江苏省高考数学二轮复习：第讲数列求和及其综合应用

第11讲数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)

2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．

1. 若数列{a n}的通项公式是a n＝(－1)n－1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝________.

2.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且A n

B n＝

7n＋5

n＋3

，则

b7＝

________.

3.若数列{a n }满足a 2n ＋1

a 2n

＝p(p 为正常数，n ∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”．则“数列

{a n }是等方比数列”是“数列{a n }是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

4.已知函数f(x)＝x 2＋bx 的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x －2y ＋1＝0平行，若数

列?

???

1f (n )的前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.

【例1】已知公差不为零的等差数列{a n }中a 1＝2，设a 1、a 3、a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．

(1) 求数列{a n b n }的前n 项和T n ；

(2) 将数列{a n }与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项和

为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －

1的值．

【例2】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n ＝(b －1)S n .

(1) 证明：当b ＝2时，{a n －n·2n －

1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式．【例3】已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n >0，b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，且{b n }是以q 为公比的等比数列．

(1) 证明：a n ＋2＝a n q 2；

(2) 若c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，证明：数列{c n }是等比数列；

(3) 求和：1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋…＋1a 2n －1＋1

a 2n

【例4】将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

a 7 a 8 a 9 a 10 …

记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b n

b n S n －S 2n

＝1(n ≥2)．

(1) 证明数列?

???

1S n 成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；

(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a 81＝－4

时，求上表中第k(k ≥3)行所有项的和．

1. (2011·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝________.

2.(2011·山东)设函数f(x)＝x

x ＋2

(x>0)，观察：

f 1(x)＝f(x)＝

x x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x 7x ＋8， f 4(x)＝f(f 3(x))＝

15x ＋16

，…

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n ∈N ＋

且n ≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________.

3.(2010·江苏)函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋

1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．

4.(2009·湖北)已知数列{a n }满足：a 1＝m(m 为正整数)，a n ＋1＝???

a n 2，当a n 为偶数时，

3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________.

5.(2010·上海)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *. (1) 证明：{a n －1}是等比数列；

(2) 求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1>S n 成立的最小正整数n.5615<115，5614>1

6.(2011·重庆)设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n ∈N *)． (1) 若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3； (2) 求证：对k ≥3且k ∈N *有0≤a k ＋1≤a k ≤4

(本小题满分12分)数列{a n }、{b n }是各项均为正数的等比数列，设c n ＝b n

a n (n ∈N *)．

(1) 数列{c n }是否为等比数列？证明你的结论；

(2) 设数列{lna n }、{lnb n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 1＝2，S n T n ＝n

2n ＋1，求数列{c n }

的前n 项和．

解：(1) {c n }是等比数列．(2分)

证明：设{a n }的公比为q 1(q 1>0)，{b n }的公比为q 2(q 2>0)，则

c n ＋1c n ＝b n ＋1a n ＋1·a n b n ＝b n ＋1b n ·a n a n ＋1＝q 2

q 1

≠0，故{c n }为等比数列．(5分) (2) 数列{lna n }和{lnb n }分别是公差为lnq 1和lnq 2的等差数列．由条件得nlna 1＋n (n －1)

2lnq 1

nlnb 1＋n (n －1)2lnq 2

＝n 2n ＋1，即2lna 1＋(n －1)lnq 12lnb 1＋(n －1)lnq 2＝n

2n ＋1

(7分)

即(2lnq 1－lnq 2)n 2＋(4lna 1－lnq 1－2lnb 1＋lnq 2)n ＋(2lna 1－lnq 1)＝0. 上式对n ∈N *恒成立．于是????

2lnq 1－lnq 2＝0，4lna 1－lnq 1－2lnb 1＋lnq 2＝0，

2lna 1－lnq 1＝0.

将a 1＝2代入得q 1＝4，q 2＝16，b 1＝8.(10分) 从而有c n ＝8·16n －

2·4n －1

＝4n .

