D1_2数列的极限2016
02-1数列极限的概念
第二章 数列极限 §1 数列极限概念教学目标：1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延； 2°使学生学会用定义证明极限的基本方法；3°通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义及“数形结合”方法；4°了解我国古代数学家关于极限思想的论述，增强爱国主义观念。
我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就事实上还没有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数y ＝f （x ）所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。
极限是进入高等数学的钥匙和工具。
我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。
1 数列极限的概念 课题引入1°予备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
2°数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。
我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。
天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”也就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。
将每天截后的木棒排成一列,如图所示, 其长度组成的数列为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21, n=10;x=0:n; y=1./2.^x; x1=[0:n]; y1=1./2.^x;line([x1;x1],[0*x1;y1],'linewidth',5) axis([-1,n+1,0,1.1])分析：1°、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2°数轴上描点，将其形象表示：将其一般化，即引出“数列极限”概念例2 三国时期，我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想: 用直径为1的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去，就得到一个（内接多边形的周长组成的）数列.⇒=1 +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4222221n n n a DE a a 22)411(n a --=-224n a -)用 Matlab 计算 n a 和图示如下：（c12(n)）rEBa na n+1AD11/21/4-1clf, n=5; t=0:2*pi/n:2*pi; r=1*ones(size(t));for i=1:n; for j=6*2^i;endz=j*sin(pi./i); endpolar(t,r);可以看出，随着 n的无限增大， n a 无限地接近圆的周长 π。
D数列的极限
不可能同时位于长度为1的区间内.
{ xn }是有界的, 但却发散.
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机动 目录 上页 下页 返回 结束数列Leabharlann 极限3. 保号性定理3
如果
lim
n
xn
a,
且
a
0(a
0),
则N
0,
当n N ,有xn 0 ( xn 0).
证
a 有
0 由定义,
xn a
对
a, 2
a 2
0,
N
0,当 n
n ln , ln q
取N [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
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数列的极限
例6
设xn
0,且 lim n
xn
a
0,
求证 lim n
xn
a.
证
任给 0,
lim n
xn
a,
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
证
设
lim
n
xn
a,
又 lim n
xn
b,
由定义,
0,N1, N2. 使得当n N1时恒有 xn a ;
当n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1 ,
N 2,
则当n N时有 | a b | (xn b) (xn a)
xn b xn a 2 .
仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
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数列的极限
例 证明 数列xn (1)n1是发散的 . 反证法
12数列极限精品PPT课件
23
n
n
注意1. 数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动 点在数轴上依次取x1, x2, ···, xn, ···
x3 x1 x2 x4 xn
注意2. 数列是整标函数, 即定义在正整数集合Z+ 或自然集合N上的函数 xn = f (n).
三、数列的极限
观察数列
xn
1
n
当n→∞时的变化趋势
播放
得证
lim
n
xn
0.
利用定义验证数列极限, 遇到的不等式| xn–a |<
不易考虑时, 往往采用把 | xn–a | 适当放大的方法. 若
能放大到较简单的式子, 就能从一个比较简单的不等
式较容易寻找项数指标N. 放大的原则
① 放大后的式子较简单; ② 放大后的式子以0为极限.
例2:设xn
0,且 lim n
数n, 恒有| xn | M 成立, 则称数列{xn}为有界的, 否则
称数列{xn}为无界的.
例如,
数列 xn
n n1
有界,
数列
xn
2n
无界.
在数轴上, 对应于有界数列{xn}的点都必须落在闭 区间[–M, M]上.
定理1: 收敛的数列必定是有界的.
证: 设
lim
n
xn
a , 由定义,
取
=1,
则
求的N不是唯一的. 用定义验证 xn 以 a 为极限时, 关键
在于设法由给定的 , 求出一个相应的 N, 使当 n>N时, 不等式| xn–a |< 成立。
四、数列极限的几何意义
若
lim
n
xn
a, 则 >0, N, 使得N项以后的所有项
高等数学数列极限
n
n
证 ① 先设a 1 则n a 1
记hn n a 1 hn 0
由n a 1 hn得
a
(1
hn )n
1
nhn
n(n 2!
