【高中数学公开课专家点评范例】《两角和与差的正弦》课例点评
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式-二倍角公式》说课稿
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式》说课稿晋江市内坑中学 吴小明教材分析：1.教材的地位和作用：这是一节高三复习课，教材是高中数学新课程人教A 版（必修4），教辅是《世纪金榜》。
这一节的公式在三角函数里的比重很大，是进行三角恒等变换的重要公式，它们与诱导公式，同角三角函数公式一起组成了三角函数的主要公式。
2.教学重点与难点：（1） 重点：两角和与差、二倍角公式的正用、逆用和变用（2） 难点：“辅助角公式”，即形如)sin(cos .sin .22βααα++=+b a b a 的化简;“角的变换”，即用“已知角”表示“所求角”,要注意角的变换技巧和角的范围；当角的关系比较复杂时不仅要用“和、差、倍”公式，还要先用到诱导公式。
学情分析：这些学生大部分基础不够好，学习态度也不够积极，自主学习的意识和能力较弱，知识遗忘率高，只有小部分学生基础较好，但是动手解题能力也很弱。
教学目标：（1） 知识与技能目标：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式的正用、逆用和变形使用，会用公式进行三角函数式的化简与求值。
（2） 过程与方法目标：通过提问、引导，调动学生的思维；通过归纳，明确解题方法。
（3） 情感、态度与价值观目标：通过公式之间角与角的关系，认识到事物是普遍联系的；教学方法：基于学情分析，应从细节入手，主要采用引导，提示，归纳，讲练结合的方法。
学法指导：从公式特征和题目特征选取适当的公式；有时要切化弦；注意观察所求角与已知角的关系。
教学过程：一.复习引入：通过提问)cos(βα-公式,开门见山的引入到公式的复习当中.二.复习公式：两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式及变形公式 和 “辅助角公式” 用小黑板展示所有公式，讲解公式时要体现公式之间的联系，比如，二倍角倍受公式可以在两角和的公式中令αβ=而得到.一边讲解公式的特征，帮助记忆，一边通过6道简单示例帮助理解。
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式简单示例: 000028sin 32sin 28cos 32cos -=21)2832cos(00=+ 2．二倍角公式简单示例: (1)0015cos 15sin =4130sin 210= (2)112cos 22-π= 236cos =π(3)005.22tan 15.22tan -= 450=1 3．变形公式：正切和(或差)：βαtan tan ±=)tan(βα±.(βαtan .tan 1 )降次扩角：22cos 1sin 2αα-=， 22cos 1cos 2αα+=, 简单示例: )28tan 1)(17tan 1(00++=000028tan .17tan 28tan 17tan 1+++ =100000028tan .17tan )28tan .17tan 1).(2817tan(+-+ 24.形如ααcos sin b a +的化简(“辅助角公式”)ααcos sin b a +=)sin(22βα++b a ，其中22cos b a a+=β， 22sin b a b +=β简单示例: 12cos π 312π224sin 2)126sin(==+πππ 三．例题讲解通过两道例题来讲解公式的应用：例1.求下列各式的值：(1)0000167cos 43sin 77cos 43cos + (2) 0015cot 15tan + (3) 000040tan .20tan .340tan 20tan ++ (4) 12sin π+12π 设计意图：让学生初步熟悉公式，掌握“和、差、倍公式”的逆用和变用。
“两角和与差的正切”课堂实录及片段点评
“两角和与差的正切”课堂实录及片段点评作者：王立斌来源：《黑龙江教育·中学教学案例与研究》2007年第02期[本课选自人教版义务教育课程标准教材《代数》（必修）九年级下册.]师：前面我们学习了两角和与差的正、余弦公式，请大家回忆有关公式(学生口答，教师板书公式).sin(α±β)与cos(α±β)是讨论复角α±β与单角α、β的正、余弦函数间的关系，且此关系对任意角α、β均成立.今天我们要讨论tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系.大家想想，能用tanα、tanβ来表示tan(α±β)吗？[以旧引新，创设问题的情境，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动.]