小波变换11311

• 时频分析中，最典型的方法就是短时Fourier 变换和小波变换。他们的能量在时间域上 非常集中，而频谱主要集中在有限的频率 范围内，也即它们可表示时频平面上某个 区域的信息，而该区域的位置与宽度完全 依赖其基函数的选择 。
• 短时傅里叶变换
属 在时域把信号分成段，然后分别分析每一 于 段得频率特性————时窗法
• 缺陷
• Fourier分析适合从整个时域(空域)上分析信 号的频谱信息，却不适合分析信号在局部 的频率变化情况，尤其是局部发生突变的 信号； • 短Fourier变换，固有的缺陷是窗口的宽度是 固定不变的，如何构造一种随原函数的频 率变化而变化的窗函数，从理论上要求将 Fourier变换的核函数和窗函数合在一起考虑； • 小波的产生！！！
v) 时、频窗口具有自适应变化特性。
*低
a,b窄 * 高 t 窄 a,b宽
t 宽
a,b a,b
25
6. 小波变换与短时Fourier变换的比较
f
(a)
短时Fourier变换的基函数和时频网格
(b)
t
f
(a)
(b)
t
小波变换的基函数和时频网格
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H( f )
f0 2 f0 4 f0
大小和颜色是互不相干的2种描述，我们称 其为正交。 同时若这些基能够完全表示所有物体，我 们称其为完备特征基。 因为特征基表现了物体特征，因而可以用 更简洁的描述表示物体。
定义
• 小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的长度有限、 平均值为0的波形。 特点：（1）“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集 （2）正负交替的“波动性”，也即直流分量为零
• 小波分析是当前应用数学发展的新领域，同时具有理
论深刻和应用广泛的双重意义。 • 与Fourier变换、加窗Fourier变换（Gabor变换）相比， 小波变换是时间和频率的局域变换，能有效的从信号 中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信 号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解 决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微
镜”，成为信号分析发展史上的里程碑。
1.3 小波变换定义及特点
• 傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从 负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则与不对称。 • FT将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加， 小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加。 而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移 与尺度伸缩得来的。
X k e
k 0
N 1
2 kn j N
基本思想：将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加。这样我们就 可以将对原函数f(t)的研究转化为对其权系数，及傅里叶变换F(ω )的研究。 从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及高次谐波组成的，因此 它在频域内是局部化的。 缺陷：丢掉了时间信息，无法根据变换结果判断一个特定的信号是在什么时候 发生的。
或者想知道在某一个特定频率w0，对应的时间是多少？
傅里叶变换则无能为力!!!
实际中，在时域中越是较短时间内发生幅度突变的信号，其包 含的信息越多，但傅里叶变换看不出在什么时候发生这种突变。
回顾————小波变换的由来
• 傅里叶变换
FT : F j

f t e jt dt
参数a 的作用是把基本小波进行伸缩。
其中的因子 1 / a的作用是保证不同的尺度下，函数 a , (t ) 与母小波的能量相同
尺度因子在小波变换中物理解释 (1)当用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高频 小波对信号作细致观察； (2)当用较大的a对信号作低频分析时，实际上是用低频 小波对信号作概貌观察；

4) 窗口面积
为 a 1
, b 0 之频窗宽度
ta,b a,b
at t a
23
窗口面积与 a，b无关，只由小波母函数决定
20
0
2 / 2
0 / 2
t
时窗中心
t * at0 b
频窗中心
时窗宽度
频窗宽度
*
0
a
t
a,b
a t
• 给定信号f(t)的函数表达式或x随t变化的曲线，我们可由此得出在任意 时刻的幅值。若想了解该信号的 频率成分(在某Hz处频率分量的大小)， 可通过傅里叶变换。
FT : F j