1)
hn2
nhn
0
hn
a n
由极限定义知
（整体和大于部分和）
lim
n
hn
0
lim n a 1
n
若a 1，记a 1 则b 1 b
l i mn
n
a
1 lim b n n
2. 已知 x1 1, xn1 1 2xn (n 1, 2,), 求 lim xn
n
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
a 1
不对! 此处 lim xn
2011.9
n D1_(2-5)
79-27
三、数列的极限
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
三、数列的极限
观察数列
xn (a ,a )
在a的任一ε邻域内聚集着xn中的无穷多个点，而在 该邻域之外至多有xn中的有限个点
(
)(
)
a
b
证
用反证法Biblioteka 设limn
xn
a, 又 lim n
xn
高数D12数列的极限
(1
1n)
(1
n2)
n1!(1
1n)
(1
2 n
)
(1
nn1)
xn1
11
1 2!
(1
n11)
31! (1
n11)(1
n21)
大
大
(n11)!(1 n11)(1 n21)(1 nn1)
正
比较可知 xn xn1 ( n 1, 2, )
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n
>N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
1
的开区间 (
a
1 2
,
a
1 2
)
内,
因此该数列发散
.
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2. 收敛数列一定有界.
数学语言描述: 0, 正整数 N, 当 n > N 时, 总有
An S
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
数列求极限的方法总结
数列求极限的方法总结1. 数列的收敛性在数学中，我们经常需要研究数列的极限。
首先，我们需要确定数列是否收敛。
一个数列收敛是指当n趋近于无穷大时，数列的值逐渐趋近于一个常数。
数列不收敛，则意味着数列的值在无穷大的范围内没有趋近于一个特定的值。
常用的方法来判断数列的收敛性有：•利用定义：若存在一个常数L，使得对于任意给定的$\\epsilon>0$，存在自然数N>0，使得当n>N时，$|a_n-L|<\\epsilon$，则数列a n收敛于L。
•利用数列的增减性：若数列a n单调递增且有上界，则数列a n收敛。
•利用数列的单调性：若数列a n单调递增或单调递减，则数列a n收敛。
2. 常用的数列极限求解方法对于已经确定收敛的数列a n，我们可以使用以下方法求解它的极限。
2.1 代入法对于一些简单的数列，可以直接通过代入法求得它的极限。
代入法是将数列的项逐一代入到极限定义中进行计算。
例如，考虑数列$a_n = \\frac{1}{n}$，我们可以代入$n=1,2,3,\\ldots$，计算出相应的数值：$a_1 = \\frac{1}{1} = 1$$a_2 = \\frac{1}{2} = 0.5$$a_3 = \\frac{1}{3} \\approx 0.33$…可以观察到数列a n随着n的增大逐渐趋近于0。
因此，我们可以推断出数列a n的极限为0。
2.2 常用的极限计算公式有一些常用的数列极限计算公式，可以帮助我们快速求解一些特定数列的极限。
2.2.1 基本公式•当k为常数时，$\\lim\\limits_{n\\to\\infty}k = k$•$\\lim\\limits_{n\\to\\infty} \\frac{1}{n} = 0$•$\\lim\\limits_{n\\to\\infty} \\frac{1}{n^k} = 0$，其中k为正整数2.2.2 通项公式对于一些有通项公式的数列，我们可以通过直接计算通项公式在n趋近于无穷大时的极限来求解数列的极限。
经典高等数学课件D1-6两个重要极限;1-7无穷小的比较
1 例1. 证明:当x 0时, 1 x 1 x . n
n
证:
= lim
x 0
( n 1 x )n 1 1 n x[ (1 x )n1 n (1 x )n 2 1] n
lim
n (1 x )n1 n (1 x )n 2 1
7
arcsin x 例4. 求 lim . x 0 x t arcsin x lim t 解： 式 原 t 0
x sin t
sin t
arcsin x lim 1 x 0 x
1 1 si nt lim t 0 t
0 经验：含有三角函数,反三角函数的 型的极限问题常用 0 第一个重要极限解决.
