5.2.1+函数的表示法+学案-苏教版高中数学必修第一册(wd无答案)
高中数学苏教版必修一《函数的表示方法》word学案
【金版学案】2015-20XX 年高中数学 2.1.2函数的表示方法学案 苏教版必修11．表示函数的三种常用方法分别是解析法、图象法、列表法． 2．列表法就是用列表来表示两个变量之间函数关系的方法． 3．图象法就是用图象来表示两个变量之间函数关系的方法． 4．解析法就是用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，1x，x ＜0.若f (a )＞a ，则实数a 的取值范围是{a |a ≥0或a ＜－1}．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x ＞1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52等于(B )A.12B.32C.52D.927．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞0，π，x ＝0，0，x ＜0，则f (f (f (－1)))＝π＋1．8．已知f (2x －1)＝x 2(x ∈R )，f (x )的解析式为f (x )＝（x ＋1）24．,一、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． (1)解析法．优点：用解析法表示函数的优点，一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可求出任意一个自变量对应的函数值．(2)列表法． 优点：列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，这种表格常常应用到实际生产和生活中去．(3)图象法．优点：用图象法表示函数关系的优点，是能直观形象地表示出函数的变化情况． 二、求函数解析式的常见题型与解题方法 (1)已知f (x )与g (x )，求f (g (x ))类型．这种题型一般用“代入法”求解，即把f (x )中的x 代换为g (x )，并运算化简即可．(2)已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )类型．这种题型一般用“换元法”或“配凑法”求解．用“换元法”，可设t ＝h (x )，并解得x ＝h －1(t )，然后代入g (x )中可得f (t )＝g (h －1(t ))，最后将t 换成x 便得f (x )＝g (h －1(x ))．使用换元法时，要留心换元前后的等价性．用“配凑法”时，要将g (x )配凑成h (x )的多项式，并以x 替换h (x )即可．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除含有f (x )这个未知量外，还有其他未知量，如f (－x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 等．这种题型一般用“解方程组法”求解．求解的关键是根据已知的等式以代换的方式构造另一个关于f (x )的等式，并与已知的等式组成方程组，解该方程组即可求得f (x )．(4)已知f (x )的结构特征，求f (x )．这种题型一般用“待定系数法”求解，依据f (x )的结构特征设出f (x )的表达式，由已知条件列出关于f (x )中未知参数的方程组，解出方程组后代回f (x )即可．(5)已知f (x )的图象，求f (x )．这类题型一般用“数形结合”的方法求解．求解时，要紧紧抓住图象特征，并留心端点值的归属问题．(6)实际问题意义下函数解析式的求法．这种题型要通过仔细阅读题目，合理引入变量，将实际问题抽象归纳出函数的问题，从而建立起相应的函数关系式．三、分段函数理解分段函数应注意以下几点：(1)分段函数是生产生活中的重要函数模型，应用非常广泛．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，分段函数是一个函数，不是两个或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．(3)分段函数的每一段或者说区间，可以是等长的，也可以是不等长的．(4)画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判断图形是否为函数的图象的关键所在．基础巩固1．如图，在△AOB 中，点A (2，1)，B (3，0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是(D )解析：当0≤x ≤2时，S ＝14x 2，排除B 、C ；当2＜x ≤3时，S ＝12×3×1－12(x －3)2＝12(－x 2＋6x －6)；当x ＞3时，S ＝12×3×1＝32.2．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是(D )解析：依题意：s 表示该同学与学校的距离，t 表示该同学出发后的时间，当t ＝0时，s 最远，排除A 、B ，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.3．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝(C )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：由g (x )＝12得：1－2x ＝12⇒x ＝14，代入1－x2x2得：1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.4．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x （x ⊗2）－2的解析式为(D )A ．f (x )＝4－x2x，x ∈[－2，0)∪(0，2]B ．f (x )＝x 2－4x，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f (x )＝－4－x2x，x ∈[－2，0)∪(0，2]解析：由题知2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝（x －2）2，则f (x )＝4－x2（x －2）2－2，又4－x2≥0，∴－2≤x ≤2，则f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x2x，－2≤x ≤2，且x ≠0.5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f （f （n ＋5）），n <10(n ∈N *)，则f (5)＝(D)A ．5B ．6C ．7D ．8解析：f (5)＝f [f (10)]＝f (7)＝f [f (12)]＝f (9)＝f [f (14)]＝f (11)＝11－3＝8.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析：x >0时，x ＝f (x )＝2；x ≤0时，x 2＋3x ＝x ⇒x ＝0或－2. 答案：3个7．已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 关于x 的解析式是________．答案：y ＝28x8．若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24(a ，b 为常数)，则5a －b ＝________．解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋3，∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3.又f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7.∴5a －b ＝2. 答案：29．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式． 解析：令1＋x 1－x ＝t ，则x ＝t －1t ＋1，∴f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ＋12＝2t t 2＋1，∴f (x )＝2xx 2＋1. 由于t ＝1＋x 1－x ＝－1＋21－x ≠－1，∴f (x )＝2xx 2＋1(x ≠－1)．10．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c ＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c .∵f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，∴9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5.比较两端系数，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝8.∴f (x )＝x 2－4x ＋8.11．已知二次函数f (x )的图象经过A (0，2)，B (1，0)，C (3，2)三点，求f (x )的解析式．