2013级硕士研究生数值分析期末考试试卷及答案
数值分析期末考试和答案
数值分析期末考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案：C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与下列哪个因素无关？A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的？A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案：A5. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案：B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案：C7. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程组？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案：B8. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解偏微分方程？A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案：A9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解优化问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案：D10. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解插值问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。
答案：高斯；LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。
答案：二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。
答案：一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。
《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
2013年元月数值分析(题解)
工科硕士研究生课程考试试题及参考解答(2013年1月)一 填空（共30分）（1）设多项式1964)(34+++=x x x x f ，则求)(0x f 仅含有四次乘法运算的算法为____________ __．（2）设)ln(),(y x y x f +=，35.1*=x 、650.0*=y 是x 、y 的近似值，若*x 、*y 均为有效数，则),(**y x f 的相对误差限为210-⨯（小数点后保留三位）．（3） 设13)(3+-=x x x f ，则)(x f 以0、1、2为插值节点的二次插值多项式=)(2x P _______． （4）设)5,4,3,2,1,0(=i x i 为互异节点，)(x l i 为对应的五次Lagrange 插值基函数，则∑=++535)()12(i i i i x l x x=_____________．（5）取初始向量T )111()0(=V，用乘幂法迭代两步求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=103025034A 按模最大的特征值1λ时，其近似值)1(1)2(1)2(1V V =λ=_____________（)(1k V 为第k 次迭代向量的第一个分量）． （6） 给定三点 A(0,1)、B(1,3)、C(2,2)，按最小二乘法拟合这三点的直线为_____________． （7） 设61)(22++=ax x x g ，对于任意常数0C 、1C 均满足条件0))((10102=+⎰dx x C C x g则a = ． （8）迭代格式 ,1,0),2(3121=+=+k x cx x kk k 局部收敛到3c （c ≠0），其收敛阶为____阶． （9） 常数a=_____________，⎰-1023)(dx a x 取最小值．（10） 对于n 个求积节点的插值型求积公式，其代数精确度至少为_____．二（10分）（1）建立计算52008近似值的迭代格式，并给出能保证迭代格式收敛的初始0x ； （2）计算52008的近似值，要求结果具有五位有效数字．三.（12分）用平方根法(Cholesky 分解法)求解方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛17121077521x x ．四.（12分）对于求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--262410121014321x x x 的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代，迭代格式是否收敛？哪一个迭代格式收敛快？Gauss-Seidel 迭代与Jacobi 迭代的收敛速度之比等于多少？五.（12分）确定参数α，使得求解初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 的如下格式,2,1)],,(),()1(),([)(21111111=+-+++=--++-+n y x f y x f y x f h y y y n n n n n n n n n αα 其阶数达到最高；并要求给出局部截断误差的表达式，且指明方法的阶．六.（12分）运用反射（Householder ）矩阵将⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=124213431A 正交相似化为对称三对角矩阵． 七.（12分）设],[)(3b a C x f ∈，⎰=badx x f f I )()(，给定求积分)(f I 的求积公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)32(3)(4)(b a f a f a b f Q （A ） （1）求上述求积公式（A ）的代数精度； （2）求截断误差表达式),(),()()()()3(4b a f a b k f Q f I ∈-=-ηη中的常数k ；（3）取正整数n ，记nab h -=，),,1,0(n i ih a x i =+=． 试构造求积公式（A ）对应的复化求积公式)(f Q n ，并求极限30)()(lim h f Q f I n h -→．一.答案 （1）1]9)64[()(02000+++=x x x x f ；（2） 210397.0-⨯；（3）153)(22+-=x x x P ；（4）∑=++535)()12(i i ii x l x x1235++=x x ；（5）7)1(1)2(1)2(1==V V λ；（6）x y 2123+=； （7）1-=a ；（8）二阶收敛；（9）41=a ；（10）至少为n -1．