A第1章 概率论的基本概念
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论与数理统计练习册答案
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
概率与统计课件(一)概率论的基本概念
2
0
A B
表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事
件为事件A与事件B的和（并）事件,或记为A+B. 事件A1，A2，…An 的和记为 ,或A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An
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表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的 积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共
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例1.27 一张英语试卷，有10道选择填空题，每题有4 个选择答案，且其中只有一个是正确答案.某同学投机 取巧，随意填空，试问他至少填对6道的概率是多大？
解 设B=“他至少填对6道”.每答一道题有两个可能的 结果：A=“答对”及 =“答错”，P（A）=1/4，故 作10道题就是10重贝努里试验，n=10，所求概率为
定义1.2: 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时, 频率 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数 n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的 概率，记为 P ( A) p
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2、概率的公理化定义
定义1.3
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概率的性质：
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解 设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙三个车间， B表示产品为“次品”的事件，易知A1，A2，A3是样本 空间Ω的一个划分，且有 P（A1）=0.45，P(A2)=0.35，P(A3)=0.2， P(B｜A1)=0.04，P(B｜A2)=0.02，P(B｜A3)=0.05.
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第三节 条件概率、全概率公式
1、条件概率的定义
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• 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{bb,bg,gb,gg} • （1）事件A=“家中至少有一个女孩“发生的概率？ • (2)若已知事件B=“家中至少有一个男孩”，再求事 件A发生的概率？ •
概率论基础知识
对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，即P{X＝a}＝0。事实上0≤P{X＝a}≤P{a－△x＜X≤a}＝F(a)－F(a－△x).P{a＜X≤b}＝P{a≤X≤b}＝P{a＜X＜b}.
定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
多个事件相互独立：一般，设A1，A2，…，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。
推论：①若事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。
第一章 概率论的基本概念
一、事件运算常用定律（设A,B,C为事件）：
二、频率与概率
1.概率的公理化定义：
①非负性：对于每一个事件A，有P加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj＝∅，i≠j，i,j＝1,2,…，有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋….
P{X＞s＋t|X＞s}＝P{X＞t}
3.正态分布(高斯分布)[X～N(μ,σ2)]：
正态分布性质：
①曲线关于x＝μ对称，这表明对于任意h＞0有P{μ－h＜X≤μ}＝P{μ＜X≤μ＋h }.
②当x＝μ时取到最大值 ，x离μ越远，f(x)的值越小。
③在x＝μ±σ处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。
标准正态分布：μ＝0，σ＝1.其概率密度和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示，即有：
②若n个事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
1-2(概率的定义、古典概率)
P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
三.几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
(1)
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在 何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小) 值是多少？ 解 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A )
i j k
„ ( 1)
n1
P ( A1 A2 „ An )
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能 答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
概率论课件
例3 盒中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任 取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所 取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试 求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率 。
