【2013丰台一模】北京市丰台区2013届高三下学期(3月)统一练习(一)理科数学

丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）一、选择题 1.复数z=1i i-在复平面内对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 【答案】A211111i ii i i i-=-=-=+,所以复数对应点的坐标为(1,1)，为第一象限，选A. 2. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 【答案】B在等比数列中，由3420a a +=得432a q a=-=，所以331118311(2)S q a q -+===---，选B. 3. 执行右边的程序框图，输出k 的值是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【答案】A第一次循环，2,03ba a==，不满足条件，循环，此时22,3k b ==。

第二次循环，22832(),394b a a =⨯==，不满足条件，循环，此时83,9k b ==。

第三次循环，3283(),139ba a=⨯==，满足条件，此时输出3k =。

选A.4．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是(A) 3e (B) 2e (C) 1 (D) 4e - 【答案】B作出可行域如下图阴影所示：由11x y x y +=⎧⎨-=⎩得1x y =⎧⎨=⎩，所以B (1,0)，令z=2x+y ，则当直线y=﹣2x+z 经过点B 时该直线在y 轴上的截距z 最大，z max =2×1+0=2，所以2x ye +的最大值是e 2．选B ．5.已知命题p:(0,),32x x x ∀∈+∞>；命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ∧⌝ (C) ()p q ⌝∧ (D) ()()p q ⌝∧⌝ 【答案】B由题意可知命题p ：(0,),32xxx ∀∈+∞>，为真命题；而命题q ：(,0),32x x x ∃∈-∞>为假命题，即q ⌝为真命题，由复合命题的真假可知p ∧（q ⌝）为真命题，选B.6. 已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 26 【答案】C设2()6f x x x a =-+，其图象是开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示．关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即(2)4120(1)160f a f a =-+≤⎧⎨=-+>⎩，解得58a <≤，又a Z ∈，所以6,7,8a =。

则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21．选C ．7. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y ）都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是(A) y=f(x)是区间(0,)+∞上的减函数，且x+y 4≤ (B) y=f(x)是区间(1,)+∞上的增函数，且x+y 4≥ (C) y=f(x)是区间(1,)+∞上的减函数，且x+y 4≥ (D) y=f(x)是区间(1,)+∞上的减函数，且x+y 4≤ 【答案】C由lg()lg lg x y x y +=+，得00x y x y xy >>⎧⎨+=⎩，，因为2()2x y x y xy ++=≤，解得4x y +≥．由：x y xy +=得111()1(1)111x x y f x x x x x -+====+≠---，．则函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以选C.8．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积(A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π【答案】D由题意可得：动圆圆心(,)C a b 的轨迹方程为y 2=4x ．即b 2=4a ，24b a =．因为动圆C与直线1y x =+总有公共点，所以圆心C 到此直线的距离1d r a ≤=+，所以1a ≤+，又24b a =，上式化为22(1)22(1)24bb -+≤+，化为21)41)0b b +-≥。

解得2b ≥或(6b ≤-+。

当2b =时，a 取得最小值1，此时圆C 由最小面积π×（1+1）2=4π．选D ． 二 填空题9.在平面直角坐标系中，已知直线C 1:1x t y t =⎧⎨=-⎩（t 是参数）被圆C 2:cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ是参数）截得的弦长为 ；圆C 的标准方程为221x y +=，圆心为（0，0），半径为1，直线l 的方程为10x y +-=，圆心到直线l的距离d =，直线l 与圆C相交所得的弦长为=．10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。

【答案】30由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人。

F11．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若21PF PD ==，则⊙O 的半径为 ；EFD ∠= .15°因为直线PD 切⊙O 于点D ，PO 交⊙O 于点E ，F ．所以PD 2=PE •PF，可得1(2PE =⋅，所以2PE ==。

由此可得EF PF PE =-=.因为O 是圆心，EF 经过点O ，所以直径EF=2，可得⊙O的半径为r=。

因为∠EDP=∠DFP ，∠P 是公共角，所以△EDP ∽△DFP，可得=2因为EF 是⊙O 直径，所以DE ⊥DF 。

因此，Rt △DEF 中，tan ∠DFP==2结合∠DFP 是锐角，得∠DFP=15°，即∠EFD=15°。

12.在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD 的中点， 则CD BE ⋅= .【答案】-1以B 为原点，以BC 、AB 所在直线为x 、y 轴，建立如图所示直角坐标系，可得A （0，1），B （0，0），C （2，0），D （1，1）。