二. 解（1）设52008=α，2008)(5-=x x f ，则α为方程0)(=x f 的根．由于0)5(,0)4(><f f ，且在[4,5]上0)(>'x f ，故α为方程0)(=x f 在]5,4[内的唯一实根． 根 （a ）0)5()4(<f f ；（b ）当]5,4[∈x 时，0)(>'x f ，0)(>''x f ；（c ）0)5()5(>''f f （则取50=x （或]5,4[0∈x ）时，Newton 迭代格式 ,1,0,52008451=--=+k x x x x kk k k 收敛． （2）用牛顿迭代格式计算：取50=x ，有64256.41=x ，578545224.42=x ，576704602.43=x ，57670312.44=x ． 因4341021-⨯<-x x ，故5767.420085≈． 三. 解 设T LL A =，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛22121122121110775l l l l l l ，比较等式两边矩阵的对应元素，得 5211=l ，71121=l l ，10222221=+l l ．当限定矩阵L 的对角元全为正时，得 511=l ，5721=l ，5122=l ．故 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛515755157510775． 根据 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛17125157521y y ，解得T)51,512(=y ． 根据 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛515125157521x x ，解得T )1,1(=x ．四. 解 （1）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为)(1U L D B +-=-J ，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-04102102104100101010104241J B 由 0)41(4102121412＝-=--=-λλλλλλJ B I ，解得21,21,0321-===λλλ，故迭代矩阵谱半径21)(=J B ρ，Jacobi 迭代收敛． （2）Gauss-seidel 迭代格式的迭代矩阵为U L D B 1)(-+-=S ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-0001000104100210041s B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=813210218100410 由0)41(813210218100412=-=---=-λλλλλλS B I ，解得41,0,0321===λλλ，故迭代矩阵谱半径41)(=S B ρ，Gauss-Seidel 迭代收敛．（3）对于Jacobi 迭代：21)(=J B ρ，其收敛速度2ln 21ln )(ln =-=-=J J B ρη；对于Gauss-Seidel ：由41)(=S B ρ，其收敛速度2ln 241ln )(ln =-=-=S S B ρη．因为J S ηη> (或)()(J S B B ρρ<)，所以Gauss-seidel 迭代比Jacobi 迭代收敛快．且2=JSηη．五. 解 所给格式的局部截断误差为)()()1()()(21)(21)(11111-+-++'-'--'---=n n n n n n n x y h x y h x y h x y x y x y R αα )()(6)(2)()(432h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''+''+'+=)(21n x y -)]()(6)(2)()([21432h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''-''+'-- )]()(2)()([32h O x y h x y h x y h n n n +'''+''+'-)()1(n x y h '--α)]()(2)()([32h O x y h x y h x y h n n n +'''+''-'-α)(]14121[)(])1(1211[2n n x y h x y h ''+--+'----+=ααα )()(]22112161[43h O x y h n +'''--++α要使公式的局部截断误差阶数最高，则令0)1(1211=----+αα，即43=α．当43=α时，1+n R )(]14121[2n x y h ''+--=α)()(]22112161[43h O x y h n +'''--++α．)()(8543h O x y h n +'''-=且该方法是二阶方法．六. 解 对向量T)4,3(作反射变换，使其与T)0,1(平行，此时40 ,)4,8(,54322===+=βσT u ．Tuu I H β-=22~[]48484011001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53545453 所求反射阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=5354054530001H ，THAH ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=252325140251425735051七. 解 （1）当1)(=x f ，a b f I -=)(，a b f Q -=)(； 当x x f =)(，)(21)(22a b f I -=，)(21)(22a b f Q -=；当2)(x x f =，)(31)(33a b f I -=，})32(3{4)(22b a a a b f Q ++-=333a b -=； 当3)(x x f =，)(41)(44a b f I -=，)(}9)2({4)(33f I b a a a b f Q ≠++-=．所以，求积公式为二次代数精度．（2）做)(x f 的二次Hermite 插值多项式)(2x H ，要求其满足)32()32(),32()32(),()(ba fb a H b a f b a H a f a H +'=+'+=+=． 