实变函数1.3
实变函数知识点总结
实变函数知识点总结
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
以下是实变函数的一些重要知识点总结：
1. 定义域和值域
实变函数的定义域是实数集，即函数可以接受任何实数作为自变量。
而函数的值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
2. 极限
极限是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
当自变量趋近于某一点时，函数的输出值也会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在该点的极限。
3. 连续性
连续性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的连续程度。
如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处是连续的。
4. 导数
导数是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数可以用来求函数的最大值、最小值以及函数的凸凹性等。
5. 积分
积分是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间内的面积或体积。
积分可以用来求函数的平均值、总和以及函数的变化趋势等。
6. 奇偶性
奇偶性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的对称性。
如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。
7. 周期性
周期性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的重复性。
如果函数满足f(x+T)=f(x)，那么该函数是周期函数，其中T 为函数的周期。
以上是实变函数的一些重要知识点总结，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用实变函数。
实变函数
第一章实数集的基数和测度定义：任意集合A和B，若存在双射函数 f: A→B ,则称A和B等势(equipotent)，记A～B , 或称A和B基数相同，记|A|=|B| 。
集合族上的等势关系，是一种等价关系，按等势关系形成等价类。
连续统假设：< |A| < ℵ不存在任何基数 |A|, 使得ℵCantor-Bernstein定理：设A和B为任意集合，若 |A|≤|B| 且 |B|≤|A| ，则|A|=|B| 。
没有最大的基数，没有最大的集合：|A| < |P(A)|定理: 集合(0,1)不可数,进而实数集R是不可数的。
证明：反证：若(0,1)可数，则(0,1)={s,s2,s3, … }1s1 = 0.a11a12a13 …s2 = 0.a21a22a23 …s3 = 0.a31a32a33 ……b2b3 … (b i与a ii不同)又构造一个数 r = 0.b1r∉(0,1) 矛盾∴ (0,1) 不可数，又(0,1)是R的无限子集∴R不可数 (定理4.5.4)例：证明 [0,1] 与 (0,1) 基数相等。
证：(1) 构造一个双射函数 f:[0,1]→(0,1)f(0)=1/2 f(1/n)=1/(n+2) n是正自然数f(x)=x x [0,1]-{0,1,1/2,…,1/n,…}(2) 构造两个单射函数 g : [0,1]→(0,1)，g(x)=x/2+1/4直线上集合的测度•可测集类就是全体Borel集和全体零测度集合的“可加”集合类•的确存在不可测集合，如商集合[0,1]/Q•在二维以上的欧式空间，也可以作类似的推广，其上的Lebesgue测度理论与直线上的情形很相似。
实数集的完备性(连续性)•Cauchy收敛原理：•单调有界原理•闭区间套定理•确界存在定理•Bolzano-Weierstrass定理(聚点定理)•Heine-Borel定理(有限覆盖定理)第二章、L-可测函数和L-微积分理论一、可测函数二、L-积分•可以通过依次引入下列各函数类的L-积分：非负简单函数、非负可测函数、有界可测函数、一般可测函数在有界可测集和一般可测集合上的积分•L-积分与R-积分有着几乎完全一样的性质：单调性、线性、对集合的有限（可数）可加性、积分的绝对连续性等等两者的区别与联系•改变函数f在零测度集上的定义，其L-积分不变。
实变函数的性质及其应用
实变函数的性质及其应用实变函数是数学中常见的一种函数类型，它具有一系列特殊的性质和应用。
在本文中，我们将探讨实变函数的性质及其应用。
首先，让我们来了解实变函数的定义。
在数学中，实变函数是指其定义域和值域都是实数集的函数。
实变函数可以用数学符号表示为 f: R -> R，其中 R 表示实数集。
实变函数的自变量和因变量都是实数。
接下来，让我们来讨论实变函数的性质。
实变函数可以具有不同的性质，下面是一些常见的性质：1. 连续性：实变函数可以是连续的。
如果函数在其定义域内的每一点都满足极限值等于函数值的条件，那么该函数就是连续的。
连续函数在数学分析和实际问题中有重要的应用。
2. 可导性：实变函数可以是可导的。
可导性是指函数在某一点处存在导数。
可导函数在微积分和物理学中有广泛的应用，可以描述物体在空间中的运动和变化。
3. 有界性：实变函数可以是有界的。
如果存在一个实数 M，使得函数在其定义域内的所有值都小于等于 M，那么该函数就是有界的。
有界函数在数学分析和函数分析中具有重要意义。
4. 单调性：实变函数可以是单调的。
如果函数在其定义域内的任意两个点的函数值的大小关系与自变量的大小关系一致，那么该函数就是单调的。
单调函数在优化问题和数学建模中经常使用。