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
1.7 全概率公式
例：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
古典概型中的概率: 设事件A中所含样本点个数为M ，以N记样 本空间S中样本点总数，则有
M P ( A) N
P(A)具有如下性质： (1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概
1.6 条件概率和乘法定理
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十
人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取 到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到 红球的概率又是多少？ 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
• 随机事件
定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随 机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 在每次试验的结果中某事件一定发生，则该事件称 为必然事件，记作U。 在每次试验的结果中某事件一定不发生，则该事件 称为不可能事件，记作V。
频率：
设随机事件A在n次试验中发生了m次
m f n ( A) n
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
概率论的基本概念
而要成环，则第一步从 6 个头中任取一个，此时余下的 5 个头中有 1 个不能相 接，只可与余下的 4 个头中的任 1 个相接；第二步从未接的 4 个头中任取一个， 与余下的 2 个头中的任 1 个相接；最后从未接的 2 个头中任取一个，与余下的 最后 1 个头相接；这总共有 6 × 4 × 4 × 2 × 2 × 1 种可能的接法。 设 A : 六根草恰巧连成一个环 则所求的概率为：
P ( ABC ) = P ( A − ( B U C )) = P ( A) − P ( A( B U C ))
= P ( A) − P ( AB ) − P ( AC ) + P ( ABC ) = P ( A) − P ( AB ) − P ( AC ) + P ( ABC ) = 0.30
（2） P （只订阅一种报纸） =
另一方面：
1 ， 4
P ( A) P ( B ) − P ( AB ) = P ( A)[ P ( AB ) + P ( AB )] − P ( AB ) = P ( A) P ( AB ) + P ( AB )[ P ( A) − 1]
≤ P ( A) P ( AB ) ≤ P ( A) P ( A) = P ( A)[1 − P ( A)] ≤
第一章 概率论的基本概念 主要内容: 事件的定义与运算性质； 概率的公理化定义与性质； 等可能概型； 条件概率与事件的独立性； 重 点： 等可能概型； 全概率公式与贝叶斯公式； 难 点： 全概率公式与贝叶斯公式 教学要求：理解事件的定义, 并熟练掌握事件的运算性质； 理解概率的公理化定义, 熟练掌握并能灵活运用概率的性质； 掌握等可能概型中的概率计算方法； 牢固掌握条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式； 理解独立性的概念, 并能运用独立性解决某些概率计算问题。 综合例题选讲
1概率论的基本概念
[注样本空间是相对于某个随机试验而言，而其元 ]
素取决于试验的内容和目的．
二、随机事件
1.随机事件: 试验E的样本空间S的子集. 简称事件． 通常用字母A，B，C表示.
A的对立事件记作 A .
ASA
B A
A
[注]
(1) 事件之间的关系可用文氏图表示； (2) 对于任意事件A，显然
AA , A
A S,
A S A, A A
(3) 基本事件都是互不相容的; A与B-A也是互不相容的． (4) B A B A B AB
B
A
A U B A U ( B A )
S1={H, T}（H表示出现正面， T表示出现反面）
试验E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况.
S2= {HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}
试验E3:将一枚硬币抛掷三次,观察反面出现的次数. S3={0,1,2,3} 试验E4:抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. S4={1,2,3,4,5,6}
第一章 概率论的基本概念
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型(古典概型) 条件概率 独立性
第一章 概率论的基本概念
引言：概率论是研究什么的？
研究和揭示随机现象的统计 在一定条件下必然发生的现象 确定现象 规律性的数学学科 例：向空中抛一物体必然落向地面； 水加热到100℃必然沸腾； 异性电荷相吸引； 放射性元素发生蜕变; … … 例:抛一枚硬币,结果可能正(反)面朝上； 向同一目标射击,各次弹着点都不相同； 某地区的日平均气温； 掷一颗骰子，可能出现的点数；… …
第一章 概率论的基本概念
• 答案：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的 拿这个钱的1／4。
• 假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。 若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了， 即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在， A赢、输的可能性都是1／2,所以，他拿的钱 应该是（1／2）×1＋（1／2）×（1／2）＝ 3／4,当然，B就应该得1／4。
24
0.4614
• “分赌本”问题 两个人决定赌若干局，事先约 定谁先赢得5局便算赢家。如果在一个人赢4 局，另一人赢3局时因故终止赌博，应如何分 赌本？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4 份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早 说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分 一半呢？
