高中数学：常见不等式解法
高中数学：不等式题目的七种证明方法
高中数学：不等式题目的七种证明方法压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。
但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。
我就来总结一下不等式的证明方法。
01比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。
前者为作差法，后者为作商法。
但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。
02分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。
分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。
如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。
我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。
当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。
03反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。
这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。
反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。
04放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。
放缩法的目的性强,必须恰到好处,。
同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。
高一数学知识点不等式
高一数学知识点不等式不等式是数学中的一个重要概念，它在高一数学学习中占据着重要的地位。
本文将讨论高一数学中的不等式知识点，包括不等式的基本概念、解不等式的方法等内容。
1.不等式的基本概念不等式是指包含不等号（>、<、≥、≤）的数学表达式。
它描述了两个数之间的相对大小关系。
在不等式中，我们称表达式的两边为左边和右边，其中，不等号左侧的表达式通常称为不等式的“左端”，不等号右侧的表达式通常称为不等式的“右端”。
2.不等式的表示形式不等式可以有多种表示形式，下面是一些常见的表示形式：- 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b为已知实系数，x为未知实数。
- 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b和c为已知实系数，x为未知实数。
- 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式，其中a、b为已知实系数，c为已知正实数，x为未知实数。
3.不等式的解集表示解不等式是指找出满足不等式条件的数的集合。
解集可以使用不等式符号表示，也可以使用区间表示。
下面是一些常见的解集表示形式：- 不等式符号表示：例如，解集{x | x>2}表示满足不等式x>2的所有实数x的集合。
- 区间表示：例如，解集(-∞, 2)表示所有小于2的实数的集合。
4.不等式的性质和运算规则不等式有一些特殊的性质和运算规则，包括以下几点：- 不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式方向不变。
- 不等式两边同时乘（除）一个正数，不等式方向不变。
- 不等式两边同时乘（除）一个负数，不等式方向改变。
- 对于绝对值不等式，需要考虑绝对值的正负情况来确定解集。
5.不等式的解法方法解不等式的方法主要包括代入法、图像法和数轴法等。
在解题过程中，我们可以运用不等式的性质和运算规则，根据具体题目的要求采取不同的解题方法。
6.不等式的应用不等式在高一数学中有广泛的应用，常见的应用场景包括以下几个方面：- 解决实际问题中的数量关系，如寻找最大值、最小值等。
高中重要不等式公式
高中重要不等式公式一、绝对值不等式（Absolute Value Inequality）绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念，涉及到求解不等式的解集。
绝对值不等式形式简单，但涵盖的内容却非常广泛。
下面将介绍几个常见的绝对值不等式公式。
1. |x| > a ，其中a为正实数。
解集为：x < -a 或 x > a。
这个不等式表示x与原点的距离大于a。
2. |x| < a ，其中a为正实数。
解集为：-a < x < a。
这个不等式表示x与原点的距离小于a。
3. |x| ≤ a ，其中a为正实数。
解集为：-a ≤ x ≤ a。
这个不等式表示x与原点的距离小于等于a。
4. |x - a| > b ，其中a和b为正实数。
解集为：x < a - b 或 x > a + b。
