2020-2021学年最新沪教版五四制九年级数学上学期期末考试综合测试题及答案解析-精编试题

九年级第一学期期末考试数学试卷

（满分：150分 考试时间：100分钟）

考生注意：

1、本试卷含有三个大题，共25小题；

2、答题时，考生务必按照答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1、已知

3

2

x y =，那么下列等式中，不一定正确是（ ） A 、5x y +=B 、23x y =C 、

52x y y +=D 、3

5

x x y =+ 2、在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝12，AC ＝5，那么tan B 等于（ ） A 、

513B 、1213C 、512D 、12

5

3、抛物线2(2)3y x =--+的顶点坐标是（ ） A 、(2,3)-B 、(2,3)C 、(2,3)-D 、(2,3)--

4、如图一，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（ ） A 、BD B 、AC C 、BD D 、CA

图1

A

5、下列四个命题中，假命题是（ ） A 、有一个锐角相等的两个等腰三角形相似； B 、有一个锐角相等的两个直角三角形相似；

C 、底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；

D 、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似。

6、已知O 的 半径长为2cm ，如果直线l 上有一点P 满足PO ＝2cm ，那么直线l 与O 的位置关系是（ ）

A 、相切

B 、相交

C 、相离或相切

D 、相切或相交

二、填空题：（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】

7、如果二次函数()2

2131y k x x =--+的图像开口向上，那么常数k 的取值范围是_______.

8、如果将抛物线()2

31y x =+向上平移1个单位，再向左平移2个单位，那么所得到的抛物

线的表达式是______________________________.

9、抛物线()2

11y x =--+在对称轴的右侧部分是__________的。（“上升”、“下降”）

10、甲乙两地的实际距离为250km ，如果画在比例尺为1:5000000的地图上，那么甲乙两地在图上的距离是_____cm 。

11、如果在观察点A 测得点B 的仰角是32°，那么在点B 观测点A ，所测得的俯角的度数是________.

12、如图2，已知△ABC 中，∠C ＝90°,AC ＝3，BC ＝2，点D 在边AC 上，DE ⊥AB ，垂足为E ，则cot ADE ∠的值是__________。

图2

图3

图4

13、已知△ABC 中，AD 是中线，点G 是△ABC 的重心，AD m =，那么用向量m 表示向量GA ＝_______________。

14、正五边形的中心角的度数是_________。

15、将一副三角尺按照图3所示的方式叠放在一起（∠B ＝45°，∠D ＝30°），点E 是BC 与AD 的交点，则

DE

AE

的值为_______。 16、已知O 的半径为5cm ，点P 是O 外一点，OP ＝8cm ，那么以P 为圆心且与O 相切的圆的半径长是________cm 。

17、新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做三角形的弦。已知等边三角形的一条弦的长度为2cm ，且这条弦将等边三角形分成面积相等的两个部分，那么这个等边三角形的边长为_________cm 。

18、如图4，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12，AD ＝8，如果将矩形沿直线l 翻折后，点A 落在边CD 的中点E 处，直线l 分别与边AB 、AD 交于点M 、N ，那么MN ＝___________。

三、解答题：（本大题共7小题，满分78分） 19、（本题满分10分）

计算：

22

2sin 60cos60tan 604sin 45?-??-?

20、（本题满分10分，每小题5分）

在平面直角坐标系xOy 中，如图5所示，已知点()3,0A 、点()2,5B -、点()0,3C -。 （1）求经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式；

（2）若点D 是（1）中求出的抛物线的顶点，求tan CAD ∠的值。

图5

21、（本题满分10分）

如图6，点A 、B 、C 在O 上，且∠COB ＝53°，CD ⊥OB ，

垂足为D ，当1

2

OD AB =时，求∠OBA 的度数。

图6

C

22、（本题满分10分）

如图7，某水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC ＝3米，坝高为2米，背水坡AB 的坡

度1:1i =，迎水坡CD 的坡脚∠ADC 为30°，求坝底AD 的长度。

图7

23、（本题满分12分，每小题6分）

四边形ABCD 是平行四边形，E 是对角线AC 上一点，射线DE 分别交射线CB 、AB 于点F 、G 。 （1）如图8，如果点F 在CB 边上，点G 在AB 边的延长线上，求证：

1EF FG

DE DG

+=。 （2）如果点F 在CB 边的延长线上，点G 在AB 边上，试写出

EF DE 与FG

DG

之间的一种等量关系，并给出证明。

图8

A

备用图

A

24、（本题满分12分，每小题满分4分）

在平面直角坐标系中，已知()

1,3

A-、()

2,

B n

两点在二次函数2

1

4

3

y x bx

=-++的图像上。

（1）求b和n的值；

（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；

（3）若点P（不与点A重合）在题目给出的二次函数的图像上，且∠POB＝45°，求点P坐标。

图9

25、（本题满分14分，其中第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）

已知O的半径长为5，点A、B、C在O上，AB＝BC＝6，点E在射线BO上。

（1）如图10，联结AE、CE，求证：AE＝CE；

（2）如图11，以点C为圆心，CO为半径画弧交半径OB于D，求BD的长；

（3）当11

5

OE=时，求线段AE的长。

图10

图11

备用图

参考答案

一、选择题

1、A

2、C

3、B

4、B

5、A

6、D 二、填空题

7、12k >

8、()2

331y x =++ 9、下降 10、5 11、32? 12、32

13、23m - 14、72? 15

16、3或13 17

、 18、1255

()1212

或10 三、解答题

19

、211

223?-?-

====+解：原式20、解：（1）2,A B C y ax bx c =++设经过点、、的抛物线表达式为代入坐标得：

9301425233a b c a a b c b c c ++==???

?-+==-????=-=-??