所以数列|c n |的前n 项和为4＋42＋…＋4n ＝4

3(4n －1)．(12分)

第11讲数列求和及其综合应用

1. 两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1

的离心率e 等于________．

【答案】 13

3 解析：由题有?????

a ＋

b ＝5，ab ＝6

????? a ＝3，b ＝2或?????

a ＝2，

b ＝3

(舍)，e ＝c

a ＝

32＋223＝13

. 2. 在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．

(1) 写出这个命题的逆命题；

(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明．

解： (1)在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m

＋2，S m ＋1成等差数列．

(2) 数列{a n }的首项为a 1，公比为q.由题意知：2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，

即2a 1q m ＋1＝a 1q m －

1＋a 1q m ，

∵ a 1≠0，q ≠0, ∴ 2q 2－q －1＝0, ∴ q ＝1或q ＝－1

2，

当q ＝1时，有S m ＝ma 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1，显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1.此时逆命题为假．

当q ＝－1

2时，有2S m ＋2＝2a 1????1－????－12m ＋21＋12＝43

a 1????1－????－12m ＋2，

S m ＋S m ＋1＝a 1????1－????－12m 1＋12＋2a 1????1－????－12m ＋11＋12

＝43a 1????

1－????－12m ＋2，

∴ 2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真．

基础训练

1. －15 解析：a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝…＝a 9＋a 10＝－3，a 1＋a 2＋…＋a 10＝5×(－3)＝－15.

2. 6 解析：a 7b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝A 13B 13＝7×13＋5

13＋3＝6.

3. 必要不充分

2 012

2 013

解析：f ′(x)＝2x ＋b,2＋b ＝3，b ＝1，f(n)＝n 2＋n ＝n(n ＋1)，S n ＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1＝n n ＋1

例题选讲

例1 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则(2＋2d)2＝2×(2＋6d)，又d ≠0，∴ d ＝1，

a n ＝n ＋1，

b n ＝2n ，a n b n ＝(n ＋1)·2n ，用错位相减法可求得T n ＝n·2n ＋

(2) ∵ 新的数列{c n }的前2n －n －1项和为数列{a n }的前2n －1项的和减去数列{b n }前n 项的和，

∴ S 2n －n －1＝(2n －1)(2＋2n )2－2(2n －1)2－1＝(2n －1)(2n －

1－1)．

∴ S 2n －n －1－22n －

1＋3·2n －

1＝1.

变式训练已知等差数列{a n }满足a 3＋a 6＝－13，a 1·a 8＝－4

，a 1＞a 8，

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 把数列{a n }的第1项、第4项、第7项、…、第3n －2项、…分别作为数列{b n }的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…，求数列{2b n }的前n 项之和；

(3) 设数列{c n }的通项为c n ＝n·2b n ，试比较(n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2与2n(n ＋2)c n ＋1

的大小．

解： (1) {a n }为等差数列，a 3＋a 6＝a 1＋a 8＝－13，又a 1·a 8＝－4

，且a 1＞a 8，求得a 1＝1，

a 8＝－43，公差d ＝a 8－a 18－1

＝－1

3，

∴ a n ＝1－13(n －1)＝－13n ＋4

(n ∈N *)．

(2) b 1＝a 1＝1，b 2＝a 4＝0, ∴ b n ＝a 3n －2＝－13(3n －2)＋4

3＝－n ＋2，

∴ 2b n ＋12b n ＝2－

(n ＋

1)＋

－n ＋2＝12， ∴ {2b n }是首项为2，公比为1

2的等比数列，

∴ {2b n }的前n 项之和为2????1－????12n 1－1

＝4－????12n －2. (3) c n ＝n·2b n ，

∴ (n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2－2n(n ＋2)c n ＋1 ＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n ＋n(n ＋1)(n ＋2)·2b n ＋2－2n(n ＋1)(n ＋2)·2b n ＋1 ＝n(n ＋1)(n ＋2)(2b n ＋2b n ＋2－2×2b n ＋1)

＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n (1＋2b n ＋2－b n －2×2b n ＋1－b n )

＝n(n ＋1)(n ＋2)·2b n (1＋2－2－2×2－

1) ＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n (1＋1

－1)＞0，

其中b n ＋2－b n ＝－(n ＋2)＋2－(－n ＋2)＝－2，b n ＋1－b n ＝－(n ＋1)＋2－(－n ＋2)＝－1，∴ (n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2＞2n(n ＋2)c n ＋1.