这个不等式表示x与点a的距离大于b。
5. |x - a| < b ，其中a和b为正实数。
解集为：a - b < x < a + b。
这个不等式表示x与点a的距离小于b。
6. |x - a| ≤ b ，其中a和b为正实数。
解集为：a - b ≤ x ≤ a + b。
这个不等式表示x与点a的距离小于等于b。
（以上公式中的a、b、x均表示实数）绝对值不等式的应用十分广泛，例如在求解间隔、范围、距离等问题时常常会涉及到绝对值不等式。
熟练掌握这些公式能够帮助我们更加灵活地解决实际问题。
二、平均数不等式（Mean Inequality）平均数不等式是高中数学中另一个重要的概念，用于比较算术平均数、几何平均数和谐平均数的大小关系。
下面将介绍几个常见的平均数不等式公式。
1. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意非负实数a和b，有：(a + b) / 2 ≥ √(ab)。
这个公式表示算术平均数不小于几何平均数。
2. 几何平均数与谐平均数不等式：对于任意正实数a和b，有：2 / (1/a + 1/b) ≥ √(ab)。
高中数学中所有不等式解法汇总每题均含详细解析
高中数学中所有不等式解法汇总每题均含详细解析本文介绍了解简单不等式的几种方法，包括解二元一次不等式组、一元二次不等式、含绝对值的简单不等式、分式不等式和简单高次不等式。
其中，第一部分介绍了分数不等式的性质，包括两种情况下的大小关系。
第二部分介绍了“三个二次”的关系，即二次函数图象、一元二次方程的根和不等式的解集之间的关系。
第三部分介绍了解一元二次方程的三种方法，包括求根公式、因式分解法和配方法。
最后一部分介绍了解一元二次不等式的方法，包括统一处理二次项系数为正数，以及(x －a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法。
由y=x^2-3x-10的开口向上，可得x^2-3x-10>0的解集为(-∞,-2)∪(5,+∞)。
设集合M={x|x^2-3x-4<0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N等于[0,4)。
解析：因为M={x|x^2-3x-4<0}={x|-1<x<4}，所以M∩N=[0,4)。
已知不等式ax^2-bx-1≥0的解集是(3/2,3]，则不等式x^2-bx-a0，且Δ=b^2-4ac0，b<0，且0<b<3.综合可得x^2-bx-a<0的解集是(0,3)。
若关于x的不等式m(x-1)>x^2-x的解集为{x|1x^2-x的解集为{x|1<x<2}，所以1和2一定是m(x-1)=x^2-x的解，因此m=2.若一元二次不等式2kx^2+kx-8<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(-3,0]。
解析：因为2kx^2+kx-8<0对一切实数x都成立，所以2k<0，解得k∈(-∞,0)，又因为Δ=k^2-4×2k×(-8)<0，解得k∈(-3,0]。
设a为常数，∀x∈R，ax^2+ax+1>0，则a的取值范围是(0,4)。
解析：对于任意实数x，ax^2+ax+1>0，即Δ=a^2-4a<0，解得0<a<4.若不等式x^2-2x+5≥a^2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)。
含参数的一元二次不等式的解法高中数学
含参数的一元二次不等式的解法高中数学一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它与一元二次方程不同，需要通过特定的方法来解决。
当一元二次不等式中出现参数时，解法也会有所不同。
本文将介绍含参数的一元二次不等式的解法。
首先，我们来看一个简单的例子，假设有不等式 f(x) =ax^2+bx+c > 0，其中a、b、c为实数且不为零。
我们的目标是确定x的取值范围使得不等式成立。
步骤一：将不等式化简为标准形式首先，我们需要将不等式化简为标准形式，即形如(ax^2+bx+c)>0的形式。
若不等式已经处于此形式，则可以直接进行下一步。
若不等式不满足此形式，则需要移项合并同类项，将不等式转化为标准形式。
步骤二：确定基本情况下的解法对于标准形式的一元二次不等式，我们可以利用图像法或代数法来解决。
对于a>0和a<0的两种情况，基本的解法如下：1. 当a>0时：- 如果a>0，二次函数的开口朝上，函数图像是一个开口朝上的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线上方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x<x1 或x>x2- 若抛物线与x轴只有一个交点，我们可以求解的结果只有一个交点x0，此时解集为：x<x0 或 x>x0。