f t e jt dt
？
1 IFT : f t F j e jt d 2 如果我们想知道在某一个特定时间t0，对应的频率是多少？
间窗，低频使用大时间窗进行分析。）
STFT无能为力了！
不能构成正交基，给数值计算带来不便。
• 小波登场原因：
（1）继承和发展了STFT的局部化思想。 （2）克服了窗口大小不随频率变化、缺乏 离散正交基的缺点。
正交基的解释
若一物体可用颜色和大小表示，我们称颜 色和大小为特征基，构成此物体特征描述空间。
• 用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然 要比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特 性用小波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来 逼近要好。
16
解释
小波变换可以理解为用一组分析宽度不断变化的基 函数对信号x(t)进行分析，这一变化正好适应了对信 号分析时在不同的频率范围需要不同的分辨率这一基 本要求 参数 的作用是确定对分析信号x(t)的时间位置， 即时间中心。
小波变换的由来
• 小波变换
对不同频带 信号进行滤 波，然后在 时间上分解 这些频带成 为段，并分 析它们的频 率内容---频 窗法
小波的 时间和频率 特性 时间A 时间B
• 缺陷：
其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关， 保持固定不变，对于分析时变信号不利！ （高频信号持续时间短，低频长。我们希望对于高频采用小的时
ˆ ( ) d
2
母小波的特点：
(1) 小波具有波动性， (t )dt 0 ,表明是波动的 (2) 小波具有时、频域紧支撑，包络衰减快; (3)小波具有带通滤波器特性, (t ) 可理解为一个 带通滤波器的冲激响应 ˆ (0) 0, 又是紧支撑的 (4)小波 (t ) 和一般的窗函数一样，满足 | (t ) | dt
a,b
a
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(5) . 窗口特性
i) 时窗和频窗中心分别随a和1/a成正比例变化；
ii) 时窗宽度和频窗宽度分别随a和1/a发生变化；
ⅲ) 窗口面积不变； ˆ iv) a ,b ( ) 是具有恒品质因数带通滤波器频域传递函数； 是具有恒品质因数带通滤波器的冲激响应 a ,b (t ) a ,b 0 带宽 Q constant * 中心频率
4 Parseval定理


0
1 * da 2 Ws (t ) (a, b)Wg (t ) (a, b)db C s(t ) g * (t )dt a

where C
R
• FT变换适于分析平稳信号。实际中大多数信号含有大量的 非平稳信号，例如：突变，奇异，事件的起始与终止等情 况。这些情况反映了信号的重要特征，是分析的对象。例 如下图：典型的地震信号 典 型 的 地 震 记 录 它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某一时间段 的频域信息或某一频率段所对应的时间信息



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5. 小波基 1) 定义
(t ) 经伸缩、平移构成小波基函数。即：
1 t b a ,b (t ) a a
a 0, b R
{ a ,b (t )}为小波基 ˆ a , a ,b (t )时宽 a ,b ( )频宽
2) 窗口中心 时窗中心

1 IFT : f t 2
N 1 n0 j
DFT : X k F f n f n e IDFT : f n 1 N
2 kn
N

F j e jt d
连续 傅里 叶变 换对
k 0,1,..., N 1 离散
傅里 n 0,1,..., N 1 叶变 换对
t0 为 a 1 , b 0之时窗中心
频窗中心 *
1 t || a,b (t ) ||2
*



t | a,b (t ) |2 dt at0 b
1 ˆ a,b ( ) ||2 ||



ˆ | a,b ( ) | d
2
0
a
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0
为
a 1 , b 0 之频窗中心
回顾————小波变换的由来
短时傅里叶变换
基本思想：把非稳态信号看成一系列短时平稳信号的 叠加，这个过程是通过加时间窗来实现的。一般选用能量 集中在低频处的实的偶函数作为窗函数，通过平移窗函数 来实现时间域的局部化性质。其表达式为： S , f t g * t e j t dt
W f ( t ) (a, b) Ws ( t ) (a, b) Wg ( t ) (a, b)
where
、为常数
2 时移不变性
if
x (t ) s ( t )
Wx ( t ) (a, b) Ws (t ) (a, b) Ws (t ) (a, b )
8 f0
(a)短时Fourier变换等效滤波器带宽
H( f )
f0
2 f0
4 f0
8 f0
(b) 小波变换等效滤波器带宽
频域等分辨是短时Fourier变换所固有的特性 多分辨是小波变换的一种固有特性
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7. 小波变换的物理意义
Ws (a, b) s(t ) (t )dt s(t ), a ,b (t )