人教A版 高中数学 选修2-3 第一章 1.2.1 排列学案设计(无答案)
人教A版数学选修2-3全册课件：第一章 1.2 1.2.1 第二课时 排列习题课
解析：第 1 类，挂 1 面旗表示信号，有 A13种不同方法； 第 2 类，挂 2 面旗表示信号，有 A32种不同方法； 第 3 类，挂 3 面旗表示信号，有 A33种不同方法． 根据分类加法计数原理，共有 A31＋A32＋A33＝3＋3×2＋ 3×2×1＝15 种可以表示的信号． 答案：15
元素的“在”与“不在”问题
(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有 A22种站 法，其余 5 人全排列，有 A55种站法．故共有 A22·A55＝240 种不同 站法．
[类题通法] 1．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以 从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先． 2．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元 素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再 安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都 要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．
4．从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文
娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则
不同的选法共有________种(用数字作答)．
解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有
A
2 4
种方法．由分步乘法计数原理知，共有3A
2 4
＝3×12＝36
种选法．
答案：36
[多维探究] 解排数字问题常见的解题方法
(1)“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先 填充．如“0”不排“首位”．
(2)“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然 后按照分类加法计数原理进行，要注意如下两点：一是分类标 准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．
(3)“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数． (4)“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每 个数位排好．
排列问题解法学案
选修2-3第一章1.2.1排列问题的解法（学案）学案设计：绵阳市开元中学 王小凤老师学习时间：2012年 月 日 学生姓名：一．学习目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；2.掌握解决排列问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题，提高学生解决问题分析问题的能力；3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.二．学习重、难点重点：应用基础知识解决现实生活中的排列问题，激发学生学习热情。
难点：排列中的典型问题的基本解法。
三．学习过程 （一）复习巩固1．分类加法计数原理：完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：N = 种不同的方法．2．分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：N = 种不同的方法．3．分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．4．排列的定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
5．排列数：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有 。
用符号 表示。
排列数公式：m nA = 或m nA =（二）解题策略1.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解析:（特殊位置优先法）由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不满足要求的元素占了这两个位置.第一步：先排末位共有 种方法； 第二步：然后排首位共有 种方法； 第三步：最后排其它位置共有 种方法； 由分步计数原理得，共有五位奇数【思考】1．第一步与第二步的顺序能否交换？结果如何？2．若采用特殊元素优先法，具体步骤应怎样？【方法小结】位置分析法和元素分析法是解决排列问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
人教A版数学选修2-3全册课件：第一章 1.2 1.2.1 第一课时 排列与排列数公式
[导入新知]
排列的个数 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n！
1
排列的有关概念
用列举法解决排列问题
答案：B
排列数公
1.2
1.2.1
第 第一 一 课时 章
排列 与排 列数 公式
1 理解教 材新知
2 突破常 考题型
3 跨越高 分障碍 4 应用落 实体验
知识点一 知识点二 题型一 题型二
题型三
随堂即时演练 课时达标检测
[提出问题]
排列的定义
问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？ 提示：不是． 问题2：有几种排法？ 提示：2种，男—师—女，女—师—男． 2．从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动， 其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动 ．
[化解疑难] 排列定义的理解 (1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素 中取出元素；二是按一定顺序排列． (2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列 顺序相同.