例2 解：由题意知a 1＝2，且ba n －2n ＝(b －1)S n ，ba n ＋1－2n ＋

1＝(b －1)S n ＋1，两式相减得b(a n ＋1－a n )－2n ＝(b －1)a n ＋1，即a n ＋1＝ba n ＋2n .① (1) 当b ＝2时，由①知a n ＋1＝2a n ＋2n

于是a n ＋1－(n ＋1)·2n ＝2a n ＋2n －(n ＋1)·2n ＝2(a n －n·2n －

1)，

又

a 1－1·21－1＝1≠0, ∴ a n －n·2n －

1≠0, ∴

a n ＋1－(n ＋1)·2n

a n －n·2n －

＝2， ∴ {a n －n·2n －

1}是首项为1，公比为2的等比数列．

(2) 当b ＝2时，由(1)知a n －n·2n －1＝2n －1，即a n ＝(n ＋1)2n －

1，当b ≠2时，由①得a n ＋1－12－b ·2n ＋1＝ba n ＋2n －12－b ·2n ＋

1＝ba n －b 2－b

·2n ＝b ???

?a n －1

2－b ·

2n . 因此a n ＋1－12－b ·2n ＋

1＝b ????a n －12－b ·2n ，又a 1－12－b ×2＝2(1－b )2－b ，

故a n ＝????

2，n ＝1，12－b [2n ＋2(1－b )b n －1]，n ≥2，n ∈N *. ∴ a n ＝?????

(n ＋1)2n －

1，b ＝2，12－b

[2n ＋2(1－b )b n －1]，b ≠2.

变式训练已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2)，且a 4＝81， (1) 求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；

(2) 求证：数列????

a n －12n 为等差数列，并求a n .

解： (1) 由a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2)，得a 4＝2a 3＋24－1＝81， ∴ a 3＝33.

同理a 2＝13，a 1＝5.

(2) 由a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2)，得a n －12n ＝2a n －1＋2n －22n ＝a n －1－12n －1＋1，

∴

a n －12n －a n －1－1

n －1＝1， ∴ ??????

a n －12n 是等差数列. ∵ ????

a n －12n 的公差d ＝1， ∴

a n －12n ＝a 1－1

1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴ a n ＝(n ＋1)×2n ＋1.

例3 (解法1)(1) 证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2

a n a n ＋1

＝

a n ＋2

a n

＝q, ∴ a n ＋2＝a n q 2(n ∈N *) . (2) 证明：∵ a n ＝a n －2q 2，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q 2n －

2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q 2n －

2，

∴ c n ＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q 2n －2＋2a 2q 2n －2＝(a 1＋2a 2)q 2n －2＝5q 2n －

2. ∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．

(3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－

2n ，于是

1a 1＋1a 2＋…＋1

a 2n ＝????1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋????1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n ＝1a 1????1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1

a 2????1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2 ＝3

2????1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2. 由题知q>0，

当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32????1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n.

当q ≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32??

??1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2 ＝32? ????1－q －

2n 1－q －2＝32????

q 2n －1q 2n －2(q 2－1).

故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝?

n ，q ＝1，32??????

q 2n －1q 2n －2(q 2－1)，q ≠1.