以上只是实变函数的部分性质，实变函数还有许多其他重要性质，如凸性、周期性等。
研究实变函数的性质有助于揭示其内在规律，为解决问题提供有力的数学工具。
实变函数的应用非常广泛，下面是一些常见的应用：1. 物理学：实变函数在物理学中有重要的应用，例如描述物体的运动、变化和力学问题等。
通过建立实变函数的数学模型，可以对复杂的物理过程进行定量分析和预测。
2. 经济学：实变函数在经济学中的应用十分广泛，如描述市场供需关系、成本和收益函数等。
经济学家通过建立实变函数的经济模型，可以研究市场行为和决策规律。
3. 优化问题：实变函数在优化问题中的应用广泛且重要。
通过对实变函数进行求导和极值分析，可以找到函数的最大值和最小值，从而解决各种优化问题，如最优化设计、最优资源配置等。
实变函数
由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但 处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家 考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数 必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函 数不一定可导，那么可导的充分必要条件又是什么样的？……
上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。
论
简介 问题
Байду номын сангаас
内容 介绍
实变函数论是以实变函数作为研究对象的数学分支，是数学分析的深入与推广，研究函数的表示与逼近问题 以及它们的局部与整体性质。在经典分析中主要研究具有一定阶光滑性的函数。但在 19世纪下半叶，一些问题 被明确提出，期望能解答并涉及更宽泛的函数类。
在这些问题中必须提到的有集合的测度，曲线长度与曲面面积，原函数与积分，积分与微分的关系，级数的 逐项积分与微分，由极限过程得到的函数的性质等。这些问题的解决对数学发展至关重要，但又非经典分析所能。 直至 19世纪末 20世纪初，在集合论的基础上，这些问题才得以解决，同时也完成了现代实变函数论基础的建立。
实变函数
数学学科术语
01 定义
03 论
目录
02 产生
以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积 分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变 函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续 性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的 连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。
实变函数论泛函分析课件
02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集，可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集，可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系， 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在 一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉，如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列， 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。
实变函数与测度论
实变函数与测度论实变函数和测度论是数学分析领域中的重要概念和理论。
实变函数研究实数集上的函数性质，而测度论则研究度量空间中集合的度量性质。
本文将介绍实变函数和测度论的基本概念和相关理论，并探讨它们的应用。
一、实变函数实变函数是指定义在实数集上的函数。
它是数学分析领域的基础概念，对实数集进行函数的运算和性质分析具有重要意义。
实变函数的定义包括定义域、值域、连续性、可导性等。
1.1 定义域和值域对于实变函数f(x)，其定义域是实数集上的一个子集，而值域是函数f(x)在定义域上取到的所有可能值的集合。
通过研究定义域和值域，可以更好地理解实变函数的性质和特点。
1.2 连续性和可导性实变函数的连续性是指函数在某一点上的极限和函数在该点上的函数值相等。
连续性是实变函数的一个重要性质，对于连续函数，我们可以推导出其它许多重要的结论和性质。
可导性是实变函数的另一个重要性质，指函数在某一点处存在导数。
可导函数具有平滑的变化特性，可以用导数来描述函数的变化率和曲线的切线。
二、测度论测度论是研究度量空间中集合的度量性质的理论体系，包括测度的定义、测度空间的性质、测度的可加性等。
2.1 测度的定义测度是用来度量集合大小的函数，它满足非负性、有限可加性和空集为零等基本性质。
常用的测度包括长度测度、面积测度、体积测度等。
2.2 测度空间的性质在测度空间中，集合的大小和性质可以通过测度的定义进行刻画。
测度空间具有可数可加性、有限可加性和有限可列可加性等性质，这些性质为后续的理论推导和应用奠定了基础。
2.3 测度的可加性测度的可加性是指在一定条件下，对于一系列不相交的集合，它们的并集的测度等于它们各自测度的和。
可加性是测度论中一个重要的性质，有助于我们计算复杂集合的测度。
三、实变函数与测度论的应用在实际应用中，实变函数和测度论有着广泛的应用领域。
它们可以用于概率论、数理统计、信号处理等领域，例如用于描述随机变量、概率分布、信号处理的频谱分析等。
实变函数
则 µ 为 2Ω 上的测度.