[提出问题]
排列数及排列数公式
问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复 数字的三位数？ 提示：4×3×2＝24个无重复数字的三位数． 问题3：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一 列，共有多少种不同的排法？ 提示：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种不同的排法．
问题1：让你安排这项活动需分几步？它们是什么？ 提示：分两步：第1步，确定上午的同学；第2步，确 定下午的同学． 问题2：有几种排法？ 提示：上午有3种，下午有2种， 因此共有3×2＝6种排法． 问题3：甲乙和乙甲是相同的排法吗？ 提示：不是．甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、 甲下午．
[导入新知] 顺序
高中人教A数学选修2-3学案：1.2.1 第2课时 排列(二) 含答案
第2课时排列(二)自主预习·探新知情景引入2020年7月1日是中国共产党成立99周年纪念日，各地组织形式多样的纪念活动，某校开展了“学习强国”答题竞赛，共有29名参赛者按顺序就座参与比赛．那么这29位选手的排列顺序有多少种呢？这样的排列顺序问题能否有一个公式表示呢？只要掌握了本节我们将要学习的排列与排列数公式，这些问题便可迎刃而解．新知导学1．排列数的性质①A m n＝__n__A m－1n－1；②A m n＝__m__A m－1n－1＋A m n－1．性质①是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列．分两步骤完成：第一步从n个元素中选出1个排在一个位置上，第二步从余下的n－1个元素中选出__m－1__个元素排在余下的m－1个位置上，得到A m n＝__n A m－1n－1__．性质②是指从含有元素a的n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列．第一类：m个元素中含有a，分两步完成．第一步，将a排在某一位置上，有__m__种不同的方法．第二步，从其余n－1个元素中取出__m－1__个排在其他m－1个位置有A m－1n－1种方法，即有m A m－1n－1种不同的方法．第二类：m个元素中不含有a.从n－1个元素中取出__m__个元素排在m个位置上有A m n－1种方法，∴A m n＝m A m－1n－1＋A m n－1或∵A m n－A m n－1＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)－(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n－m)＝m[(n－1)(n－2)…(n－m＋1)]＝__m A m n－1__∴A m n＝__m A m－1n－1＋A m n－1__．2．有限制条件的排列问题①直接法：以元素为考察对象，先满足__特殊__元素的要求，再考虑__一般__元素(又称为元素分析法)，或以位置为考察对象，先满足__特殊__位置的要求，再考虑__一般__位置(又称位置分析法)．②间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去__不合要求__的排列数．③相邻元素__捆绑__法，相离问题__插空__法，定元、定位__优先排__法，至多、至少__间接__法，定序元素__最后排__法．预习自测1．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有(C)A．70B．72C．36D．12[解析]甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2名同学进行排列，共有A33A33＝36种排法．2．用数字0、1、2、3、4、5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有(B) A．288个B．240个C．144个D．126个[解析]个位是0，有4A34＝96个；个位不是0，有2×3×A34＝144个，∴共有96＋144＝240个．3．有七名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有__192__种．[解析]解法一：先去掉甲考虑其他6人，首先将乙、丙绑定为一个元素，排法有A55·A22，然后让甲站在中间位置，但此时有不符合条件的，即当乙、丙在中间位置时，甲再插入中间的应去掉，共有A44·A22，则符合条件的站法有A55·A22－A44·A22＝192种．解法二：乙、丙的排法有2种，乙、丙可在甲的左边也可在右边，每边都有2种位置，乙、丙站好后其余4人任意排共有2×2×2A44＝192种．4．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的一种顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端.[解析](1)2名女生站在一起有站法A22种，视为一个元素与其余5个全排，有A66种排法，∴有不同站法A 22·A 66＝1 440种．(2)先排老师和女生，有排法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A 44种，∴共有不同站法A 33·A 44＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同，∴共有不同站法2·A 77A 44＝420种．(4)中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有A 12·A 14·A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中外的另外4个位置之一，有A 24·A 14·A 44种站法，∴共有不同站法A 12A 14A 55＋A 24A 14A 44＝2 112种．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶元素相邻问题典例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有( C )A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种[解析] 因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A 55种排法，但甲、乙两人之间有A 22种排法，由分步乘法计数原理可知：共有A 55·A 22＝240种不同的排法，选C ． 