则 ),()(,)32)((!3)()()(2)3(b a x b a x a x f x H x f ∈+--=-ξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=-⎰)32(3)(4)()()(b a f a f a b dx x f f Q f I ba ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎰)32(3)(4)(b a H a H a b dx x f badx x H dx x f b a b a ⎰⎰-=)()(（根据求积公式为二次代数 ),()(,)32)((!3)(2)3(b a x dx b a x a x f ba∈+--=⎰ξξ ),(,)32)((!3)(2)3(b a dx b a x a x f b a ∈+--=⎰ηη),(),()(2161)3(4b a f a b ∈-⋅=ηη 所以，表达式),(),()()()()3(4b a f a b k f Q fI ∈-=-ηη中的常数2161=k ．（3）求积公式（A ）对应的复化求积公式∑-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=11)3(3)(4)(n i i i i n x x f x f h fQ ，根据)(f Q 的截断误差，得),(,)(2161)()(110)3(4+-=∈=-∑i i i n i i n x x f h f Q f I ηη．因此，30)()(lim h f Q f I n h -→⎰∑'''==-=→b a n i i h dx x f hf )(2161)(lim 21611)3(0η)]()([2161a f b f ''-''=。
武汉大学研究生数值分析考试试题
武 汉 大 学2013~2014学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：1、（10分）已知方程 32cos 120x x --=.（1）估计出含根的区间；（2）讨论迭代格式 12cos 43n n x x +=+ 的收敛性； （3）写出求解此方程的牛顿迭代格式，并讨论初值0x 取何值时迭代收敛。
2、（10分）用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，其中1514227135A 轾犏犏=犏犏臌 146116b 轾犏犏=犏犏臌3、（14分）设线性方程组Ax b =的系数矩阵()ij n n A a ´=，0,1,,ii a i n ?L .()12,,,Tn b b b b =L （1）分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss-Seidel 迭代格式；（2）证明：Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件是方程1112121222120nnn n nn a a a a a a a a a l l l l l l =L L M M ML 的根的模1l <.4、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下：求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。
5、（10 求形如 2y a bx cx =++ 的拟合曲线。
6、（10分）确定常数 a ，b 的值，使积分[]220(,)sin I a b a bx x dx p =+-ò 取得最小值。
7、（10分）已知三次Legendre(勒让德)多项式331()(53)2L x x x =-，[1,1]x ? 试确定常数,(1,2,3)i i A x i =,使求积公式 31122333()()()()f x dx A f x A f x A f x -?+ò有尽可能高的代数精度，并判断它是否为高斯型求积公式。
8、（12分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的单步法：112121(3)4(,)22(,)33n n n n n n h y y k k k f x y k f x h y hk +ìïï=++ïïïï=íïïïï=++ïïïî（1）验证它与微分方程相容；（2）确定此单步法的绝对稳定域9、（12分）设初值0x充分接近*x =0a >为常数），证明：迭代格式212(3),0,1,3n n n n x x a x n x a++==+L 三阶收敛于*x，并求lim n x -参考答案（2014-1-10）1、 含根区间：[π，4]；因为2()sin 13g x x ¢=<，所以迭代收敛； 在含根区间[π，4]，f 的一阶导数恒正，二阶导数恒负，所以取初值为π时牛顿必收敛。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
2013研究生数值分析试题参考答案
太原科技大学硕士研究生2013/2014学年第1学期《数值分析》课程试卷公式提示：1、Legendre 多项式)(x p n 的递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++===-+,2,1)(1)(112)()(,1)(1110n x p n n x xp n n x p x x p x p n n n2、Chebyshev 多项式)(x T n 的递推关系式：⎪⎩⎪⎨⎧=-===-+ ,2,1)()(2)()(,1)(1110n x T x xT x T x x T x T n n n一、填空题（每小题5分，共35分）1、为提高数值计算精度，当x 充分小时，应将x cos 1-改写为___22sin2x___ 2、已知x=0.03056是经过四舍五入得到的近似值，则x 有____5__位有效数字.3、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则=∞)(A Cond ___21___.4、已知()sin 1f x x x =--，则牛顿法的迭代公式是_____1sin 1,0,1,2,...1cos k k k k kx x x x k x +--=-=-__________5、求解非线性方程310x x --=的一个收敛的简单迭代公式为_______10,1,2,...k x k +==________。
6、设,,2,1,0,,53)( ==+=k kh x x x f k 则=++],,[21n n n x x x f _______3h________。
7、若用Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+=+3242121x ax ax x ，其中a 为实数，则Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件是应使a 满足______a <<_________。
二、（本题满分15分）（1）用列主元Gauss 消去法求解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+3221522321321321x x x x x x x x x （2）写出用Jacobi 迭代求解上述方程组的迭代公式的分量形式。
大连理工大学数值分析历年真题与答案(研究生期末卷)
位
. ,
A 2＝
4 2 （3）设 A 2 4 , 则 A 1＝ 谱半径 ( A) ＝
,
A ＝
,
A F＝
, .