思考题 让 S = 2R, 则 S 是 R 上的环. 构造环 S 测度 µ, 使得对每个开区间 (a, b), 都有 0 < µ((a, b)) < +∞.
定理 12 设 R 为集合 Ω 上的环, µ 为环 R 上的测度, 则 µ 具有如下性质: • 单调性: 对 A, B ∈ R, 如果 A ⊂ B, 则 µ(A) ≤ µ(B). • 可减性: 对 A, B ∈ R, 如果 A ⊂ B 并且 µ(A) < +∞, 则有
{
}
∑ ∞
∪∞
µ∗(A) = inf
µ(An) : {An} ⊂ R, A ⊂ An ,
n=1
n=1
称 µ∗(A) 为 A 的外测度.
定理 16 设 (Ω, R, µ) 为 σ 有限的测度空间, Ω 上的外测度 µ∗ 有如下性
质:
(1) 单调性: 当 A ⊂ B ⊂ Ω 时, 有 µ∗(A) ≤ µ∗(B).
µ(B) − µ(A) = µ(B \ A).
5
∪∞ • 设 Ak ∈ R, Ak ⊂ Ak+1, k = 1, 2, · · · , 并且 Ak ∈ R, 则有
k=1
(
)
∪∞
µ
Ak = lim µ(Ak).
k→∞
k=1
∩∞ • 设 Ak ∈ R, Ak ⊃ Ak+1, k = 1, 2, · · · , 如果 µ(A1) < +∞ 并且 Ak ∈ R,
(
)
∪∞
∑ ∞ ∑ ∞
µ∗
An ≤
µ(Bn,k )
n=1
n=1 k=1
实变函数引论参考答案_曹怀信_陕师大版第一到第四章
习题1.11．证明下列集合等式． (1) ；(2) ()()()C B C A C B A \\\ =；(3) ()()()C A B A C B A \\\=．证明 (1) )()C \B (c C B A A =)()( c c C B A A B A =c C A B A )()( =)(\)(C A B A = .(2) c C B A A )(C \B)(=)()(c c C B C A ==)\()\(C A C A .(3) )(\C)\(B \c C B A A =c c C B A )( =)(C B A c =)()(C A B A c =)()\(C A B A =.2．证明下列命题．(1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ⊂；(2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A Ø；(3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B Ø．证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要[条 是：.A B ⊂(2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)(必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ⊂, 可得.∅=B A 反之若,∅≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ∉∈且与c B A ⊂矛盾.充分性. 假设∅=B A 成立, 则c B A ⊂, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A =(3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,∅≠B 取,B x ∈ 则,c B x ∉ 于是,c B A x ∉ 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾.充分性. 假设∅=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =.3．证明定理1.1.6．定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥∀⊂+n A A n n 则{}n A 收敛且∞=∞→=1;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥∀⊃+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞=∞→=1.lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥∀⊂+n A A n n 则对任意∞=∈1,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而),(N n A x N ≥∀∈ 所以,lim n n A x ∞→∈ 则.lim 1n n n n A A ∞→∞=⊂ 又因为∞=∞→∞→⊂⊂1,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞=∞→=1;lim n n n n A A(2) 当)1(1≥∀⊃+n A A n n 时, 对于,lim n n A x ∞→∈存在)1(1≥∀<+k n n k k 使得),1(≥∀∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0n n A A x k ⊂∈ 可见.lim 1 ∞=∞→⊂n n n nA A 又因为,lim lim 1n n n n n n A A A ∞→∞→∞=⊂⊂ 所以可知{}n A 收敛且 ∞=∞→=1.lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥=>∞=n c f E c f E n 1][1 ； (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→，则对任意实数c 有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥∞→∞=∞=∞=∞=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+∈Z n 使得n c x f 1)(+≥成立. 