2
第六节 极限存在准则
一、极限存在准则 夹逼准则 ；单调有界准则 二、两个重要极限
两个重要极限
sin x lim 1 x 0 x
1 x lim(1 ) e x x
3
一、极限存在准则 1. 夹逼准则
准则I： yn xn zn ( n 1, 2, ) (1)
(2) lim yn lim zn a
1 1 ln e
即有等价关系: e x 1 ~ x ( x 0) 说明: 1)上述证明过程也给出了关系: ln(1 x ) ~ x ( x 0) 2) 常用等价无穷小:当x 0时, sin x ~ x , tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x , ln(1 x ) ~ x, 1 2 x e 1 ~ x, 1 cos x ~ x , (1 x)a 1 ~ ax (a 0) 2
x 0 n
1
1 则 当x 0时, 1 x 1 x . n
[理学]12数列极限_OK
举例： 1
{2n }
{2n}
{(1)n1}
n (1)n1
{
}
n 3
n猜想： lim n a 源自, (a 0) n 数值验算问题: “当 n 无限增大时, xn 无限接近于某确定常数 a ” 意味着什么? 如何用数学语言定量地刻划它 .
“xn 无限接近于某确定常数a ”用数学式子表示为：
xn a . 只要 任意小，就能保证 xn a
2.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点
在数轴上依次取
x1, x2,, xn,.
x3 x1 x2 x4 xn
例如：
c, c,c,
常数列；
a,a d,a 2d,,a (n 1)d, 等差数列；
a,aq,aq2 ,,aqn1 ,
等比数列；
举例：观察数列{1 (1)n }当n 时的变化趋势.
列中的次序排成一个新的数列，表为：
{ xnk } : xn1 , xn2 , , xnk ,
其中：nk N , 且 n1 n2 nk nk1
则称{xnk } 为{xn}的一个子数列简，称子列 .
nk 表示 xnk 在子列{ xnk } 中的第 k 项，在原
数列 { xn } 中是第 nk 项 .
——刘徽
9
概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
返回
10
2、截丈问题( 庄子-战国)
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为X n
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1 ( n )
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn 2n
发 散
xn (1)n1
趋势不定
关于极限定义的几点说明： ① ε的任意性与相对固定性 ② N 的存在性、相应性、多值性 ③ 两个不等式 n N ,
当 n > N 时, 总有
lim xn a 的几何意义 : n
说明: 此性质反过来不一定成立. 例如,
n 1 数列 (1 ) 虽有界但不收敛 .
3. 收敛数列具有保号性.
若
且
( 0)
则
有
( 0)
证: 对 a > 0 , 取
则
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0).
(用反证法证明)
4. 子数列
定义：在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这
第一章
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
二 、收敛数列的性质
一、数列极限的定义
引例1. “一尺之棰，日取其半，万世不竭” —《庄子 天下篇》 记录每天截后剩下的长度如下：
1 1 1 1 , 2 , 3 ,, n , , 2 2 2 2
1 n 2
1 当 n 无限增大时， n 就会无限接近于0 2 1 在数学上，把 0 称为 n 当n 时的极限 2
随着n 的增大， |xn-a| 可以随意小； 要多小，就能有多小
例如，指定一个较小正数10-1，要想
1 1 | xn 1| , n 10
只需 n>10 即可
1
1 xn 1| 10 4 , n | xn 1| 104 只需 n>10000即可， 即从第10001项起，
| xn 1| 10 即从第11项起，
1 n 1
0, 欲使
取 故
1 N [ 1] ,
只要
1 , n 1
即 n
1
1.ຫໍສະໝຸດ 则当 n N 时, 就有
xn 0 ,
1 xn 0 ( n 1)2
(1)n lim xn lim 0 2 n n (n 1)
也可由 取
例4. 证明数列 证: 用反证法. 假设数列
是发散的.
