2.1.2指数函数及其性质
学案6：2.1.2指数函数及其性质
2.1.2指数函数及其性质学习目标1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)知识梳理教材整理1指数函数的定义阅读教材，完成下列问题．指数函数的定义一般地，函数(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R.练一练1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－2x是指数函数．()(2)函数y＝2x＋1是指数函数．()(3)函数y＝(－2)x是指数函数．()教材整理2指数函数的图象和性质阅读教材，完成下列问题．R练一练2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(2)当a>1时，对于任意x∈R，总有a x>1.()(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．()类型一：指数函数的概念例1 (1)下列一定是指数函数的是( ) A ．y ＝a x B ．y ＝x a (a >0且a ≠1) C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝(a －2)a x(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3 D ．a >0且a ≠1名师指导1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1；2．求指数函数的解析式常用待定系数法．跟踪训练1 (1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________. (2)已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 类型二：指数函数的定义域和值域 例2 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝√1−3x ； (2)y ＝(23)√−|x|； (3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. 名师指导1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同．2．函数y＝a f(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．跟踪训练2 求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x−3；(2)y＝221()2x x.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？探究2若函数y＝a x＋b(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b满足什么条件？例3(1)在同一坐标系中画出函数y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()(2)函数y ＝a－|x |(0＜a ＜1)的图象是( )名师指导指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .跟踪训练3 定义一种运算：g ⊙h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥hhg <h ，已知函数f (x )＝2x ⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的大致图象是( )课堂检测1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2x C.⎝⎛⎭⎫12xD.⎝⎛⎭⎫22x2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－89，8 B.⎣⎡⎦⎤－89，8 C.⎝⎛⎭⎫19，9D.⎣⎡⎦⎤19，93．已知1>n >m>0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )4．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0, 且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________． 5．设f (x )＝3x ，g(x )＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g(x )的图象；(2)计算f (1)与g(－1)，f (π)与g(－π)，f (m )与g(－m )的值，从中你能得到什么结论？参考答案知识梳理教材整理1 指数函数的定义 y ＝a x ； x 练一练1【答案】 (1)× (2)× (3)×【解析】 (1)由指数函数的定义形式可知(1)(2)(3)均错误． 教材整理2 指数函数的图象和性质 (0，＋∞) ；(0,1)；增函数；减函数；y 轴 练一练2【答案】 (1)√ (2)× (3)×【解析】 (1)因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x 轴的上方． (2)当x ≤0时，a x ≤1.(3)因为f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )＝2－x在R 上是减函数． 类型一：指数函数的概念 例1 【答案】 (1)C (2)C【解析】 (1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a (a >0且a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝⎛⎭⎫12x 显然是指数函数；D 中只有a －2＝1即a ＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.跟踪训练1 【答案】 (1)3x (2) ⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 【解析】 (1)由题意设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)， 则f (2)＝a 2＝9.又因为a >0，所以a ＝3. 所以f (x )＝3x .(2)由题意可知{ 2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 类型二：指数函数的定义域和值域例2 解：(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝ √1−3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1.所以√1−3x ∈[0,1)，即函数y ＝ √1−3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0， 所以函数y ＝ (23)√−|x|的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以y ＝ (23)√−|x| ＝(23)0＝1，即函数y= (23)√−|x|的值域为{y |y ＝1}．(3)因为对于任意的x ∈R ， 函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义， 所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R . 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2 ＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 跟踪训练2 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠3}． 令t ＝1x−3，则t ≠0，∴y ＝2t >0且2t ≠1， 故函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2， 则t ＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝(12)t ≥ (12)1＝12，故函数的值域为[12，+∞）.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1 【答案】 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(0,1)；在f (x )＝a x －1＋2中令x －1＝0，即x ＝1，则f (x )＝3，所以函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,3)． 探究2 【答案】 如图，由图可知0<a <1，b ≤－1.例3【答案】 (1)D (2)A【解析】(1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增， 又∵当a ＞1时，函数y ＝a x 单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 单调递减，A 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条；B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D. (2)y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.跟踪训练3 【答案】 B【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ≥01x <0，∴f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥11x <1，∴其图象为B ，故选B.课堂检测 1．【答案】 A【解析】 由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x . 2．【答案】 A【解析】 y ＝3－x －1，x ∈[－2,2)是减函数， ∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.3．【答案】 C【解析】 由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C. 4．【答案】 (0,1)【解析】 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1.5． 解：(1)函数f (x )，g(x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g(－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π， f (m )＝3m ，g(－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m＝3m.。
课件4：2.1.2 指数函数及其性质 第1课时
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解析 由图象可知③④的底数必大于 1，①②的底数必小于 1. 过点(1,0)作直线 x＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知 1<d<c，b<a<1，从而可知 a，b，c，d 与 1 的大小关系为 b<a<1<d<c. 答案 B
规律方法 指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为： (1)无论指数函数的底数 a 如何变化，指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1) 的图象与直线 x＝1 相交于点(1，a)，由图象可知：在 y 轴右侧， 图象从下到上相应的底数由小变大． (2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限 内，底数自下而上依次增大．
名师点睛 1．对指数函数的定义的理解 (1)因为 a>0，x 是任意一个实数时，ax 是一个确定的实数，所以函 数的定义域为实数集 R. (2)规定底数 a 大于零且不等于 1. (3)指数函数解析式的特征：ax 的系数是 1，a 为常量，x 为自变量， 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如 y＝ax＋1(a>0，a≠1)； 有些函数看起来不象指数函数，实际上却是，例如 y＝a－x(a>0， a≠1)，因为这可等价化归为 y＝1ax其中1a>0且1a≠1.