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，把A ，B ，C 三点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝2⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2.∴f (x )＝x 2－3x ＋2. 能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为(B )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析：当x ＝56时，y ＝5，排除C ，D ；当x ＝57时，y ＝6，排除A.∴只有B 正确．13．任取x 1、x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是(D )解析：只需在图形中任取自变量x 1，x 2，分别标出它们对应的函数值及x 1＋x 22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可．14．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C x ，x <A ，CA ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是(D )A ．75，25B ．75.16C ．60，25D ．60，16 解析：：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f (4)＝C 4＝30⇒C ＝60，f (A )＝60A＝15⇒A ＝16.15．已知函数f (x )，g (x )x 1 2 3 f (x ) 1 3 1x 1 2 3 g (x ) 3 2 1则f (g (1))的值为值是________ 解析：f (g (1))＝f (3)＝1，当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不满足； 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，满足； 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝1，不满足． ∴x ＝2. 答案：1 216．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：x ＜1时，f (x )≥1⇔(x ＋1)2≥1⇔x ≤－2或x ≥0⇔x ≤－2或0≤x ＜1；x ≥1时，f (x )≥1⇔4－x －1≥1⇔x －1≤3⇔x ≤10⇒1≤x ≤10.∴x ≤－2或0≤x ≤10.答案：(－∞，－2]∪[0，10]17．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则对x ∈R ，函数f (x )＝x *(2－x )的解析式为f (x )＝________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，2－x ，x ＞1.18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图甲表示，该商品在30天内日销售量Q (t /天 5 15 20 30 Q /件 35 25 20 10(1)根据提供的图象(t 的函数解析式； (2)在所给平面直角坐标系(图乙)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解析：(1)根据图象，每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式为： P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N .(2)描出实数对(t ，Q )的对应点，如下图所示．从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l ：Q ＝kt ＋b .由点(5，35)，(30，10)确定出l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l 上．∴日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式为 Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N )． (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N . 因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（t －10）2＋900，0＜t ＜25，t ∈N ，（t －70）2－900，25≤t ≤30，t ∈N . 若0＜t ＜25(t ∈N )，则当t ＝10时，y max ＝900； 若25≤t ≤30(t ∈N )，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 因此第25天时销售金额最大，最大值为1 125元．。
苏教版高中数学必修一函数的表示方法教案
2.1.2函数的表示方法（2）教学目标：1．进一步理解函数的表示方法的多样性，理解分段函数的表示，能根据实际问题列出符合题意的分段函数；2．能较为准确地作出分段函数的图象；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：分段函数的图象、定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复习函数的表示方法；已知A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，试写出从集合A到集合B的两个函数．2．问题．函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？二、学生活动1．画出函数f(x)＝|x|的图象；2．根据实际情况，能准确地写出分段函数的表达式．三、数学建构1．分段函数：在定义域内不同的部分上，有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数．（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是几部分的并；（3）定义域的不同部分不能有相交部分；（4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线，也可能是由几条曲线共同组成；（5）分段函数的图象未必是不连续，不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数，如反比例函数的图象；（6）分段函数是生活中最常见的函数．四、数学运用1．例题．例1 某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内(含3km)路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．例2 如图，梯形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (6，0)，B (4，2)，C (2，2)．一条与y 轴平行的动直线l 从O 点开始作平行移动，到A 点为止．设直线l 与x 轴的交点为M ，OM ＝x ，记梯形被直线l 截得的在l 左侧的图形的面积为y ．求函数y ＝f(x )的解析式、定义域、值域．例3 将函数f (x )＝ | x ＋1|＋| x －2|表示成分段函数的形式，并画出其图象，根据图象指出函数f (x )的值域．2．练习：练习1：课本32页7，9两小题．练习2：（1）画出函数f (x )＝的图象． （2） 若f (x )＝ 求f (－1)，f (0)，f (2)，f (f (－1))，f (f (0))，f (f (12))的值．（3）试比较函数f (x )＝|x ＋1|＋|x |与g (x )＝|2x ＋1|是否为同一函数．（4）定义[x ]表示不大于x 的最大整数，试作出函数f (x )＝[x ] (x ∈[－1，3))的图象．并将其表示成分段函数．练习3：如图，点P 在边长为2的正方形边上按A →B →C →D →A 的方向移动，试将AP 表示成移动的距离x 的函数．五、回顾小结x 2－1，x ≥0， 2x ＋1，x ＜0． x －1 (x ≥0) 1－x (x ＜0) A B C D P x y O A BC分段函数的表示→分段函数的定义域→分段函数的图象；含绝对值的函数常与分段函数有关；利用对称变换构造函数的图象．六、作业课堂作业：课本32页3，7，12；课后探究：已知函数f(x)＝2x－1(x∈R)，试作出函数f(|x|)，|f(x)|的图象．。
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 函数概念与性质 函数的表示方法
跟踪训练4已知函数 = ||( − 4)
（1）将函数 = ||( − 4)写成分段函数的形式,并画出图象;
解当 < 0时, = || ⋅ ( − 4) = −( − 4);
当 ≥ 0时, = ||( − 4) = ( − 4).