2. 当a<0时：- 如果a<0，二次函数的开口朝下，函数图像是一个开口朝下的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线下方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x1<x<x2- 若抛物线与x轴没有交点，则解集为空集：ø步骤三：含参数时的解法当一元二次不等式中存在参数时，解法稍有不同。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：对于不等式f(x) = (a+b)x^2+(b+c)x+c>0，其中a，b，c 为实数且不为零。
高中数学不等式题型
高中数学不等式题型嘿，同学们！高中数学里的不等式可是个重要的知识点呢，在考试中经常会出现各种类型的题目。
下面咱就一起来看看一些常见的不等式题型哈。
一、解不等式类这类题就是让咱求出不等式的解集。
比如说一元一次不等式，像2x + 3 > 7 ，咱只需要通过移项，把3移到右边变成2x > 7 - 3 ，也就是2x > 4 ，然后两边同时除以2 ，就得到x > 2啦。
再比如说一元二次不等式，像x² - 5x + 6 > 0 ，咱可以先把它因式分解成(x - 2)(x - 3) > 0 ，然后根据“同号得正，异号得负”的原则，得到x < 2或者x > 3 。
1. 求解不等式3x - 5 < 4x + 1 。
解：移项可得3x - 4x < 1 + 5 ，即 -x < 6 ，两边同时乘以-1 ，注意变号，得到x > -6 。
2. 求解不等式x² - 4x + 3 ≤ 0 。
解：因式分解得(x - 1)(x - 3) ≤ 0 ，那么就有 1 ≤ x ≤ 3 。
二、不等式证明类这种题就是要咱证明一个不等式成立。
常用的方法有比较法、综合法、分析法等。
比如说要证明a² + b²≥ 2ab ，咱可以用比较法，作差a² + b² - 2ab = (a - b)²，因为任何数的平方都大于等于0 ，所以(a - b)² ≥ 0 ，也就证明了a² + b² ≥ 2ab 。
1. 已知a,b为正实数，证明a/b + b/a ≥ 2 。
证明：因为a,b为正实数，根据基本不等式，对于正实数m,n ，有m + n ≥ 2√(mn) 。
在这里m = a/b ，n = b/a ，所以a/b + b/a ≥ 2√(a/b × b/a) = 2 。
2. 已知a,b,c为正实数，且a + b + c = 1 ，证明1/a + 1/b + 1/c ≥ 9 。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题29 常见不等式的解法
专题29 常见不等式的解法【热点聚焦与扩展】高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等);一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算.相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大.本专题以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。
（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式:()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可-—关键点：图象与x 轴的交点 2、高次不等式(1）可考虑采用“数轴穿根法",分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图象,()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分 ()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分(2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式 3、分式不等式(1)将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式（2)分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠ （3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()0f x g x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积）,进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式 (1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用）；二是通过平方(3）若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法:(1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析,例如：a b a c b c >⇒+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ）,将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=,因为()f x x c =+为增函数,所以可得：()()a b f a f b >⇔>，即a b a c b c >⇒+>+成立,再例如：0,0,c ac bca b c ac bc >>⎧>⇒⎨<<⎩，可设函数()f x cx =，可知0c >时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()()0,0,c f a f b a b c f a f b >>⎧⎪>⇒⎨<<⎪⎩由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。