因为E 是CD 的中点，所以点E 的坐标为31(,22E .所以31(1,1),(,22CD BE =-=,可得3131(1,1)(,)12222CD BE ⋅=-⋅=-+=-.13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.【答案】2+由三视图可得原几何体如图，该几何体的高PO=2，底面ABC 为边长为2的等腰直角三角形，所以，该几何体中，直角三角形是底面ABC 和侧面PBC ．因为PO ⊥底面ABC ，所以平面PAC ⊥底面ABC ，而BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥AC ． PC=．．．所以，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是2+14. 已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。

【答案】3，21k-将1，…2k ﹣1分为k 组，1和2k ﹣1，2和2k ﹣2，…k ﹣1和k+1，k （单独一组）每组中的两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合M 。

每组属于或不属于M ，共两种情况，M 的可能性有2k排除一个空集M 的可能性为21k-。

所以()21kf k =-，2(2)213f =-= 。

三、解答题15. 已知函数22()(sin cos )2cos .f x x x x =+- （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.16．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN; （Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值. 17．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。

抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；（Ⅱ）设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和均值EX 。

18.已知函数1()f x x a=+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值； (Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()()()g x x f x ϕ=的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。

19． 已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过P(2，直线l ：y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A ，B 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3）？若存在求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由。

20． 设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：① 1230n a a a a ++++=；② 1231n a a a a ++++=.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，试证：（1）21≤k S ； （2）111.22n i i a in =≤-∑丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）参考答案一、选择题二填空题10. 30； 11．15° （第一个空2分，第二个空3分）； 12. -1； 13. 2 14. 3，21k-(第一个空2分，第二个空3分)。

三、解答题15. （本题13分）已知函数（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.解：（Ⅰ）2()1sin 22cos )4f x x x x π=+-=-， (3)分∴最小正周期T=π, …………………………………………………………………………………4分 单调增区间3[,]()88k k k Z ππππ-+∈, …………………………………………………………7分（Ⅱ）33,24422x x ππππ≤≤∴≤≤， 52444x πππ∴≤-≤， ………………………………………………………………………………10分∴()f x 在3[,]44ππ上的值域是[1-. ………………………………………………………13分16．（本题14分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且1=NB ，MD=2； （Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值. 解：（Ⅰ）∵ABCD 是正方形, ∴BC ∥AD.∵BC ⊄平面AMD,AD ⊂平面AMD, ∴BC ∥平面AMD. ∵NB ∥MD,∵NB ⊄平面AMD,MD ⊂平面AMD, ∴NB ∥平面AMD. ∵NB BC=B,NB ⊂平面BCN, BC ⊂平面BCN,∴平面AMD ∥平面BCN …………………………………………………………………………………3分 ∵AM ⊂平面AMD, ∴AM ∥平面BCN …………………………………………………………………………………………4分(也可建立直角坐标系，证明AM 垂直平面BCN 的法向量，酌情给分) （Ⅱ）⊥MD 平面ABCD ，ABCD 是正方形，所以，可选点D 为原点，DA,DC,DM 所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）…………………………………………………………………5分 则()0,0,2A ，()2,0,0M ，()0,2,0C ,()1,2,2N .∴)1,2,0(=AN , ………………………………………6分 )1,2,2(-=MN ，)2,2,0(-=MC ,设平面MNC 的法向量()z y x ,,=,则⎩⎨⎧=-=-+022022z y z y x ，令2=z ，则()1,2,2,n =- … 7分设AN 与平面MNC 所成角为θ,∴552352122cos sin =⨯⨯+⨯==θ. ……9分 （Ⅲ）设(,,)E x y z ，MEMNλ=，ME MN λ∴=， 又(,,2),(2,2,1)ME x y z MN =-=-，∴E点的坐标为(2,2,2)λλλ-， …………………………………………………………………11分 AD ⊥面MDC,AD MC ∴⊥，欲使平面ADE ⊥平面MNC ，只要AE MC ⊥，(22,2,2),AE λλλ=--(0,2,2)MC =-，0AE MC ⋅=42(2)0λλ∴--=，23λ∴=∴23ME MN =. ………………………………………………………………………………14分17．（本题13分）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。