即,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n c f E x 那么.11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 故[];11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊂>n n c f E c f E 另一方面, 若,11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 则存在+∈Z n 0使得,110 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 于是c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈. 则有[].11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊃>n n c f E c f E (2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+∈Z n , 都有n c x f 1)(+<, 于是 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 故有[];11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊂≤n n c f E c f E 另一方面, 设 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 则对于任意的+∈Z n , 有n c x f 1)(+<,由n 的任意性, 可知c x f ≤)(, 即[]c f E x ≤∈, 故[] ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊃≤11n n c f E c f E . (3) 设[]c f E x ≥∈, 则c x f ≥)(. 由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 可得对于任意的+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥∀<-, 即)1(11)()(≥-≥->k k c k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k k c f E x n n , 所以 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈11lim k n n k c f E x , 故[] ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊂≥11lim k n n k c f E c f E ； 另一方面, 设 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈101lim k n n k c f E x , 则对任意+∈Z k 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k c f E x n n 1lim 0. 由下极限的定义知：存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+∈∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈Z k k c f E x n , 即对任意+∈Z k 有k c x f n 1)(0->; 又由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞→ 即对任意的+∈Z k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有k x f x f n 1|)()(|00<-. 取},m ax {21N N N =, 则有k c x f n 1)(0->与k x f x f n 1|)()(|00<-同时成立, 于是有k c x f k x f n 1)(1)(00->>+, 从而k c x f 2)(0->, 由k 的任意性知：c x f ≥)(0, 即[]c f E x ≥∈0, 故有 [] ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊃≥11lim k n n k c f E c f E ; 综上所述：[].11lim 111 ∞=∞=∞=∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥k N N n n n n n k c f E k c f E c f E 5．证明集列极限的下列性质．