(解法2) (1) 同解法1(1)．

(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2a 2n －1＋2q 2a 2n

a 2n －1＋2a 2n

＝q 2(n ∈N *)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，∴ {c n }

是首项为5，以q 2为公比的等比数列．

(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q 2n －2＝3q 2n －

2，

1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4

a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －

22q 4k －4＝32q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n. ∴

1a 1＋1a 2＋…＋1a 2k ＝32

(1＋q －2＋q －4…＋q －2n ＋

2)(下面同上)．例4 (1) 证明：由已知，

2b n

b n S n －S 2n

＝1，

又S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，n ≥2，b n ＝S n －S n －1，

∴ 2b n

b n S n －S 2n ＝1即2(S n －S n －1)＝S n (S n －S n －1)－S 2n ，2S n －1－2S n ＝S n S n －1，又S 1＝1≠0，∴ S n S n －1≠0，∴

1S n －1S n －1＝1

， ∴ 数列??????1S n 成等差数列，且1S n ＝1＋(n －1)·12，S n ＝2

n ＋1

，

∴ b n ＝????

1，n ＝1，－2n (n ＋1)

，n ≥2，n ∈N *. (2) 解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q ＞0. 因为1＋2＋…＋12＝12×132

＝78，

所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项，故a 81在表中第13行第三列，因

此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－2

13×14

，所以q ＝2.记表中第k(k ≥3)行所有项的和为S ，

则S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·(1－2k )1－2＝2

k (k ＋1)

(1－2k )(k ≥3)．

变式训练已知二次函数y ＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x)＝6x －2，数

列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上．

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m

20对所有n ∈N *都成立的最

小正整数m.

解： (1) 设这二次函数f(x)＝ax 2＋bx (a ≠0) ，则f ′(x)＝2ax ＋b ，由于f ′(x)＝6x －2，得a ＝3 , b ＝－2, 所以f(x)＝3x 2－2x.

又因为点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，所以S n ＝3n 2－2n.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n)－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 (n ∈N *)．

(2) 由(1)得知b n ＝3a n a n ＋1＝3

(6n －5)[6(n ＋1)－5]

＝12????16n －5－16n ＋1，

故T n ＝∑n

i ＝1

b i ＝1

2????????1－17＋????17－113＋…＋????16n －5－16n ＋1 ＝1

2???

?1－16n ＋1. 因此，要使12(1－16n ＋1)＜m 20(n ∈N *)成立的m ，必须且仅须满足12≤m 20，即m ≥10，所以

满足要求的最小正整数m 为10.

高考回顾

1. 1 解析：S n ＋S 1＝S n ＋1，a n ＋1＝a 1.

2. x

(2n －1)x ＋2n

3．21

4. 4,5,32 解析：显然，a n 为正整数，a 6＝1，故a 5＝2，a 4＝4，若a 3为奇数，则4＝3a 3

＋1，a 3＝1，若a 3为偶数，则a 3＝8，若a 3＝1，则a 2＝2，a 1＝4，若a 3＝8，则a 2＝16，a 1＝5或32.

5. (1) 证明：当n ＝1时，a 1＝－14；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－5a n ＋5a n －1＋1，所以a n －1＝5

6(a n －1－1)，又a 1－1＝－15≠0，a n －1a n －1－1＝56

，

所以数列{a n －1}是等比数列；

(2) 解：由(1)知：a n －1＝－15·????56n －1，得a n ＝1－15·????56n －1，从而S n ＝n －90＋90×???

?56n (n ∈N *)；

由S n ＋1>S n ，得????56n ＜115，∵ ????5615<115，????5614>115，∴ 使s n ＋1>s n 成立的最小正整数n ＝15.

6. (1) 解：由题意?

????

S 22＝－2a 1a 2，S 2＝a 2S 1＝a 1a 2，得S 22＝－2S 2，

由S 2是等比中项知S 2≠0，因此S 2＝－2，由S 2＋a 3＝S 3＝a 3S 2，解得a 3＝S 2S 2－1＝2

(2) 证明：由题设条件有a n ＋1S n ＝a n ＋1＋S n ，故S n ≠1，a n ＋1≠1，且a n ＋1＝

S n

S n －1，S n ＝a n ＋1a n ＋1－1

，

从而对k ≥3有a k ＝S k －1S k －1－1＝a k －1＋S k －2

a k －1＋S k －2－1＝a k －1＋

a k －1

a k －1－1a k －1＋a k －1

a k －1－1－1

，①

因a 2k －1－a k －1＋1＝?

