离散数学 练习题

模拟题

一、选择与填空题：

1．设是代数系统，其中+和⨯为普通的加法和乘法，则当A= 时，是域。

①{x|x是整数} ②{x|x≥0，x是有理数} ③{x|x≥0，x是实数}

④{x|x是偶数} ⑤{x|x=a+b2，a, b是有理数}

2．设G是由6个元素构成的循环群，a是G的一个生成元素，则G有_______个子群，G的生成元是________________。

3．∅∩{∅} = ，{∅，{∅}}-{∅} = 。4．设集合A={a，b，c，d，e，f，g}，π={{a，b}，{c，d，e}，{f，g}}是A上的一个划分，则π所对应的等价关系R应有个有序对。

①15 ②16 ③17 ④18 ⑤14 ⑥49 ⑦27 5．下列代数系统（其中*是普通加法运算），(1)G为整数集合；(2)G为偶数集合；(3) G为有理数集合；(4) G为自然数集合。其中，不是群。6．设G为任意的连通平面图，则有n-m+r = ；若G是简单连通平面图(n≥3)，则m≤；若G是简单连通平面图(n≥3)，且G是二部图，则m ≤。（其中n表示顶点数，m表示边数，r表示平面数。）

7．一棵树T中有2个2度顶点，3个3度顶点，4个4度顶点，且没有大于4度的顶点，那么T中有片树叶。

8．设有下列集合，A ={0，10，110，1111}，B ={1，01，001，000}，C ={1，11，101，001，0011}，D ={b，c，aa，ac，aba，abb，abc}，则是前缀码。

9．设集合A={a，b，c}，R={，，，}，则R是。

①自反的②反自反的③对称的④反对称的⑤传递的⑥不可传递的10．在图1所示的二部图中，其最大匹配含有条边。

图1

11．设是格，其中A ={1，2，3，4，6，8，12，24>，≤为整除关系，则3的补元是 ，8的补元是 ，1的补元是 。 12．在如图2所示的二叉树中，后序遍历序列为： ，中序遍历序列为： 。

图2

13．对于S 6中的置换⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=346215654321136542654321τσ，，若表示

成不交的轮换之积，则σ = ，τ = ，στ = 。

14．设某班有学生50人，其中有28人在第一次考试中得到优，有23人在第二次考试中得到优，有15人两次考试都没有得到优，那么两次考试都得到优的学生人数是 。

15．设个体域D ={a ，b ，c }，消去下列谓词公式中的量词： ∀x (F(x

，

y )→∃yG (y ))

⇔ 。

二、判断题：

1．“你真棒！”是个真命题。

（ ）

2．在主合取范式中，每个极大项都对应一个二进制数，该二进制数是极大项的成真赋值。

（ ） 3．∅⊆∅，但∅∉∅。

（ ） 4．极小元是指集合中大小最小的元素。

（ ）

A

B C D

E

F

G

H J

I K

L M

5．{a}⊆{{a}，b} （）6．二元关系不是集合。（）7．最大元一定是极大元。（）8．函数的逆也是一个函数。（）9．设S，T为任意集合，若S-T=∅，则S=T。（）10．由握手定理可以推导出无向图中的奇度顶点有奇数个。（）

三、综合题：

1．设是偏序集，A ={1，2，3，4，6，8，12，24，60}，R是A上的整除关系，（1）画出R的哈斯图；（2）设子集B ={2，4，6，12}，写出B的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、最小上界和最大下界。

1’．设偏序集，其中，S30表示30的所有因子集合，D表示整除关系。（1）试作出该偏序集的哈斯图；

（2）设B={1,3,6,15}，求B的最大元素、最小元素、极大元素、极小元素、最小上界和最大下界。

2．在一阶逻辑中将下列命题符号化：

（1）没有不吃饭的人。

（2）在北京卖菜的人不全是东北人。

（3）自然数全是整数。

（4）有的人天天锻炼身体。

2’．在一阶逻辑中将下列命题符号化：

（1）所有大学生都要参加考试。

（2）有些大学生爱唱歌。

（3）并非每个实数是无理数。

（4）虽然有些实数是无理数，但未必一切实数都是无理数。

四、计算题：

1．用Dijkstra 算法求图3中a 到z 的最短路径，并求出最短路径长度。

2．有向图D 如图4所示。 （1）写出D 的邻接矩阵A ； （2）D 中长度为3的通路有多少条？ 长度为2的回路有多少条？

（3）求该图的可达矩阵，D 是哪类连通图？

2’．有向图D 如图4所示。 （1）写出D 的邻接矩阵A ； （2）D 中长度为2的通路有多少条？ 长度为3的回路有多少条？

（3）求该图的可达矩阵，D 是哪类连通图？

3．用克鲁斯克尔(Kruskal)算法求下列带权无向图的最小生成树，并计算出最小生成树的权值。

4．求命题公式（⌝P →Q ）∧（P →R ）的主析取范式。

v 4

v 5

v 3

v 1 v 2

b

c

5．设七个字母在通讯中出现的频率如下：

a：35%，b：20%，c：15%，d：10%，

e：8%，f：6%，g：3%.

（1）以频率（或乘100）为权，求最优二元树；

（2）求每个字母对应的前缀码；

（3）传输10 000个按上述比例出现的字母需要传输多少个二进制位？比用长度为3的等长码子传输节省了多少个二进制位？

5’．设七个数字在通讯中出现的频率如下：

0：35%，1：20%，2：15%，3：10%，

4：8%，5：6%，6：6%.

（1）以频率（或乘100）为权，求最优二元树；

（2）求每个数字对应的前缀码。

五、证明题：

1．证明下列命题中结论的有效性：

如果这里有球赛，则通行是困难的。如果他们按时到达，则通行是不困难的。他们按时到达了。所以，这里没有球赛。

1’．构造下面推理的证明：

如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队取胜。或者A队未取胜，或者A队成为联赛的第一名。小张守第一垒。A队没有成为联赛的第一名。因此小李没有向B队投球。

2．设是布尔代数，a、b是L中的任意元素，请证明：

（a∨b）’= a’∧b’.