(1) c n n cn n A A ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛lim lim _____； (2) c n n c n n A A _____lim lim ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛； (3) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ； (4) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ． 证明 (1) c n n n n m c m n c n m m c n n m m c n n A A A A A ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛lim )()(lim 111_____ . (2) c n n n n n m c m c n m m c n n m m c n n A A A A A _____111lim )()(lim ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛ . (3) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m n n m c m c m n n m m n n A E A E A E A E c n n m m n c n m m n n m c m A E A E A E )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞==== ∞=∞=∞→==1lim \\n n m n n m A E A E . (4) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m cm n n m n n m c m m n n A E A E A E A E c n nm m n c n m m n n m c m A E A E A E )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞==== ∞=∞=∞→==1lim \\n n m n n m A E A E .6．如果}{},{n n B A 都收敛，则}\{},{},{n n n n n n B A B A B A 都收敛且(1) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim ；(2) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim ；(3) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim \lim \lim ． 习题1.21．建立区间)1,0(与]1,0[之间的一一对应．解 令1111{,,,,}2345E =, 111{0,1,,,}234F =,(0,1)\D E =, 则(0,1)E D =,[0,1]F D =. 定义:(0,1)[0,1]φ→为: ;11();(1,2,)210;2x x D x x n n n x φ⎧⎪∈⎪⎪===⎨+⎪⎪=⎪⎩ 则φ为(0,1)[0,1]→之间的一个一一对应. 2．建立区间],[b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解 定义: :[,][,]a b c d φ→为:()().([,])d c d c bc ad x x a c x x a b b a b a b a φ---=-+=+∀∈--- 可以验证: :[,][,]a b c d φ→为一个一一对应.3．建立区间),(b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解 令{,,,}234b a b a b a E a a a ---=+++，{,,,,}23d c d c F c d c c --=++ (,)\D a b E =. 定义:(,)[,]a c d φ→为: ;();(1,2.)d c bc ad x x D b a b a d c b a x c x a n φ--⎧+∈⎪--⎪--⎪=+=+=⎨可以验证: :(,)[,]a b c d φ→为一个一一对应.4．试问：是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为区间)1,0(?是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为]4,3[]2,1[ ?答 不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为(0,1); 因为连续函数在闭区间[0,1]存在最大、最小值.也不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为[1,2][3,4]; 因为连续函数在闭区间[1,2]上存在介值性定理, 而区间[1,2][3,4]不能保证介值性定理永远成立.5．证明：区间2~)1,0()1,0(~)1,0(R ⨯且ℵ=2R ．证明 记(0,1)A =,则(0,1)(0,1)A A ⨯=⨯.任取(,)x y A A ∈⨯, 设1231230.,0.,x a a a y b b b == 为实数,x y 正规无穷十进小数表示, 并令1122(,)0.f x y a b a b =, 则得到单射:f A A A ⨯→. 因此由定理1.2.2知A A A ⨯≤.若令10.5A A =⨯, 则1~A A A A ⊂⨯. 从而由定理1.2.2知: A A A ≤⨯. 最后, 根据Bernstein 定理知: (0,1)~(0,1)(0,1)⨯.