ax + ny = 1的形式，其中y为x的系数。
4. 用扩展的欧几里得算法求出gcd(a,n)的系数s和t，使得sa + tn = gcd(a,n)。
5. 把等式ax + ny = 1中的a用sa + tn替换，得到(sx +n'y)a + (ty) n = 1，其中n'为n的系数。
6. 取模得到(sx + n'y)a ≡ 1 (mod n)，即ax在模n下的乘法逆元为sx + n'y。
举例说明：计算16在模21下的乘法逆元。
1. 计算gcd(16,21)：21 = 1 × 16 + 5，16 = 3 × 5 + 1，gcd(16,21) = 1。
2. gcd(16,21) = 1，继续下一步。
3. 转化为16x + 21y = 1的形式，求出y的系数。
4. 用扩展的欧几里得算法求出gcd(16,21)的系数s和t，使得16s + 21t = gcd(16,21)，得到s = 11，t = -8。
5. 代入得到(11x - 8y)16 + 21y = 1，即(11x - 8y)16 ≡ 1 (mod 21)。
6. 求解得到x = 11，即16在模21下的乘法逆元为11。
注意事项：1. 模数n必须是正整数，且与a互质，否则a在模n下没有乘法逆元。
2. 扩展的欧几里得算法有多组解，根据具体问题设置取值范围。
扩展欧几里得算法例子
扩展欧几里得算法例子假设我们要解决以下整数线性方程：ax + by = c其中a、b和c是已知整数，而x和y是未知整数变量。
首先，我们将应用欧几里得算法来找到a和b的最大公约数（gcd）。
假设a = 30和b = 18，然后我们可以应用欧几里得算法如下：1.将a除以b，得到商q和余数r：30=18*1+122.将上一步的除数（18）作为新的被除数，将余数（12）作为新的除数，再次应用步骤1：18=12*1+63.再次应用步骤1：12=6*2+0可以看出，当余数为0时，说明上一步的除数就是最大公约数。
因此，gcd(30, 18) = 6接下来，我们将应用扩展欧几里得算法来找到满足给定方程的整数解。
我们将使用前面我们找到的最大公约数（gcd）来进行计算。
1. 在这个例子中，我们的最终目标是找到一个整数对(x, y)，使得ax + by = c 成立。
由于gcd(30, 18) = 6，我们需要将方程除以6，以确保方程的系数都是较小的整数。
2. 我们将ax + by = c 除以gcd(a, b)，即通过将a、b和c分别除以6，我们得到一个等效的方程：5x + 3y = 10。
这是由于30/6=5，18/6=3，以及c/6=10/6=10。
3.现在，我们可以开始应用扩展欧几里得算法。
我们将从最后的一对等式开始并向前推进，直到我们找到解。
3.1.3=10-5*23.2.3=10-(18-12*1)*2(将5x替换成18-12*1)3.3.3=10-18*2+12*23.4.3=-18*2+12*2+10(重新排序项)3.5. 3 = -18 * 2 + 12 * 2 + 6 * 10/6 (将等号右侧替换成10的gcd倍数)3.6.3=-18*2+(6-2*3)*2+6*10/6(将12替换成6-2*3)3.7.3=-18*2+6*2-2*3*2+10(重新排序项)3.8. 3 = -18 * 2 + 6 * 2 - 2 * 3 * 2 + 6 * 10/6 (将等号右侧替换成10的gcd倍数)3.9.3=-18*2+6*2-2*3*2+6*(18-12*1)/6(将10替换成18-12*1)3.10.3=-18*2+6*2-2*3*2+6*18/6-6*12*1/63.11.3=-18*2+6*2-2*3*2+6*18/6-6*12*1/64.经过简化，我们得到：3=18*(-5)+12*85.最后，我们可以发现，我们的方程的一组解是：x=-5，y=8，因为a*-5+b*8=c。
欧几里得算法和扩展欧几里得算法
欧几里得算法和扩展欧几里得算法是计算最大公约数（GCD）的两种重要算法。
本文将从介绍欧几里得算法的原理、应用和代码实现，再深入扩展欧几里得算法的原理、应用和代码实现。
