高二数学平面向量及其应用练习试题百度文库

一、多选题

1．若a →，b →，c →

是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→

=，则a b →→

= B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→

= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→

D ．若a b a b →

→

→

→

+=-，则a b →→

⊥

2．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）

A ．()

0a b c -?= B ．()

0a b c a +-?= C ．()0a c b a --?=

D ．2a b c ++=

3．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

cos cos A b

B a

=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

4．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b =

B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22

()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2

2

2

a b

a b +=+，则a 与b 垂直

D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2

π 5．下列结论正确的是（ ）

A ．在ABC 中，若A

B >，则sin sin A B >

B ．在锐角三角形AB

C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形

D ．在ABC 中，若3b =，60A =?，三角形面积S = 6．下列结论正确的是（ ）

A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ?=?，则a ⊥（-b c ）

B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为

12

b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 7．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，

c ，且

()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）

A ．sin :sin :sin 4:5:6A

B

C = B ．ABC ?是钝角三角形

C ．ABC ?的最大内角是最小内角的2倍

D ．若6c =，则ABC ?外接圆半径为

87

7

8．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1

()2

AD AB AC =

+ C ．8BA BC ?=

D ．AB AC AB AC +=-

9．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =

B ．a b =

C ．a 与b 的方向相反

D ．a 与b 都是单位向量

10．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+?与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同

D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上

11．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=

B ．a d b +=

C ．b d a +=

D ．a b c +=

12．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0AB

BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=

13．如图，46?的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）

A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个

B ．满足10OA OB -=B 共有3个

C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+

D ．满足1OA OB ?=的格点B 共有4个 14．下列命题中正确的是( )

A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-

B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-

C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =

D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =15．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题

16．已知向量()

2

2cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =?，则下列关于函数

()y f x =的性质的描述正确的是( )

A ．关于直线12

x π

=对称

B ．关于点5,012π??

???

对称 C ．周期为2π

D ．()y f x =在,03π??

-

???

上是增函数 17．已知非零向量AB 与AC 满足

0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ?

??

且1

2AB AC AB AC ?=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形

D ．以上均有可能

18．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）

A ．a 与b 的夹角为αβ-

B ．a b ?的最大值为1

C ．2a b +≤

D ．(

)()

a b a b +⊥-

19．若O 为

ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ?+-=，则

ABC 一定为（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．钝角三角形

20．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形

ABCD 的形状是( )

A ．矩形

B ．梯形

C ．平行四边形

D ．以上都不对

21．在ABC 中，若()()

0CA CB CA CB +?-=，则ABC 为（ ）

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．无法确定

22．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）

A ．33A

B A

C HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+

D ．24AB AC HM MO +=- 23．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）

A ．等腰直角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰或直角三角形

24．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且

3

0aGA bGB cGC ++

=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

25．已知圆C 的方程为2

2

(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x

上，线段AB 为圆C

的直径，则PA PB ?的最小值为（） A ．2

B ．

52

C ．3

D ．

7

2

26．题目文件丢失！

27．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

28．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在

OC 方向上的投影相同，则a =（ ）

A ．1

2

-

B ．

12

C ．-2

D ．2

29．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，

则①AD ＝－b －

12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1

2

b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

30．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若

(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ?等于（ ）

A．

3 16 -

B．

3

16

C．

1

2

D．

1

2

-

31．如图所示，在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC

λμ

=+，则λμ

+=（）

A．1-B．

1

2

-C．2-D．

3

2

-

32．已知点O是ABC

?内一点，满足2

OA OB mOC

+=，

4

7

AOB

ABC

S

S

?

?

