离散数学 练习题
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模拟题
一、选择与填空题:
1.设是代数系统,其中+和⨯为普通的加法和乘法,则当A= 时,是域。
①{x|x是整数} ②{x|x≥0,x是有理数} ③{x|x≥0,x是实数}
④{x|x是偶数} ⑤{x|x=a+b2,a, b是有理数}
2.设G是由6个元素构成的循环群,a是G的一个生成元素,则G有_______个子群,G的生成元是________________。
3.∅∩{∅} = ,{∅,{∅}}-{∅} = 。4.设集合A={a,b,c,d,e,f,g},π={{a,b},{c,d,e},{f,g}}是A上的一个划分,则π所对应的等价关系R应有个有序对。
①15 ②16 ③17 ④18 ⑤14 ⑥49 ⑦27 5.下列代数系统
7.一棵树T中有2个2度顶点,3个3度顶点,4个4度顶点,且没有大于4度的顶点,那么T中有片树叶。
8.设有下列集合,A ={0,10,110,1111},B ={1,01,001,000},C ={1,11,101,001,0011},D ={b,c,aa,ac,aba,abb,abc},则是前缀码。
①自反的②反自反的③对称的④反对称的⑤传递的⑥不可传递的10.在图1所示的二部图中,其最大匹配含有条边。
图1
11.设是格,其中A ={1,2,3,4,6,8,12,24>,≤为整除关系,则3的补元是 ,8的补元是 ,1的补元是 。 12.在如图2所示的二叉树中,后序遍历序列为: ,中序遍历序列为: 。
图2
13.对于S 6中的置换⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=346215654321136542654321τσ,,若表示
成不交的轮换之积,则σ = ,τ = ,στ = 。
14.设某班有学生50人,其中有28人在第一次考试中得到优,有23人在第二次考试中得到优,有15人两次考试都没有得到优,那么两次考试都得到优的学生人数是 。
15.设个体域D ={a ,b ,c },消去下列谓词公式中的量词: ∀x (F(x
,
y )→∃yG (y ))
⇔ 。
二、判断题:
1.“你真棒!”是个真命题。
( )
2.在主合取范式中,每个极大项都对应一个二进制数,该二进制数是极大项的成真赋值。
( ) 3.∅⊆∅,但∅∉∅。
( ) 4.极小元是指集合中大小最小的元素。
( )
A
B C D
E
F
G
H J
I K
L M
5.{a}⊆{{a},b} ()6.二元关系不是集合。()7.最大元一定是极大元。()8.函数的逆也是一个函数。()9.设S,T为任意集合,若S-T=∅,则S=T。()10.由握手定理可以推导出无向图中的奇度顶点有奇数个。()
三、综合题:
1’.设偏序集
(2)设B={1,3,6,15},求B的最大元素、最小元素、极大元素、极小元素、最小上界和最大下界。
2.在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(1)没有不吃饭的人。
(2)在北京卖菜的人不全是东北人。
(3)自然数全是整数。
(4)有的人天天锻炼身体。
2’.在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(1)所有大学生都要参加考试。
(2)有些大学生爱唱歌。
(3)并非每个实数是无理数。
(4)虽然有些实数是无理数,但未必一切实数都是无理数。
四、计算题:
1.用Dijkstra 算法求图3中a 到z 的最短路径,并求出最短路径长度。
2.有向图D 如图4所示。 (1)写出D 的邻接矩阵A ; (2)D 中长度为3的通路有多少条? 长度为2的回路有多少条?
(3)求该图的可达矩阵,D 是哪类连通图?
2’.有向图D 如图4所示。 (1)写出D 的邻接矩阵A ; (2)D 中长度为2的通路有多少条? 长度为3的回路有多少条?
(3)求该图的可达矩阵,D 是哪类连通图?
3.用克鲁斯克尔(Kruskal)算法求下列带权无向图的最小生成树,并计算出最小生成树的权值。
4.求命题公式(⌝P →Q )∧(P →R )的主析取范式。
v 4
v 5
v 3
v 1 v 2
b
c
5.设七个字母在通讯中出现的频率如下:
a:35%,b:20%,c:15%,d:10%,
e:8%,f:6%,g:3%.
(1)以频率(或乘100)为权,求最优二元树;
(2)求每个字母对应的前缀码;
(3)传输10 000个按上述比例出现的字母需要传输多少个二进制位?比用长度为3的等长码子传输节省了多少个二进制位?
5’.设七个数字在通讯中出现的频率如下:
0:35%,1:20%,2:15%,3:10%,
4:8%,5:6%,6:6%.
(1)以频率(或乘100)为权,求最优二元树;
(2)求每个数字对应的前缀码。
五、证明题:
1.证明下列命题中结论的有效性:
如果这里有球赛,则通行是困难的。如果他们按时到达,则通行是不困难的。他们按时到达了。所以,这里没有球赛。
1’.构造下面推理的证明:
如果小张守第一垒并且小李向B队投球,则A队取胜。或者A队未取胜,或者A队成为联赛的第一名。小张守第一垒。A队没有成为联赛的第一名。因此小李没有向B队投球。
2.设
(a∨b)’= a’∧b’.