???a k －1－122＋34＞0，且a 2

k －1≥0，要证a k ≤43，由①知只要证a 2k －1a 2k －1－a k －1＋1≤43

，

即证3a 2k －1≤4(a 2k －1－a k －1＋1)，即(a k －1－2)2

≥0，此式明显成立，

因此a k ≤4

(k ≥3)．

最后证a k ＋1≤a k ，若不然，a k ＋1＝a 2k

a 2k －a k ＋1＞a k ，又a k ≥0，故a k a 2k －a k ＋1＞1，

即(a k －1)2＜0，矛盾，所以a k ＋1≤a k (k ≥3，k ∈N )．

高考数学题型全归纳：数列求和的若干常用方法含答案

数列求和的若干常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。一、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例1．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311* +∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n。解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ，两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同， ,21=∴+n n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222 121322211 2101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴-- =.12222 121-+=+--n n n n 例2．已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：. 242n a a a +++ 解析：首先由31452 91010110=?=??+=d d a S 则：6223221)21(232)222(32 2323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法

2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法文数(含解析)

专题43 数列数列的求和4 （分组求和、倒序相加法）【考点讲解】一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：求数列前n 项和的基本方法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；等差：；等比：公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式：；；；；（3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么

这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法．温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．形如： n n b a +其中，（6）并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项：； . 【真题分析】

高考理科数学复习题解析数列求和

高考数学复习第四节数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式：

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________．

2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

高三数学高考数列求和(裂项及错位)

考点十二数列求和（裂项及错位） [真题1] (2009山东卷)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；（11）当b=2时，记1()4n n n b n N a + += ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . [命题探究] 创新是高考命题的要求,《考试大纲》提出命题要“创设比较新颖的问题情境”，同时，“在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势。本题将数列的递推关系式以点在函数图像上的方式给出，体现了这种命题理念，也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念。第（2）问中对b 的赋值，旨在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达成“不求在细节上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想。 [命题探源] 本题在设置等比数列的递推关系时，以点(,)n n S 在函数(0x y b r b =+>的图像上的方式给出，这种命题方式与2008年福建一道文科有相似之处：“已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=1 1n a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a ，求证：b n ·b n +2＜b 2 n +1.”本题中增加了对参数r 的求解，因此，如何正确求出r 的值，成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推关系式{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -==-≥的正确理解（理角题目的条件：数列{n a }是等比数列，则11S a =满足数列递推式）。第（2）问求数列{}n b 的前n 项和n T ，所用的方法是错位相减法，也是课本中推导等比数列前n 项和公式时所用的方法。高考复习历来提倡回归课本，理解教材，例题的求解方法、公式的推导方法，都需要我们在回归课本中积累知识，提炼方法，形成能力。 [知识链接] 数列求和的几种常见题型与求解方法（1）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③ )(1 )0(1 n k n k k k n n -+= >++ **④ 2 1 1 1 1 1 1 1 1(1)(1)1k k k k k k k k k - = < < = - ++--. （2）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 设{a n }是等差数列，且公差为d,{b n }是等比数列，且公比为q,记S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a S ++++++=----1122332211... ① =n qS 1112233221...+-----++++++n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a ② =-n S q )1(+11b a 11232)...(+---+++++n n n n n b a b b b b b d （3）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. （4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 《规范解答》广东省汕头市高三数学复习系列等差数列、等比数列的性质及应用新人教A 版一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用．四．教学过程：（一）主要知识：