=，则实数m为（）

A．2 B．-2 C．4 D．-4

33．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos cos2

c A a C c

+=且

a b

=，则cos B等于（）

A．

15

4

B．

1

4

C

3

D

3

．题目文件丢失！

35．在ABC

?中||||

AB AC AB AC

+=-,3,4,

AB AC

==则BC在CA方向上的投影为（）．

A．4 B．3 C．-4 D．5

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一、多选题

1．ACD 【分析】

根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】

对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】

根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】

对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；

对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，

∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．

故选：ACD 【点睛】

本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．

2．ABC 【分析】

作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解

解析：ABC 【分析】

作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：

对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，

a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()

0a b c DB AC ∴-?=?=，A 选项正确；

对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()

00a b c a a +-?=?=，B 选项正确；

对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则

()0a c b a --?=，C 选项正确；

对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.

3．D 【分析】

在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.

故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查

解析：D 【分析】 在ABC 中，根据

cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B

B A

=，然后变形为

sin 2sin 2A B =求解. 【详解】

在ABC 中，因为

cos cos A b

B a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A B

B A

=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，

解得A B =或2

A B π

+=.

故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】

本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

4．CD 【分析】

对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解

解析：CD 【分析】

对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出

(

)

()()

2

2

2

a b

a b ?≠?，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题

是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2

π

，所以该命题是真命题. 【详解】

对于A ，若0a ≠，0a b ?=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()

2

2

2

2

2cos cos a b

a b a b αα?==，而()()

2

2

2

2

a b

a b ?=，

由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2

cos 1α≠，所以()()()2

2

2

a b a b ?≠?，

所以该命题是假命题；

对于C ，若非零向量a 、b 满足2

2

2

a b

a b +=+，22222a b a b a b ++?=+，所以

0a b ?=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；

对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂

直，所以向量a b +与a b -的夹角是2

π

，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】

本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.

5．AB 【分析】

由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】

中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，

解析：AB 【分析】

由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】

ABC 中，A B a b >?>，由

sin sin a b A B

=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222

cos 02b c a A bc

+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；

ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=?，即A B =或90A B +=?，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；

ABC 中，若3b =，60A =?，三角形面积S =11

sin 3sin 6022

S bc A c ==??=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，

a =，

∴2sin sin 603a R A =

==

?，3

R =，D 错． 故选：AB ． 【点睛】

本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．

6．ABD 【分析】

利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分

析，即可容易判断选择. 【详解】

对：因为，又，故可得， 故，故选项正确；

对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为

解析：ABD 【分析】

利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】

对A ：因为()a b c a b a c ?-=?-?，又a b a c ?=?，故可得()

0a b c ?-=， 故()

a b c ⊥-，故A 选项正确；

对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1

212

a b ?=?

=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ??

?

?= ???

，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，

故C 选项错误；

对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，

则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ?=?+?-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确；

综上所述，正确的有：ABD . 故选：ABD . 【点睛】

本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.

7．ACD 【分析】

先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为

所以可设：（其中），解得：

所以，所以A 正确；

由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为

解析：ACD 【分析】

先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】

因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=

所以可设：91011a b x a c x b c x +=??

+=??+=?

（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===

所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，

又222222(4)(5)(6)1

cos 022458

a b c x x x C ab x x +-+-===>?? ，所以C 角为锐角，所以B 错

误；

由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，

又222222(6)(5)(4)3

cos 22654

c b a x x x A cb x x +-+-===??，

所以2

1

cos22cos 18

A A =-=

，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π??

∈ ??

?

所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =

，又sin 8

C ==

所以

2R =

，解得：7

R =，所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】

本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.

8．BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A 选项：，故A 错；

对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故

解析：BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，

()

111

++++()222

AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；

对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA

?=??∠=??

=?=，故正确；

对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】

本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.

9．AC 【分析】

根据共线向量的定义判断即可. 【详解】

对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；

对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，

解析：AC 【分析】

根据共线向量的定义判断即可. 【详解】

对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；

对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；

对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；

对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意. 故选：AC.

本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.

10．C 【分析】

对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简；

对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】

A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A

解析：C 【分析】

对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+； 对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】

A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；

B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ?=?，得||||(1cos )0a b θ?-=， 则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；

C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；

D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误. 故选：C 【点睛】

本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.