高中数学不等式公式
高中数学不等式公式在高中数学课程中，学习不等式公式是一项重要的知识点。
不等式公式是一种基本的代数表达式，可以用它来表示数值应该在一定范围内取值。
例如，在高中学习中，学生需要学会这样的不等式及其解法过程：一元一次不等式：一元一次不等式的基本形式是ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b是任意常数，解法一般分两步：1、将不等式的两边同除以a，即可得到x > -b/a x < -b/a；2、对不等式两边同乘以正数，以使双边都变为正数，则可得到x > b/a x < b/a。
二元一次不等式：二元一次不等式的基本形式是ax + by > c或ax + by < c，其中a，b和c是任意常数，解法一般通过将不等式转换为两个一元一次不等式来完成，过程如下：1、由已知条件ax + by > c可以推出，当x = 0时，有by > c；当y = 0时，有ax > c；2、将by > c转化为一元一次不等式形式，即y > c/b；3、将ax > c转化为一元一次不等式形式，即x > c/a；4、由此可以得到二元一次不等式的解法：满足x > c/a，且y > c/b。
三元一次不等式：三元一次不等式的一般表示形式为ax + by + cz > dax + by + cz < d，其中a，b，c和d是任意常数，以解三元一次不等式为例，一般会通过消元（elimination）的方式进行解，该解法有三个步骤：1、令a = d，令x = m，令y = n；2、将得到的表达式改写成数学形式：by + cz + am > bm + an；3、将不等式转化为两个二元一次不等式，即y > bm/b - an/b，且z > an/c - bm/c。
由此可见，在高中的数学课程中，学习不等式公式对于理解不等式的性质很重要。
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辅导讲义一、教学目标常见不等式解法1、了解常考的不等式。
2、了解一元一次不等式、绝对值不等式、一元二次不等式.3、了解指数不等式、对数不等式、三角不等式等形式，并掌握其解法。
二、上课内容1、复习上节课知识。
2、梳理不等式解法知识点。
3、学习不等式解法。
4、课堂小结。
三、课后作业见课后作业四、家长签名（本人确认：孩子已经完成“课后作业”）_________________常见不等式解法解不等式必备知识点总结：1. 解一元一次不等式（组）的题目时，当x 的系数为负数时，要改变原不等式的符号；当x 的系数含有参数时，要分系数大于0、等于0、小于0来讨论.；）（时，当；或时，当a x a a a x a x a x a a x ≤<≤<-⇒>≤<-≤<≥>⇒>≥>)()0()(||)()()0()(||.2当时，0≤a 直接用“任何式子的绝对值不小于0”来解更好. 3. ,0,0,||⎩⎨⎧<-≥=x x x x x 是解与绝对值有关的题目时，讨论去绝对值的基础.4. 绝对值的几何意义：的距离离表示数轴上一点m x m x ||-.如：的距离离表示数轴上一点的距离；离表示数轴上一点2|2|1|1|-+-x x x x .5. 解形如ax 2+b x +c>0（或≥0）以及ax 2+b x +c<0（或≤0）类型的一元二次不等式时（其中a ,b,c 为常数，且a >0.），当对应方程有根时，用“大于在两边，小于在中间”的原理，或利用图象直接写出不等式的解集.当没有根时，最好利用图象直接写出不等式的解集，此时，结果只有两种：空集和一切实数.6. 在解含有参数的不等式时，当对应的方程易因式分解求出两根时，先因式分解求出两根，然后再以两根的大小来分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们应以x 2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数a 值作为讨论的依据. 求出的参数a 把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型.7. 解高次不等式常用数轴表根法(又称零点分段法)，规律是“奇穿偶不穿”.8. 解与指（对）数函数有关的（不）等式的题型的基本思路是：把常数化成同底的指（对数形式.把常数化成同底的指（对）数形式时用公式：N=log N a a （用这个公式可以把任意常数化成同底的对数形式），解与对数有关的不等式时，需要注意真数一定要考虑到大于0.