高中数学数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

高考数学数列的求和测试

专题考案(2)数列板块第3课数列的求和 (时间：90分钟满分：100分) 题型示例已知y =f (x )是一次函数，且f (2),f (5),f (4)成等比数列，f (8)=15,求S n =f (1)+f (2)+…+f (n )(n ∈N x)的表达式. 分析要求和，关键要先求出f (n ). 解由y =f (x )是一次函数可设f (x )=ax +b ,则f (2)=2a +b ,f (5)=5a +b ,f (4)=4a +b , ∵f (2),f (5),f (4)成等比数列，∴(5a +b )2=(2a +b )(4a +b ). ∴17a 2+4ab =0,又∵a ≠0. ∴a =- 17 4b ① 又∵f(8)=15,∴8a +b =15 ② 联立方程①、②解得a =4,b =-17,∴f (x )=4x -17. ∴f (1),f (2),…,f (n )可看作是首项为-13,公差为4的等差数列. 由等差数列前n 项和公式可求得S n =-13n +2)1(-n n ×4=2n 2-15n . 点评此题渗透了函数思想，解题时要注意知识的横向与纵向之间的联系. 一、选择题(9×3′＝27′) 1．数列{a n }是等差数列的一个充要条件是 ( ) A.S n =an +b B.S n =an 2+bn +c C.S n =an 2+bn (a ≠0) D.S n =an 2+bn 2．设m =1×2+2×3+3×4+…+(n -1)·n ，则m 等于 ( ) A.3)1(2-n n B.21n (n +4) C.21n (n +5) D.2 1n (n +7) 3．若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 4．阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数x ,符号［x ］表示x 的整数部分，即［x ］是不超过x 的最大整数.函数［x ］叫做“取整函数”，也叫高斯函数.它具有以下性质：x -1<［x ］≤x <［x +1］.请回答:［log 21］+［log 22］+［log 23］+…+［log 21024］的值是( ) A.1024 B.8202 C.8204 D.9216 5．设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列，且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则{c n }的前10项和为 ( ) A.978 B.557 C.467 D.979 6．1002-992+982-972+…+22-12的值是 ( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 7．若等比数列{a n }的前n 项和S n =2n +r ,则r 的值是 ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 8．已知S =1+ΛΛ++++22213121n ，那么S 的范围是 ( ) A.(1,23) B.(2 3,2) C.(2,5) D.(5,+∞)

高考数学数列求和专题

高考数学数列求和专题时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列{S n n }的前11项和为 ( ) A ．－45 B ．－50 C ．－55 D ．－66 解析：S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，即S n n ＝－n ，则数列{S n n }的前11项和为－1－2－3 －4－…－11＝－66. 答案：D 2．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n － 1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 解析：S 2n ＝－n ，S 2n ＋1＝S 2n ＋a 2n ＋1＝－n ＋2n ＋1＝n ＋1， ∴S 17＋S 33＋S 50＝9＋17－25＝1. 答案：A 3．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n － 1，…的前n 项和S n >1020，那么n 的最小值是 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析：a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1， ∴S n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝ 2(2n －1) 2－1 －n ＝2n ＋1－2－n . S n >1020 即2n ＋1－2－n >1020. ∵210＝1024,1024－2－9＝1013<1020. 故n min ＝10. 答案：D 4．已知数列{2 (n ＋1)2－1 }的前n 项和为S n ，则lim n →∞S n 等于 ( ) A ．0 B ．1 C.3 2 D ．2 解析：∵2(n ＋1)2－1＝2n (n ＋2)＝1n －1 n ＋2 ∴S n ＝(11－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －2－1n )＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1 n ＋2) ＝1＋12－1n ＋1－1 n ＋2 .

高考数学专题复习数列求和

第4讲数列求和一、选择题 1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则对任意正整数n，S n＝( ) A.n[1n－1] 2 B. 1n－1＋1 2 C.1n＋1 2 D. 1n－1 2 解析∵数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列， ∴S n＝11n1 11 ＝ 1n－1 2 . 答案 D 2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( ) A．66 B．65 C．61 D．56 解析当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－4n＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1| ＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋81＋15 2 ＝2＋64＝66. 答案 A 3．在数列{a n}中，a n＝ 1 n n ＋1 ，若{a n}的前n项和为 2 013 2 014 ，则项数n为( )． A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 解析∵a n＝1 n n ＋1＝ 1 n － 1 n＋1 ，∴S n＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 ＝ 2 013 2 014 ，解得n＝2 013. 答案 C 4．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为( )．A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，

∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30 3＋119 2 ＝30×61＝1 830. 答案 D 5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则 1～100 这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( ) A ．130 B ．325 C ．676 D ．1 300 解析设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252 ×13＝676. 答案 C 6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1 2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21 ＝ ( )． A.21 2 B ．6 C ．10 D ．11 解析依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝1 2，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×1 2＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题 7．在等比数列{a n }中，若a 1＝1 2，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋… ＋|a n |＝________. 解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以

高考数学复习数列的求和

数列求和的常用方法8.26 1. 公式法：①等差数列求和公式； ②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.； ③常用公式：1123(1)2 n n n ++++=+， 222112(1)(21) 6 n n n n ++ +=++， 33332 (1)123[] 2 n n n +++++=. 例1 、已知3 log 1log 23-= x ，求? ??++???+++n x x x x 32 的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323 =?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1) 1(＝2 11)2 1 1(21--n ＝1－n 21 练一练：等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221n a a a a ++++ ＝_____ ； 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 例2、求数列的前n 项和：2 31, ,71,41,111 2 -+???+++-n a a a n ，… 解：设) 231 ()71()41()11(12-++???++++++=-n a a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得 )23741()1 111(12-+???+++++???+++ =-n a a a S n n （分组）当a ＝1时， 2 )13(n n n S n -+ =＝ 2 )13(n n + （分组求和）当1≠a 时， 2)13(1111n n a a S n n -+-- =＝ 2 )13(11n n a a a n -+--- 练一练：求和：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- 3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 例3、求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++???+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222 ++???+++=S …………. ① 将①式右边反序得 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S ………….. ② （反序）又因为 1 cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ① + ② 得（反序相加） ) 89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89

高三数学教案第七讲数列求和

第七讲数列求和 ★★★高考在考什么【考题回放】 1.设 4710 310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ D ） A.2(81)7n - B.12(81)7n +- C.3 2(81)7n +- D.4 2(81)7n +- 2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n 项和Sn=100,则n=（ B ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 3.）数列 {} n a 的前n 项和为 n S ，若 1 (1)n a n n = +，则5S 等于（ B ） A ．1 B ．56 C ．16 D ．1 30 4.设Sn 是等差数列｛an ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6 S 12＝ A.310 B.13 C.18 D.1 9 解析:由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112 1615273 12669010S a d d S a d d +===+,故选A 5.已知数列 } {n a 、 } {n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ， *11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（） A ．55 B ．70 C ．85 D ．100 解：数列 } {n a 、 } {n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ， *11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于1210 b b b a a a +++= 11119 b b b a a a ++++ +， 111(1)4 b a a b =+-=，∴ 11119 b b b a a a +++++ =4561385+++ +=，选C. 6.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列 } 1{ +n a n 的前n 项和的公式是解：1(1)n n y nx n x -'=-+，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n -1-(n+1)2n

2020高考数学数列的通项与求和

08高考数学数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法. ●难点磁场 (★★★★★)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项. (1)写出数列{a n }的前3项. (2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程) (3)令b n =)(2111+++n n n n a a a a (n ∈N x )，求lim ∞ →n (b 1+b 2+b 3+…+b n －n ). ●案例探究［例1］已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)， (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N x ，都有 n n c c b c b c +++Λ21 11=a n +1成立，求lim ∞ →n n n S S 21 2+. 命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n 项和，实质上是该数列前n 项和与数列{a n }的关系，借助通项与前n 项和的关系求解c n 是该条件转化的突破口. 错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a 1、b 1、d 、q ，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键. 技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{d n }，运用和与通项的关系求出d n ，丝丝入扣. 解：(1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2， ∴2 213)2(q q b b -==q 2 ，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2， ∴b n =b ·q n － 1=4·(－2)n － 1 (2)令 n n b c =d n ，则d 1+d 2+…+d n =a n +1,(n ∈N x ),