通过本文的阐述，读者将对这两个算法有一个清晰的认识。
一、欧几里得算法的原理1. 欧几里得算法的原理是通过递归的方式，不断用较小的数去除较大的数，直到余数为0，最后一个被除数就是最大公约数。
2. 比如计算8和12的最大公约数，用12去除8，余数为4，然后用8去除4，余数为0，所以8和12的最大公约数为4。
二、欧几里得算法的应用1. 欧几里得算法可以用于计算两个数的最大公约数，进而可以用最大公约数来简化分数。
2. 在计算机领域，欧几里得算法常用于加密算法和数据压缩算法中。
三、欧几里得算法的代码实现下面是欧几里得算法的Python实现：```pythondef gcd(a, b):if b == 0:return aelse:return gcd(b, a b)```四、扩展欧几里得算法的原理1. 扩展欧几里得算法是计算两个数的最大公约数的找出两个数的贝祖等式解的一种算法。
2. 贝祖等式是指对于已知整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的方程ax+by=d有整数解。
五、扩展欧几里得算法的应用1. 扩展欧几里得算法可以用于解决一元线性不定方程。
2. 在密码学中，扩展欧几里得算法常用于计算模逆元。
六、扩展欧几里得算法的代码实现下面是扩展欧几里得算法的Python实现：```pythondef ext_gcd(a, b):if b == 0:return 1, 0, aelse:x, y, gcd = ext_gcd(b, a b)return y, x - a // b * y, gcd```欧几里得算法和扩展欧几里得算法是计算最大公约数的两种重要算法，它们在数学和计算机领域有着广泛的应用。
通过对这两个算法的原理、应用和代码实现的介绍，相信读者对它们有了更清晰的认识。
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扩展欧几里得算法
什么是GCD？
GCD是最大公约数的简称（当然理解为我们伟大的党也未尝不可）。
在开头，我们先下几个定义：
①a|b表示a能整除b（a是b的约数）
②a mod b表示a-[a/b]b（[a/b]在Pascal中相当于a div b）。
即有a|b <=> b mod a=0。
③gcd(a,b)表示a和b的最大公约数
④a和b的线性组合表示ax+by（x,y为整数）。
我们有：若d|a且d|b，则d|ax+by（这很重要！）
线性组合与GCD
现在我们证明一个重要的定理：gcd(a,b)是a和b的最小的正线性组合。
例：a=6 b=4，最小正线性组合为1*a+(-1)*b=2=gcd(a,b)。
证明：
设gcd(a,b)为d，a和b的最小的正线性组合为s
∵d|a且d|b，
∴d|s。
而a mod s=a-[a/s]s
=a-[a/s](ax+by)
=a(1-[a/s]x)-b[a/s]y
亦为a和b的线性组合
∵a mod s<s，a mod s不能是a和b的最小的正线性组合
∴a mod s=0，即s|a
同理由s|b
∴s为a,b的公约数
∴s<=d
∵d|s
∴d=s。
证毕。
由这条定理易推知：若d|a且d|b，则d|gcd(a,b)
Euclid算法
现在的问题是如何快速的求gcd(a,b)。
穷举明显不是一个好方法（O(n)），所以需要一个更好的方法。
首先我们先提出一个定理：gcd(a,b)=gcd(b,a-bx)（x为正整数）。
证明：
设gcd(a,b)=d,gcd(b,a-bx)=e,则
∵d|a,d|b
∴d|a-bx
∴d|gcd(b,a-bx)，即d|e
∵e|b,e|a-bx
∴e|bx+(a-bx)，即e|a
∴e|gcd(a,b)，即e|d
∴d=e。
证毕。
这个定理非常有用，因为它能快速地降低数据规模。
当x=1时，gcd(a,b)=gcd(b,a-b)。
这就是辗转相减法。