[正解] ∵函数 y＝(a2－4a＋4)ax 是指数函数， ∴由指数函数的定义得aa2>－0且4aa＋≠41＝，1， ∴aa＝ >01且或aa≠＝13，. ∴a＝3.
指数函数要求形如：f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，即指数式 前面系数为 1，另外 a>0 且 a≠1.
课堂总结 1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且 a≠1)这一结构形式． 2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关 系．在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从 下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针 方向变大． 3．由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝af(x)(a>0且 a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑 并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.
2.1.2指数函数及其性质(2)课件人教新课标
课堂小结
1. 指数复合函数的单调性； 2. 指数函数图象的变换．
a＞1
0＜a＜1
图
y
y＝ax y＝ax
y
(a＞1) (0＜a＜1)
象
(0,1)
y＝1
(0,1) y＝1
O
x
O
x
定义域 R；值域(0，＋∞)
性 过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
质 在R上是增函数
在R上是减函数
x＞0时，ax＞1; x＞0时，0＜ax＜1;
x＜0时，0＜ax＜1 x＜0时，ax＞1
复习引入
练习
1.解不等式：
复习引入
练习
2.
复习引入
练习
3. 函数y＝a x－1＋4恒过定点
.
A．(1，5) C．(0，4)
B．(1，4) D．(4，0)
复习引入
练习
4. 下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数
是
()
讲授新课
一、指数函数图象的变换 1.说明下列函数图象与指数函数y＝2x的 图象关系，并画出它们的图象:
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-4 -2 O
2 4x
作出图象，显示出函数数据表
x
-3
-2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
0.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
2.1.2指数函数 及其性质
复习引入
指数函数的图象和性质：
a＞1
0＜a＜1
图 象
定义域 R；值域(0，＋∞)
高一数学必修1：2.1.2《指数函数及其性质的应用》课件
例3 求下列函数的定义域:
1
(1) y 5 x1 ;(2) y 2 x4 .
问题提出 1.什么是指数函数？其定义域是什么？大致 图象如何？
2.任何一类函数都有一些基本性质，那么指 数函数具有那些基本性质呢？
知识探究（一）：函数 y ax (a 1) 的性质
考察函数
y ax (的a图象:1)
一
2
想 共同点？
指数函数定义：
函数 y=ax （a>0,a≠1）叫做指数函数,
其中x是自变量，函数的定义域为R
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
①若a=0，则当x≤0时， ax无意义
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 ax无意义11来自如：a 2、a 4等等
③若a=1，则对于任何x R，
a x =1，是一个常量，没有研究的必要性.