师：可以看出，以上推导是把两角和(或差)的正切转化为两角和(或差)的正、余弦；把两角差的正切转化为两角和的正切，即都采用了“转化”的思想方法.这种思想方法是研究数学问题的基本思想方法.在上面推导过程中，是否还有其他值得注意的地方？(稍加停顿，启发学生回答)分子、分母同时除以cosαcosβ，有没有条件限制？生：cosα≠0，cosβ≠0.师：还有什么限制？生：cos(α±β)≠0.[片段点评：明确定理、公式成立的条件并从公式推导中提炼思想方法，使学生的认识完整化.]师：用什么方法能记住公式Tα±β呢？(让学生议论.)生：这两个公式不必硬记，记住其推导过程，公式就自然记住了.生：这两个公式的形式相同，区别仅在于符号上，我觉得只要记住两点：一是右边分子里中间的符号与左边α±β中间的符号相同；二是分母中间的符号与分子中间的符号相反.[片段点评：理解记忆和对比记忆都是记忆的有效方法.]师：我们通过以下的例题来看看如何运用公式.例1：不查表，求值：（让学生互相讨论解决，教师巡视指导，并做小结.)师：通过上例，有以下几个方面值得我们注意：(1)将一般角转化为特殊角的和或差，可以不查表求值.(2)运用公式时，不能仅局限在从左到右的使用，还要善于从右到左的逆用.(3)单角和复角是相对的，60°+α与30°+α也均可看成单角，那么30°角就是它们的差角，因此例1(3)直接逆用公式Tα-β即可，没有必要将tan(60°+α)、tan(30°+α)用公式Tα+β展开后计算.(4)掌握变形技巧，灵活进行“1”的代换.如例1(4).通过例1(1)的解法暗示1可用tan45°来代换.[片段点评：恰当地使用暗示，达到启发学生思维的良好效果.]师：下面我们讨论例2.例2：不查表，求值：(1)tan15°+tan30°+tan15°tan30°；(2)tan17°tan43°+tan17°tan30°+tan43°tan30°.(让学生思考和讨论，教师进行必要的启发诱导.)生：第(1)题可以仿照求tan75°的方法求出tan15°，再求出整个式子的值.师：实际上大家都已注意到，15°和30°两角的和是特殊角45°，能否直接运用公式Tα-β？如果能用，怎么用法？tan15°+tan30°相当于公式中的tanα+tanβ，那么这一部分怎样表示呢？(教师配之以手的形象动作，启发学生进行公式变形.)生：可将公式Tα+β变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)(*)师：例2(1)能用(*)式来解吗？请你继续说下去.生：tan15°+tan30°+tan15°tan30°=tan(15°+30°)(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.[片段点评：通过具体例子显示出灵活运用公式的优越性，必将给学生留下深刻的印象，有利于学生解题技巧的形成.]师：这里说明，对于公式我们不仅要会正用，还要会逆用，有时还需要适当变形后再用.大家能否用这样的思想自己完成例2(2).(让一学生板书演示.)例3：已知tanα与tanβ是一元二次方程3x2+5x-2=0的两个根，且0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，(1)求α+β的值；(2)求cot(α-β).师：求α+β的值，一般是通过求它的某个三角函数值而得到.求哪一个三角函数值较方便？求值的条件具备了吗？师：上面解法，有没有问题？(略停顿，引导学生观察、思考.)由tan(α+β)=-1能肯定α+β=135°吗？其依据是什么？生：∵0°＜α＜90°，90°＜β＜180°.∴90°＜α+β＜270°，在90°与 270°之间，只有135°的正切值为-1，∴α+β=135°.[片段点评：特别提醒学生，这种忽略讨论角度范围的错误，在学习中是常见的，要引起足够的重视，以培养学生思维的严密性.]师：不求方程的根，tanα-tanβ如何求呢？(引导观察tanα-tanβ，tanα+tanβ，tanαtanβ三者之间的关系，进而启发学生得到下面方法.) ∵（tanα-tanβ）2=（tanα+tanβ）2-4tanαtanβ[片段点评：根据代数知识，创造运用公式的条件，以使学生灵活地综合运用学过的知识，培养分析与解决问题的能力.]师：请小结一下本课所讲的内容.生：主要内容有推导公式，讨论公式中，α、β、α±β的取值范围，如何运用公式？做到三会：正用、逆用、变形用.师：课外做如下作业：阅读课文有关内容(略).课本习题(略).研究题：1.若tanα与tanβ是方程x2-4x+1=0的两个根，且α、β均为锐角，求α+β的值.2.不查表，求(1+tan1°)(1+tan2°)……(1+tan43°)(1+tan44°)的值.3.求证：tan(A-B)+tan(B-C)+tan(C-A)=tan(A-B)tan(B-C)tan(C-A).（作者单位：讷河市第2中学）编辑/张烨E-mail:hit790205@“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