收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
1 取 , 则存在 N , 使当 n > N 时, 有 4
1 1 a xn a 4 4 1 1 长度为 1/2 的开区间( a , a )内, 因此该数列发散 . 4 4
但因 xn 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
的极限为1.
证:
xn 1
欲使
N [ 1
0 ,
即
1 只要 n
因此 , 取
],
则当 n N 时, 就有
n (1)n 1 n
故
n (1)n lim xn lim 1 n n n
例2. 已知 证:
证明
1 (n 1)2
xn 0
n N 时，
a xn a
即 xn U ( a , ) 即：所有下标大于N 的xn ,都落在a 的ε邻域内 在该邻域之外，最多有有限项（最多有 N 项）
a xN 1
(
xN 2 a
)
例：
lim xn a
n
的几何意义是（
D
）
A. 点 a 的某一邻域内含有{ xn} 中无穷多个点
xn 1 (1) n 1
1 n
要想| 指定一个更小的正数10-4，
任意给定ε>0 (不管多么小), 总存在一个正整数 N, 总成立。 使得当 n>N 时，
极限的定义
数列极限的定义： 若数列 及常数 a 有下列关系 :
正整数N，当 n > N 时, 总有
则称该数列
lim xn a
n
2. 收敛数列一定有界.
证: 设
xn a 1, 从而有 xn a a 1 a
取
1, 则 N , 当 n N 时, 有
取 则有
M max x1 , x2 , , xN 1 , a
xn M ( n 1, 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界.
qn1 0
故
lim q n 1 0
n
二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
及
且 a b.
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时, n
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列 称为原数列的子数列（或子列）。 性质：收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性;
引例2. 刘徽的割圆术 —“ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 设有一圆, 用其内接正 n 边形的面积逼近圆的面积 S . 得到 记圆内接正六边形的面积为 A1，边数成倍增加， 一系列内接正多边形的面积
A1 , A 2 , A3 , , An ,
当 n 无限增大时, 无限逼近 S .
它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要 极限思想。
刘徽
数列的定义：
n N , 对应着一个 若按照某一对应法则，对每个
确定的实数
xn , 这些实数 xn 按照下标从小到大排
x1 , x2 , x3 , xn ,
列得到的一个序列
叫做数列，简记为 数列可看成自变量取正整数的函数 数列的几何意义： 数轴上的动点
B. 点 a 的某一邻域外含有{ xn} 中无穷多个点
C. 点 a 的任一邻域外含有{ xn} 中无穷多个点 D. 点 a 的任一邻域外至多含有{ xn} 中有限个点
利用ε—N 定义验证极限步骤： ① 任给 0 ② 解不等式 ③ 在上述解集中任取一正数作为所求N
例1. 已知
证明数列
n (1)n 1 n
的极限为 a , 记作
或 xn a (n )
ε—N 定义
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 即
lim xn a
n
当 n > N 时, 总有
例如,
1 2 3 n , , , , , 2 3 4 n 1
n xn n 1
1 ( n )
收 敛
n (1) n 1 xn n
说明: N 与 有关, 但不唯一.
N
1
1
不一定取最小的 N . 1] 故也可取 N [
例3. 设 q 1, 证明等比数列 的极限为0 . xn 0 证:
0, 欲使
只要
ln . 亦即 n 1 ln q
即
ln 因此 , 取 N 1 , 则当 n > N 时, 就有 ln q
给定一个数列
即n 时, xn ,当 n 无限增大时，
对应的 xn 能否无限接近于某个确定的数值 a ?
若能够的话，这个a 是多少？
考虑数列：
1 4 n (1)n 1 2, , , , , 2 3 n
n (1) xn n
n 1
1 (1)
n 1
1 n
n
b 从而 xn a 2
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时, xn 满足的不等式 a x b b aa bb x a b 3b a b a a 3 b x a n nn 2 2 2 22 2 2 矛盾, 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一 .