同余式的欧几里得算法
欧几里得算法及其证明
欧⼏⾥得算法及其证明在数学中，辗转相除法，⼜称欧⼏⾥得算法，是求最⼤公约数的算法。
辗转相除法市⼀中递归算法，每⼀步计算的输出值就是下⼀步计算时的输⼊的值。
设k表⽰步骤数（从 0 开始计数），算法计算过程如下。
每⼀步的输⼊都是前两次计算的⾮负余数r k−1和r k−2。
因为每⼀步计算出的余数都在不断减⼩，所以，r k−1<r k−2。
在第k步中，算法计算出满⾜已下等式的商q k和余数r k：r k−2=q k r k−1+r k其中 0≤r k<r k−1。
也就是r k−2要不断减去r k−1直到⽐r k−1⼩。
为求简明，以下只说明如何求两个⾮负整数a和b的最⼤公约数（负数的情况是简单的）。
在第⼀步计算时 (k=0)，设r−2和r−1分别等于a和b，第⼆步(k=1) 时计算r−1（即b）和r0（第⼀步计算产⽣的余数）相除产⽣的商和余数，以此类推。
整个算法可以⽤如下等式表⽰：a=q0b+r0b=q1r0+r1r0=q2r1+r2r1=q3r2+r3⋯如果有a<b，算法的第⼀步实际上会把两个数字交换，因为这时a除以b所得的商会等于 0，余数r0则等于a。
然后，算法的第⼆步便是把b除以a，再计算所得之商和余数。
所以，对于k≥0 总有r k≤r k−1，即运算的每⼀步中得出的余数⼀定⼩于上⼀步计算的余数。
由于每⼀步的余数都在减⼩并且不为负数，必然存在第N步是r N等于 0 使算法终⽌，r N−1就是a和b的最⼤公约数。
其中N不可能⽆穷⼤，因为在r0和 0之间只有有限个⾃然数。
正确性的证明：辗转相除法的正确性可以分成两步来证明。
在第⼀步，证明算法的最终结果r N−1同时整除a和b。
因为它是⼀个公约数，所以必然⼩于或等于最⼤公约数g。
在第⼆步，证明g能整除r N−1。
所以g⼀定⼩于或等于r N−1。
两个不等式只在r N−1=g时同时成⽴。
具体证明如下。
证明r N−1同时整除a和b：余数r N=0，r N−1∣r N−2:r N−2=q N r N−1因为r N−1∣r N−2，所以r N−1∣r N−3：r N−3=q N−1r N−2+r N−1同理可证r N−1可以整除所有之前步骤的余数，包括a和b,即r N−1是a和b的公约数，r N−1≤g。
扩展欧几里得算法与线性同余方程的求解
扩展欧几里得算法与线性同余方程的求解扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）是欧几里得算法（Euclidean Algorithm）的一个扩展版本，它不仅用于计算两个整数的最大公约数（GCD），还能同时找到满足贝祖等式（Bézout's Identity）的整数解。
这个等式是，其中a和b是任意两个整数，x和y是待求的整数。
当我们要用这个算法来求解线性同余方程ax≡c(mod b)时，我们首先需要找到一个整数x使得axmod b=c。
这可以转化为求解ax−by=c，其中y是另一个待求的整数。
如果不能整除c，则方程ax≡c(mod b)无解。
否则，我们可以先使用扩展欧几里得算法找到x′和y′满足，然后通过调整x′来找到x，使得ax≡c(mod b)成立。
扩展欧几里得算法的基本步骤1.初始化：设x2=1,y2=0,x1=0,y1=1，并且r1=a,r2=b（其中a是被除数，b是除数）。
2.迭代过程：当r2≠0时，执行以下步骤：3.计算商（向下取整）。
4.计算余数r=r1mod r2。
5.更新x和y：x=x1−q∙x2,y=y1−q∙y2。
6.更新r1,r2,x1,x2,y1,y2为r2,r,x2,x,y2,y。
7.终止条件：当r2=0时，算法结束。
此时r1就是a和b的最大公约数，而x1和y1就是满足的整数解。
求解线性同余方程一旦你有了满足的x1和y1，你可以通过以下方式找到x：注意，这里使用了模b来确保x是一个在模b意义下的有效解。
这是因为如果，那么乘以后，等式的左边就变成了ax（其中），而等式的右边则变成了c。
然而，由于我们只关心模b的结果，因此需要对x取模b。
但是，更常见的做法是使用模的逆元来避免直接的除法运算（这在b不是质数时可能不可用）。
如果b和互质，则可以使用扩展欧几里得算法找到关于模b的逆元c′，然后计算x=x1∙c′mod b。
然而，在这个特定的情况下，由于我们已经知道能整除c，我们可以简单地通过乘以并取模b来找到解，而不需要显式地计算逆元。
同余方程的求解技巧
同余方程的求解技巧同余方程是一类重要的数学问题，它在很多领域都有应用，例如密码学、图论、代数学等。
在解决此类问题的过程中，需要掌握一些相关的求解技巧。
一、欧几里得算法欧几里得算法是解同余方程中最基本的技巧。