, 2-条件数 cond 2 ( A) ＝
, 奇异值为
线
（4）设 A C 44 ,特征值 1 2 2, 3 4 3 ,特征值 2 是半单的，而特征值 3 是 亏损的，则 A 的 Jordan 标准型 J
x 3 ( x [1,1]) 的二次最佳平方逼近多项式, 构造 Gauss 型求积公式 f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) , 并验证
1
1
其代数精度.
A－3
大
连
理 工
计算方法 数学系
大
学 2006 年试题
试卷： A 考试形式： 闭卷 试卷共 8 页
A－5
1 3 四、 （4 分）求 Householder 变换矩阵将向量 x 2 化为向量 y 0 . 2 0
五、 （12 分）写出解线性方程组的 Jacobi 法，G-S 法和超松弛（SOR）法的矩阵表示形式， 并根据迭代法 x ( k 1) Bx ( k ) f 对任意 x ( 0) 和 f 均收敛的充要条件为 ( B) 1 , 证明若线性方 程组 Ax b 中的 A 为严格对角占优矩阵, 则超松弛（SOR）法当松弛因子 (0,1] 时收敛.
师：张宏伟
一、填空（每一空 2 分，共 42 分） 1．为了减少运算次数，应将表达式.
装
16 x 5 17 x 4 18 x 3 14 x 2 13 x 1 x 4 16 x 2 8 x 1
2013数值分析研究生试题
xk 1 xk
3 2 xk xk 1 2 3x k 2 x k
（5）
a 10 1 ，要使 lim A k 0 ，a 应满足___________； A 0 k 2
解
a 1
已知方程组
（6）
5 x 2 y 8 ，其雅可比法的迭代矩阵是______________， 3x 20 y 26
1 2 。 3 4
（1）求 A p , p 1,2, （2）求 A 的谱半径 ( A) 。 解 （1） A 1 max(4,6) 6, A max(3,7) 7 ，
10 14 AT A 。 14 20
2 T 由 | A A I | 0 ，得 30 4 0 。解得 15
证明 lim f [ x 0 , x1 , , x n ]
2
证明：查 p( x ) (f(x)-p(x), j ) =(f, j )- (p(x), j )
a
k 0 k
nk(ຫໍສະໝຸດ x)--------5 分
注意到 ak 是法方程组的解。而法方程组
0 , 0 0 , 1 0 , n a 0 ( f , 0 ) 1 , 0 1 , 1 1 , n a1 ( f , 1 ) 两边的 j-th 分量为 , , , a ( f , ) n 1 n n n n n 0
3
f ( n) ( x 0 ) h 0 n! ( n) f ( ) 证明：因 f [ x 0 , x1 , , x n ] --------7 分 n! (x0 ,x0 +nh) 注意到 n 阶导数连续性，--------12 分 两边取极限 ok! --------15 分 5. （10 分）设 f(x)在有限维内积空间＝span{0 , …, n }上的最佳平方逼近为 p(x), 试证明， f(x)-p(x)与中所有函数正交。
《数值分析》总复习题-2013年-附部分答案
工程硕士《数值分析》总复习题（2013年用）[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]课上的笔记整理，如有错漏，欢迎指出;碍于本人水平有限，部分题目未有解答。
祝各位考试顺利！ 一。
解答下列问题:1)下列所取近似值有多少位有效数字（ 注意根据什么？ )：a ） 对 e = 2.718281828459045…，取*x = 2.71828（ 答: 6 位 （因为它是按四舍五入来的） )b) 数学家祖冲之取 113355作为π的近似值.（ 答： 7 位 （ 按定义式621113355101415929.31415926.3-⨯≤-=- π 推得 ） ) c ） 经过四舍五入得出的近似值12345,-0。
001， 90。
55000, 它们的有效 数字位数分别为 5 位, 1 位， 7 位。
2) 简述下名词：a ） 截断误差 （不超过60字) （见书P 。
5)答：它是指在构造数值计算方法时，用有限过程代替无限过程或用容易计算的方法代替不容易计算的方法，其计算结果所存在的误差b ） 舍入误差 (不超过60字） （见书P.6）答：对原始数据、中间计算结果和最后计算结果，都只能取有限位数表示，这就要求进行“舍入"，这时所产生的误差就是舍入误差.c) 算法数值稳定性 (不超过60字） （见书P.9)答：是指算法在执行过程中,某阶段所产生的小误差在随后的阶段中不会被积累或放大，从而不会严重降低全部计算的精确度。