高考数学《数列》专题数列求和学案

第5课时数列求和求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 1．等差数列的前n 项和公式： S n ＝＝． 2．等比数列的前n 项和公式： ① 当q ＝1时，S n ＝． ② 当q≠1时，S n ＝． 3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和． 4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．例1. 已知数列：1，??? ??+211，??? ??++41211，??? ??+++8141211，…，?? ? ??+++-12141211n ，求它的前n 项的和S n ．解：∵ a n ＝1＋21＋ 41＋……＋121-n ＝??? ??-=--n n 21122 1121 1 ∴a n ＝2－121-n 则原数列可以表示为： (2－1)，??? ??-212，??? ??-2212，??? ??-3212，…??? ??--1212n 前n 项和S n ＝(2－1)＋??? ??-212＋?? ? ??-2212＋…＋??? ??--1 212n ＝2n －?? ? ??++++-122121211n ＝2n －21121 1-- n ＝2n －2??? ??-n 211 ＝121 -n ＋2n －2 变式训练1.数列 ,16 14,813,412,21 1前n 项的和为（）典型例题基础过关

A ．2212n n n ++ B ．12212+++-n n n C ．2212n n n ++- D ． 22 121n n n -+-+ 答案:B 。解析：2111(1)11234122222n n n n n S n +=+++++++=+- 例2. 求S n ＝1＋ 211+＋3211++＋…＋n ++++...3211．解：∵ a n ＝ n ++++ 3211＝)1(2+n n ＝2(n 1－1 1+n ) ∴ S n ＝2(1－21 ＋21－31＋…＋n 1－11+n )＝1 2+n n 变式训练2：数列{a n }的通项公式是a n ＝ 11++n n ，若前n 项之和为10，则项数n 为（） A ．11 B ．99 C ．120 D ．121 解：C .a n ＝11 ++n n ＝n n -+1， ∴S n ＝11-+n ，由11-+n ＝10，∴1+n ＝11， ∴n＝11 例3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝)()21( *2N n a n ∈+，b n ＝a n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：取n ＝1，则a 1＝21)21( +a ?a 1＝1 又S n ＝2)(1n a a n +可得：2 )(1n a a n +＝2)21(+n a ∵a n ≠－1(n∈N *) ∴a n ＝2n －1 ∴T n ＝1·2＋3·22＋5·23＋……＋(2n －1)·2 n ① 2T n ＝1·22＋3·23＋5·24＋……＋(2n －1)·2 n ＋1② ①－②得： ∴－T n ＝2＋23＋24＋25＋……＋2n ＋1－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2 1)21(213---n －(2n －1)·2n ＋1＝－6＋(1－n)·2n ＋2 ∴T n ＝6＋(n －1)·2n ＋2 变式训练3.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.

高考数学专题-数列求和及综合应用

高考数学专题-数列求和及综合应用高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列???? ?? ????a n 2n ＋1的前n 项和. 解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝2 2n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝2 2n －1 . (2)记?????? ??? ?a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－1 2n ＋1 ，则S n ＝? ? ???1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1 . 2.(·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列???? ? ?b n a n 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知???a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2 ，

高考数学难点突破难点13 数列的通项与求和

难点13 数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法. ●难点磁场 (★★★★★)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项. (1)写出数列{a n }的前3项. (2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程) (3)令b n =)(2111+++n n n n a a a a (n ∈N *)，求lim ∞ →n (b 1+b 2+b 3+…+b n －n ). ●案例探究［例1］已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)， (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，都有 n n c c b c b c +++ 21 11=a n +1成立，求lim ∞ →n n n S S 21 2+. 命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n 项和，实质上是该数列前n 项和与数列{a n }的关系，借助通项与前n 项和的关系求解c n 是该条件转化的突破口. 错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a 1、b 1、d 、q ，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键. 技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{d n }，运用和与通项的关系求出d n ，丝丝入扣. 解：(1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2， ∴2 213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2， ∴b n =b ·q n － 1=4·(－2)n － 1 (2)令 n n b c =d n ，则d 1+d 2+…+d n =a n +1,(n ∈N *),

江苏省高考数学二轮复习：第讲 数列求和及其综合应用

高考数学题型全归纳：数列求和的若干常用方法含答案

2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)

高考理科数学复习题解析 数列求和