它的核心思想是将两个数的较大值通过辗转相除的方式，求出它们的最大公约数。
例如，将6和9进行运算，可以得到如下计算式：9 = 6 x 1 + 36 = 3 x 2 + 0因为6和9的最大公约数为3，所以可以用这种方法求解同余方程Ax ≡ B(mod M) 。
其中A、B、M是已知的整数，x是未知整数。
首先，使用欧几里得算法求出A和M的最大公约数D；如果B能被D整除，那么方程有解。
然后，将A和M分别除以D，得到A'和M'，此时Ax ≡ B(mod M)可写为：A'x ≡ B'/D(mod M'/D)。
对这个新的方程重复以上步骤，直到求出解x。
二、中国剩余定理中国剩余定理是解同余方程组的一种方法。
最初，这个定理是由中国数学家孙子所发现并应用于民事案例中。
中国剩余定理适用于一组形如x ≡ a1 (mod n1), x ≡ a2 (mod n2), …, x≡ ar (mod nr) 的同余方程。
其中a1, a2, …, ar是已知的整数，n1, n2, …,nr是互不相同的正整数。
首先，使用欧几里得算法求解n1, n2, …, nr之间的最大公约数D；如果D不整除每一个ai，则无解。
否则，设N = [n1, n2, …,nr] = n1 x n2 x … x nr，则以上同余方程的通解可以写成：x = a1k1M1 + a2k2M2 + … + arkrMr。
其中，Mi = N/ni，且Mi与ni互质；ki是未知的整数，是通过扩展的欧几里得算法计算得到的。
三、扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是用于求解同余方程 Ax + By = C 的一种算法。
其中，A、B、C是已知的整数，x和y是未知的整数。
欧几里得算法和贝祖等式-概述说明以及解释
欧几里得算法和贝祖等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分应该介绍欧几里得算法和贝祖等式的背景和基本概念，以及它们在数学领域中的重要性和应用。
以下是一种可能的写作方式：在数学领域，欧几里得算法和贝祖等式是两个重要的概念，它们在解决数学问题和计算问题上具有广泛的应用。
欧几里得算法，也被称为辗转相除法，是一种用于求解最大公约数的经典算法。
贝祖等式则是描述最大公约数和最小公倍数之间关系的一组等式。
欧几里得算法最早出现在古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中，作为一个基本的算法，它在数学的各个领域都有重要的应用。
其核心思想是通过反复迭代地用较小数去除较大数，直到余数为零，而最后一个非零余数即为最大公约数。
这个算法简单高效，不仅可以用于求解最大公约数，还可以应用于模运算、寻找两个正整数的最小公倍数等各种问题。
而贝祖等式则是描述最大公约数和最小公倍数之间关系的一组等式。
其中最著名的一条等式是贝祖等式的核心内容，即对于给定的两个整数a 和b，存在整数x和y，使得ax + by = gcd(a, b)，其中gcd(a, b)表示a 和b的最大公约数。
贝祖等式不仅在数论和代数等纯数学领域中有广泛的应用，还可以解决诸如线性同余方程、如何表示整数线性组合等实际问题。
综上所述，欧几里得算法和贝祖等式作为数学领域中的两个基础概念，对于数学研究和实际问题求解具有重要的意义。
它们的应用价值不仅体现在数学理论的发展上，还能为我们解决实际问题提供有力的工具和方法。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构的目的是为了给读者提供一个清晰的大局观，让他们能够更好地理解整篇文章的组织和内容安排。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
接下来将详细介绍每个部分的内容。
引言部分包括概述、文章结构和目的。
- 概述部分简要介绍了文章要讨论的主题，即欧几里得算法和贝祖等式。
并提出了这两个主题的重要性和应用价值。
- 文章结构部分则是对整篇文章的整体安排进行了概述。
揭开密码的神秘面纱——同余运算PartIII
揭开密码的神秘面纱——同余运算PartIII [遇见数学] 核心成员: 蘑菇长颈鹿一枚数学系的大学生，喜欢数学文化的小视频，翻译中如有问题，请多指正~密码学中的同余运算 III欧几里得算法(Euclidean algorithm)，又称辗转相除法，是求最大公约数的算法。
它最早出现在欧几里得的《几何原本》中，而在我国可以追溯至东汉出现的《九章算术》。
欧几里得算法根据明确定义的规则来执行计算过程，是最常用的最古老算法之一。
欧几里得算法我们先来回忆一个刚才我们提到的数论中的重要概念——最大公约数(Greatest Common Divisor ())，它是表示可以同时整除两个整数和的最大整数。