『规律总结』 1.解排列应用题的基本思路 实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题．通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)．2．相邻元素捆绑法．如果所给问题中要求某n 个元素必须相邻，可将这n 个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列．┃┃跟踪练习1__■记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(B)A．1440种B．960种C．720种D．480种[解析]先将5名志愿者排好，有A55种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有A22种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．∴共有不同排法4A22A55＝960种．命题方向❷元素不相邻问题典例2要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？[解析]先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为A66种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有A47种排法，由分步乘法计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A47·A66＝604 800(种)．『规律总结』不相邻问题插空法．不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．┃┃跟踪练习2__■4名男生和4名女生站成一排(1)男生不相邻的站法有__2_880__种．(2)女生不相邻的站法有__2_880__种．(3)男、女生相间的站法有__1_152__种．(可不必计算出数值)[解析](1)4名女生排好有A44种排法，男生插入女生形成的5个空位中有A45种．∴男生不相邻的站法有A44·A45＝2 880种．(2)同(1)可得A44A45＝2 880种．(3)如图，1男2男3男4男 52至5号位，∴有排法2A44A44＝1 152种．命题方向❸定位定元问题典例33名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排列方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端．[思路分析](1)甲是特殊元素，其余学生站法不受限制，故可先将甲排好，再排其他人．(2)同(1)的分析，甲、乙是特殊元素可先在两端排好甲、乙，有A22种排法，再排其他人．(3)直接排时，可按甲的站位分类：甲在最右端和甲不在两端；也可按乙的站位分类．用间接法求时，7人全排列后减去甲在左端的和乙在右端的(两种情形一样多)，再加上甲在左端且乙在右端的情形(两次都减去了)．[解析](1)(特殊元素优先法)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余六人全排，故N＝A13A66＝2 160(种)．(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排，故N＝A22·A55＝240(种)．(3)解法一(特殊元素优先法)：按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端时有N1＝A66(种)，第二类：甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A15个位置，而其余全排A55，有N2＝A15A15A55(种)，故N＝N1＋N2＝A66＋A15A15A55＝3 720(种)．解法二(间接法)：无限制条件的排列数共有A77，而甲在左端或乙在右端的排法都有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有A55，故N＝A77－2A66＋A55＝3 720(种)．解法三(特殊位置优先法)：按最左端优先安排分步．对于左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排有A66，但减去乙在最右端的排法A15A55种，故N＝A16A66－A15A55＝3 720(种)．『规律总结』有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接法”．1．至多、至少间接法当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．2．定元、定位优先排．在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．(1)元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般．(2)位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步．┃┃跟踪练习3__■ 7人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法． [解析] (1)甲在乙前面的排法占全体全排列种数的一半，故有A 77A 22＝2 520种不同排法．(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体排列种数的1A 33．故有A 77A 33＝840种不同排法．学科核心素养 排列与其他知识相交汇排列问题常与方程、不等式、函数、数列、解析几何、立体几何等知识相交汇，给人感觉情境新颖，但只需转化和化归，即可脱去新题的伪装，还其本来面目．典例4 从1,2,3，…，20这20个自然数中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？[思路分析] 由三个自然数组成的等差数列具有这样的性质：第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数(若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b )，在1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数，联想到排列的定义，可以求解．