• 法国数学家帕斯卡接受了这个问题，并与另一 位法国数学家费尔马进行讨论，后来荷兰科学 家惠更斯也参与了研究，并把解法写入了《论 赌博中的计算》（1657年）。
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)
事件间的关系
包含：A B或B A，称事件B包含事件A，即事
件A发生必然导致事件B发生。
相等： A B且B A，即A B，称事件A与事件B
相等。
n
和： A，B表示A、B二事件中至少有一个发生；k1 Ak
ABC ABC ABC
6) 这三个事件至少发生一个可以表示为：
A B C或
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
练习 证明下列等式：
1A B A B A 2A B B A AB AB 3B A AB AB
解 1 A B A B A B A A
证明(3):由于A1，A2 ，… ，Ak是两两互不相 容，在n次试验中A1∪A2∪…∪Ak的频数
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三、事件之间的关系与事件的运算
（一）事件之间的关系 1.包含关系： 包含关系： 包含关系
发生必导致B发生 “ A发生必导致 发生” 发生必导致 发生” 记为A 记为 B A＝B AB且BA. ＝ 且
11
2.和事件： “事件A与B至少有一个发生”， 2.和事件 和事件： 事件A 至少有一个发生” 记作: A∪ 记作: A∪B = {x|x∈A或x ∈ B} {x|x∈
21
2、频率的性质 、
(1) 0≤ fn(A) ≤ ； ≤1； ≤ (2) fn(S)＝1； fn(φ )=0 ＝ ； φ (3) 可加性：若AB＝φ ，则 可加性： ＝ fn(A∪B)＝ fn(A) ＋fn(B). ∪ ＝ 实践证明：当试验次数n增大时 增大时， 实践证明：当试验次数 增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。将此稳定值记作 趋向一个稳定值 将此稳定值记作P(A)，可 将此稳定值记作 ， 将它作为事件A发生的概率 将它作为事件 发生的概率 发生的
A1 : “至少有一人命中目标” :
A∪ B ∪C A2 : “恰有一人命中目标” : ABC ∪ ABC ∪ ABC A3 : “恰有两人命中目标” : ABC ∪ ABC ∪ ABC A4 : “最多有一人命中目标” : BC ∪ AC ∪ AB
A5 : “三人均命中目标” : A6 : “三人均未命中目标” :
P(A-B)=P(A)-P(AB) 特别地，若事件B A ，则 P(A-B)=P(A)-P(B), 此时
P(A)≥P(B) ≥
25
(4) 对于任一事件A，P(A)≤1 (5)互补性 互补性：P(A)＝1－ P(A); 互补性 (6)加法公式 加法公式：对任意两事件A、B，有 加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
n个事件 1, A2,…, An至少有一个发生，记作 个事件A 至少有一个发生， 个事件
n i =1
∪ Ai
12
3.积事件 A与B同时发生， 积事件: 与 同时发生 同时发生， 积事件 记作: ∩ ＝ {x|x∈ 记作 A∩B＝AB = {x|x∈A 且 x ∈ B}
n个事件 1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An 个事件A 同时发生， 个事件
幻灯片 5
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二、随机事件
1、定义：试验中样本空间的某个子集，记作A、B、C等； 、定义：试验中样本空间的某个子集，记作 等 称由一个样本点e组成的单点集为一个基本事件 基本事件,记为{e}； 基本事件 事件A发生 称事件 发生 事件 发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。 2、两个特殊事件： 必然事件S 、不可能事件φ. 、两个特殊事件 例1 ：试验E2 中，以下A，B，C 即为三个随机事件: A＝“至少出现一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}； B=“三次出现同一面”={HHH,TTT} C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH} 例2 ：试验E6中， C＝“灯泡寿命超过1000小时”＝ {x:1000<x<T(小时）}为一个随机事件。
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历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质 硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
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具有以下特点的试验，称为随机试验
1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可用字母E表示
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样本空间、 §2 样本空间、随机事件
一、样本空间
1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为S； 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的 元素称为一个样本点, 记为e. 练习： 给出E 练习： 给出 1-E7的样本空间
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序
言
概率论与数理统计是研究什么的？ 概率论与数理统计是研究什么的？
研究和揭示随机现象 统计规律性的一 研究和揭示随机现象的统计规律性的一 随机现象的 门数学科学
应用
计算机信息处理、社会科学、金融保险、证券彩票、 计算机信息处理、社会科学、金融保险、证券彩票、 天气预报、质量管理、农业试验……只要存在随机现 天气预报、质量管理、农业试验……只要存在随机现 象和统计数据的领域，就可能要用到这些知识。 象和统计数据的领域，就可能要用到这些知识。
2
序
言