例4已知函数() = 1 +
||−
(−2
2
< ≤ 2).
（1）用分段函数的形式表示()；
解 当0 ≤ ≤ 2时，() = 1 +
当−2 < < 0时，
() = 1 +
−−
2
= 1 − ，
1,0 ≤ ≤ 2,
则() = ቊ
1 − , −2 < < 0.
（2）分段函数的值域是各段函数值域的并集.
2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数的三种表示方法
例1某种笔记本的单价是5元，买( ∈ {1,2,3,4,5})个笔记本需要元.试用函数的三种
表示方法表示函数 = ().
解这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.
第5章 函数概念与性质
5.2 函数的表示方法
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、
解析法）表示函数，理解函数图象的作用.2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并
能简单应用.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.Байду номын сангаас函数三种表示方法
苏教版数学高一数学苏教版必修一学案 函数的表示方法
第3课时函数的表示方法教学过程一、问题情境问题1教材P23中的3个函数问题在表示方法上有什么区别?回顾教材第2.1.1节开头的3个函数问题:(1)在第一个问题中,只要知道某个年份,就能从下表中查得相应的人口数.年份1949 1954 1959 1964 1969 1974人口542 603 672 705 807 909数/百万年份1979 1984 1989 1994 1999人口975 1035 1107 1177 1246数/百万这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.(2)在第二个问题中,下落的距离y(单位:m)与下落时间x(单位:s)之间近似地满足关系式y=4.9x2(x≥0).这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.(3)在第三个问题中,我们用图象(如图1)表示时刻和气温的关系.这种用图象来表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.(图1)问题2观察3个函数问题,你能说出各种函数表达形式上的特点吗?问题3如何用数学语言来准确地描述函数表示法?问题4你能说出几种函数表示法的优缺点吗?二、数学建构(一)生成概念函数的三种表示方法:(1)解析法:将两个变量的函数关系用一个等式来表示,如y=3x2+2x+1,S=πr2,c=2πr,S=6t2等.(2)列表法:列出表格表示两个变量的函数关系,如平方表、三角函数表、利息表、列车时刻表、国民生产总值表等.(3)图象法:用图象来表示两个变量的函数关系,如图2.(图2)(二)理解概念解析法的优点:简明,全面地概括了变量之间的关系;可以通过解析式求出自变量的任意一个值所对应的函数值.列表法的优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.图象法的优点:直观形象地表示了变化趋势.三、数学运用【例1】(教材P33例1)购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1, 2, 3, 4})的函数,并指出该函数的值域.(见学生用书课堂本P15)(例1)[处理建议]以前初中所学的函数图象通常是一条连续的线,但是函数图象具有多样性,也可以是一些孤立的点.引导学生体会函数的对应关系以及实际问题的定义域.[规范板书]解(1)解析法:y=2x,x∈{1, 2, 3, 4}.(2)列表法:x/听 1 2 3 4y/元 2 4 6 8(3)图象法:图象由点(1, 2),(2,4),(3,6),(4, 8)组成,如图,函数的值域是{2, 4, 6, 8}.[题后反思]函数的图象可以是不连续的散点,实际问题要考虑自变量的实际意义.变式小明粉刷他的卧室共花去10h,他记录的完成工作量的百分数如下表:时间/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10完成的百分数/% 5 25 35 50 50 65 70 80 9510(1) 5h他完成工作量的百分数是50%;(2)小明在第2h内的工作量最大.[题后反思]充分体现了列表法的优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.【例2】(教材P34例2)画出函数f(x)=|x|的图象,并求出f(-3),f(3),f(-1),f(1)的值.(见学生用书课堂本P15) [处理建议]对于含有绝对值的函数解析式,通常通过去绝对值符号写成分段形式,然后再分别处理.去绝对值通常采用“零点”分类法,即使绝对值里的式子为0,从而解出对应的x的值作为分点,再进行讨论.[规范板书]解因为f(x)=|x|=(例2)所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一、二象限的一条折线,如图.其中f(-3)=3,f(3)=3,f(-1)=1,f(1)=1.[题后反思]通过本例我们可以发现,有些函数在它的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,对应法则不同,这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数,而不是几个函数.变式作出分段函数y=|x-1|+|x+2|的图象.[规范板书]解根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即y=|x-1|+|x+2|=作出图象如下:(变式)【例3】某市郊区空调公共汽车的票价按下列规则制定:(1) 5 km以内,票价2元;(2) 5 km以上,每增加5 km,票价增加1元(不足5 km按5 km计算).已知两个相邻的公共汽车站台之间相距约为1 km,如果沿途(包括起点站和终点站)共20个汽车站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.(见学生用书课堂本P16) [处理建议]分段函数是函数表示的另一种形式,它在定义域内不同部分上有不同的解析式,其中定义域是自变量在不同部分上取值的并集,要从整体上把握分段函数.本例是一个实际问题,有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.[规范板书]解设里程为x km时,票价为y元,根据题意,如果某空调公共汽车运行路线中共20个汽车站(包括起点站和终点站),那么该车行驶的里程约为19 km,所以自变量x的取值范围是{x|x≤19,x∈N*}.由空调公共汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:y=(x∈N*).根据这个函数解析式,可画出函数的图象,如下图所示:(例3)[题后反思]①本题具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;②本题可否用列表法表示函数?