由于在确定逆的存在性时常常会用到 ,下面我们来探索一种算法来帮助我们快速的找到。
欧几里得算法(The Euclidean Algorithm)就为我们提供了一种快速找到两个整数之间的方法。
具体方法如下：•若，那么，同理，若，那么。
•将写成带余除法形式。
•由于，利用欧几里得算法找到即为所求。
•若仍不容易得到，则循环第三步至得出所求。
下面我们通过一个简单的例子来进一步的理解欧几里得算法。
假设我们要寻找与之间的。
令 , 由于 , 且 ,而后我们有因此，。
也可以观看下面图像演示的过程：两条线段长分别可表示和，则其中每一小分段长代表最大公约数。
如动画所示，只要辗转地从大数中减去小数，直到其中一段的长度为，此时剩下的一条线段的长度就是和的最大公因数。
欧几里得算法处理大数时非常高效，如果用除法而不是减法实现，它需要的步骤不会超过较小数的位数的五倍。
法国数学家加布里埃尔·拉梅于 1844 年证明了这点，同时这也标志着计算复杂性理论的开端。
通过上面的例子我们可以看出，欧几里得算法主要是应用了以下几个性质：•及。
•若 ,并且 ,那么这里为整数，为到之间的整数。
其中，第一个性质告诉我们当其中一个数是时怎样找，而第二个性质则告诉我们如何将数字大、计算困难的，转化为数字小，简单的来计算。
欧几里得算法与扩展欧几里得算法_C++
欧⼏⾥得算法与扩展欧⼏⾥得算法_C++注：以下讨论的数均为整数⼀、欧⼏⾥得算法（重点是证明，对后续知识有⽤） 欧⼏⾥得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，⽤于计算两个整数的最⼤公约数 定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最⼤公约数 引理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明： 设 r=a%b , c=gcd(a,b) 则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质 r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c ⽽b=yc 可知：y 与 x-py 互质 证明： 假设 y 与 x-py 不互质 设 y=nk , x-py=mk , 且 k>1 （因为互质） 将 y 带⼊可得 x-pnk=mk x=(pn+m)k 则 a=xc=(pn+m)kc , b=yc=nkc 那么此时 a 与 b 的最⼤公约数为 kc 不为 k 与原命题⽭盾，则 y 与 x-py 互质 因为 y 与 x-py 互质，所以 r 与 b 的最⼤公约数为 c 即 gcd(b,r)=c=gcd(a,b) 得证 当a%b=0时，gcd(a,b)=b 这样我们可以写成递归形式1 inline int gcd(int a,int b)2 {3return b?gcd(b,a%b):a;4 }⼆、扩展欧⼏⾥得算法 扩展欧⼏⾥得算法，简称 exgcd，⼀般⽤来求解不定⽅程，求解线性同余⽅程，求解模的逆元等 引理：存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by 证明： 当 b=0 时，gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0 当 b!=0 时， 设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2 ⼜因 a%b=a-a/b*b 则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2 ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2 ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2 ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2) 解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2 因为当 b=0 时存在 x , y 为最后⼀组解 ⽽每⼀组的解可根据后⼀组得到 所以第⼀组的解 x , y 必然存在 得证 根据上⾯的证明，在实现的时候采⽤递归做法 先递归进⼊下⼀层，等到到达最后⼀层即 b=0 时就返回x=1 , y=0 再根据 x=y’ , y=x’-a/b/y’ ( x’ 与 y’ 为下⼀层的 x 与 y ) 得到当层的解 不断算出当层的解并返回，最终返回⾄第⼀层，得到原解1 inline void exgcd(int a,int b)2 {3if (b)4 {5 exgcd(b,a%b);6int k=x;7 x=y;8 y=k-a/b*y;9 }10else y=(x=1)-1;11 }三、exgcd 解不定⽅程（使⽤不将a与b转为互质的⽅法） 对于 ax+by=c 的不定⽅程，设 r=gcd(a,b) 当 c%r!