由的次方形式）常数化成用这个公式可以把任意a N a Nb N a N a ba (log log =⇒=⇔=.一、与解一元一次不等式（组）有关的题型总结（一） 形如c b ax >+（或≥c ）以及c b ax <+（或≤c ）类型的一元一次不等式（其中c b a ,,为常数，且a ≠0），或者与其有关的不等式组的解法 例1.解下列关于x 的不等式：(1) 2x+3>5； (2) - 12 x+4≤7；(3) ；）（）（⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-**237121*)1(325x x x x (4) a x －23 > 13 .练习. 解下列关于x 的不等式：.3241912136)3(5341)2(523)1(<-⎩⎨⎧<--≥+-≤->+-x ax x x x x ）（；；；二、与解绝对值不等式有关的题型总结（一）形如c b ax >+||(或≥c ）以及c b ax <+||(或≤c ）类型的绝对值不等式（其中a ,b,c 为常数，且a ≠0），或者能变为这种类型的不等式的题型是解绝对值不等式的基础题。
解下列关于x 的不等式：（二）形如|ax +b|<(≤)c x +d 或|ax +b|>(≥)c x +d 或者|ax 2+b x +c|<d 类型的绝对值不等式题型的解法总结（其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0,c ≠0）解下列关于x 的不等式：.6||)4(;2|132|)3(;92|23|)2(;52|3|)1(22<-≥+-->++≤-x x x x x x x x（三）形如c<|b ax +|<d 或c ≤|b ax +|≤d 类型的绝对值不等式题型（其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）解下列关于x 的不等式： (1)1||2(2)2|3|6(3)0|49|7x x x <≤-<-+<<-≤；；.11|23|)4(;17|85|)3(;7|4|)2(;8|23|)1(>--<-≥+-≤+x x x x（四） 形如|b ax +|± |c x +d| <(≤或=)e 或|b ax +|± |c x +d| >(≥或=)e形式的绝对值（不）等式题型的解法总结（其中a ，b ，c ，d ，e 为常数，且a ≠0,c ≠0）解下列关于x 的不等式：4|2|||)3(611|12||43|)2(3|1||2|1=++=+--≤++-x x x x x x ；；）（.（五）形如|b ax +|± |c x +d| <(≤或=)f ex +或|b ax +|± |c x +d| >(≥或=)f ex +类型的绝对值不等式题型解法总结（其中a ，b ，c ，d ，e ，f 为常数，且a ，c ，e ≠0）.解下列关于x 的不等式： 67|||12|)2(;29|15||38|)1(+≤-+->++-x x x x x x .三、与解一元二次不等式（组）有关的题型（一）形如ax 2+b x +c>0（或≥0）以及ax 2+b x +c<0（或≤0）类型的一元二次不等式（其中a ，b ，c 为常数，且a ≠0.）例7. 解下列关于x 的不等式：(1) 2x 2-3x -5>0； (2) 3x 2-4x -1≤0； (3) x 2-2x +1≤0；(4) x 2-2x +1>0； (5) x 2-2x +3>0； (6) x 2-2x +3≤0练习7. 解下列关于x的不等式：（1）-2x+4x+12>0；（2）x(x+3)≥x-1；（3）2x2+3x-6>x(3x+2). （二）形如m<ax2+b x+c<n形式的一元二次不等式组的题型（其中a，b，c，m，n为常数，且a≠0）.例8. 解下列关于x的不等式：（1）9<x22+3x+4<18；（2）6≤x2-2x+3<11.练习8.解下列关于x的不等式：（1）12<3x24x+5≤20；（2）3≤x2+x<x-+8.（三）形如(ax+b)(c x+d) ≤0（或<0）或(ax+b)(c x+d) ≥0（或>0）以及可以化成这种形式的题型的解法总结（其中a，b，c，d为常数，且使式子有意义）.例9. 解下列关于x的不等式：（）；；-+<--≥-<+(1)29(4)0(2)(57)0(3)(21)2(32)x x x x x x x练习9 解下列关于x 的不等式：332)1()3(054(32(2(0)2)(112-+>+>-+-≤--x x x x x x x x ；）））；（）（.推广：本题可以推广为解高次不等式0)()(≤+++d ex d cx b ax ）（（除x 外，其余字母为使式子有意义的常数）的形式.例10. 解下列关于x 的不等式：.0)2)(1()1(4032)(1(3()3(0)14)(13)(12()2(0)3)(2)(11222<+-+>--+-≥+-++≤---x x x x x x x x x x x x x ）（；））；；（）（练习10. 解下列关于x 的不等式：0)3()2()2(0)1)(32()1(3232>--≤-+-x x x x x x ；.