如果可以,应怎样列表?变式如图,在梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,∠D=45°,AB=BC=2cm.现有一动点Q从B点出发沿B→C→D→A的方向移到A点.若Q点经过的路程为x cm,△QAB的面积为y cm2,试写出y与x之间的函数关系式,并画出该函数的图象.(变式)[处理建议]引导学生写出动点Q在BC段、CD段、DA段这三段上的函数关系式,并注意x的范围.[规范板书]解如图,作AE⊥CD于点E,于是DE=AE=2cm,DA=2cm.(1)当点Q在线段BC上运动时,y=AB·QB=×2x=x,其中0≤x≤2;(2)当点Q在线段CD上运动时,y=AB·BC=×2×2=2,其中2<x≤6;(3)当点Q在DA上运动时,过点Q作GF∥BC并交BA的延长线于点G,交CD于点F,则AQ=BC+CD+DA-x=6+2-x,GQ=AQ·sin45°=(6+2-x),∴y=AB·GQ=×2×(6+2-x)=2+3-x,其中6<x≤6+2.综上,y与x之间的函数关系式为y=该函数的图象如下[题后反思]对于此类图形面积的问题,常常需要画出图形,分析情况,分类讨论才能解决;最后要写成一个函数的形式.【例4】已知函数f(x)=求f,f{f[f(-2)]}的值.(见学生用书课堂本P16 [处理建议]题中f(x)为分段函数,应分段求解.[规范板书]解∵ 1-=1-(+1)=-<-1,∴f=f(-)=-2+3.∵f(-2)=-1,∴f[f(-2)]=f(-1)=2,∴f{f[f(-2)]}=f(2)=1+=.变式将例4中的问题改为:(1)求f(3x-1);(2)若f(a)=,求实数a的值.[规范板书]解(1)若3x-1>1,即x>,f(3x-1)=1+=;若-1≤3x-1≤1,即0≤x≤,f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;若3x-1<-1,即x<0,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.∴f(3x-1)=(2)∵f(a)=,当a<-1时,有2a+3=,∴a=-,舍去;当a>1时,有1+=,∴a=2;当-1≤a≤1时,a2+1=,∴a=±.综上所述,∴a=2或±.[题后反思]处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值属于哪个区间段,然后选取相应的对应法则,离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.*【例5】已知函数y=f(x)满足f=,求函数y=f(x)的解析式.[规范板书]解∵f===,∵≠0,∴f(x)=(x≠0).[题后反思]①本题将原解析式右边配凑变量,并看成整体替换成变量x,从而得到f(x)的解析式.②本题也可以运用换元法求解,其过程如下:设=t,则x=,代入f=,得f(t)==.又t=≠0,∴f(x)=(x≠0).③需要注意的是,无论是用“配凑法”,还是用“换元法”,在求出y=f(x)的解析式以后,都需要指出其定义域.变式已知f(x)-f=x 2,求函数f(x)的解析式.[规范板书]解因为f(x)-f=x 2①,将①中的x换为,得f-f(x)=②.由①和②两式,消去f,得f(x)=x2+.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2+.[题后反思]对于在已知式中,含有两个不同变量的函数关系时,常常采用“方程组消参法”解决,即依据两个变量的关系,重新产生一个关于两个变量的同等式,再联立方程组而得函数解析式.四、课堂练习1.已知函数f(x)=若f(x)=3,则x=.提示分三段求解.2.已知函数f(x)=则f{f[f(-1)]}=π+1.提示f{f[f(-1)]}=f[f(0)]=f(π)=π+1.3.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:x 1 2 3f(x) 1 3 1x 1 2 3g(x) 3 2 1则f[g(1)]的值为1;满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是2.五、课堂小结本节课归纳了函数的三种表示方法及优缺点,讲述了分段函数的概念,了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线.。
苏教版数学高一《函数的表示方法》 精品学案
【学习目标】：
掌握函数的三种表示方法（列表法，解析法，图象法），及其互相转化；Байду номын сангаас解分段函数的概念。
【教学过程】：
一、复习引入：回顾初中学过的函数及其表示方法
二、新课讲授：
函数的三种表示方法：
列表法：
解析法：
图象法：
三、典例欣赏
例1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示为x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出函数的值域。
，且此函数的定义域是
7.函数 的定义域为
8.设函数 ，则 ＝．
9．若一个函数满足 ，则满足该条件的一个函数解析式是
10．（1）作出函数y=2x2+|x2-1|的图象。（2）作出函数y=|x-2|(x+1)的图象。
11.某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这个商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个。
1.物体从静止开始下落，下落的距离与下落时间的平方成正比。已知开始下落的 内，物体下落了 ，则开始下落的 内物体下落的距离是
2.已知函数 ，则 =
3．已知函数 则
4.已知 ，试写出从集合A到集合B的两个函数
5.请写出三个不同的函数解析式，满足 。
6.建造一个容积为 、深为 的长方形无盖水池，如果池底与池壁的造价分别为 和 ，则总造价 （元）与关于底面一边长 （ ）的函数解析式是
13．函数 的函数值表示不超过x的最大整数，例如 ， ，当 时，写出 的解析式，并作出函数的图象.
14．已知函数 .
（1）求 的值；（2）计算： .
【拓展提高】
15．已知两个函数 ，
苏教版数学高一苏教版必修1学案函数的表示方法