思考3:上述函数在其结构上有何共同特点？
思考4:我们把形如 y ax的函数叫做指数函
数，其中x是自变量.为了便于研究，底数a的 取值范围应如何规定为宜？
a 0, a 1
思考5:指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的定义 域是什么？
知识探究（二）:指数函数的图象 思考1:研究函数的基本特性，一般先研究其
探究2：函数 y 2 3x是指数函数吗？
不是！指数函数中要求 a x的系数必须是1
思考:下列函数是指数函数吗,为什么?
y 2x2 y 4x2 y x y 2x
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
列表如下：
y
1
x
2
x -3 -2 -1
2 x 0.13 0.25 0.5
人教版高中数学必修一2.1.2《指数函数及其性质》word教材分析1
《指数函数及其性质》一、教材分析（一）教材的地位和作用人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书••数学（1）》（人教A版）$2.1.2“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质,掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的。
作为重要的基本初等函数之一,指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用, 又对高中阶段研究对数函数、三角函数等完整的函数知识，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，也为今后研究其他函数提供了方法和模式。
指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究。
（二）课时划分指数函数的教学在中共分三个课时完成。
指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用（1），指数函数及其性质的应用（2）。
这是第一课时“指数函数的图象及其性质”。
“指数函数”第一课时是在学习了指数与指数幂的运算基础上学习指数函数的概念和性质，通过学习指数函数的定义，图象及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数作好准备。
二、学情分析（一）有利因素通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。
技能层面：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究《指数函数》的性质做好准备。
由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。
情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。
（二）不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。
人教高中数学必修一2.1.2指数函数及其性质(课件)
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 y ax (a 0, a 1, x R) 叫做指数函数
注意:
(1) 规定a 0, a 1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a 0 无意义
…...
2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年 剩留的质量约是本来的84%.求出这种物质的剩留 量随时间(单位:年)变化的函数关系.
设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示
则
经过1年, y 184% 0.841 经过2年, y 1 0.84 0.84 0.842
归纳出:经过x年, y 0.84 x
• (1)
1
y 3x
• (2) y 5 x1
• (3)函数 y a2x3 3 恒过点 ( 3 , 4)
2
小结归纳：
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些数学思想方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗？
布置作业：习题2-1A组第5、6、7、8题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?
(8) y (2a 1)x (a 1 , a 1) 2
答案：（1）（6）（8）是指数函数
2：函数y (a2 3a 3) ax是指数函数，则a 2
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
2.1.2指数函数及其性质教案doc
2.1.2指数函数及其性质一、教学目标知识与技能：理解指数函数的概念、意义和性质，会画具体指数函数的图象。
过程与方法：利用实际背景，通过自主探索，培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，通过具体的函数图象归纳出指数函数的性质，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般的抽象概括的方法 。
情感、态度与价值观：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，充分发挥学生的主观能动性，培养他们勇于提问、善于探索的数学思维品质。
认识到数学来源于生活，并且服务于生活。
二、教学重点和难点重点：指数函数的概念和性质。
难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质。
三、教学过程（一） 创设情境、导入新课老师：在本章的开始，给出了两个问题：问题一：据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国前景分析》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001--2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍？问题二：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
根据此规律，人们获得了碳14含量P 和死亡年数t 的之间对应关系.关系，为引出指数函数的模型 xa y =（a>0，a ≠1)做准备，以利于学生体会指数函数的概念来自于生活，并且服务于生活。
（二） 师生互动、探究新知1.指数函数的定义老师：提出探究问题1：上述问题中的两个对应关系能否构成函数关系？ 提出探究问题2：上述两个函数有什么样的共同特征？学生：通过思考讨论不难得出探究1的结论：能够构成函数关系。
引导学生通过观察得出两个函数的共同特征：（1）幂的形式都一样；（2）幂的底数都是一个正常数； （3）幂的指数都是一个变量。
老师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成x a y =的形式，自变量在指数位置，我们把具有这种形式的函数叫做指数函数。
2.1.2指数函数及其性质
R
(0, )
递增
y>1 0<y≤1
y
1
Ox (0,1)
递减
0<y<1 y≥1
反思故事： 指数函数的增减性告诉我们一个道理： 1.01的365次方=37.78343433289 >>>1； 1的365次方=1； 0.99的365次方= 0.02551796445229 <<<1； 1.01=1+0.01，也就是每天进步一点，1.01的365次方也就是
(3)若a＝1，则y＝ax＝1是一个常数函数．
(3) 课堂练习： 例1.下列函数是指数函数?请放入集合A中．
⑴ y＝10x；
⑵ y＝10x＋1；
⑶ y＝10x＋1； ⑷ y＝2·10x；
⑸ y＝(－10) x；
⑹ y＝(10＋a)x (a＞－10，且a≠－9)；
集合A：⑴ y＝10x；
⑹ y＝(10＋a)x (a＞－10，且a≠－9)
2.讲 授 新 课
1. 指数函数的定义 一般地，形如y＝ax(a＞0且a≠1)的函数
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义
域是R.