（四）形如不等式)()(d cx b ax ++≤0（或<0）,或)()(d cx b ax ++≥0（或>0）以及可以化成这种形式的题型的解法总结（其中a ，b ，c ，d 为常数，且使式子有意义）.例11. 解下列关于x 的不等式：（1）1122)3(05362)2(041≥-≤+->-+-x xx x x x ；；.练习11 解下列关于x 的不等式：(1)05987)3(23465)2(0143>+-≥++≤--x x x x x x ；；.推广：本题型可以推广为类似于0)())(()())(≥++++++k jx n mx h gx f ex d cx b ax （（除x 外，其余字母为使式子有意义的常数）的形式.例12. 解下列关于x 的不等式：)52()2)(3()3(0)4)(63(32()2()2(0)4)(3()2)(112≤-++->-+--≤----xx x x x x x x x x x x ；）；（）（.四、与指数函数有关的(不)等式题型的解法总结思路：把常数化成同底的指数形式. 例13. 解下列关于x 的不等式：2224511(1)39(2)()3(3)636(4)2163x x x x -++><≥=；；；五、与对数函数有关的(不)等式题型的解法总结例15. 解下列关于x 的不等式：223154(1)log (272(2)log 1(3)log 2x x x -<>-=）；；课后作业：1、设实数x 和y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．26B ．24C ．16D ．142.下列结论正确的是 ( ) A.当x ＞0且x ≠1时，lgx ＋1lg x≥2； B.当x>0时，≥2； C.当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2； D.当0<x ≤2时，x － 1x无最大值；3、已知,x y 满足约束条件,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A. 3B. 32-C. 32D. 3-4.设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1.若a x ＝b y ＝3， a ＋b ＝2 ，则11x y+的最大值为 ( )A.2B.32C.1D.125. 下列函数中，最小值为2的是( ) A ．21222+++=x x y B ．x x y 12+= C ．)220)(22(<<-=x x x y D ．1222++=x x y6、若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17.已知f(x)＝x ＋1x－2(x>0)，则f(x)有( )A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为2D.最小值为28.下列函数中，y 的最小值为4的是 ( )A.y ＝e x ＋4e -xB.y2 (x ∈R) C.y ＝x ＋4x D.y ＝sinx ＋4sin x(0＜x ＜π) 9.求a a +-34（其中3＞a ）的最小值为 ；10、设变量x y ，满足约束条件30023x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≥，≤≤，则2z x y =+的最小值为 ．题型总结答案：一、(1)1x <-；(2)32x ≤；(3)107x -<≤-；33(4)22222a x R a x a x a a =∈><<>--当时，；当时，；当时，.二、（一）10(1)2;(2)113;3x x x -≤≤≥≤-，或913(3)5;(4)3,.53x x x -<<><-或（二）.32)4(;41734173)3(;5732)2(;32)1(<<--<+><≤--≥x x x x x ，或（三）.49421)3(;93)2(;21,12)1(≠≤≤<<-≤<-<≤-x x x x x ，且或 (四)1,3)3(21)2(21)1(=-=-≤≤≤-x x x x 或；；. (五) 87)2(;)1(-≥∈x R x .三 、练习7 （1）62<<-x ； （2）x ∈R ； （3）空集. 练习8 ( 1）35≤x <1,或x <37≤3； （2）4<x <2.练习9 (1)13)3(2345)2(21<<-<<≤≤x x x ；；. 例10 ；或）（；或）（4131,21232,11≤≤--≤≤≤≤x x x x .1,12)4(3,1)3(-≠<<-≠->x x x x 且；且练习10 30)2(1023)1(><=≤≥x x x x x ，或；，或，或.练习11 （1）1<x 34≤； （2）；043≤<-x （3）7895>-<x x ，或. 练习12(1) 1≤x ≤2，或3<x <4； (2) ；或4,232><<-x x (3) 3,2502≥<<-≤x x x 或，或. 四、例13 2)4(11(3)2324)1(±=≥-≤->>x x x x x ；，或；）（；. 五、 5)3(022)2(827)1(±=≠<<-<<x x x x ；，且；。