=0 时⽆整数解 当 c%r=0 时，将⽅程右边 *r/c 后转换为 ax+by=r 的形式 可以根据扩展欧⼏⾥得算法求得⼀组整数解 x0 , y0 ⽽这只是转换后的⽅程的解，原⽅程的⼀组解应再 *c/r 转变回去 （如 2x+4y=4 转换为 2x+4y=2 后应再将解得的 x , y 乘上2） 则原⽅程解为 x1=x0*c/r , y1=y0*c/r 通解 x=x1+b/r*t , y=y1-a/r*t ，其中 t 为整数 证明： 将 x , y 带⼊⽅程得 ax+ab/r*t+by-ab/r*t=c ax+by=c 此等式恒成⽴ 得证 这⾥ b/r 与 a/r 为最⼩的系数，所以求得的解是最多最全⾯的 证明： 为了推出证明中的 ax+by=c ，且想达到更⼩的系数，只能将 b/r 与 a/r 同除以⼀个数 s ⽽ b/r 与 a/r 互质，且 s 为整数，则 s=1 ，不影响通解 那么 b/r 与 a/r 就为最⼩的系数 得证四、exgcd 解线性同余⽅程 关于 x 的模⽅程 ax%b=c 的解 ⽅程转换为 ax+by=c 其中 y ⼀般为⾮正整数 则问题变为⽤ exgcd 解不定⽅程 解得 x1=x0*c/r 通解为 x=x1+b/r*t 设 s=b/r （已证明 b/r 为通解的最⼩间隔） 则 x 的最⼩正整数解为 (x1%s+s)%s 证明： 若 x1>0，则 (x1%s+s)%s=x1%s%s+s%s=x1%s=x1-ts (t∈N) 若 x1<0，因在 C++ ⾥ a%b=-(-a%b)<0 (a<0 , b>0) 如 -10%4=-2 则 (x1%s+s)%s=(-(-x1%s)+s)%s=(-(ts-x1)+s)%s=ts-x1 (t∈N) 即为 x1 通过加或减上若⼲个 s 后得到的最⼩正整数解 得证 亦可伪证 x1<0 的情况：设 x1=-5 , s=2 则 (x1%s+s)%s=(-5%2+2)%2=(-1+2)%2=3%2=1 即为 x1 加上 3 个 s 后的到的最⼩正整数解版权所有，转载请联系作者，违者必究。
同余方程的解法
本科毕业论文题目：同余方程的解法学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级:指导教师：二〇一年四月摘要：本文论述了同余方程的基本概念及同余方程的一些基本性质与解法，主要对一次同余方程的解法进行了探讨，特别是对一次同余方程的欧拉定理算法，欧几里德算法等七种解法进行了比较与分析，并介绍了同余方程组、孙子定理、素数模的同余方程，模p 的同余方程的解法。
关键词：同余同余方程孙子定理Abstract：This paper mainly discusses the basic concepts of congruence equations and congruence equation some of the basic nature of solution,and highlights the Remainder Theorem,solution of the congruence equation,mod p congruence equation solution,congruence equation of primes mode solution,etc.Key words:Congruence Congruence equation Remainder Theorem目录引言 (1)1.同余与同余方程的基本性质 (2)1.1 同余的概念与基本性质 (2)1.2同余方程的概念与性质 (3)2.一次同余方程的解法 (4)2.1 ()a=的情况 (4), m 12.2 ()=≠的情况 (7),1a m d3.同余方程组的解法 (8)3.1简单同余方程组的解法 (8)3.2 孙子定理 (9)4.高次同余方程的的解法 (11)4.1素数模的同余方程 (11)4.2模pα的同余方程 (12)总结： (17)参考文献 (18)致谢： (19)引言对于同余方程的解法国内外的数学家们均对其做出了非常全面与细致的研究。
拓展的欧几里得算法求乘法逆元
拓展的欧几里得算法求乘法逆元拓展的欧几里得算法又叫扩展欧几里得算法，是一种求解一元线性同余方程的方法，可以用来求解乘法逆元。