3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3x 时的相对误差约等于x 的相对误差的3倍。
（参考书P 。
7例1.2.3)4) 计算球体积334rVπ= 时,为使其相对误差不超过 0。
3% ,求半径r 的相对 误差的允许范围。
（见书P 。
7例1。
2.3) 注意，有两种解法，任选其一。
5) 计算下式3418)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P）（ 时，为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?( 参考书P.43习题1.9（1)及其答案 ）6） 递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==- ,2,1,110210n y y y n n如果取*041.12y y =≈= （ 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到10y 时误差为初始误差的多少倍? 这个计算过程数值稳定吗 ?（ 本题略 ） 二。
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2013级硕士研究生试卷（数值分析，参考答案）
（A 卷）
一、 填空题（每空2分，共40分）
1．要使17的相对误差不超过%1.0，应取 4 位有效数字。
2．设
3()f x x =在[]1,1-上的最佳二次逼近多项式为
34x ，最佳平方逼近二次多项式为 3
5
x 。
3．求积公式
)3
1(
)3
1()(1
1
⎰
-+-
≈f f dx x f 至少具有_ 3 次代数精度。
4．解线性方程组Ax b =的SOR 迭代法收敛，则松弛因子ω有 20<<ω，设
,U L D A --=建立迭代公式f x L x k k +=+)()1(ω，写出逐次超松弛迭代法
))1(()(1U D L D L ωωωω+--=-。
5．100999998A ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
，其条件数2()Cond A = 39205 ，()Cond A ∞= 39601 。
6．设)2,3,1(-=X ，计算向量X 的范数，1||||
X = 6，2||||X =
∞||||X = 3。
7．求方程cos x x =根的牛顿迭代格式是
1cos 1sin k k
k k k
x x x x x +-=-
+ ，其收敛阶= 2。
弦截法
迭代格式是
1111
cos ()cos cos k k
k k k k k k k k x x x x x x x x x x +----=-
---+，其收敛阶= 1.618。
8．3232
,01
()21,12a x x x S x x bx cx x ⎧++≤≤=⎨++-≤≤⎩
是以0，1，2为节点的三次样条函数， 则a= 0 ，b= -2 ，c= 3 。
9．对矩阵⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=214511242A 作LU 分解，其⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
=13720121
001L ，⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛---=1200630242U 。
二、计算题（每题10分，共50分）
1．求出一个次数不高于4次的插值多项式)(x P ，使它满足,0)0()0(==f P
,0)0(')0('==f P 0)0()0(=''=''P f ，1)1(')1(,1)1(')1(=='==P f P f ，并写出余项表
达式（要有推导过程）。
解：由题意0)0()0(')0(=''==P P P 知，)(x P 以0=x 为三次重根，所以可设
)()(3b ax x x P +=，由插值1)1(')1(==P P 条件得
⎩⎨
⎧=+=+1
34,
1b a b a 所以得3,2=-=b a ，故)32()(3+-=x x x P ，
设32332()()()()(1)()(23)()(1)t f t P t K x t t f t t t K x t t φ=---=--+--
由,0)(,0)1(,0)1(,0)0(,0)0(,0)0(=='==''='=x ϕϕϕϕϕϕ反复用罗尔定理得在(0,1)上
存在ξ=x ，使,0)()
5(=ξϕ
即)(!5)()
5(x K f
=ξ，则!