高中数学_两角和与差的正弦教学设计学情分析教材分析课后反思
《两角和与差的正弦》教学设计一教材内容分析《两角和与差的正弦》是高中数学新课程人教社B版《数学》必修4第三章3.1.2的内容，学生在上一节课学习了“两角和与差的余弦公式”。
本课的主要内容是借助两角和与差的余弦以及诱导公式推导出两角和与差的正弦公式，了解公式之间的内在联系，并会应用公式进行化简求值。
重点是公式的掌握及应用。
根据课标地要求是能从两角差地余弦公式推导出两角和与差地正弦公式，了解它们地内在联系。
体现了对学生利用知识关系探究、应用新知识地能力培养要求和学法指导要求。
同时，课改则要求教师既要以学生为主体，更要面向全体学生，以学生已有地认知经验为基础，让学生主动地参与新知地探究活动，要求通过学生地自主与合作探究，切实经历知识地发生、发展过程，体会其所蕴含地思想方法。
本节课地内容确定为公式探究和例题 1、例题 2 、例3地教学。
“两角和与差地正弦公式”地推导，揭示了两角和与差地三角函数与这两角地三角函数之间地运算法则，公式地逆用化简意义远大于直接展开计算地意义，突出地是“恒等变换”；例题 1 是对公式地直接简单应用，主要目地是强化对数据特征地观察和对公式地结构巩固，例题 2 既是对公式地逆用，也是对两角和余弦公式地巩固应用。
例3由特殊到一般推导出辅助角公式，体现了对正弦、余弦公式关系地强化，对培养学生地思维能力、运算能力和创新意识都有着十分重要地意义．二学情分析通过对必修一第一章和第二章的学习，已经掌握了向量和三角函数的基础知识，本章第一节学习了两角和差的余弦公式。
我们这堂课就是在此基础上进行的。
本节课主要借助诱导公式和两角和差的余弦公式推导出两角和差的正弦公式。
学生对“余弦公式”地推导，结构特征分析与应用等基础已经有了一定地把握也可以参考教材中对公式地证明与应用，经过独立思考或小组交流，基本上能完成相应地学习任务，但是对为什么要用余弦公式来证明、为什么如此进行对“角”地拆分与组合、每一步地意义与依据等内容地认识还是非常困难地，学生不能自主或合作顺利完成，需要教师在这些方面充分发挥主导作用进行点拨。
人教版高一数学必修第三册《两角和与差的正弦、正切》评课稿
人教版高一数学必修第三册《两角和与差的正弦、正切》评课稿一、背景介绍《两角和与差的正弦、正切》是人教版高一数学必修第三册中的一篇重要课文。
本课主要讲解了正弦和正切函数在两角和与差问题中的应用。
二、课文内容概述本篇课文主要内容包括以下几个方面：1. 弦与正弦函数的概念引入了弦的概念及其在圆上的性质。
然后介绍了正弦函数的定义以及其在数轴上的性质，解释了正弦函数与弦之间的关系。
2. 正弦函数的图像特点介绍了正弦函数的周期性、奇偶性、增减性等特点，并通过图像展示了正弦函数在不同参数下的变化规律。
3. 两角和与差的正弦定理推导了两角和与差的正弦定理，解释了为什么正弦函数可以用来求解两角和与差的问题。
通过具体的例题，帮助学生理解和掌握正弦定理的应用。
4. 正切函数的概念与性质介绍了正切函数的定义，讲解了其在数轴上的性质，包括周期性、奇偶性、增减性等。
5. 两角和与差的正切定理推导了两角和与差的正切定理，解释了正切函数在求解两角和与差问题中的应用。
通过例题的讲解，帮助学生理解和掌握正切定理的使用方法。
三、教学目标通过本节课的学习，学生应达到以下目标：1.掌握正弦函数的定义及其在两角和与差问题中的应用；2.理解正弦函数的图像特点，能够根据给定的参数作出正弦函数的图像；3.熟练应用正弦定理解决两角和与差的问题；4.理解正切函数的定义及其在两角和与差问题中的应用；5.熟练应用正切定理解决两角和与差的问题。
四、教学重点和难点1. 教学重点•正弦函数的定义及其在解决两角和与差问题中的应用；•正切函数的定义及其在解决两角和与差问题中的应用；•正弦定理和正切定理的应用方法。
2. 教学难点•正弦函数的图像特点及其参数对图像的影响；•正弦定理和正切定理的应用技巧。
五、教学方法本课程采用以下教学方法：1.课堂讲授：通过讲解理论知识，帮助学生理解和掌握正弦函数及正切函数的相关概念和性质；2.示例导练：通过给出一些具体的例题，引导学生熟悉并掌握正弦定理和正切定理的应用方法；3.小组讨论：设计一些小组讨论题目，让学生结合实际问题，自主应用所学知识，提高解决问题的能力；4.练习演算：布置一些练习题，让学生独立完成，检验对所学知识的掌握程度。
高中数学_两角和与差的正弦余弦正切公式教学设计学情分析教材分析课后反思