解得：

2,23A B C y x x =--所以经过点、、的抛物线表达式为

（2）2234(1)4y x x x =-+=--由，(1,4)D D -得顶点的坐标是

2223318AC =+=，222(10)(43)2CD =+--+=，222(31)(04)20AD ++==- 222AC +CD =AD

∴1

90,tan 3

CD ACD=CAD AC ∴∠?∴∠=

== 21、解：,O OE AB E ⊥过点作垂足为

,,,1

O A B O OE AB BE=AB 2

⊥∴是圆心点、在

上

,1

OD=AB BE=OD 2

∴

,B C O OB=OC ∴点、在上

,,CD OB ODC=90OE AB OEB=90⊥∴∠?

⊥∴∠? 在Rt △OBE 和Rt △OCD 中，

,BE=OD OB=OC

∴ Rt △OBE ≌Rt △OCD 。 OBA=COB ∴∠∠

53,53COB=OBA=∠?∴∠?

22、解：分别过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足为E 、F ，可得BE ∥CF 又∵BC ∥AD ，∴BC ＝EF 、BE ＝CF

,3,2EF BC BE CF ====由题意得 ,45AB i BAE ∴∠=?背水坡的坡度=1:1

在Rt △ABE 中，90,45,2AEB BAE BE ∠=?∠=?=

cot 45212AE BE ∴=??=?=

在Rt △CDF 中，90,30,2CFD ADC CF ∠=?∠=?=

cot302DF CF ∴=??=

235AD AE EF DF ∴=++=++=+

答：坝底AD 的长度为(5+米。

23、（1）证明：ABCD 四边形是平行四边形

AD ∴∥,BC AD=BC ,EF CF FG BF

DE AD DG AD

∴

==

1EF FG CF BF CF BF BC AD

DE DG AD AD AD AD AD

+∴

+=+==== （2）

1EF FG EF FG

DE DG DE DG

-=与之间的等量关系是

ABCD 证明：四边形是平行四边形

AD ∴∥,BC AD=BC ,EF CF FG BF

DE AD DG AD

∴

==

1EF FG CF BF CF BF BC AD

DE DG AD AD AD AD AD

-∴

-=-====

24、解：（1）21

(1,3)43

A y x bx -=-++点在二次函数的图像上，

212

3(1)4,33

b b ∴=---+=解得

212

(1,3),(2,)433A B n y x x ∴-=-++经过点两点的二次函数的解析式是

212

224,433

n n ∴=-?+?+=即

（2）,,,A AD x D B BE AD E ⊥⊥过点作轴垂足为过点作垂足为

,1,3,3,4,1OD AD BE DE AE =====由题意易得

11

()44822ODEB S OD BE DE ∴=+?=??=梯形的面积为

13

22ADO S

AD OD =

?=13

22

AEB

S BE AE =?= 835AOB

ADO

AEB

S

S S

S

∴=--=-=

（

3

）

,,,AOB 分别计算：利用勾股定理证明是直角三角形

45AO AB AOB ABO =∠=∠=?由得到 45,POB P A ∠=?不与点重合

90AOP AOB POB ∴∠=∠+∠=?

,90,90P PH x H POH AOD OAD AOD ⊥∠+∠=?∠+∠=?过作轴，垂足为由

POH OAD ∴∠=∠ 1

tan tan 3

PH OD POH OAD OH AD ∴

=∠=∠== 1

,,3,(3,)3

PH PH k OH k P k k OH ∴

===不妨设则得 212

(3,)(3)(3)433P k k k k k =-?+?+将代入抛物线解析式，得

121244

1,,(3,1),(4,)33

k k P P =-=

--解得：得 244

(4,),,(4,).33

P P P 经检验发现不合题意舍去故所求点坐标为

25、（1）证明：,O OF BC OG AB F G.⊥⊥过点分别作、垂足为、

,,AB=BC OF BC OG AB ⊥⊥

11

,,22

OF OG BF BC BG AB

BF BG ∴===∴=

在Rt △OBF 和Rt △OBG 中，,OB OB BF BG == ∴Rt △OBF ≌Rt △OBG 。OBG OBF ∴∠=∠ 在△ABE 和△CBE 中，

,,AB AC OBG OBF BE BE =∠=∠=

∴△ABE ≌△CBE ， AE CE ∴=

（2）过点C 作CH ⊥BC ，垂足为G ，由CO ＝CD 得OH ＝DH ，

过点O 作OG ⊥BC ，垂足为G ，由OB ＝OC 得BG ＝CG ， ∵BC ＝6，∴BG ＝CG ＝3，3

cos 5

BG OBG OB ∠=

= 在Rt △BCH 中，BC ＝6，390,cos 5

BHC OBG ∠=?∠=

318

cos 655BH BC OBG ∴=?∠=?=

187145,2555

OH OB BH OD OH ∴=-=-

=== 1411555

BD OB OD ∴=-=-

= （3）当点E 在线段BO 的延长线上时，111136

,5,5555

OE OB BE =

==+=，联结CE ， 555,,36665AB OB BC OB

BE BC BE AB

===∴=

OBC ABE ∠=∠又，∴△OBC ∽△ABE AE AB

OC OB

∴=

6OC OB

AE AB =∴==

当点E 在线段BO 上时，1114555

BE BO OE =-=-

=， 过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H ，由第（2）小题知3cos cos 5ABH OBC ∠=∠=，易得4sin 5

ABH ∠= 在Rt △ABH 中，6,90AB AHB =∠=?

424

sin ABH 655AH AB ∴=?∠=?=

318

cos 655BH AB ABH ∴=?∠=?=

18144555

EH BH BE ∴=-=

-= 在Rt △AEH

中，244

90,

,,55

AHE AH

EH ∠=?=

= AE ∴===