两类现象： 两类现象： （1）确定性现象：在一定条件下必然发生 例如：自由落体，同性电荷互斥，标准大气压下，水在 100摄氏度沸腾 （2）随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果， 也可能出现另外的结果，具有不确定性；在大量重复 试验中，具有一定的规律性（统计规律性） ） 例如：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上
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4. A与B的差事件 ：A－B , 表示事件 发生而 不发生 记作： 发生而B不发生 与 的 － 表示事件A发生而 不发生, 记作： A－B = { x | x ∈ A 且 x B} － （A－B =A － AB） － ）
思考：何时A B=φ 何时A B=A？ 思考：何时A-B=φ? 何时A-B=A？
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5. 互斥的事件：AB＝ φ 斥的事件： ＝
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6. 互逆的事件 A∪B＝S, 且AB＝ φ 互逆的事件 事件 ∪ ＝ ＝
记作 B = A，称为 A 的对立事件 ;
注意：互逆与互斥的区别与联系 注意：
16Leabharlann （二）事件的运算1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA 、交换律： 2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， 、结合律 (AB)C＝A(BC) 3、分配律 、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)， (AB)∪C＝(A∪C)(B∪C) 4、对偶 德摩根 律： 摩根)律 、对偶(德 摩根
该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形； P(A1∪A2∪A3) = P(A1)+P(A2)+ P(A3)－P(A1A2)－ P(A2A3)－P(A1A3)+ P(A1A2A3) (7) 可分性 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .
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例1 某市有甲,乙,丙三种报纸 订每种报纸的人 某市有甲 乙 丙三种报纸,订每种报纸的人 丙三种报纸 数分别占全体市民人数的30%,其中有 其中有10%的 数分别占全体市民人数的 其中有 的 人同时定甲,乙两种报纸 乙两种报纸.没有人同时订甲丙或 人同时定甲 乙两种报纸 没有人同时订甲丙或 乙丙报纸.求从该市任选一人 求从该市任选一人,他至少订有一种 乙丙报纸 求从该市任选一人 他至少订有一种 报纸的概率. 报纸的概率 分别表示选到的人订了甲,乙 丙报 解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲 乙,丙报 设 分别表示选到的人订了甲
P ( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P ( B) + P (C ) P( AB ) P ( AC ) P ( BC ) + P( ABC ) = 30% × 3 10% 0 0 + 0 = 80%
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例2 在110这10个自然数中任取一数，求 10这10个自然数中任取一数， 个自然数中任取一数 （1）取到的数能被2或3整除的概率， 取到的数能被2 整除的概率， （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率， 取到的数即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。 取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。 表示“ 解:设A表示“取到的数能被2整除”; B表示“取到的 表示“取到的数能被2整除” B表示 数能被3整除” 数能被3整除”，则 1 3 1 P( A) = P( B) = P( AB) = 2 10 10 故 (1) P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) P ( AB) = 7 10
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一、频率
次重复试验中出现n 1、定义: 事件A在n次重复试验中出现nA次， 定义: 事件A 则比值n /n称为事件 称为事件A 则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的 频率，记为f 频率，记为fn(A). 即 (A)＝ fn (A)＝ nA/n. 注：频率描述了事件A发生的频繁程度。频率 频率描述了事件A发生的频繁程度。 事件A就发生频繁，这就意味着A 大，事件A就发生频繁，这就意味着A在一次试 验中发生的可能性就大。反之亦然。 验中发生的可能性就大。反之亦然。
ABC A∩ B ∩C
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§3 频率与概率
从直观上来看，事件A 从直观上来看，事件A的概率P（A）是指事 （ ） 件A在一次试验中发生的可能性的大小 P（A）应具有何种性质？ （ 应具有何种性质？ 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？
A ∪ B = A ∩ B,
k
AB = A ∪ B
可推广为 : ∪ Ak =
∩A
k
k
,
∩A
k
k
=
∪A
k
k
.
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丙三人各向目标射击一发子弹， 例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 分别表示甲、 丙命中目标，试用A B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件： 运算关系表示下列事件：
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二、概率
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的如下公理化 定义