(完整版)初中函数概念大全

y

P(x 0 y 0)

d

B(x 2, y 2)

b

A(x 1, y 1)

y=kx+b

a

x

x + y = 1

d = =

kx - y + b 0 0 kx - y + b 0 0

k 2 + (-1)2 k 2 + 1

Y

A

此方法拓展思路，以

l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 ⋅ k 2 = -1

函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y ，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是 x 的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点

（1） 解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2） 列表法

把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3） 图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1） 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2） 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3） 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

一次函数和正比例函数

1、一次函数的概念：一般地，如果 y = kx + b （k ，b 是常数，k ≠ 0），那么 y 叫做 x 的一次函数。

特别地，当一次函数 y = kx + b 中的 b 为 0 时， y = kx （k 为常数，k ≠ 0）。这时，y 叫做 x 的正比例函数。

2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线

一次函数 y ＝kx ＋b (k ≠0)的图像是经过点（0，b ）的直线(b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在 y 轴 上的截距)；正比例函数 y = kx 的图像是经过原点（0，0）的直线。

k = tan = y 2 - y 1 3、斜率： x 2 - x 1

①直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0) ②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:

y = kx + b = (tan )x + b =

y 2 - y 1

x (x - x ) + y

x 2 - x 1

③由直线在

x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式： a b

④设两条直线分别为， l 1 ： y = k 1 x + b 1

l 2 ：

y = k 2 x + b 2 若

若 l 1 // l 2 ，则有l 1 // l 2 ⇔ k 1 = k 2 且b 1 ≠ b 2 。 ⑤点 P （x 0，y 0）到直线 y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:

4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用

1

1

寻求解题方法）

如图：点A 坐标为（x1，y1）点B 坐标为（x2，y2）

则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为

5、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 y = kx （k ≠ 0）中的常数 k 。确定一个一次函数，需要确定一

次函数定义式 y = kx + b （k ≠ 0）中的常数 k 和 b 。解这类问题的一般方法是待定系数法。

6、（1）一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于 y 轴。

（2） 当 k>0 时，图象过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）； （3） 当 k<0 时，图象过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）； （4） 当 b>0 时，与 y 轴的交点（0，b ）在正半轴；当 b<0 时，与 y 轴的交点(0,b)在负半轴。当 b ＝0 时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线

（5） 几条直线互相平行时 ，k 值相等而 b 不相等。

反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，函数 y = k

（k 是常数，k ≠ 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 y = kx -1 的形式。自变

x

( x - x ) + ( 2

y - y ) 2

1 2 1 2

量x 的取值范围是x 0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成 xy=k(k 是常数，k≠0)反比例函数中，两个变量成反比例关系：由 xy=k，因为 k 为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以 y 与 x 成反

y

比变化，而正比例函数y=kx(k≠0)是正比例关系：由=k (k≠0)，因为 k 为不等于零的常数，两个变量的商是定值。

x

k

2、反比例函数y= (k≠0)的图象的画法画图方法：描点法。

x

由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。一定要注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。

k

特点：y= =kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴y≠0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限靠近 x 轴、y x

轴。画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。

4、反比例函数解析式的确定

确定的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y =

一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何的意义

k k

中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的x

如下图，过反比例函数y = (k ≠ 0) 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON 的面积x

k

S=PM • PN= y •x =

二次函数xy y = ,∴xy =k, S =k

x

1、二次函数的概念：一般地，如果y =ax 2+bx +c(a, b, c是常数，a ≠ 0) ，那么y 叫做x 的二次函数。

y =ax 2+bx +c(a, b, c是常数，a ≠ 0) 叫做二次函数的一般式。

b

2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于x =-

2a

3、二次函数图像的画法五点法：

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。