系数为1
y＝1 ·ax 自变量
常数
讲授新课
2 对常数a的限制条件： (1)若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；
当x=0时，ax无意义; 当x<0时，ax无意义.
(2)若a＜0，则ax没有意义．
3.指数函数的图象和性质：
几何画板
结论:
(1) 定义域： R
值域： (0, ) 定点：(0,1)
(2) a＞1时，指数函数单调递增 0＜a＜1时，指数函数单调递减．
课堂小结
1. 指数函数的概念； 2. 指数函数的图象和性质．
2.1.2指数函数及其性质姜旭东
2.1.2指数函数及其性质兰州市第九中学姜旭东2015/6/212.1.2指数函数及其性质教学设计(第一课时)兰州市第九中学 姜旭东一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念。
过程与方法：利用实际背景，通过自主探索，培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，通过具体的函数归纳出指数函数的定义，体会从特殊到一般的抽象概括的过程 。
情感态度与价值观：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，充分发挥学生的主观能动性，培养学生勇于提问、善于探索的数学思维品质。
认识到数学的应用广泛性。
二、教学重点和难点： 教学重点：指数函数的概念；教学难点：从具体到一般探索、概括指数函数的概念。
三、教学方法 ：启发诱导和合作探究相结合，引导学生主动观察与思考，合作交流、共同探索来完成本节课的教学。
四、教学过程设计： （一）创设情景问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？问题2：长度为1的线段第一次截去它的一半，第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的次数x 与剩余的线段长度y 之间的关系.学生：交流后得出它们之间的对应关系的取值范围。
【设计意图】 用函数的观点来分析以上问题中变量之间的对应关系，为引出指数函数xa y （a>0)做准备，以上示例中底数为大于1与大于0小于1两种情形，为后面教学做好准备，具体实例有利于学生体会指数函数的概念来自于生活，并且服务于生活。
（二） 探究新知思考1：上述问题中的对应关系能否构成函数关系？ 思考2：上述两个函数有什么样的共同特征？ 引导学生观察：两个函数形式相同，底数是常数，指数是自变量。
如果用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成x a y =的形式，自变量在指数位置，我们把具有这种形式的函数叫做指数函数。
教学设计6：2.1.2 指数函数及其性质
§2.1.2 指数函数及其性质【入门向导】指数函数图象诗歌鉴赏多个图象像束花，(0,1)这点把它扎． 撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹． x ＝1为判底线，交点y 标看小大． 重视数形结合法，横轴上面图象察．此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心．如图所示的就是上面举的指数函数的图象．不难看出，它们就像一束花．每个指数函数的图象都经过(0,1)这点，所以说“(0,1)这点把它扎”就顺理成章了．对于指数函数的图象来说，“撇增捺减”就绝对是事实．当a >1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数y ＝a x 是增函数；当0<a <1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是下降的，类似于汉字的捺，这时，指数函数y ＝a x 是减函数．由y ＝2x 和y ＝(12)x 的图象，可以看出它们是关于y 轴对称的．而底数2与12是倒数，所以自然而然地得到“底互倒时纵轴夹”，这也可以从y ＝3x 和y ＝(13)x 的图象中得到充分的体现．解读指数函数图象的应用 一、要点扫描学习指数函数要记住图象，理解图象，由图象能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a 对于函数值变化的影响，对于a >1与0<a <1时函数值变化的情况不同，不能混淆，为此必须利用图象，数形结合．二、指数函数的图象及性质 a >10<a <1图象图 象图象分布在一、二象限，与y 轴相交，落在x 轴的上方都过点(0,1)特 征第一象限的点的纵坐标都大于1； 第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1； 第二象限的点的纵坐标都大于1从左向右图象逐渐上升从左向右图象逐渐下降性 质定义域为R值域为(0，＋∞)图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1x >0⇔y >1； x <0⇔0<y <1 x >0⇔0<y <1； x <0⇔y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数三、图象应用 1．比较大小例1 若a <0，则2a ，(12)a,0.2a 的大小顺序是________．解析 分别作出函数y ＝2x ，y ＝(12)x 和y ＝0.2x 的图象，如图所示，从图象可以看出，当a <0时，有0.2a >(12)a >2a .答案 0.2a >(12)a >2a点评 本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0,1)或特征线y ＝1及指数函数图象的走向正确作图：当a >1时，底数a 越大图象越陡；当0<a <1时，底数a 越小图象越陡．2．求解方程根的问题例2 确定方程2x ＝－x 2＋2的根的个数．解 根据方程的两端分别设函数f (x )＝2x ，g (x )＝－x 2＋2.在同一坐标系中画出函数f (x )＝2x 与g (x )＝－x 2＋2的图象，如图所示． 由图可以发现，二者仅有两个交点，所以方程2x ＝－x 2＋2的根的个数为2.点评 利用指数函数的图象确定方程的根的关键是要正确作出方程两端对应的函数的图象，遇到含有参数的方程时，还要注意分类讨论．3．