[解析] 设a ，b ，c ∈N *，且a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，即a ＋c 应是偶数． 因此，若从1到20这20个数中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数．当第一个数和第三个数选定后，中间的数被唯一确定．因此选法有两类：第一类，第一个数和第三个数都是偶数，有A 210种选法； 第二类，第一个数和第三个数都是奇数，有A 210种选法．于是，选出3个数成等差数列的个数为A 210＋A 210＝180．『规律总结』 解有限制条件的排列应用问题的关键是将题设的限制条件转化为显性的排列的限制条件．如本例中将三个正整数成等差数列这一限制条件转化为第一项和第三项同为偶数或同为奇数的限制条件．┃┃跟踪练习4__■某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相． (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？(2)3位老者与2位年轻的都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？[思路分析] 思路(1)3位老者按从大到小的顺序出场不一定这3位相邻出场，只要先排下年轻的，剩余的3个位置，可以按年龄“对号入座”．思路(2)可先不考虑顺序，共有A 55种排法．设符合条件的排法有x 种，每一种排法若不讲顺序的话，三位老者又可作全排列A 33种，共有排法x ·A 33，这是不讲顺序的另一种列式方法．∴x ·A 33＝A 55.∴x ＝A 55A 33＝A 25＝20． [解析] (1)只要第一步先排好年轻的，共有A 25种方法，第二步排3位年老者只有一种排法，按分步乘法计数原理有A 25×1＝20(种)排法．(2)设符合条件的排法共有x种，用(1)的方法可得：x ·A 33·A 22＝A 55，解得x ＝A 55A 33·A 22＝10(种)．易混易错警示 排列的综合应用典例5 4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有( B )A ．12种B ．14种C ．16种D ．24种[错解] 若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A 44＝24种排法，甲跑第一棒有A 33＝6种，乙跑第四棒有A 33＝6种，故一共有A 44－2A 33＝12种．[辨析] 解答过程中，排除甲跑第一棒和乙跑第四棒，两次都减去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况，导致了错误结论A 44－2A 33＝12．[正解] 用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A 44＝24种排法，减去甲跑第一棒有A 33＝6种排法，乙跑第四棒有A 33＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A 22＝2种排法，共有A 44－2A 33＋A 22＝14种不同的出场顺序．课堂达标·固基础1．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( A ) A ．36 B ．30 C ．40D ．60[解析] 奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、4.故奇数有35A 35＝36个．2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( D ) A ．144B ．120C．72D．24[解析]就座3人占据3张椅子，在其余3张椅子形成的四个空位中，任意选择3个，插入3张坐人的椅子，共有A34＝24种不同坐法，故选D．3．(2020·江西省樟树中学)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为(D)A．12B．24C．36D．48[解析]设6种产品分别为a，b，c，d，e，f，画出图形如下图所示，根据题意，安全的分组方法有{ab，cf，de}，{ab，cd，ef}，{ac，be，df}，{ac，bf，de}，{ad，ef，bc}，{ad，eb，cf}，{ae，dc，bf}，{ae，df，bc}，共8种，每一种分组方法安排到3个仓库，有A33种方法，故总的方法种数有8×A33＝48种，故选D．4．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是__40__．[解析]可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列，共有A22种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A15种排法；由分步乘法计数原理得，共有A222A22A15＝40种不同的排法．。
高中数学人教A版 选修2-3 1.2.1 排列 课件 (共19张PPT)
合作探究
探究1 从a、b、c三个不同元素中选出两个填在下图两个 位置上，有多少种不同的填法？
A32=3(3-1)=6 探究2 从a、b、c…….共n个不同元素中选出两个填在下 图两个位置上，有多少种不同的填法？
An2=n(n-1) 探究3 从a、b、c…….n个不同元素中选出m个填在下图 m个位置上，有多少种不同的填法？
练习1：下列问题是排列问题吗？ （1）从10名学生中选出4名参加植树活动，有多少不同选 法？ （2）从10名运动员中选出4名参加4×100接力，有多少安 排方法？ （3）有10个车站，共需要多少种车票？ （4）有10个车站，共需要多少种不同的票价？ 练习2： 下列两个排列相同吗？ （1）abc与abd (2)abc与bca 练习3：你能对身边的排列现象进行举例吗？
（2） A41 A42 A43 A44 64
A41 A42 A43 A44 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 64
2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地
上进行试验，有 24 种不同的种植方法？
A43 4 3 2 24
3．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能
总结提升：具体的排列数的计算一般选择 连乘积的形式。
学以致用
例2
求证：Anm
mAnm1
Am n1
证明：Anm
mAnm1
n! (n m)!
m
n! (n m 1)!
n!(n m 1) n!m (n m 1)!
(n [(n 1)
1)! m]!