课堂导学三点剖析一、用适当方法表示函数及分段函数【例1】 已知f(x)=⎩⎨⎧<+≥+.012,012x x x x(1)求f(1),f(-2),f(a 2+1),f ［f(0)］的值；（2）画出f(x)的图象.思路分析：（1）先确定自变量的取值属于哪一段，再用该段的解析式求函数值.（2）分两段作函数的图象，每一段一般都先作出端点.解析：(1)f(1)=12+1=2,f(-2)=2×（-2）+1=-3，f(a 2+1)=(a 2+1)2+1=a 4+2a 2+2,f ［f(0)］=f(1)=12+1=2.(2)f(x)的图象如下图所示.温馨提示(1)关键是理解分段函数的意义，即自变量在不同范围内取值时，相应的函数解析式不同.（2）f ［g(x)］是g(x)作为自变量执行“f ”这个对应法则，求f ［f(x 0)］的值应从里向外求.二、求函数解析式【例2】 （1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)；（2）已知f(x +4）=x+8x ,求f(x 2).思路分析：（1）可设出二次函数，根据已知条件，确定待定系数.（2）中应先求出f(x)，再求f(x 2).解析：（1）∵f(x)是二次函数，设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0).由f(0)=1得c=1.由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax 2+bx+1)=2x.左端展开整理得2ax+(a+b)=2x.由恒等式原理知⎩⎨⎧=+=,0,22b a a ∴⎩⎨⎧-==.1,1b a ∴f(x)=x 2-x+1. (2)设t=x +4.∴x =t-4(t ≥4).由f(x +4)=x+8x 可得f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t 2-16(t ≥4）.∴f(x)=x2-16(x≥4）.∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2）.温馨提示在（2）中求f(x2)，千万不能直接代入f(x+4)=x+8x，得f(x2)=x2+8|x|，这是没明白x2与x+4有同等地位，都执行“f”这个对应法则导致的.三、利用分段函数解决实际问题【例3】在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克不超过40克付邮资160分，超过40克不超过60克付邮资240分，依此类推，每封x克（0<x≤100)的信应付多少分邮资？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域.解析：设每封信的邮资为y，则y是信件重量x的函数.这个函数关系的表达式为f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈],100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80xxxxx函数值域为{80，160，240，320，400}.在直角坐标系中描点作图，函数图象如下图.温馨提示用函数知识解实际问题，一要注意自变量的取值范围；二要注意自变量x和函数y的取值是否具有实际意义.各个击破类题演练1已知函数y=f(x),f(0)=1，且当n∈N*时，有f(n)=nf(n-1)，求f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5).解析：f(0)=1；f(1)=1·f(1-1)=1·f(0)=1；f(2)=2·f(2-1)=2·f(1)=2×1=2；f(3)=3·f(3-1)=3·f(2)=3×2=6；f(4)=4·f(4-1)=4·f(3)=4×6=24；f(5)=5·f(5-1)=5·f(4)=5×24=120；变式提升1已知x∈N*,f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),6()2(),6(5xxfxx则f(3)=__________.解析:∵f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),6()2(),6(5xxfxx∴f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2,故f(3)=2.答案：2类题演练 2(2004湖北卷高考理，3)已知f(x x +-11)=2211x x +-，则f(x)的解析式可取为（ ） A.21x x + B.-212x x + C.212x x + D.-21x x + 解析：设x x +-11=t ，则x=tt +-11. ∴f(t)=)11(1)11(12tt t t +-++--=2224t t +=212t t + 即f(x)=212x x +，故选C. 答案：C变式提升 2已知函数φ(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且φ(31)=16,φ(1)=8，求φ(x)的表达式. 解析：设f(x)=k 1x,g(x)=x k 2,则φ(x)=k 1x+xk 2, ∵φ（31）=16，φ(1)=8, ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,8,33162121k k k k 解得⎩⎨⎧==,5,321k k ∴φ（x ）=3x+x5. 类题演练 3某地出租车的出租费为4千米以内（含4千米），按起步费收10元，超过4千米按每千米加收2元，超过20千米（不含20千米）每千米再加收0.2元，若将出租车费设为y ，所走千米数设为x ，试写出y=f(x)的表示式.解析：当0<x ≤4，y=10.当4<x ≤20时，y=10+(x-4)×2=2x+2.当x>20时,y=10+32+(x-20)×2.2=2.2x-2.综上所述，y 与x 的函数关系为y=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+≤<).20(22.2),204(22),40(10x x x x x变式提升 3如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BC、CD、DA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y=f(x).(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.解析：函数定义域为（0，12）.当0<x≤4时，S=f(x)=21×4×x=2x；当4<x≤8时，S=f(x)=8；当8<x<12时，S=f(x)=21×4×(12-x)=24-2x,∴函数解析式为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈].12,8(224],8,4(8(0,4],x2xxxx（2）作出f(x)的图象（下图）.由图象看出［f(x)］max=8.。
高中数学 212(函数的表示方法1)教学案 苏教版必修1 学案
函数表示方法(1)教学目标：1.进一步理解和掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图像法.2.能根据条件求出两个变量之间的函数解析式.3.培养抽象概括能力和解决问题的能力.教学重点：利用待定系数法、配凑法、换元法等求函数解析式 教学难点：利用换元法求函数解析式。
