概率问题常见解题方法

概率问题常见解题方法

作为<<概率统计>>这门应用数学的重要分支之一,概率问题在中学数学中越来越得到重视,也是近年高考的热点。在高中数学新教材中,必修三和理科的选修课本中重点介绍了等可能事件的概率(即古典概型)、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括n 次独立重复试验）。高考中对概率的考查主要以大题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合，但始终离不开各种概率的求法。因此要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”及其解题方法。

一、公式法 概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P （A ）=n

m （2）互斥事件有一个发生的概率 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） （3）相互独立事件同时发生的概

率P （A ·B ）= P （A ）·P （B ） （4）独立重复试验概率公式k k n k n P C P =)((1―P)k n -，应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。

例1：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为2

1，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。

解：记三次射击为事件A 、B 、C 其中P （A ）=

21 由21= P （A ）=50001002

=?K K ∴ P （B ）=9215050002= P （C ）=81200

50002= ∴命中野兔的概率为：P （A ）+P （A ·B ）+ P （A ·B ·C ）=

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95 二、组合分析法

对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。

例2：设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住（n ≤N ）,求下列事件的概率

（1）指定的n 个房间各有一个人住

（2）恰好有n 个房间，其中各住一人

解：∵每个人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有 N n 种，它们是等可能的，

∴（1）指定n 个房间各有一个人住记作事件A ：可能的总数为n ！则 P （A ）=n

N n ! （2）恰好有n 个房间其中各住一人记作事件B ，则这n 个房间从N 个房间中任选

共有n N C 个, 由（1）可知：P （B ）=n n N N

n C ! 三、间接法

某些概率问题，正面求解，不是很容易，特别当问题中出现至多（至少）等条件时，可采用间接方法转化为“对立事件”来求解

例3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2

（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。

（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 解：（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k （k=1、2、3、4、5）那么5门高炮都未击中敌机的事件为1A ·2A ·3A ·4A ·5A

∵ A i 是相互独立事件 ∴ 敌机击被击中的概率为：

P （1A ·2A ·3A ·4A ·5A ）

= P （1A ）·P （2A ）·P （3A ）·P （4A ）·P （5A ）

= (1―0.2)5 = 5)54

( ∴ P = 1－5

)54

( (2)设至少需要n 门高炮使敌机有0.9以上的概率被击中，则：

1―n

)54(> 0.9 解得：n > 10.3

∵ n ∈N + ∴ 至少需要11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机。

四、转化法

当依据题意所表述的形式难于思考时，可将该问题转化成一个熟悉的“概率模型”，从而求得其解。

例4：某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根火柴，每次用火柴时，他在两盒中任取一盒并从中任取出一根，求他发现用完一盒时，另一盒还有r 根（1≤r ≤n ）的概率。

解：由题意数学家共用了2n ―r 根火柴，其中n 根取自一盒，n ―r 根取自另一盒，于是此问题可等价转化为：“2n ―r 个不同的球，放入两个盒子，求甲盒放n 个，乙盒放n ―r 的概率”，记作事件A ，因每个球放入两个盒子共有2种放法