假设要求a在模n下的乘法逆元，即找到x满足ax ≡ 1 (mod n)。
算法步骤如下：1. 用欧几里得算法求出a和n的最大公约数gcd(a,n)以及对应的系数s和t。
2. 如果gcd(a,n)不等于1，则a在模n下没有乘法逆元。
3. 如果gcd(a,n)等于1，则ax ≡ 1 (mod n)可以转化为ax + ny = 1的形式，其中y为x的系数。
4. 用扩展的欧几里得算法求出gcd(a,n)的系数s和t，使得sa + tn = gcd(a,n)。
5. 把等式ax + ny = 1中的a用sa + tn替换，得到(sx +n'y)a + (ty) n = 1，其中n'为n的系数。
6. 取模得到(sx + n'y)a ≡ 1 (mod n)，即ax在模n下的乘法逆元为sx + n'y。
举例说明：计算16在模21下的乘法逆元。
1. 计算gcd(16,21)：21 = 1 × 16 + 5，16 = 3 × 5 + 1，gcd(16,21) = 1。
2. gcd(16,21) = 1，继续下一步。
3. 转化为16x + 21y = 1的形式，求出y的系数。
4. 用扩展的欧几里得算法求出gcd(16,21)的系数s和t，使得16s + 21t = gcd(16,21)，得到s = 11，t = -8。
5. 代入得到(11x - 8y)16 + 21y = 1，即(11x - 8y)16 ≡ 1 (mod 21)。
6. 求解得到x = 11，即16在模21下的乘法逆元为11。
注意事项：1. 模数n必须是正整数，且与a互质，否则a在模n下没有乘法逆元。
2. 扩展的欧几里得算法有多组解，根据具体问题设置取值范围。
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同余式的欧几里德算法
理论依据
定理1,a b Z +
∀∈，1
(1)k k k k Q a P b r --=-对{1,2,...,}k n ∀∈成立，其中k Q 、k P 、k r 满
足下述递推关系：
11a q b r =+，212b q r r =+，1323r q r r =+，…，111k k k k r q r r -++=+，…，110n n n r q r -+=+；
01P =，11P q =，2210P q P P =+，…，12k k k k P q P P --=+，…，12n n n n P q P P --=+；
00Q =，11Q =，2210Q q Q Q =+，…，12k k k k Q q Q Q --=+，…，12n n n n Q q Q Q --=+；
{2,3,...,}k n ∀∈。
（课本《初等数论》第三版10P ）
显然其中(,)n r a b =且1
(1)
(1)n n n n n Q a P b r --+-=，故得,s t Z ∈满
(,)sa tb a b +=。
故由定理可得到求解二元一次不定方程ax by c +=的欧几里德算法
（详见课本《初等数论》第三版27P ）。
下面导出求解一次同余式的欧几里德算法。
设同余式为(%)ax b m ≡，它等价于方程二元一次不定方程ax my b +=。
由上面所述算法可以得到,s t Z ∈满(,)sa tm a m +=，而它等价于(,)(%)sa a m m ≡。
当
(,)|a m b 时，同余式有解，一个特解为(%)(,)
b
x s m a m ≡
，通解为 (%)(,)(,)
b m
x s k m a m a m ≡
+，{0,1,...,(,)1}k a m ∀∈-。
计算过程
与求解二元一次不定方程不同的是，求解同余式不需要m 的系数k P 。
计算时可以借助表格：
具体计算步骤如下：
1. 由递推式21k k k k r q r r --=+作带余除法计算k r 、k q ；
2. 由递推式12k k k k Q q Q Q --=+计算k Q ；
3. 直到得到10n r +=，停止计算并得到n 、n r 、n Q ；
4. 然后令(,)n a m r =、1
(1)
n n s Q -=-，由公式(,)(%)sa a m m ≡易得到通解。
当然，也可先化简同余式后再求解，只是当(,,)a b m 含较大素因数时无法直接化简。
一个例子
例如：解同余式1215560(%2755)x ≡。
通过上述方法可得计算表
由于(,)5|560a m =，因此同余式有解。
81
(1)195195s -=-=-，故通解为
5602755
(195)200551(%2755)55
x k k ≡
-+≡+，{0,1,...,51}k ∀∈-。
东华理工大学理学院
——邓能财。