课前预习1. 二次函数的形式：⑴一般式：____________________________()0,,,≠∈a R c b a ;⑵交点式：_______________________________________,其中21,x x 分别是)(x f 的图像与x 轴的两个交点的横坐标；⑶顶点式：_______________________________________,其中()11,y x 是抛物线顶点的坐标. 2. 已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法.例如：求二次函数解析式的基本步骤是：⑴______________________________________________________; ⑵______________________________________________________; ⑶______________________________________________________. 典型例题例1：⑴已知一次函数满足5)0(=f ，图像过点()1,2-，求)(x f ；⑵已知二次函数)(x g 满足5)1(,1)1(=-=g g ，图像经过原点，求)(x g ； ⑶已知二次函数)(x h 与x 轴的两个交点为()()0,3,0,2-，且3)0(-=h ，求)(x h ； ⑷已知二次函数)(x F ，求图像的顶点是)2,1(-,且经过原点.例2：函数)(x f 在闭区间[]2,1-上的图像如右图所示， 求函数)(x f 的解析式.例3：⑴已知34)(2+-=x x x f ，求()1+x f ；⑵已知()x x x f 212-=+，求()x f ；⑶已知()x x x f21+=+，求()x f ；⑷已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f . 例4⑴已知函数()x f 是一次函数，若()[]59+=x x f f ,求()x f .⑵已知函数()x f 是二次函数，且()()342112+-=-++x x x f x f ,求()x f .课堂练习：1. 图像与x 轴的两个交点为()()0,5,0,2，且10)0(=f ；___________________________.2. 若()1232-=x x f ，则()x f 的解析式为3. 已知函数()13-=x x f ，()32+=x x g 则()[]x g f = ,()[]x f g =4. 若函数x x x x x f 112++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()x f = 课堂小结：。
高一数学苏教版必修1教学案：第2章5函数的表示方法(1)
江苏省泰兴中学高一数学教学案(15)必修1_02 函数 函数的表示方法（1）班级 姓名目标要求1． 了解函数的三种表示法，以及三种表示法的内在联系；2． 根据具体问题的特点，选用恰当的方法表示函数关系．重点难点重点：函数的表示法；难点：解析法与图象法的联系与转化．课前预习1、回顾初中学过的函数及其表示方法2、函数表示方法列表法：用 来表示两个变量之间函数关系的方法。
解析法：用 来表示两个变量之间函数关系的方法。
图像法：用 来表示两个变量之间函数关系的方法。
3、分段函数在定义域内不同部分上，有不同的 ，像这样的函数通常叫做分段函数。
课堂互动例1 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元，若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x ({1,2,3,4})x 的函数，并指出该函数的值域．例2 某市出租汽车收费标准如下：在km 3以内（含km 3）路程按起步价7元收费，超过km 3以外的路程按2.4元km /收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式．回顾小结：分段函数（1） 概念：（2） 理解：例3 （1）已知⎩⎨⎧<-≥=-=)0.(1)0.()(,12)(2x x x x g x x f ，求[][])(,)(x f g x g f ．例4 如图AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数)(t f y =的解析式，并画出)(t f y =的图象.例5 作出函数)1(|2|-+=x x y 的图象，并求函数的定义域与值域．课堂练习１、下列各个图形中，表示函数关系()y f x =的图象的有（１）（２） （３）（４）2、设(),f x π=则2()f x =____________3、1 n mile （海里） 约合1852m ，根据这一关系，写出米数y 关于海里数x 的函数解析式．4、用长为30 cm 的铁丝围成矩形，试将矩形面积Ｓ（cm 2）表示成矩形一边长x （cm ）的函数，并画出函数的图象．5、在学校的洗衣店中，每洗一次衣服（4.5千克以内）需要付费4元，如果在这家洗衣店洗衣10次，则其后可以免费洗一次(1)根据题意填写下表：(2)问：＂费用c是次数n的函数＂还是＂次数n是费用c的函数＂？(3)写出当n 15时函数的解析式．学习反思1、函数关系的表示方法主要有．2、函数的解析式从＂数＂的层面表示了函数关系；而函数的图象从＂形＂的层面表示了函数关系，它们各有特点，要善于＂取长补短＂；3、分段函数在不同的定义域内各有不同的对应关系，因而分段函数的处理常需要分类讨论，再整合出相应的结论．江苏省泰兴中学高一数学作业(15)班级 姓名 得分1、函数()y f x =的图象与直线()x a a R =∈的交点个数是 （ ）A ．至少一个B ．至多一个C ．有且仅有一个D ．一个或两个以上2、物体从静止开始下落，下落的距离与下落时间的平方成正比。
高中数学 第5章 函数概念与性质 5.2 函数的表示方法教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教版高一
5.2 函数的表示方法学习目标核心素养1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点) 通过学习本节内容，进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．观察教材第5．1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？1．函数的表示方法2．分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)有些函数能用三种方法来表示．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ 2．(一题两空)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，那么f (x )的定义域为，值域为．{x |x ≠0} {y |y >－1} [定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}， 当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}．]3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y ＝f (x )．[解] 列表法：笔记本数x 1 2 345钱数y5 10 15 20 25解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 图象法：求函数解析式(1)f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，那么f (x )＝． (2)f (x ＋1)＝x ＋2x ，那么f (x )＝．