排列与组合.测试题(无答案)

排列与组合【例1】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【答案】175；【例2】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2=-，值域为{19}y x--，的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【答案】C；【例3】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（）A．90个B．99个C．100个D．112个【答案】C；【例4】若自然数n使得作竖式加法(1)(2)n n n++++均不产生进位现象．则称n为“可连数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因++产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（）232425A．27B．36C．39D．48【答案】D；【例5】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．【答案】120；【例6】某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）【答案】216；【例1】 解方程：32111C 24C x x +=【答案】原方程可化为!(1)!11243!(3)!2!(1)!x x x x +⨯=⨯-- 整理得211105500x x --= 解得10x =或511x =-（不合题意舍去）． 经检验10x =是原方程的根．（应强调解组合数方程要验根）【例2】 解不等式：188C 3C m m->．【答案】由题意得：8!38!(1)!(9)!!(8)!m m m m ⨯>---，解得274m >． 又018≤≤m -，且08≤≤m ， ∴18≤≤m ，又m ∈Z ， ∴7m =或8，∴不等式的解集为{7,8}．【例3】 设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的n *∈N ，定义[][](1)(1)C (1)(1)x n n n n x x x x x --+=--+，[)1x ∈+∞，，则当332x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数8C x的值域是（ ）A ．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．284,3⎛⎫ ⎪⎝⎭[)28,56D ．16284,,2833⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D ；【例4】 已知32212020212221C C C C C n n n n ---+<<-，求21C n的值．【答案】由已知有3n ≥．根据组合数性质：322202021C C C n n n ---+=，1222121C C C n n n --=．∴原式化简为22212121C <C <C n n -．前半部分可得24n <≤或2123n <≤． 后半不等式可得219n <<．【例5】 若11C C C 345m m m n n n-+=∶∶∶∶，则n m -= 【答案】解出6227n m ==，，则35n m -=．【例6】 证明：1230123()2n nn n n n n n n n C C C nC C C C ++++=+++．【答案】容易证明()()()()111!!!!1!!k k n n n n kC k n nC k n k k n k ---=⋅=⋅=---，于是有 111111112nnnkk k n nn n k k k kCnCn C n -----=====⋅=⋅∑∑∑ 而102222n i nn n i n n C n -=⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭∑．【例7】 证明：011220C C C C C C C C C k k k k km n m nm n m n n m --+++++=．（其中min{}≤，k m n ） 【答案】设袋中有n m +个球，其中红球n 个，白球m 个，现从中任取k 个(min{,})k m n ≤，共有C k n m +种不同的取法；另一方面，用分类的方法考虑这个问题，可分成1k +类；第一类，k 个红球，0个白球；第二类，1k -个红球，1个白球；第三类，2k -个红球，2个白球；；第1k +类，0个红球，k 个白球．于是取法总数为1122C C CC C C C C k k k k n mnm nmn m--++++． 以上两种算法结果应是相等的，∴011220C C C C C C C C C k k k k km n m nm n m n n m --+++++=．【例8】 解方程12253333C C C 4x x x x x x x --++++=++Α 【答案】由组合数性质2，原方程变为11244433C C C 4x x x x x x x --+++++=+Α． ∴2433C 4x x x ++=Α． 即13(4)(3)(2)(1)(3)(2)4!4x x x x x x ++++=++． 化简得25140x x +-=，解出2x =或7x =-（舍弃）．【例9】 确定函数3A x 的单调区间．【答案】332A (1)(2)32x x x x x x x =--=-+，先求导数，得32(A )362x x x '=-+．令23620x x -+>，解得x <x >．因此，当,x ⎛∈-∞ ⎝⎭时，函数为增函数，当,x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，函数也为增函数．令23620x x -+≤x ，因此，当,x ∈⎣⎦时，函数为减函数．∴函数3A x 的增区间为33,,⎛⎛⎫+-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；减区间为,⎣⎦．【例10】 规定A (1)(1)m x x x x m =--+，其中x ∈R ，m 为正整数，且0A 1x =，这是排列数A m n（,n m 是正整数，且m n ≤）的一种推广． ⑴求315A -的值；⑵排列数的两个性质：①11A A m m n n n --=，②11A A A m m m n n n m -++=（其中,m n 是正整数）．是否都能推广到A m x （x ∈R ，m 是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．【答案】⑴315A (15)(16)(17)4080-=-⨯-⨯-=-；⑵性质①、②均可推广，推广的形式分别是①11A A m m x x x --=，②11A A A m m m x x x m -++=（x ∈R ，m *∈N ）． 下面证明①②式的推广式均成立：事实上，在①中，当1m =时，左边1A x x ==，右边01A x x x -==，等式成立；当2m ≥时， 左边11(1)(2)(1)[(1)(2)(1(1)1)]A m x x x x x m x x x x m x --=---+=⋅-----+=，因此，①11A A m m x x x --=成立；在②中，当1m =时，左边0111A A 1A x x x x +=+=+==右边，等式成立；当2m ≥时，左边(1)(2)(1)(1)(2)(2)x x x x m mx x x x m =---++---+(1)(2)(2)[(1)]x x x x m x m m =---+-++ 1(1)(1)[(1)1]A m x x x x x m +=+-+-+==右边，因此②11A A A m m m x x x m -++=（x ∈R ，m *∈N ）成立．【例11】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【答案】480；【例12】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A ．360 B ．288 C ．216 D ．96【答案】B ；【例13】 在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）种．A ．288B ．576C ．864D ．1152【答案】C ；【例14】 从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【答案】5832；【例15】 6个人坐在一排10个座位上，问⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种? ⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【答案】6个人排有66Α种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．⑴ 空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有47C 种插法，故空位不相邻的坐法有6467C Α种．