Am n 1
Anm
mAnm1
Am n1
总结提升：含有字母的排列数的化简、证明
(新课程)高中数学1.2.1排列教案5 新人教A版选修2-3
高中新课程数学（新课标人教A 版）选修2-3《1．2．1排列》教案5例7． 7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有62621440A A ⋅=种（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种 （3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14A 55A 22A ＝960种方法． （4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：342342288A A A =（种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例8．7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）3600226677=⋅-A A A ；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002655 A A 种方法．（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种． 说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．。
最新高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学案 新人教A版选修2-3(考试必备)
第1课时 组合与组合数公式学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．知识点一 组合的定义思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除； ②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？答案 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理 一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 知识点二 组合数与组合数公式 组合数及组合数公式1．从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C 23.( × ) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( √ ) 3．C 35＝5×4×3＝60.( × ) 4．C 2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( √ )类型一组合概念的理解例1 给出下列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？考点组合的概念题点组合的判断解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．反思与感悟区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果．(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？考点组合的概念题点组合的判断解(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C35＝10.(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C29＝36(种)．类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例2 (1)计算C 410－C 37·A 33； 考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算(1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1. 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 (2)证明 因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ， 左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立．反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .跟踪训练2 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017的值为( ) A ．C 42 017 B ．C 52 017 C ．C 42 018－1D ．C 52 017－1(2)计算C 98100＋C 199200＝________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017 ＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 017－1＝… ＝C 42 017＋C 32 017－1＝C 42 018－1. (2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200 ＝100×992＋200＝5 150.命题角度2 含组合数的方程或不等式 例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8；(2)解不等式C 4n >C 6n . 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2， ∴C m8＋C 5－m8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6即⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6，又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N *. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4. 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4， 即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.所以x＝11或x＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.类型三简单的组合问题例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案(1)45 (2)21 (3)90解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计算原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)．反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0考点组合的概念题点组合的判断答案 B解析①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是 ( ) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案 D解析由C n4知n＝0,1,2,3,4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×32＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．3．若C n12＝C2n－312，则n等于( )A．3 B．5 C．3或5 D．15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 C解析由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 C解析 分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条． 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 10 20解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C 25＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A 25＝20.所以有向线段共有20条．1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)组合数的两个性质： 性质1：C mn ＝C n －mn ； 性质2：C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .一、选择题1．以下四个问题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 C解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 2.A 3101C 2100＋C 97100等于( ) A.16 B ．101 C.1107D ．6考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算 答案 D解析 A 3101C 2100＋C 97100＝A 3101C 2100＋C 3100＝A 3101C 3101＝A 33＝6.3．下列等式不正确的是( ) A ．C mn ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －mn C ．C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n D ．C mn ＝C m ＋1n ＋1考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 答案 D解析 A 是组合数公式；B ，C 是组合数性质；C mn ＝n ！