21控制系统的时域数学模型PPT课件
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自动控制原理课件胡寿松官方版
2
1
2
eΦ-( sω)n=tsin(ωdωt+nβ2 )
s2+2 ωns+ωn2
令hβ(t)=1取其解中的最小值，
- 令ωhn (t)0一阶导数=0， 0 <
得<1tr时= π：ω- βd
π
- 取其解中的最小值，S1,2= 得 ωntp= ±jωωd n √1- 2
e 由σ%=
h(t)=
s6 1 3 5 7
劳
s5 2 s4 1
4 2
6 77
((61-1(064－)-/614=))//-228==1 2 劳斯表特点
思 s3 ε0 --88
1 右移一位降两阶
表
ε s2 2ε +8 7ε
s1 -8(2 +8) -7ε 2
2 劳思行列第一列不动 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等
s0 7ε
19
动态性能指标定义3
h(t)
A
σ%=
A B
100%
B tr tp
t
ts
20
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统 Φ(s)=
k Ts+1
, T 时间常数
(画图时取k=1,T=0.5)
k(t)=
1 T
e-
t T
h(t)=1-e-t/T
c(t)=t-T+Te-t/T
r(t)= δ(t) 单
位 单 位单 位 脉 斜阶 冲 坡 响跃 响 响应应
10
2.3.6 信号流图的常用术语
1．节点及其类别
源节点 只有输出支路而无输入支路的节点称为源节点或
输入节点，对应于系统的输入变量，如图2.40中的R、D。
自控第2章(1)
例1 试列写如图所示RLC无源网络的微分方程 试列写如图所示RLC RLC无源网络的微分方程
解: (1) 确定电路的输入量和输出量 ＋ (2) 列出原始微分方程式 (3) 消去中间变量，把微分方程 ur(t) 消去中间变量， 整理成标准形式 －
L R i C － ＋ uc(t)
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC + RC + uc ( t ) = ur ( t ) 2 dt dt
Kg =
K1K2 K3 Km
(i + K1K2 K3 KmKt )
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′ = KC KC
(i + K1K2 K3 Km Kt )
2.2 控制系统的复数域数学模型
2.2.1传递函数 2.2.1传递函数 传递函数：是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变 传递函数：是在零初始条件下， 换与输入量的拉氏变换之比。 换与输入量的拉氏变换之比。 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统， 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，则在 t≥0时才作用于系统 t=0时 系统输入量r(t)以及其各阶导数均为零； r(t)以及其各阶导数均为零 t=0时，系统输入量r(t)以及其各阶导数均为零； 二是指输入量加于系统之前， 二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即输出量c(t)及其各阶导数在t=0 c(t)及其各阶导数在t=0时的 工作状态，即输出量c(t)及其各阶导数在t=0时的 值也为零。 值也为零。
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自动控制理论
制作人：范 娟 制作人：
课堂练习
如图a和 所示均为自动调压系统 设空载时， 所示均为自动调压系统。 与图b 如图 和b所示均为自动调压系统。设空载时，图a与图 与图 发电机端电压均为110V。试问 带上负载后，图a与图 所示系 带上负载后， 与图b所示系 发电机端电压均为 。 与图 统哪个能保持110V电压不变？哪个系统的电压会稍低于 电压不变？ 统哪个能保持 电压不变 哪个系统的电压会稍低于110V？ ？ 为什么？ 为什么？
《计算机控制系统教学课件》5.传递函数及方框图
T2s 116（来自）振荡环节振荡环节的传递函数为：
G(s)
s2
wn2 2wns
wn2
式中wn———无阻尼自然振荡频率，wn=1/T； z ——阻尼比，0＜z＜1。
下图所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线。
RLC串联电路、弹簧质量 阻尼器串联系统都是二阶 系统。只要满足0＜z＜1， 则它们都是振荡环节。
G(s) C(s) G1(s) R(s) 1 G1(s) G2 (s)
G1(s) G2(s)
G1(s) G2(s)
C (s) C (s)
26
4、分支点移位：
（1）前移
R (s) C (s)
G1(s)
（2）后移
C (s)
R (s)
C (s) G1(s)
C (s) G1(s)
R (s)
G1(s)
C (s) R (s)
6
a0c(n) a1c(n1) anc b0r(m) b1r(m1) bmr
在零初始条件下:
c(0) c(0) c(n1) (0) 0
n个
r(0) r(0) r(m1) (0) 0
m个
拉氏变换:
单输入单输出 线性定常系统
r(t) 输入量 c(t) 输出量
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s bm]R(s)
17
（六）延滞环节
延滞环节是线性环节， 称为延滞时间（又称死时）。
具有延滞环节的系统叫做延滞系统。
如下图所示，当输入为阶跃信号，输出要隔一定时间 后才出现阶跃信号，在0＜1＜ 内，输出为零。
延滞环节的传递函数为: G(s) es 系统具有延滞环节对系统的稳定性不利，延滞越大，影响越大。
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
自动控制原理胡寿松第六版ppt
通常m < n;a1 , … , an； b0 , … , bm 均为实数; 首先将Xs的 分母因式分解，则有
X (s)b 0s (s m p b 1 1) sm s ( 1 p 2) b (s m 1s p n)b m
3) 随动系统中，取θ为输出
d
dt
Tmd d22td d tk 1euaT JmM L
4 在实际使用中;转速常用nr/min表示,设 ML=0