求解参数问题例3 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|＋1(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 当a >1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知1<2a <2， 即12<a <1与a >1矛盾．当0<a <1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象， 则由图可知1<2a <2， 即12<a <1，即为所求． 答案 12<a <1点评 (1)解答此题时要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；(2)根据条件确定直线y ＝2a 与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想．指数函数定义学习中的两个注意点定义：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R . 注意点1：为什么要规定a >0且a ≠1呢？ (1)若a ＝0，则当x >0时，a x ＝0； 当x ≤0时，a x 无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x ，这时对于x ＝14，x ＝12，…在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任意x ∈R ，a x ＝1是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a >0且a ≠1.在规定以后，对于任意x ∈R ，a x 都有意义，且a x >0.因此指数函数的定义域是R ，值域是(0，＋∞)．注意点2：函数y ＝3·(12)x 是指数函数吗？根据定义，指数函数的解析式y ＝a x 中，a x 的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y ＝a x ＋k (a >0且a ≠1，k ∈Z )；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y ＝a －x (a >0且a ≠1)，因为它可以化为y ＝(1a )x ，其中1a >0，且1a≠1.习根式和分数指数幂的运算三注意有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过的加、减、乘、除运算一样，是十分重要的，它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础．由于这一部分内容的概念较多，初学时很容易出错，首先要注意以下三点．(1)根式的运算中，有开方和乘方两种情况并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a ≥0时，n a m ＝(na )m ，而当a <0时，则不一定可换，应视m ，n 的情况而定．(2)分数指数幂不能对指数随意约分．(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．错例分析一、有关方根的概念不清与忽视方根的性质致错分析 例4 设f (x )＝x 2－4，且0<a ≤1，求f (a ＋1a )的值．错解 f (a ＋1a)＝（a ＋1a）2－4＝（a －1a ）2＝a －1a.剖析 在开方运算中忽视根式的两个重要性质： (1)当n 为奇数时，na n ＝a ； (2)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.性质(2)在解题中是很容易被忽视的，因为此时的n 为偶数，所以不论a 取怎样的值，na n总有意义．因此在上面的解答中应有：由0<a ≤1，得1a ≥1，所以1a －a ≥0，从而（a ＋1a）2－4＝ (a －1a )2＝|a －1a |＝1a－a .教材中，规定了正分数指数幂的意义a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且mn 为既约分数)，从而指数的概念扩充到了有理数指数，继而又扩充到了实数指数．这时底数、指数的范围发生了变化，这在解题中是很容易被忽视的，由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用到，这里就不再赘述．三、指数函数图象出错例5 根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？错解由方程|2x－1|＝m可得2x＝1±m，结合指数函数的图象(如图)可知：当2x＝1±m≤0，即m≤－1或m≥1时，方程|2x－1|＝m无解；当2x＝1±m>0，即－1<m<1时，方程|2x－1|＝m有一解；不存在实数m使方程|2x－1|＝m有两解．剖析不能充分理解函数图象的交点与方程解的关系．没有充分结合指数函数的图象的变换加以解答．可以把这个问题加以转换，将求方程|2x－1|＝m的解的个数转化为求两个函数y＝|2x－1|与y＝m的图象交点个数去理解，而不能结合运算加以分析，这样容易导致错误．正解函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；当0<m<1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m有两解．点评由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点的个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以分析，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键.指数运算中的几种变形技巧常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，本文就这类问题的求解方法试作分析．一、逆用公式例1 已知a ＝5，b ＝311，c ＝6123，试比较a ，b ，c 的大小． 解 因为a ＝5＝653＝6125， b ＝311＝6112＝6121，c ＝6123， 而121<123<125，所以a >c >b . 即5>6123>311.例2 计算(3－2)2 008·(3＋2)2 009.