课后反思本节课在引导学生探究、合作以及交流的过程中，关注学生的认知心理过程，关注学生的发展，淡化终结性评价，强调过程评价、自我评价和评价的教育发展功能，教师肯定、公正的评价和学生自我评价促进了学生的自我反思和再认识，尤其是在“练习”中思维活跃的学生应给予及时肯定。
本节课教学注重了层次性，对基础薄弱的学生在“例1，例2中”多给他们创造机会，力争每一个层次的学生都能有机会得到积极的评价，因为这是让他们保持自信，爱好数学，从而学会学习的最好培养时机。
以上就是我对本节课的设计。
新理念下数学课堂教学的探索是一个长期的过程，充分挖掘数学的应用价值、思维价值和人文价值，需要我们教育工作者的不断创新和与时俱进．以上就是我这次说课的全部内容，还有不足之处希望各位领导，老师能够加以指正。
课标分析三角恒等变换有利于发展学生的推理能力和运算能力，在数学中有一定的应用。
本模块中让学生经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进而导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
1.知识与技能:①让学生学会用代换法，转化法推导公式；②让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能。
2.过程与方法:①通过公式的推导,着重培养学生获取数学知识的能力和数学交流的能力；②通过公式的灵活运用,培养学生的转化思想和变换能力。
3.情感、态度与价值观:课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力；小组交流中，培养合作意识；在解决问题时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想。
并唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。
教材分析两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等变换的基础，同时，它又是后面学习倍角、半角等公式的“源头”. 它对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简，求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。
本课时主要以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式推导两角和与差的正、余弦及正切公式以及它们的简单应用。
高一数学《正弦定理》评课稿
高一数学《正弦定理》评课稿高一数学《正弦定理》评课稿5月8日上午，我听了一节高一年数学公开课《正弦定理》。
课后进行教研组评议。
1、这是一节师生互动好、教师有激情的课。
教师讲解清楚，透彻，由于教师的亲和力大，学生积极性调动得较充分，感觉到课堂的一种和谐的氛围。
2、教师有钻研，课堂条理清晰，但重点处理有偏颇。
本节课教学重点是正弦定理的证明与定理的简单应用。
在评议中，大家认为，三角形的解的`情况的讨论和归纳应该作为下节课的一个重点，提前来讲，显得过犹不及，学生产生知识学习的障碍，同时，由于是在临近下节课的讲解，造成教师抛出结论多，学生无法很好思考和消化理解，当然，教师通过数轴上“01211”，让学生形象理解和记忆，很有新意。
事实上，平时学生若能抓住内角和等于180度、大边对大角，两边之和大于第三边等，再结合图形，就能很好判断三角形的解个数。
3、正弦定理的证明方法讲哪种更好呢？有老师认为，用三角形面积法证明更易于学生理解和接受，能够更好地进行定理应用的例题讲解；有老师认为，定理证明的几种应该都介绍给学生，让学生更好掌握定理的形成过程，这更符合新课标的要求；有老师认为，定理讲解就针对不同层次学生，对于基础较好班级可以更深入去挖掘一下，拓展学生思维，反之，不提倡讲得太多；有老师认为，定理推导要创设情境，引导学生去发现、类比等。
4、如何进行情境引入创设？本节课从白塔高度的测量引入，但由于塔心不可到达，这样引入效果不好。
若能从解三角形需三条边和三个角中，寻找能构成一个三角形需要什么条件？引导学生从三角形全等到边角关系（三边、两边一角、两角一边，三角），会更自然些。
5、定理的应用中的例题一题多变，有利于培养发散思维。
当然，解题中教师板演示范在尽量规范，渗透方程思想、数形结合思想等。
6、注意定理表述上图形、文字、符号的转换。
让数学课凸显数学的文化价值——“两角和与差的正弦”教学案例
・５ 。
又 由向量数 量积 的坐标 表示 ， ｂ・ 有 ｃ
一
一Ｃ Ｓ ￣Ｏ ＋ ｓ ｓ ． Ｏ Ｃ Ｓ８ Ｏ ｉ ａｉ ８ ｎ ｎ 所 以 ｃ ｓａ一卢 一ＣＳＯ Ｏ 卢＋ ｓｎａ ｉ ． ｏ（ ） Ｏ ＣＳ ／ ｉ ｓ ｐ ｎ