对于(,)(0,1)(0,1)x y ∀∈⨯,定义2:(0,1)(0,1)R φ⨯→为:(,)((),())22x y tg x tg y ππφππ=--,则φ为2(0,1)(0,1)R ⨯→的一个一一对应,即2(0,1)(0,1)~R ⨯. 又因为: (0,1)~R , 则由对等的传递性知: 2(0,1)~(0,1)(0,1)~~R R ⨯且2R R ==ℵ. 6．证明：{}1:),(22≤+=y x y x A 与{}1:),(22<+=y x y x B 对等并求它们的基数．证明 令221{(,):(1,2,3,)}E x y x y n n =+==, \D A E =, 221{(,):(1,2,3,)}1F x y x y n n =+==+. 则,A E D B F D ==. 定义: :A B φ→为: 2222(,);(,),(,)11;(1,2,3,),(,).1x y x y D x y x y x y n x y E n n φ∈⎧⎪=⎨+=+==∈⎪+⎩ 可以验证: :A B φ→为一一对应, 即~A B . 又因为2~(0,1)(0,1)~~B R R ⨯, 所以 A B ==ℵ.7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数ℵ．证明 对任意的,I J R ⊆， 取有限区间(,)a b I ⊆，则(,)a b I R ℵ=≤≤=ℵ, 则由Bernstern 定理知I =ℵ, 同理J =ℵ. 故I J ==ℵ.习题1.31．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M 是可数集． 证明 因为有理数集Q 是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以M 中的每个元素由Q 中的六个相互独立的数所确定，即Q},,,,:{621621∈=x x x a M x x x 所以M 为可数集.2．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M 最多是可数集． 证明 对于任意的M O ∈, 使得Q ∈)(O f . 因此可得：Q →M f :. 因为1O 与2O 不相交，所以)()(21O f O f ≠. 故f 为单射，从而a M =≤Q .3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．证明 (2) 当E 可数时，存在双射Q )1,0(:→E f . 因为∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=11,11)1,0(n n n Q Q 所以∞=∞=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+==11111,11))1,0((n n n A n n f f E Q Q . 其中：)(),3,2,1(1,111j i A A n n n f A j i n ≠Φ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=- 且Q . 又因为Q Q ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-n n n n f 1,11~1,111且Q ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+n n 1,11 可数，所以E 可表示成可数个两两不交的无限集之并．当E 不可数时，由于E 无限，所以存在可数集E E ⊂1, 且1\E E 不可数且无限，从而存在可数集12\E E E ⊂，且)(\\)\(2121E E E E E E =无限不可数. 如此下去，可得),3,2,1( =n E n 都可数且不相交，从而1011)()\(E E E E E E i i n i ==∞=∞=. 其中)0(≥i E i 无限且不交. 4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．证明 有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.6．证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集．证明 不妨设函数f 在),(b a 单调递增，则f 在0x 间断当且仅当0)(lim )(lim )0()0(_0000>==--+→→+x f x f x f x f x x x x . 于是，每个间断点0x 对应一个开区间))0(),0((00+-x f x f .下面证明：若x x '''<为()f x 的两个不连续点，则有(0)(0)f x f x '''+≤-. 事实上，任取一点1x ，使1x x x '''<<，于是11(0)lim ()inf{()}()sup {()}lim ()x x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x +-'>'''→→'''<<'+==≤≤=， 从而x '对应的开区间((0),(0))f x f x ''-+与x ''对应的开区间((0),(0))f x f x ''''-+不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.7．证明：若存在某正数d 使得平面点集E 中任意两点之间的距离都大于d ，则E 至多是可数集．证明 定义映射}:)3,{(:E x d x E f ∈→，即))(3,()(E x d x D x f ∈=，其中)3,(d x D 表示以E x ∈为中心，以3d 为半径的圆盘. 