分析 注意到两个底数3＋2与3－2互为有理化因式，且它们的指数相差不大，所以互化为同指数计算．解 原式＝(3－2)2 008·(3＋2)2 008·(3＋2) ＝[(3－2)·(3＋2)]2 008·(3＋2) ＝12 008·(3＋2)＝3＋ 2. 五、化负为正例3 化简4x4x ＋2＋41－x 41－x ＋2.解 方法一 原式＝4x4x ＋2＋41－x ·4x 41－x ·4x ＋2·4x＝4x 4x ＋2＋44＋2×4x ＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝4x ＋24x ＋2＝1. 方法二 原式＝4x4x ＋2＋4·4－x 4·4－x ＋2·4x ·4－x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x＝1. 点评 对于式子41－x41－x ＋2，方法一是利用分子分母同时乘4x 化简，而方法二是把2写成2·4x ·4－x ，通过约分化简，两种方法都是巧用4x ·4－x ＝1实现化简的．数函数常见题型解法探究 一、指数函数的定义例4 已知指数函数f (x )的图象经过点(2,4)，试求f (－12)的值．解 设指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，由已知得f (2)＝4，即a 2＝4(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.故f (－12)＝2－12＝22.二、考查指数的运算性质例5 若f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝e x ＋e －x2，则f (2x )等于( )A ．2f (x )B ．2g (x )C ．2[f (x )＋g (x )]D ．2f (x )·g (x )解析 f (2x )＝e 2x －e－2x 2＝(e x ＋e －x )(e x －e －x )2＝2·(e x ＋e －x )(e x －e －x )4＝2f (x )·g (x )．故选D. 答案 D三、指数函数的单调性例6 设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2解析 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5.由于指数函数f (x )＝2x 是R 上的增函数，且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2，选D.答案 D四、定义域和值域例7 已知函数y ＝f (x )的定义域为(1,2)，则函数y ＝f (2x )的定义域为________． 解析 由函数的定义，得1<2x <2⇒0<x <1. 所以应填(0,1)． 答案 (0,1)五、图象过定点问题例8 已知不论a 为何正实数，y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．解析 因为指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0,1)，而函数y ＝a x ＋1－2的图象可由y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．答案 (－1，－1) 六、图象依据：(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝f (x ＋a )、y ＝f (x )＋b 、y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝|f (x )|、y ＝f (|x |)的图象之间的关系．例9 利用函数f (x )＝2x 的图象，作出下列各函数的图象： (1)y ＝f (x －1)；(2)y ＝f (|x |)；(3)y ＝f (x )－1； (4)y ＝－f (x )；(5)y ＝|f (x )－1|.解 利用指数函数y ＝2x 的图象及变换作图法可作所要作的函数图象．其图象如图所示：点评 函数y ＝2|x |，y ＝2－|x |，y ＝|2x －1|的值域和单调性如何？七、考查参数的取值范围例10 已知函数y ＝a a 2－2(a x －a －x )(a >0，a ≠1)在(－∞，＋∞)上递增，求a 的取值范围．解 设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)<0， 即aa 2－2(ax 1－a －x 1)－aa 2－2(ax 2－a －x 2) ＝a a 2－2(ax 1－ax 2)(1＋1ax 1＋x 2)<0， 所以(a 2－2)(ax 1－ax 2)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2>0ax 1－ax 2<0.或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2<0，ax 1－ax 2>0.解得a >2或0<a <1. 异底指数比大小五法 一、化同底例11 比较20.6，(12)－0.7,80.3的大小．解 化同底得20.6，(12)－0.7＝20.7,80.3＝20.9.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数，且0.6<0.7<0.9， 所以20.6<20.7<20.9，即20.6<(12)－0.7<80.3.点评 因为化同底后即可运用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二、商比法例12比较下列两个数的大小：1.1－0.2与1.3－0.1.解 因为1.1－0.21.3－0.1＝(1.211.3)－0.1＝(1.31.21)0.1>(1.31.21)0＝1，所以1.1－0.2>1.3－0.1.点评 不同底但可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，这时要特别注意分母的正负．三、取中间值例13下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<π0 B ．0.43<π0<30.4 C ．30.4<0.43<π0D ．π0<30.4<0.43解析 因为π0＝1,0.43<0.40＝1,30.4>30＝1， 所以0.43<π0<30.4，故选B. 