（Ｏ 卢 ｓ ） （ｏ （ ０－ａ ，ｉ（ ０ 一ｄ ） ＣＳ ，ｉ ｎ卢 ・ ｃ ｓ ９ 。 ） ｓ ９ 。 ） ｎ
算 ａ・ ． 图 １ 在 直角 ｂ如 ，
坐标 系 ｘ ｙ中 ， Ｏｃ Ｏ 以 ：
（ ）能从 两角 和与差 的 正弦公 式 的推导 过 程 １ 中体 会化 归思 想 的应 用 ； 握 两 角 和 与差 的正 弦 掌 公式 ， 能运 用它们 进 行简单 的三 角 函数 式 的化简 、 求值 及恒 等式证 明． （）了解 公 式 之 间 的 内在联 系 ， 解 两 角 和 ２ 理 与差 的正 弦 、 弦 四个公式 中， 余 只要证 明其 中任 意
一
轴 为始 边 分 别 作 角 ａ ， 口 其 终 边 分 别 与 单 位 ，
圆 交 于 Ｐ１ｃ ｓ ， （ｏ ａ
图 １
ｓ ） Ｐ （ｏ ， ｉ ） 设 向 量 ａ — Ｏ ｉ ｄ ， ２ ｃ ｓ ｓｎ ． ｎ Ｐｌ一
— — — — — —
÷
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十二 章 首 句 —— “ 生 一 ， 生 二 ， 生 三 ， 生 道 一 二 三 万物 ” 句名 言． 这
即 ｓ （ ＋ ｐ 一ｓ ｃ ｓ９ Ｃ Ｓ ｓｎ卢 ｉ ａ ｎ ） ｉ ａ ｏ 』＋ Ｏ ｉ ． ｎ ａ
师 ： 们 已学 习 两角 差 的余 弦公 式 的 推导 方 我 法， 能否 利用 这个 已学方 法来 推导 ？
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第1课时示范公开课教学课件【高中数学】
归纳小结
目标检测
已知 ，θ是第二象限角，求 的值．
1
已知 ，且 ， ，求 的值．
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时
新公式应该含有两个任意角的和或差．
整体感知
问题1 我们之前学习过诱导公式，它们的共同点是，等号左侧都是一个终边落在坐标轴上的特殊角与一个任意角的和或差，现在，我们希望将它们一般化，得到新的公式．你认为新公式应具备怎样的特点？
第二步，从“数”的角度考虑，写出单位圆上相互对称的的点的坐标；
第三步，“数形”融合，将前两步的结果整合，得出结论．
整体感知
问题2 之前我们利用圆的对称性证明了诱导公式，你还记得当时我们证明诱导公式的思路和步骤吗？
新知探究
问题3 先前我们在单位圆中利用圆的对称性推导出诱导公式，下面我们继续借助单位圆，采用同样的思路研究含有两个任意角α，β的三角恒等变形公式．首先，我们考虑两个任意角终边不重合时的情形．在平面直角坐标系中，如果已知任意角α，β的正弦、余弦，那么cos（α＋β）与它们有什么关系呢？
（1）计算cos 15°的值；
（2）已知 ， ， ，β是第三象限角，
求 的值．
新知探究
例2 借助公式 ，解答以下题目：
（1）计算cos 15°的值；
新知探究
问题5 结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和一个特殊角）相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱导公式与公式之间的关系吗？试一试．
第二，二者均为三角恒等变换的重要变形依据，
它们均可以经由圆的对称性质推导得到．
新知探究
问题5 结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和一个特殊角）相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱导公式与公式之间的关系吗？试一试．
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《两角和与差的正弦》课例点评
本课选自高中数学课标教材人教B版必修4第三章3．1．2的内容．从其教学设计和课堂教学的实施过程看，有以下特点：
1、准确的把握了课程标准的教学具体要求．从教学目标的设定及课堂教学实施过程看，突出了让全体学生对利用两角和与差的余弦公式证明两角和与差正弦公式过程的体验，强化了对公式结构特征的剖析，较好地突出了本节的重点．
2、教学内容的设计注重实效与高效．本节内容的设定切合学生的实际，变式题的设计与实施，不仅巩固了学生对例题1的认识，也为例题2的学习奠定了良好的基础，体现了知识与方法的内在联系，较好的提高了课堂教学的效益．
3、课堂教学突出了对学生思维过程的展示．学生的自主学习与合作学习均较为充分，公式的证明、例题的教学及训练都让学生用语言全面展示其思维过程，既强化了学生的理性思维水平，也达成了优秀思维策略的共享，特别是对公式证明和例题解答过程每步骤意义的提升，较好的体现了教师的主导作用，也为学生提供了科学的学法指导．
建议：努力加强对学生评价能力的培养与指导．。