m ！(n －m )！，C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，两者不相等，故D 错误．4．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 B解析 由题意知n (n －1)(n －2)＝6·n (n －1)(n －2)(n －3)4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.5．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有( ) A ．A 310种B ．C 310种C．C310A310种D．30种考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案 B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.6．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )A．24种B．10种C．12种D．9种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析第一步，为甲地选1名女教师，有C12＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C24＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)，故选C.7．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是( )A．115 B．90 C．210 D．385考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有C24C26＝90(种)；三个黑球，有C34C16＝24(种)；四个黑球，有C44＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选A.8．对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )A．15 B．7 C．6 D．0考点组合数性质题点利用组合数的性质进行计算与证明答案 C解析因为1≤m≤n≤5，且方程表示椭圆，所以C m n可能为C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25， C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，所以x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．二、填空题9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.10．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种． 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 60解析 根据题意，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．11．不等式C 2n －n <5的解集为________． 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 {2,3,4} 解析 由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，即n 2－3n －10<0， 解得－2<n <5.由题意知n ≥2，且n ∈N *，则n ＝2,3,4， 故原不等式的解集为{2,3,4}． 三、解答题12．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 解 由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2×n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14， 要求C 12n 的值，故n ≥12， 所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 13．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加．考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792(种)不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36(种)不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126(种)不同的选法．四、探究与拓展14．以下三个式子：①C mn ＝A m n m ！；②A m n ＝n A m －1n －1；③C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m .其中正确的个数是____． 考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 3解析 ①式显然成立；②式中A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，所以A m n ＝n A m －1n －1，故②式成立；对于③式C mn ÷C m ＋1n ＝C m n C m ＋1n ＝A mn ·(m ＋1)！m ！·A m ＋1n ＝m ＋1n －m ，故③式成立． 15．某届世界杯举办期间，共32支球队参加比赛，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛1场，各组第一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛，每组有C 24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强中每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，根据赛制规则，4强每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，总共将进行48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．。
高中数学选修2-3优质三段式学案2：1.2.1 排列(2)
1.2.1排列（2）[学习目标]熟练掌握排列数公式；熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法； 能运用已学的排列知识，正确地解决简单的实际问题 [复习回顾]1.排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．. 2.排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示.3.排列数公式：(1)(2)(()=!)!1mnA n n n n m n n m =--+--（,,m n N m n *∈≤）4.阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．[例题选讲] 基本题型：例1 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？例 2 将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？例3 从0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法一：对排列方法分步思考.位置分析法解法二：对排列方法分类思考。
符合条件的三位数可以分成三类：元素分析法解法三：间接法.逆向思维法提高题型：（有约束条件的排列问题）一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的计算方法：（l）直接计算法排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素，因此进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求．便有了：先处理特殊元素或先处理特殊位置的方法．这些统称为“特殊元素（位置）优先考虑法”．（2）间接计算法先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数. 这种方法也称为“去杂法”．在去杂时，特别注意要不重复，不遗漏.例4.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）解法二：（从特殊元素考虑）解法三：（间接法）例5．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？例6．7位同学站成一排；（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起.例7．7位同学站成一排；（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？[巩固提高]1.分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．2.某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？——★参考答案★——例1.解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有13A 种； 第二类用2面旗表示的信号有23A 种； 第三类用3面旗表示的信号有33A 种，由分类计数原理，所求的信号种数是：12333333232115A A A ++=+⨯+⨯⨯=，答：一共可以表示15种不同的信号.例2.解：由分步计数原理，分配方案共有4444576N A A =⋅=（种）答：共有576种不同的分配方案例3.解法一：对排列方法分步思考.位置分析法用分步计数原理：所求的三位数的个数是：1299998648A A ⋅=⨯⨯=.解法二：对排列方法分类思考.