当x达到最大时，即x=[a/b]时，gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。
这个就是Euclid算法。
它是不是Euclid提出的我不知道，但听说是在Euclid时代形成的，所以就叫Euclid算法了。
程序非常的简单：
function Euclid(a,b:longint):longint;
begin
if b=0 then exit(a)
else exit(Euclid(b,a mod b));
end;
Euclid算法比辗转相减法好，不仅好在速度快，而且用起来也方便。
两种算法都有一个隐含的限制：a>=b。
用辗转相减法时，必须先判断大小，而Euclid算法不然。
若a<b，则一次递归就会转为gcd(b,a)，接着就能正常运行了。
扩展Euclid
前面我们说过，gcd(a,b)可以表示为a和b的最小的正线性组合。
现在我们就要求这个最小的正线性组合ax+by中的x和y。
这个可以利用我们的Euclid算法。
从最简单的情况开始。
当b=0时，我们取x=1,y=0。
例：a=5，b=0，最小正线性组合为5*1+y*0=5,y为任意整数。
这里为方便起见规定此时y=0。
当b≠0时呢？
假设gcd(a,b)=d ，则gcd(b,a mod b)=d 。
若我们已经求出了gcd(b,a mod b)的线性组合表示bx'+(a mod b)y'，则 gcd(a,b)=d
=bx'+(a mod b)y' =bx'+(a-[a/b]b)y'
=ay'+b(x'-[a/b]y')
那么，x=y'，y=x'-[a/b]y'。
这样就可以在Euclid 的递归过程中求出x 和y 。
程序：
function gcd(a,b:longint):longint;
var p,n:longint;
begin
if b=0 then
begin
x:=1;
y:=0;
exit(a);
end
else
begin
p:=gcd(b,a mod b);
n:=x;
x:=y;
y:=n-a div b*y;
exit(p);
end ;
end ;
我们现在还有一个问题：x,y 是不是确定的？答案：不是。
如果x,y 符合要求，那么x+bk,y-ak 也符合要求。
不确定的原因在于这一句：“当b=0时，我们取x=1,y=0。
”实际上y 可以取任何正整数。
以gcd(26,15)为例： (26,15)
X=-4 Y=3-1*(-4)=7 26*(-4)+15*7=1 ↑
(15,11)
X=3 Y=-1-1*3=-4 15*3+11*(-4)=1 (11,4)
X=-1 Y=1-2*(-1)=3 11*(-1)+4*3=1 (4,3)
X=1 Y=0-1*1=-1 4*1+3*(-1)=1 (3,1)
X=0 Y=1-3*0=1 3*0+1*1=1 (1,0)
X=1 Y=0 1*1+0*0=1
不定方程ax+by=c
现在终于到了本文重点：解二元一次不定方程。
看起来扩展Euclid算法是不定方程的一种特殊情况，实际上呢，不定方程却是用Euclid算法解的。
对于不定方程ax+by=c，设gcd(a,b)=d，如果ax+by=c有解，则d|c（这也是许多奥数题的切入点）。
所以一旦d不是c的约数，那么ax+by=c一定无解。
当d|c时，先求出ax’+by’=d=gcd(a,b)的x'和y'，由于已经有ax’+by’=d，要求ax’+by’=c，将整个式子同乘c/d倍即可。
则x=x'*c/d，
y=y'*c/d。
由上一段可知，只要ax+by=c有一个解，它就有无数个解。
Euclid算法还可以求解同余方程ax≡b(mod m)及其最小x。
这其实和不定方程ax+my=b没有区别。
（不定方程和同余方程一般都有范围限制，这其实也很容易解决，就不说了）
其他
初等数论中最基础的就是GCD以及其相关问题了。
实际上，更深层次的初等数论还包括：◆中国剩余定理
◆Miller-Rabin素性测试
◆pollard rho算法
Jollwish原创，转载请说明出处
Htfy96@修改于2012/11/21。