高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题含答案

用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列na的前n项的和nS，满足12nnaS，试求： （1）数列na的通项公式； （2）设11nnnaab，数列nb的前n项的和为nB，求证：21nB 解：（1）由已知得2)1(4nnaS，2n时，211)1(4nnaS，作差得：1212224nnnnnaaaaa，所以0)2)((11nnnnaaaa，又因为na为正数数列，所以21nnaa，即na是公差为2的等差数列，由1211aS，得11a，所以12nan

（2）)121121(21)12)(12(111nnnnaabnnn，所以 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列na的前n项的和,14122333nnnSa，1,2,3,n （Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT. 解: (Ⅰ)由 Sn=43an－13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= 43a1－13×4+23 所以a1=2 再由①有 Sn－1=43an－1－13×2n+23, n=2,3，4,… 将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= 43(an－an－1)－13×(2n+1－2n),n=2,3, … 整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …, (Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= 43×(4n－2n)－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2) = 23×(2n+1－1)(2n－1) Tn= 2nSn = 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n－1 － 12n+1－1) 所以, 1niiT= 321(ni12i－1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n) < 32 二．先放缩再求和 1．放缩后成等比数列，再求和 例2．等比数列na中，112a，前n项的和为nS，且798,,SSS成等差数列．

设nnnaab12，数列nb前n项的和为nT，证明：13nT． 解：∵9789AAaa，899AAa，899aaa，∴公比9812aqa．

∴nna)21(． nnnnnnb231)2(41)21(141． （利用等比数列前n项和的模拟公式nnSAqA猜想） ∴nnbbbB2131)211(31211)211(213123123123122



nn

．

真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列na满足*111,21().nnaaanN （I）求数列na的通项公式； （II）若数列nb满足12111*444(1)()nnbbbbnanN，证明：数列nb是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232nnaaannnNaaa. （I）解：*121(),nnaanN 112(1),nnaa1na是以112a为首项，2为公比的等比数列

12.nna即 2*21().nanN （II）证法一：1211144...4(1).nnkkkkna 122[(...)],nnbbbnnb ①

12112[(...)(1)](1).nnnbbbbnnb ②

②－①，得112(1)(1),nnnbnbnb 即1(1)20,nnnbnb21(1)20.nnnbnb ③－④，得 2120,nnnnbnbnb 即 2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbbnNnb是等差数列 （III）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2kkkkkkakna 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}na满足：11a，)3,2,1()21(1nanannn．求证：11213nnnnaa 证明：因为nnnana)21(1，所以1na与na同号，又因为011a，所以0na， 即021nnnnanaa，即nnaa1．所以数列{}na为递增数列，所以11aan， 即nnnnnnanaa221，累加得：121212221nnnaa． 令12212221nnnS，所以nnnS2122212132，两式相减得： nnnnS212121212121132，所以1212nnnS，所以1213nnna，

故得11213nnnnaa． 3．放缩后成等差数列，再求和 例4．已知各项均为正数的数列{}na的前n项和为nS,且22nnnaaS.

(1) 求证：2214nnnaaS； (2) 求证：112122nnnSSSSS 解：（1）在条件中，令1n，得1112122aSaa，1011aa ，又由条件nnnSaa22有11212nnnSaa，上述两式相减，注意到nnnSSa11得

0)1)((11nnnnaaaa 001nnnaaa ∴11nnaa

所以， nnan)1(11，(1)2nnnS 所以42)1(212)1(21222•nnnaannnnS （2）因为1)1(nnnn，所以212)1(2nnnn，所以 2122312nSnn；222)1(2222121nnSnnnSSS

练习： 1.（08南京一模22题）设函数213()44fxxbx，已知不论,为何实数，恒有(cos)0f且(2sin)0f.对于正数列na，其前n项和()nnSfa，*()nN.

(Ⅰ) 求实数b的值；（II）求数列na的通项公式； （Ⅲ）若1,1nncnNa，且数列nc的前n项和为nT，试比较nT和16的大小并证明之.

解：(Ⅰ) 12b（利用函数值域夹逼性）；（II）21nan； （Ⅲ）∵21111(22)22123ncnnn，∴1231111+23236nnTccccn… 2.（04全国）已知数列}{na的前n项和nS满足：nnnaS)1(2， 1n （1）写出数列}{na的前三项1a，2a，3a；（2）求数列}{na的通项公式； （3）证明：对任意的整数4m，有8711154maaa



分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得：1112(1)2(1)nnnnnnnaSSaa（n>1） 化简得：1122(1)nnnaa 2)1(2)1(11nnnnaa,]32)1([232)1(11nnnn

aa

故数列{32)1(nna}是以321a为首项, 公比为2的等比数列. 故1)2)(31(32)1(nnna ∴22[2(1)]3nnna ∴数列{na}的通项公式为：22[2(1)]3nnna. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=232451113111[]221212(1)mmmaaa，如果我们把上式中的分母中的1去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121

，

43432121121121，因此，可将1212

保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m进行

分类讨论，（1）当m为偶数)4(m时， （2）当m是奇数)4(m时，1m为偶数， 所以对任意整数4m，有maaa1115487。 本题的关键是并项后进行适当的放缩。 3.（07武汉市模拟）定义数列如下：Nnaaaannn,1,2211 求证：（1）对于Nn恒有nnaa1成立； （2）当Nnn且2，有11211aaaaannn成立； （3）11112112006212006aaa

分析：（1）用数学归纳法易证。 （2）由121nnnaaa得：)1(11nnnaaa)1(111nnnaaa … … )1(1112aaa 以上各式两边分别相乘得： )1(111211aaaaaannn，又21a （3）要证不等式11112112006212006aaa

，

可先设法求和：200621111aaa，再进行适当的放缩。 111120071aa20062111aaa

1

又2006200612006212aaaa

20062006212

1111

aaa

原不等式得证。