符合条件的三位数可以分成三类：元素分析法每一位数字都不是0的三位数有39A 个，个位数字是0的三位数有29A 个，十位数字是0的三位数有29A 个，由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：322999648A A A ++=．解法3：间接法.逆向思维法从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为310A ，其中以0为排头的排列数为29A ，因此符合条件的三位数的个数是32109648A A -=-29A ．例4.解法一：（从特殊位置考虑）1360805919=A A ；解法二：（从特殊元素考虑）若选：595A ⋅；若不选：69A ，则共有56995136080A A ⋅+=种；解法三：（间接法）65109136080A A -=.例5.（1）解：问题可以看作：7个元素的全排列77A ＝5040． （2）解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040． （3）解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——66A =720． （4）解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有22A 种；第二步余下的5名同学进行全排列有55A 种，所以，共有22A 55A ⋅=240种排列方法.（5）解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法，所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法.解法2：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －662A ＋55A =2400种．例6. 7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有62621440A A ⋅=种.（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法.解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法.解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14A 55A 22A＝960种方法．（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起.解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：342342288A A A =（种）例7. 7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）3600226677=⋅-A A A ；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002655=A A 种方法．（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种．巩固提高1.[[解析]](1)分排与直排一一对应，故排法种数为66A ＝720(种)．(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有14A 种选法，然后其他5人排，有55A 种排法，故排法种数为14A 55A ＝480(种)． (3)甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有4245A A ＝480(种)排法． 2.[[解析]]不考虑任何条件限制共有66A 种排法，其中包括不符合条件的有： (1)数学排在最后一节，有55A 种； (2)体育排在第一节，有55A 种；但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第一节的情况有44A 种(即重复)，故共有66A －255A ＋44A ＝504种。
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1.2.1排列（导学案）
编写人： 校对：高二数学组 班级 姓名
【学习目标】
1. 通过实例，理解排列的概念，能利用计数原理推导排列数公式
2. 解决简单的排列应用问题。
【知识清单】
1.排列的定义：
从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
注意：（1）相同排列
两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 ，且元素的 也相同。
（2）如何判断一个具体问题是否为排列问题
① 首先保证元素的无重复性，既是从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个不同的元素，否则不是排列问题；
② 其次保证元素的有序性，即安排这m 个元素是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列。
而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化则有序，否则无序。
2.排列数定义：
从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m
n A 表示。
3. 排列数公式：m n A = = （,,n m N m n *
∈≤）
4. 全排列：n 个不同元素全部取出的 ，叫做n 个不同元素的一个全排列，即 (1)(2)321n
n A n n n =--g g g L g g g = 。
规定0!= 。
5．解决排列问题常见的方法： 。
（1）直接法：以 为考察对象，先满足 的要求，再考虑 （又称元素分析法）；或以 为考察对象，先满足 的要求，再考虑 （又称位置分析法）。
（2）间接法：先不考虑附加条件，计算出 ，再减去附加条件所包含的情况。
【典例精析】（品出知识，品出题型，品出方法）
题型一：排列的概念
例1：判断下列问题是否是排列问题：
（1）从1、2、3、4、5中任取两个不同的数相减，可得多少不同结果？
（2）从学号为1到10的十名学生中任取两名去学校开座谈会，有多少种选法？
（3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？多少条线段？多少条射线？
（4）由数字1、2、3、4、5可组成多少个不同4位数字密码？
（5）某班有50名同学，现要投票选出正、副班长各一人，共有多少不同的选举结果？
题型二：排列数公式的应用 例2：解方程：（1）3221226x x x A A A +=+ （2）4321140x x A A += 例3：求证：11m m m n n n A A mA -+-= 题型三：无限制条件的排列问题 例4：某年全国足球中超联赛共有12个队参加，每对都要与其它各队在主客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？ 题型四：（排数问题）元素“在”与“不在”型排列问题 例5：用0、1、2、3、4、5这六个数 ①能组成多少个无重复数字的四位偶数？ ②能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ ③能组成多少个个位数字不是5的六位数？ ④能组成多少个比1325大的四位数？ 方法总结： 题型五：（排队问题）元素“邻”与“不邻”型排列问题 例6：有5名男生，4名女生排成一排 ①从中选出3人排成一排，有多少种排法？ ②若甲男生不在在排头，乙女生不站排尾，则有多少种不同的排法？ ③要求女生必须站在一起，有多少不同的排法？ ④若4名女生不相邻，有多少种不同的排法？
方法总结： 【知能达标】（一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看，等啥？快练！）
1.2
132n A =，则n= ( )
A ．11 B.12 C.13 D.以上都不对
2. A 、B 、C 、D 四名同学站成一排照相，A 必站在两端的站法共有 种
A ．44A
B ．34A
C ．342A
D ．3
32A
3. 5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）
A ．33A
B ．334A
C ．523533A A A -
D ．23113
23233A A A A A +
4. 6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的所有排列种数为 ( )
A ．66A
B ．333A
C ．33
33A A g D ．4!3!g
5.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A. 234
B. 346
C. 350
D. 363
6.计算：54
99
651010
A A A A +-= ； 31
24n n n A A +++=
7.在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四数，这样的四位数有________个
8.将红、黄、蓝、黑、白5种颜色的小球，放入红、黄、蓝、黑、白5种颜色的口袋中，若不允许有空口袋且红口袋中不能装入红球，则有 种不同的放法。
9. 要排一个5个独唱节目和三个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目部排在一起，则不同的排法有 种。
10.同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每个人从中拿一张别人送的卡片，则四张贺卡不同的分配方式有 种。
11. 用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，比3410大的四位数有多少个？
12. 从0、1、3、5、7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=？其中有实根的方程有多少个？ 13..5名男生与2名女生排成一排，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，共有多少种不同的排法？ 14. 3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种？ （1）甲不站中间，也不站两端 （2）甲、乙两人必须站两端 （3）甲不站左端，乙不站右端 （4）甲、乙两人必须相邻 （5）甲、乙两人不得相邻 （6）任何两个女生不相邻。