高数极限习题测验及答案
练习题
1. 极限
x
x x x x x x x x
x x x x x x 1lim
)4(1
1lim
)3(15
86
5lim )2(31lim )1(2
3
1
2
2
32
---+-+-+++-∞
→→→∞→
(5) 已知011lim 2
=???
?
??--++∞→b ax x x x , 求常数a , b .
(6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ????
??+-∞
→
(8) x
x x
21lim 0
-→ (9)
x x x sin )
31ln(lim 0-→
(10)
????
??-∞→1lim 1
x
x e x
2. 函数的连续性
(1) 确定b 的值, 使函数
?
??<≥+==-00
2)(1
x e x b x x f y x 在x =0点连续.
(2) 确定a , b 的值, 使函数
1
lim
)(22
1
2+-+==-∞
→n
n n x bx
ax x
x f y 在整个实数轴上连续.
(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.
①
x x
x f sin )(=
② ???????
=≠+-=00
01212)(1
1
x x x f x
x
3. 连续函数的性质 (1) 设
1)(1
-+++=-x x
x x f n n Λ,
证明：
)(x f 有一个不大于1的正根.
(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞
→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.
提高
1o),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2o 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得
C f f ==)()(21ξξ.
2. 函数的连续性
(1) 确定b 的值, 使函数
???<≥+==-00
2)(1
x e
x b x x f y x
在x =0点连续.
解:1
)(lim )(lim )0(-→→====-
+e x f b x f f x x
(2) 确定a , b 的值, 使函数
1
lim
)(22
1
2+-+==-∞
→n
n n x bx
ax x
x f y 在整个实数轴上连续.
解:???
??
?
?????-=++-=-+<->==12112111
1)(2
x b a x b
a x bx ax x x x f y
b a x f x f b a f x x -====-+=-
+→→)(lim 1)(lim 2
1)1(11 b a x f x f b a f x x +==-==++-=--→-→-)(lim 1)(lim 2
1)1(_11
1
,0-==b a
(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.
①
x x x f sin )(=
解: x =0为可去间断点.
②
???????
=≠+-=00
01212)(1
1
x x x f x
x
解:1)(lim 1)(lim 0
-=≠=-
+→→x f x f x x , x =0为跳跃间断点.
3. 连续函数的性质 (1) 设
1)(1
-+++=-x x
x x f n n Λ,
证明：
)(x f 有一个不大于1的正根.
解: 若n=1, 则显然有解x =1. 若n>1, 则01)1(,
01)0(>-=<-=n f f , 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..
(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞
→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.
解: 由A x f x =∞