2 6 n 0 3 n代 02 入 2， 2k'e令 ke3 0
TaTmdd2n 2tTmd dn tnk1'eua
24 线性系统的传递函数 一 复习拉氏变换及其性质
方程数与变量数相等 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入 输出的方程式。 6) 将方程式化成标准形。
与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按 降阶排列，系数化为有物理意义的形式。
2 2.2 机械平移系统举例
三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f 对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv
2微分定理
Lddx(tt)sX(s)x(0)
Ld2 dx2 (tt)s2X(s)sx (0)x (0)
若 x ( 0 ) x ( 0 ) 0 ,则
Lddx(tt) sX(s)
d2x(t)
L
dt2
s2X(s)
…
dnx(t)
L
dtn
snX(s)
3积分定律
Lx (t)d t1X (s)1x ( 1 )(0 )
系统处于平衡状态。
K m y(t)
3按牛顿第二定律列写原始方程;即
d2y FF(t)F k(t)F f(t)md2t
X (s)b 0s (s m p b 1 1) sm s ( 1 p 2) b (s m 1s p n)b m
3) 随动系统中，取θ为输出
d
dt
Tmd d22td d tk 1euaT JmM L
4 在实际使用中;转速常用nr/min表示,设 ML=0
2 6 n 0 3 n代 02 入 2， 2k'e令 ke3 0
TaTmdd2n 2tTmd dn tnk1'eua
24 线性系统的传递函数 一 复习拉氏变换及其性质
方程数与变量数相等 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入 输出的方程式。 6) 将方程式化成标准形。
与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按 降阶排列，系数化为有物理意义的形式。
2 2.2 机械平移系统举例
三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f 对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv
2微分定理
Lddx(tt)sX(s)x(0)
Ld2 dx2 (tt)s2X(s)sx (0)x (0)
若 x ( 0 ) x ( 0 ) 0 ,则
Lddx(tt) sX(s)
d2x(t)
L
dt2
s2X(s)
…
dnx(t)
L
dtn
snX(s)
3积分定律
Lx (t)d t1X (s)1x ( 1 )(0 )
系统处于平衡状态。
K m y(t)
3按牛顿第二定律列写原始方程;即
d2y FF(t)F k(t)F f(t)md2t
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
控制系统的动态数学模型
)
1
其是m 中由d 2d系,yt(at统i),本bcj身d(yd的i(=tt0)结,1构,K2,y参…(t数),n;所jf 决=(t0)定,1,。2,…G,m(s))均 为YF((实ss)) 数 m，S
2
1 cS
k
不传考递虑函初数始:值零，初对始上条式件两下边，进系行统拉输氏出变与换输，入可拉得氏：变换之比.
其传(G1不(传输将)传中递(C考s(微递入a递s,函)a)虑ni,分函函数bS初jLR(rCi[Rn数性方数=c(C(始(0t((bSt只质,))ss程1:(m值]),,))s极2适：S零),，R拉…m点用系(GsK对初Rb,氏)naa于m(;0统(上nnS始jLS变s线S([=()1式)SrmS0Sn条(性换t,两1)n],定b件2便)C1边a,bpmczC…常n1m1((下进可S))1(t,1(m(系S1)s)S行S，SS)求)m统是nm拉系输得11。由.R1z氏p.统.2出传系2().变)s.....输统..)递a..换..(1(本S出SSa函，.b1.1身1.CS可与数S的1z(得1p输mbs,结n表1))：)Sa入b构0示10Ra拉参G0为(C数s氏()：s(零所s)变)点决b换0CR定R之((的(sss))比实) 数. 。
ic (t )
1
uA
(t
)
R4
ic
(t)
C
ic (t )dt
对角相乘后进行拉氏反U A变( S )换得微分方程:
Ui((TS2)S
1)U R1
o
(S)
R2K (TR15S
1)URi4(
S
)1 CS
自动控制原理课件chapter2_1
d d 2 ( )0 ,( 2 )0 , di f di f
Rn +1
0 if 0
图2-3
小偏差线性化示意图
图2-4
RL网络
例2-3，设铁芯线圈电路如图2-4所示，其磁通与线圈中电 流之间的关系如图2-5所示，试写出以为输入，为输出的 微分方程。 解（1）设铁芯线圈磁通 变化时产生的感应电势为：
图2-5磁通与线圈中电流之间Biblioteka 关系(2.3） (2.4)
或
d u c (t ) d u c (t ) T1 + T2 + u c (t ) = u r (t ) 2 dt dt
2
uc (t ) =
1 i (t )dt C∫
式中T1=LC，T2=RC为电路的时间常数，单位为秒。 式(2.3)和式(2.4)是线性定常二阶线性微分方程。
二、非线性方程的线性化
（一）R-L-C电路 电路 图2-1所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值， ur(t)为输入电压， uc(t)为输出电压，输出端开路。求出uc(t)与ur(t)的微分方程。
图2-1 R-L-C 无源电路
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式：
di (t ) 1 L + ∫ i (t )dt + Ri (t ) = ur (t ) dt C
(2.1)
（2）式中i(t)是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系：
1 u c (t ) = C
∫ i(t )d t
( 2 .2 )
(3) 消去式(2.1)、式(2.2)的中间变量i(t)后，输入输出 微分方程式：
d 2uc (t ) duc (t ) LC + RC + uc (t ) = ur (t ) 2 dt dt