显然当y x ≠时，有∅=)3,()3,(d y D d x D ，即)()(y f x f ≠，于是f 为双射，由第2题知：a E x d x ≤∈}:)3,{(，故a E ≤. 习题1.41．直线上一切闭区之集具有什么基数？区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是什么?答 直线上一切闭区间之集的基数是c . 这是因为：2),(],[:R ∈→b a b a f 为单射，而R ∈→a b a f ],[:为满射，所以c M c =≤≤=2R R .区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是c ，这是因为：a b a a =≤≤Q Q ],[.2．用],[b a C 表示],[b a 上的一切连续实值函数之集，证明：(1) 设},,,,{],[21 n r r r b a =Q ，],[,b a C g f ∈，则⇔=g f ),2,1)(()( ==k r g r f k k ；(2) 公式)),(,),(),(()(21 n r f r f r f f =π定义了单射)(],[:R S b a C →π；(3) c b a C =],[．证明 (1) 必要性. 显然.充分性. 假设),2,1)(()( ==k r g r f k k 成立. 因为},,,{\],[321 r r r b a x ∈∀，存在有理数列∞=1}{n n x ，使得x x n n =∞→lim ，由],[,b a c g f ∈，可得 )()lim ()(lim x f x f x f n n n ==∞→∞→及)()lim ()(lim x g x g x g n n n ==∞→∞→. 又因为∞=1}{n n x 为有理点列，所以有)()(n n x g x f =，故],[b a x ∈∀，都有)()(x g x f =.(2) ],[,b a c g f ∈∀，设)()(g f ππ=，即 )),(,),(),(()),(,),(),((2121 n n r g r g r g r f r f r f =.由(1)知：g f =. 故π为单射.(3) 由(2)知：c R S b a c =≤)(],[；又由],[b a c ⊂R ，可得],[b a c c ≤=R . 故c b a C =],[.3．设],[b a F 为闭区间]1,0[上的一切实值函数之集，证明：(1) ]},[:))(,{()(b a x x f x f ∈=π定义了一个单射)(],[:2R P b a F →π；(2) ]1,0[⊂∀E ，E E χα=)(定义了单射],[])1,0([:b a F P →α；(3) ],[b a F 的基数是c 2．证明 (1) ],[,b a F g f ∈∀，设)()(g f ππ=，即]},[:))(,{(]},[:))(,{(b a x x g x b a x x f x ∈=∈.从而]),[)(()(b a x x g x f ∈∀=，故π为单射.(2) ]1,0[,⊂∀F E ，设)()(F E αα=，则F E F E χααχ===)()(，故α为单射. (3) 由(1)知：c P b a F 2)(],[2=≤R ；又由(2)知：],[2])1,0([b a F P c ≤=，故c b a F 2],[=.4．证明：c n =C ．证明 因为R R C ⨯~，而c =⨯R R ，故c =C ；又由定理1..4.5知：c n=C . 5．证明：若E 为任一平面点集且至少有一内点，则c E =．证明 显然c E =⨯≤R R . 设00E x ∈，则0>∃δ使得E x B ⊂),(0δ，可知E x B c ≤=),(0δ，故c E =.第一章总练习题.1 证明下列集合等式．(1) ()()F F E F E E F E \\\ ==；(2) ()()()G F G E G F E \\\ =．证明 (1) 因为\()()()()()\c c c c c E E F EE F E E F E E E F E F ====, ()\()()()\c c c E F F E F F E F F F E F ===.所以\\()()\E F E E F E F F ==.(2) 因为()\()()()(\)(\),c c c c E F G E F G E F G E G F G E G F G ==== 所以()()()G F G E G F E \\\ =..2 证明下列集合等式．(1) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ；(2) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ． 证明 (1)1111\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======. (2) 1111\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======. 3．证明：22[][][]cc E f g c E f E g +≥⊂≥≥，其中g f ,为定义在E 的两个实值函数，c 为任一常数．证明 若()()22c c x E f E g ∉≥≥, 则有()2c f x <且()2c g x <, 于是 ()()()()f x g x f g x c +=+<, 故()x E f g c ∉+≥. 所以()()()22c c E f g c E f E g +≥⊂≥≥. 4．证明：n R 中的一切有理点之集n Q 与全体自然数之集对等． 证明 因为0Q =ℵ,所以0Q Q Q Q n =⨯⨯⨯=ℵ(推论1.3.1). 又因为0N =ℵ, 所以0Q n N ==ℵ, 故Q ~n N .5．