(3)f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，那么f (x )＝．(4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，假设f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，那么f (x )的解析式为．(5)假设f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2，那么f (x )＝．[思路点拨] (1)(3)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(4)用待定系数法求解．(5)可以把x －2x看作一个整体来求解．(1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1 (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0(5)x 2＋4 [(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)， 那么x ＝t －1，x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，那么⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤0.(5)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4，∴f (x )＝x 2＋4．]求函数解析式的常用方法1待定系数法：函数f x 的函数类型，求f x的解析式时，可根据类型设出其解析式，将条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可.2换元法：令t ＝g x ，注明t 的X 围，再求出f t 的解析式，然后用x 代替所有的t 即可求出f x ，一定要注意t 的X 围即为fx 中x 的X 围.3配凑法：f g x的解析式，要求f x 时，可从f g x的解析式中拼凑出“gx 〞，即用g x 来表示，再将解析式两边的g x 用x 代替即可.4代入法：y ＝f x的解析式求y ＝fg x 的解析式时，可直接用新自变量g x 替换y ＝f x 中的x .[跟进训练]1．(1)f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，那么f (x )＝．(2)假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，那么f (x )＝．(1)x ＋2x(2)x 2－x ＋1(x ≠1)[(1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝k 1＋k 2＝3，f 2＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x．(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，那么x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．]分段函数[例2] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值．[思路点拨] 要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．[解] 由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， －2<－32<2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－34．1．(变结论)本例条件不变，假设f (a )＝3，某某数a 的值．[解] ①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0．所以(a －1)(a ＋3)＝0，所以a ＝1或a ＝－3． 因为1∈(－2,2)，－3(－2,2)， 所以a ＝1符合题意．③当a ≥2时，2a －1＝3，所以a ＝2符合题意． 综合①②③，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2．2．(变结论)本例条件不变，假设f (m )>m (m ≤－2或m ≥2)，某某数m 的取值X 围． [解] 假设f (m )>m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，m ＋1>m 或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1>m ，即m ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >1，所以m ≤－2或m ≥2．所以m 的取值X 围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的X 围，代入相应的解析式求值．2．分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用X 围；也可先判断每一段上的函数值的X 围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值X 围的并集即可． 求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．方程组法求解析式1．解二元一次方程组的主导思想是什么？[提示] 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②[提示] 法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1．法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1．3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？[提示] 能求A ，B ．仍可以采用上述两种方法． 两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x2．[例3] 求解析式．(1)f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )；(2)2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．[思路点拨] 将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．[解] (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x，①用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x，②②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x．