答案 B点评 不同底也不同指数时比较大小，宜先与中间值0或1比较大小，再间接地得出所求解．四、估算法例14 若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1]，则k ＝________. 解析 因为k ≤a ≤k ＋1，所以3k ≤3a ≤3k ＋1. 把3a ＝0.618代入得3k ≤0.618≤3k ＋1.估算得13≤0.618≤1，即3－1≤0.618≤30.解得k ＝－1.答案 －1点评 估算法既可快速达到比较大小的目的，又可培养同学们的估算能力，它是同学们必备的一种技能，在考试中解答填空、选择题时可用．五、图解法例15 已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式：①0<b <a ； ②a <b <0； ③0<a <b ； ④b <a <0； ⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 在同一坐标系中，分别画出函数y ＝(12)a ，y ＝(13)b 的图象．由图观察可知，当b <a <0时，等式(12)a ＝(13)b 不可能成立；又当0<a <b 时，等式(12)a ＝(13)b 也不可能成立，故选B.答案 B点评 把所要比较的指数化为指数函数，在同一坐标系中画出它们的图象，可以直观地看出其中的大小关系．指数函数考什么？1．(福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解； ②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1， ∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. 答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知函数f (x )＝a －12x ＋1.若f (x )为奇函数，则a ＝________.解析 ∵定义域为R ，且函数为奇函数， ∴f (0)＝0，即a －12＝0，∴a ＝12.答案 123．(全国高考)函数y ＝－e x 的图象( ) A ．与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 B ．与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称 C ．与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 D ．与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 函数y ＝－e x 与y ＝e －x 的自变量x 取相反数时，函数值y 也为相反数，所以其图象关于原点对称．答案 D4．(湖北高考)若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则必有( )A ．a >0，b <1B ．0<a <1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．a >1，b <0解析 数形结合是解题中常用的方法之一，熟练掌握基本初等函数的图象及性质是利用数形结合法解题的前提．由指数函数y ＝a x 向下平移1－b 个单位，使1－b >1即可得知．答案 B5．(湖北高考)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 解析 ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x .又∵f (x )＋g (x )＝e x ，∴g (x )＝e x －e －x 2. 答案 D。
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2.1.2指数函数及其性质
一、教学目标
1.知识与技能:使学生理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像
及性质。
2.过程与方法：通过自主画图像并观察、分析图像总结出指数函数
的性质，从而掌握数形结合的数学方法。
3.情感态度与价值观：使学生在探索中发现数学之美，培养学习数
学的兴趣。
二、教学重点、难点
1.教学重点：指数函数的概念、性质及掌握数形结合的方法。
2.教学难点：灵活运用指数函数的性质。
三、教学过程
1.新课引入（问题导入）
Q1：某种细胞分裂时，由１个分裂成２个，２个分裂成４个…,这样的细胞分裂后，细胞的个数y与分裂的次数x的函数的关
系式是什么？
学生：y=2x
Q2：一根1m长的绳子,第一次减去一半,第二次减去剩下的一半,如此减下去,第x次后剩下的绳子的长度y与x之间的关系是
什么？
学生：y=(1/2)x
Q3:以上两个式子有什么共同点？（同桌之间进行讨论）
学生：y=a x
2.讲授新课
从上面三个问题得出指数函数的概述
一般的，函数y=a x （a>0,且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
让学生及时判断以下两组函数是否为指数函数
y=x2 y=8x y=(2a-1)x
y=πx y=x x y=-10x
让学生进一步回忆一下，过去所研究的一些函数性质，比如一次函数、二次函数，反比例函数等等，想一下若研究一个函数需要从哪几个方面考虑？
考虑到指数函数的底数的特殊性，让学生自主画出y=2x和y=(1/2)x 的图像，并与教师所画出的图像作对比，分别从定义域、值域，单调性及过定点来讨论指数函数的基本性质。
如下所示
3.例题讲练
比较下面的两个值大小
例：1.72.5和1,73
解析：1.72.5和1,73可以看做函数y=1.7x的两个函数值，由于底数
1.7>1,所以指数函数y=1.7x在R上是增函数。
因为2.5<3,所以1.72.5<1,73
巩固练习：
比较0.80.1和0.80.2两个值的大小
四、课堂小结
1.回顾指数函数的概念一般的，函数y=a x（a>0,且a 1）叫做指
数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2.本节课体现了数形结合的数学思想，也体现了数学与生物等学
科的联系。
五、布置作业
必做题：A组第4题、第7题
选做题：B组第2题。