有理数的一切可能的序列所成之集)(Q S 具有什么基数？6．证明：一切有理系数的多项式之集][x Q 是可数集．证明 设},Q ,,,,,0,][:][{][Q 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x 于是.][Q ][Q 0 ∞==n n x x 显然,Q~][Q 1n +x n 所以,Q ][Q 1n a x n ==+ 因此由定理1.3.5知：.][Q a x = 7．证明：一切实系数的多项式之集][x R 的基数为c ．证明 记 },R ,,,,,0,][:][{][R 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x 于是.][R ][R 0 ∞==n n x x 显然,R ~][R 1n +x n 所以,R ][R 1n c x n ==+ 因此由定理1.4.3知：.][R c x =8．证明：全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集，并由此说明超越数(即不是代数数的实数)存在，而且全体超越数之集的基数是c ．证明 由于有理系数多项式的全体是可数集，设其元素为,,,,,,210 n P P P P 记多项式)(x P n 的全体实根之集为,n A 由于n 次多项式根的个数为有限个，故n A 为有限集，从而代数数全体 ∞==0n n A A 为可数个有限集的并，故A 为可数集，即.a A =设超越数全体所成之集为,B 即,\R A B = 则R,=B A 从而B 必为无限集，由于A 为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故.R c B A B ===9．证明：A B B A \~\，则B A ~．证明 因为),()\(),()\(B A A B B B A B A A ==又因为,)(\)(\,~,\~\∅==B A A B B A B A B A B A A B B A所以由保并性知),()\(~)()\(B A A B B A B A即.~B A10．证明：若,,D B B A <≤则D A <． 证明 (反证法) 假设,D A = 则由已知可得,B D ≤ 这与D B <矛盾. 故有D A <.11．证明：若c B A = ，则c A =或c B =．证明 假设,a B A == 则有,a B A = 这与c B A = 矛盾，故有c A =或c B =.12．证明：若c A k k =+∈Z ，则存在+∈Z k 使得c A k =． 证明同上.。
浅谈实变函数
浅谈实变函数
实变函数是数学中变量之间的函数关系，它指实数变量与实数变量之间的映射关系，也叫做实值函数。
实变函数的定义域和值域都是实数。
它具有一定的特性和规律，它的特性可以用特征方程来表示和说明。
实变函数主要分为一元函数，二元函数，多元函数等，它们的曲线都是一
条曲线。
它们也可以用方程来描述。
实变函数在数学中应用非常广泛，它们可用来描述物理上的连续变化，计算交点，求极值，常用于有限精度计算中。
有一类特别重要的实变函数叫做导数，它可以表示两个相关变量
之间的变化速度，非常重要。
此外，实变函数也用来描述物理气体的状态变化，复变函数的解的研究和求解，物理随机现象的研究，地理学中的曲率计算等。
它们在自然科学，数学，社会科学，工程技术，经济等领域得到广泛应用，是探究物理规律，研究统计特征，数值科学计算等实验科学研究中不可或缺的重要工具。
实变函数的发展历程比较悠久，但它们的作用不可估量，正是凭借它们，我们才能更好地理解，解释，分析解决自然界的许多科学现象，包括推导理论。
实变函数的性质与应用
实变函数的性质与应用实变函数是数学中常见的一类函数，它们的自变量和值都是实数。
在实际生活和数学领域中，实变函数有着广泛的应用。
本文将介绍实变函数的一些基本性质，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、实变函数的性质1. 定义域和值域: 实变函数的定义域是一段实数集合，而函数的值域则是定义域中所有可能取到的实数值。
不同实变函数的定义域和值域可以是有限的也可以是无限的。
2. 连续性: 实变函数在其定义域中连续。
这意味着函数图像在整个定义域上没有跳跃或断裂。
连续性是实变函数的重要性质，它使得我们能够对函数的变化进行研究和应用。
3. 导数: 实变函数在某一点的导数表示函数在该点的变化率。
它可以通过导数的定义或求导法则来计算。
导数的概念广泛应用于函数的极值、变化趋势的研究等方面。
4. 增减性和凹凸性: 实变函数可以分为增减函数和凹凸函数。
增减函数指的是函数取值的单调性，即函数的值随自变量的增加而增加或减小。
凹凸函数则指的是函数的曲线形状。
它可以是凹函数（函数曲线向上凹陷）或凸函数（函数曲线向下凸起）。
5. 递增性和递减性: 实变函数的递增性和递减性与函数的导数相关。
若函数在整个定义域上的导数大于零，则函数为递增函数；若函数的导数小于零，则函数为递减函数。
6. 求和和积分: 实变函数的求和和积分是对函数整体加以考虑时常用的方法。
通过求和和积分，我们可以得到函数曲线图像下方的面积或函数在某个区间上的总和。
二、实变函数的应用1. 物理学应用: 实变函数在物理学中具有重要作用。
例如，位移、速度和加速度是时间的实变函数，而其中的变化率（即导数）则与物体的运动和力学特性有关。
2. 经济学应用: 实变函数在经济学模型中的应用广泛。
例如，需求函数和供给函数等经济模型中的实变函数，用于研究消费者行为和市场波动等问题。
3. 生态学应用: 在生态学中，实变函数被用来描述种群数量随时间的变化。
通过建立数学模型，可以预测种群增长和衰退的趋势，进而影响采取的保护措施和环境政策。