⑵ 将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有27Α种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有6267ΑΑ种．⑶ 4个空位至多有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻有47C 种；②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有373C 种；③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有27C 种．【例16】 用0129，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【答案】840；【例17】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【答案】40；【例18】 求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．【答案】46800【例19】 在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【答案】C ；【例20】 有6本不同的书⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ ⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ ⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【答案】⑴在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有222642C C C 90⋅⋅=（种）．这是均匀编号分组问题⑵6本书平均分成3堆，用⑴中方法重复了33Α倍，故共有226433C C 15⋅=Α（种）．这是均匀分组问题．⑶从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有123653C C C 60⋅⋅=（种）． 这是非均匀分组问题 ⑷在⑶的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有12336533C C C 360⋅⋅⋅=Α（种）． 这是非均匀编号分组问题．⑸甲先取1本，乙在剩下的取1本，余下4本给丙，故共有1165C C 30=（种）． 这 是部分均匀编号分组问题．⑹平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有116522C C 15⋅=Α（种）．这是部分均匀分组问题．⑺本题即为6本书放在6个位置上，共有66720=Α（种）．【例21】 把一同排6张座位编号为123456，，，，，的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ）A ．168B ．96C ．72D ．144【答案】D【例22】 将1,2,3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种【答案】B ；【例23】 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）．DCB AA ．24B ．36C ．72D ．84【答案】D ；【例24】 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．【答案】390；【例25】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，丁不去D地，问：共有多少种旅游方案?【答案】2790【例1】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．【答案】35；【例2】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【答案】252【例3】 不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．【答案】4999C ，49149C ；【例4】 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？【答案】90；【例5】 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5次跳动质点落在点(10)，（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为 ．【答案】10；【例6】 在AOB ∠的边OA 上有1234A A A A ，，，四点，OB 边上有12345B B B B B ，，，，共9个点，连结线段(1415)i j A B i j ≤≤，≤≤，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对数共有：（ ）A ．60B ．80C ．120D ．160【答案】A ；【例7】 甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列共有_______（用数字作答）种不同情况．【答案】54；【例8】 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？【答案】860；【例9】 设集合{12345}I =，，，，，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）A ．50种B ．49种C ．48种D ．47种【答案】B【例10】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有【答案】1192928C A ⋅【例11】 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？【答案】⑴7733A A ；⑵773434A A A【例12】 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？【答案】89；【例13】 f 是集合{1234}M =，，，到集合{123}N =，，的映射，g 是集合N 到集合M 的映射，则不同的映射f 的个数是多少？g 有多少？满足()()()()8f a f b f c f d +++=的映射f 有多少？满足[()]f g x x =的映射对()f g ，有多少？【答案】f ：M N →，M 中每个元素的象有三种选择，故共有不同的映射f 的个数为4381=个；同理g 的个数有3464=．2222113312238+++=+++=+++=，故满足()()()()8f a f b f c f d +++=的映射f 有：2114431C C C 161219++=++=个．g f N M N −−→−−→，对于N 中的任意一个元素，经g 映射后的像有4种选择，要满足[()]f g x x =，对123x =，，来说，有(1)(2)(3)g g g ，，互不相等，否则有((1))f g ，((2))f g ，((3))f g 中有相等的值出现，不符合题意；从而满足的g 共有34A 24=个； 当g 确定后，f 在g 的值域上的函数值是唯一的，需满足[()]f g x x =，不属于g 的值域的数在f 的映射下的象任意，故对于每一个g ，有3个f 与之对应，使[()]f g x x =．故满足条件的映射对共有24372⨯=个．【例14】 排球单循坏赛，胜者得1分，负者0分，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍，设北方的球队数为x ．⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分； ⑵证明：6x =或8x =；⑶证明：冠军是一支南方球队．【答案】⑴由题设南方球队有9x +支，所有球队总得分为229C (29)(4)x x x +=++．北方球队总得分为1(4)(29)10x x ++，北方球队之间比赛总得分2(1)C 2x x x -=．⑵显然1(1)(4)(29)102x x x x -++≥111693x +<=． 又因为1(4)(29)10x x +++∈N ，经验算只有6x =或8x =满足要求． ⑶当6x =时，北方球队总得分为1(4)(29)2110x x ++=，北方球队之间得分为26C 15=，从而北方球队胜南方球队所获得的分数和为21156-=，因此北方球队的最高得分为5611+=．又因为南方15支球队总得分为2191891115⨯=>⨯，故南方球队中至少有一支得分超过11分，因而冠军为南方球队．当8x =时，类似的，北方球队总得分为1(4)(29)3010x x ++=，北方球队之间得分为28C 28=，北方球队胜南方球队所获得的分数和为30282-=，因此北方球队的最高得分为729+=．而南方17支球队总得分为309270917⨯=>⨯，故南方球队中至少有一支得分超过9分，因而冠军必为南方球队．【例15】 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．【答案】336；。