11．ABD 【分析】

根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】

由向量加法的平行四边形法则，知成立， 故也成立；

由向量加法的三角形法则，知成立，不成立. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查

【分析】

根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】

由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；

由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.

12．AB 【解析】 【分析】

根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为，正确；

，由向量加法知正确； ，不满足加法运算法则，错误； ，所以错误. 故选：A B. 【点睛】

本题主要考查了向量加法的

解析：AB 【解析】 【分析】

根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为0AB

BA AB AB

，正确；

AB BC

AC ，由向量加法知正确；

AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；

0,AB AB +=，所以00AB +=错误.

故选：A B . 【点睛】

本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.

13．BCD 【分析】

根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】

解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，

以为原点建立平面直角坐标系，， 设，若， 所以

解析：BCD 【分析】

根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】

解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=，

所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．

若1OA OB ?=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．

【点睛】

本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．

14．ABD 【详解】

解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．

对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对

解析：ABD 【详解】

解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：

()m a b ma mb -=-，故A 正确．

对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．

对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】

本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．

15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．D 【详解】

(

)22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12

x π

=

时,sin(2)sin

16

3

x π

π

+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π

=

对称； 当512x π=

时,2sin(2)116x π

++= ,∴f (x )关于点5(

,1)12

π

对称； f (x )得周期22

T π

π=

=， 当(,0)3

x π

∈-

时,2(,)6

26x π

ππ

+

∈-

,∴f (x )在(,0)3

π

-上是增函数． 本题选择D 选项. 17．C 【分析】

AB

AB 和AC

AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ??

?+?= ?

??表

示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12

AB AC AB

AC

?

=

可求出A ∠，即得三角形形状。 【详解】

由题的，∵0AB AC BC AB AC ??

?+?= ???

，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又12AB AC AB

AC

?

=

，∴1cos 2A =，∴3

A π

=，故ABC 为等边三角形. 故选：C 【点睛】

本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。 18．D 【分析】

由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ?，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算

()()a b a b +?-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得

1b =，

a 与

b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.

对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且

()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；

对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，

()cos cos 1,1a b a b θθ?=?=∈-，B 选项错误；

对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误； 对于D 选项，(

)()

2

2

220a b a b a b a b +?-=-=-=，所以，()()

a b a b +⊥-，D

选项正确. 故选：D. 【点睛】

本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.

19．C 【分析】

由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()

0BC AB AC ?+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】

由题意，()()

2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+， 所以()

0BC AB AC ?+=，

取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ?=，即BC AD ⊥， 故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 20．B 【分析】

计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】

2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.

设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .

【点睛】

本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力.

21．C

【分析】

利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB

+2222

-=-=-=，从

)()0

CA CB CA CB b a

而可得答案．

【详解】

解：在ABC中，(CA CB

+2222

CA CB CA CB b a

-=-=-=，

)()0

∴=，

a b

∴为等腰三角形，

ABC

故选：C．

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．

22．D

【分析】

构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．

【详解】

?，其中角B为直角，则垂心H与B重合，

解：如图所示的Rt ABC

?的外心，OA OC

O为ABC

∴=，即O为斜边AC的中点，

又M为BC中点，∴2

=，

AH OM

M为BC中点，

∴22()2(2)

+==+=+．

AB AC AM AH HM OM HM

=+=-

OM HM HM MO

4224

故选：D．

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力． 23．D 【分析】

首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果． 【详解】

解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，

所以：22A B =或21802A B =?-，解得：A B =或90A B +=? 所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D ． 【点评】

本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 24．D 【分析】

由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入

30aGA bGB cGC ++=中可得3()0b a GB c a GC ??-

+-= ? ???,由,GB GC 不共线可得0

03

b a a -=?-=?,即可求得,,a b

c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】

因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=, 所以GA GB GC =--,

代入303aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ??-+-=

? ???, 因为,GB GC 不共线,所以

0b a a -=?-=,

即b a c =???=??,所以222cos 2b c a BAC bc +-∠==

,故30BAC ?∠=, 故选:D 【点睛】

本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角