(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x．方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数⎝ ⎛⎭⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x 替换原式中的x 即可．[跟进训练]2．f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，那么f (x )的解析式为． f (x )＝－23x －x 3 [因为f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，用1x 替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x ， 代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x ＋1x ＋x ，解得f (x )＝－23x －x3．]1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法；(5)方程组法等．1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )C[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．]2．函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，那么f(10)＝．20[令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20．]3．f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，那么f(x)＝．3x －2 [设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2．]4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)假设f (x 0)＝8，求x 0的值． [解] (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4． (2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)； 当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4．∴x 0＝4．。
苏教版高中数学必修一第二章学生教案第课时函数的表示方法(1)
第五课时 函数的表示方法（2）1．掌握函数的概念，能正确求出函数的定义域、值域；2．领会题意正确地求出两个变量的函数关系；3．能解决简单的复合函数的解析式和定义域问题．自学评价1．下列函数中，与2(2)y x x =->相同的函数是 （ ） A ．2-=x y B ．2-=x y C ．22--=x x y D ．2)22(--=x x y 2．下列图象中，表示函数关系()y f x =的是 （ ）3．作出函数221,[1,3)y x x x =--∈-的图象。
解：2(1)2,[1,3)y x x =--∈-例1：（1）若设函数()f x =的定义域为 ，(1)f x += ，函数(1)y f x =+的定义域为 。
（2）若函数()y f x =的定义域为[1,3)，则函数(1)y f x =+的定义域为 。
例2：如图实线部分，某电影院的窗户的上部呈半圆形，下部呈矩形。
已知窗户的外框的周长是l ，矩形的水平边的长是x ，求窗户的采光面的面积y 与x 的函数解析式，并指出函数的定义域。
【解】由题意AB x =，»2CDx π=， 22l x xAD π--=，∴2()2222x l x x y x ππ--=⋅+， 即2482ly x x π+=+。
由问题的实际意义可知：AABCD x0202x l x xπ>⎧⎪⎪⎨--⎪>⎪⎩，解得202l x π<<+。
所以，y 与x 的函数解析式是2482ly x x π+=+，函数的定义域是2(0,)2l π+。
例3．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．追踪训练一1．函数()f x =的定义域为 （ ） ()A [1,1]- ()B (,1][1,)-∞-+∞U ()C [0,1] ()D {1,1}- 2．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示点P 的行程，y 表示线段PA 的长，求y 关于x 的函数解析式。
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5.2.1+函数的表示法+学案-苏教版高中数学必修第一册
一、单选题
(★) 1. 若二次函数的图像开口向上且关于直线对称，并过点，则此二次函数的解析式可能为（）
A．B．
C．D．
(★★) 2. 某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为 t，离开家里的路程为 d，下面图形中，能反映该同学的行程的是（）
A．B．
C．D．
(★★) 3. 如果＝，则当x≠0，1时， f( x)等于（）
A．B．C．D．
(★★) 4. 已知函数f(x－1)＝x 2－3，则f(2)的值为( )
A．－2B．6
C．1D．0
二、解答题
(★★★) 5. 画出 y ＝2 x 2－4 x －3， x∈(0,3]的图象，并求出 y 的最大值、最小值. (★★★) 6. 根据下列条件，求 f( x)的解析式. （1） f( f( x))＝2 x －1，其中 f( x)为一次函数； （2） f(2 x ＋1)＝6 x ＋5；
（3） f( x)＋2 f(－ x)＝ x 2＋2 x.
(★★★) 7. 根据下列条件，求 f( x)的解析式.
（1） f( x)是一次函数，且满足3 f( x ＋1)－ f( x)＝2 x ＋9； （2） f( x ＋1)＝ x 2＋4 x ＋1；
（3）
.
(★★★) 8. 函数 f( x)＝ x 2－4 x ＋3( x≥0)的图象与 y ＝ m 有两个交点，求实数 m 的取值范围. (★★) 9. 若函数
如下表所示：
(1)求
的值；
(2)若
，求 的值．
(★★★) 10. 已知函数 f( x)＝ x 2＋( a ＋1) x ＋ b 满足 f(3)＝3，且 f( x)≥ x 恒成立，求 f( x)的解析式.
三、双空题
(★) 11. 已知 f( x)的图象如图所示，则 f( x)的定义域为 ________ ，值域为 ________ .
四、填空题
(★★) 12. 已知函数按下表给出，满足的的值为 ________ ．
123
(★) 13. 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为 ________ . x1234
f(x)1313
g(x)3232。