5)
()()5(ξf x K =
，所以 2
3)5(3
)1(!5)()32()(-++-=x x f x x x f ξ，余项为(5)32()(1)5!
f x x ξ-。
2．给定积分⎰=
1
0sin dx x x
I
（1）利用复合梯形公式计算上述积分值，问区间[0,1]应分成多少等分才能使其截断误差不超过
3102
1
-⨯； （2）取同样的求积结点，改用复合Simpson 公式计算时，截断误差是多少？
解：由于⎰==1
)cos(sin )(dt xt x
x
x f ，所以
⎰⎰
+==101
)
()2cos()cos()(dt k xt t dt xt dx
d x f
k
k k k π 故
1
1
|)2
cos(||)(|1
1
)(+=
≤+
≤
⎰
⎰
k dt t dt k xt t x f k k k π
（1）对复合梯形公式，有
3
1
121|)(|12)(|][|223n f n a b f R ≤''-=η
为了使截断误差不超过
3102
1
-⨯，只须18n 2≥1000，解得n ≥7.5。
故用复合梯形公式计算时，取8等分即可。
（2）将区间[0，1]8等分，改用复合Simpson 公式，由于h = 1/4=0.25，由于
4
(4)4111|[]||()|()180218085
b a h R f f η-⎛⎫=≤ ⎪
⎝⎭=1/3686400≈2.7127×10 –7
3. 设1001005a A b b a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，det 0A ≠，用,a b 表示解线性方程组Ax f =的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代收敛的充分必要条件。
解：雅可比迭代法1
0010()0
,10100010
J a
b b B D L U a -⎡
⎤-
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=-
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-
⎢⎥⎣
⎦
23||(),100J ab I B λλλ-=-
()J B ρ=
，则雅可比迭代法的充分必要条件是100
||3ab <。
高斯-塞德尔迭代法1
2
0010()0
,10010050050G a ab b
B D L U a b ab -⎡
⎤
-⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥=+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦
23||(),100G ab I B λλλ-=-
3||()100G ab B ρ=
，则高斯-塞德尔迭代法的充分必要条件是100
||3
ab <。
4. 已知如下实验数据4,,1,0),,( =i y x i i , 用最小二乘法求形如2bx a y +=的经验公式。
解：设
y Y x X ==,2，则数据表变为
则由方程⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑i i i i
i i Y X X b X a Y X b a 25，即⎩⎨⎧=+=+5.369321727769953274.27153275b a b a 解得
05
.0,973.0==b a ，所以
经验公式为 2
05.0973.0x y +=
5. 用梯形公式解初值问题 )
21(0
)0(2≤≤⎩
⎨⎧=-+='x y y
x x y
取步长h = 0.1, 计算到3.0=x 。
解：梯形法公式)),(),((2
111+++++
=n n n n n n y x f y x f h
y y ，计算 1(0.1)0.0052,y y ≈=23(0.2)0.0214,(0.3)0.0494y y y y ≈=≈=。
三、证明题（共10分）
设)(**x x ϕ=, 在*
x 的某个邻域R 内)(x ϕ'连续, 并且R x q x ∈<≤',1|)(|ϕ,则对任何
R x ∈0 ,证明：
（1）由迭代)(1k k x x ϕ=+决定的序列}{k x 收敛于*
x ；（2）误差估计||1||01*
x x q
q x x k
k --≤-.
证明：
))(()()(*1*1*x x x x x x k k k -'=-=---ξϕϕϕ,
所以 ||||||*0*1*x x q x x q x x k k k -≤≤-≤-- , 则
*lim
x x k k =∞
→；
11110|||()()|||||k k k k k k k x x x x q x x q x x φφ+---=-≤-≤≤-
同样
|
|1||)(||||||||01012
1
1211x x q
q x x q q
q
x x x x x x x x k
k
p k p k k k p k p k p k p k k p k --≤-+++≤-++-+-≤--+-++-+-+-+++
当∞→p ，则得
*
lim x x
p
k p =+∞
→，即||1||01*
x x q
q x x k
k --≤
-。