高考文科数学古典概型与几何概型考点讲解
高考一轮总复习-082.古典概型与几何概型(基础)-知识讲解
高考总复习：古典概型与几何概型【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。
3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是1n。
如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即n m A P =)(。
所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ；（3）应用公式()m P A n=求值。
5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。
利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。
知识点二、几何概型1. 定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。
满足以上条件的试验称为几何概型。
2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。
3.几何概型的概率计算公式：随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。
所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：Ω=μμA A P )( 其中μΩ表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A μ表示构成事件A 的区域的几何度量。
【全国百强校】高考总复习精品课件50古典概型与几何概型-精品
(1)事件A:两听都是合格品包含6个基本事件,
∴P(A)= 6 2 .
15 5
(2)事件B:一听合格,一听不合格,包含8个基本事件,
∴P(B)= 8 .
15
(3)事件C:检测出不合格产品包含9个基本事件,
∴P(C)=
9 3. 15 5
解法二:如果看作是依次不放回抽取两听,有顺序,那么所有基 本事件为:
A
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
注意:(1)几何概型具备以下两个特征 ①无限性,即每次试验的结果(基本事件)有无限多个,且全体结
果可用一个有度量的几何区域表示; ②等可能性,即每个基本事件发生的概率相等. (2)应用几何概型求概率需将试验和事件所包含的基本事件转
【典例3】 某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,质检 人员从中随机抽出2听,求下列事件的概率:
(1)A:经检测两听都是合格品; (2)B:经检测两听一听合格,一听不合格; (3)C:检测出不合格产品.
[分析] 显然属于古典概型,所以先求出任取2听的基本事件 总数,再分别求出事件A､B､C所包含的基本事件的个数,套 用公式求解即可.
[分析] 在任一时刻到达站点都是一个基本事件,基本事件有 无限个.又在任一时刻到达站点是等可能的,故是几何概型.
[解] 这里的区域长度理解为“时间长度”,总长度为15分钟, 设事件A={候车时间不超过3分钟},则A的长度为3分钟,由
几何概型得 P( A) 3 1 . 15 5
类型五
与面积(或体积)有关的几何概型
∴ P 2.
5
答案:C
类型一
写出基本事件
解题准备:随机试验满足下列条件:(1)试验可以在相同的条件 下重复做下去;(2)试验的所有结果是明确可知的,并且不止 一个;(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在试 验之前却不能肯定会出现哪一个结果.所以,随机试验的每 一个可能出现的结果是一个随机事件,这类随机事件叫做 基本事件.
2021高考数学复习专题 古典概型与几何概型 (文 精讲)
专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn.知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一 古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12【变式探究】(2019·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．【举一反三】(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．ⅰ试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；ⅰ设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 高频考点二 综合考查古典概型与其他知识【例2】（2020·河南省焦作模拟）从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线的概率为( )A.16B.13C.14D.12【变式探究】（2020·黑龙江省大庆模拟）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为 ．【举一反三】（2020·江苏省宿迁模拟）已知a ＝log 0.55，b ＝log 32，c ＝20.3，d ＝⎝⎛⎭⎫122，从这四个数中任取一个数m ，使函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋x ＋2有极值点的概率为( )A.14B.12C.34D ．1高频考点三 与长度、角度有关的几何概型【例3】（2020·浙江省舟山模拟）在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A.16 B.13 C.23D.45【方法技巧】长度、角度等测度的区分方法(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建事件的区域(长度)．(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．【变式探究】（2020·安徽省芜湖模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在ⅰDAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为 ．高频考点四 与体积有关的几何概型【例4】（2020·江西省南昌模拟）在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π 【方法技巧】与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积，求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积．【变式探究】（2020·广东省江门模拟）在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ．高频考点五 与面积有关的几何概型【例5】（2020·山东省淄博模拟）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.14B.18C.38D.316【变式探究】（2020·山东省滨州模拟）已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，2x ＋y －4≤0，x ≥0表示的平面区域为M ，在区域M 内随机取一点N (x 0，y 0)，则3x 0－y 0－2≤0的概率为( )A.56B.34C.35D.13【举一反三】（2020·陕西省宝鸡模拟）在区间(0,2)内随机取一个实数a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥0，x －a ≤0的点(x ，y )构成区域的面积大于1的概率是( )A.18B.14C.12D.34专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一 古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 【答案】13，1 【解析】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率． 【解析】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6ⅰ9ⅰ10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人． (2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．(ⅰ)由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以，事件M 发生的概率P (M )＝1115.【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13 D.12【答案】(1)B (2)D【解析】(1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D 。
高三数学总复习 古典概型与几何概型 知识讲解 新人教A版
高考总复习：古典概型与几何概型【考纲要求】1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。
【知识网络】【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。
3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是1n。
如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即nm A P )(。
所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ；（3）应用公式()m P A n=求值。
5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。
利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。
知识点二、几何概型1. 定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。
满足以上条件的试验称为几何概型。
2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。
3.几何概型的概率计算公式：随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。
高考数学复习 第十章 第四节 古典概型与几何概型 理
2. 随 机 数 与 件发生的概率.
际 问 题 、 数 学 较高，一般以中等难度题目
Байду номын сангаас
几何概型. (2)随机数与几何概型 学 科 内 材 料 为 为主.从命题趋势来看，试题
①了解随机数的意义， 背 景 ， 考 查 两 更加注重理解、分析、逻辑
能运用模拟方法估计概 种 概 率 的 计 算 推理及创新性，更加注重学
解 (1)①设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i＝0，1，2， 3)，则 P(A3)＝CC2523·CC1223＝51. ②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 B＝A2∪A3， P(A2)＝CC2523·CC2223＋CC13C52 12·CC1223＝12，且 A2，A3 互斥， 所以 P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝21＋51＝170.
3.几何概型的概率计算公式 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域（长面度积（或面体积积或）体积）.
4.几何概型与古典概型的区别与联系 (1)共同点：基本事件都是等可能的. (2)不同点：几何概型基本事件的个数是无限的，古典概型基本 事件的个数是有限的.基本事件可以抽象为点，对于几何概型， 这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，根据 等可能性，这些点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而 与该区域的位置和形状无关.
[点评] 求解概率问题的关键是弄清题中所研究的对象，准 确求解出试验与所求事件分别包含的基本事件的个数，这是 准确求解古典概型的基础.
方法2 几何概型的概率 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动 范围，当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度 比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算.事实上，当半径 一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以 角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.
1.3古典概型与几何概型
所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放
高考数学一轮总复习 第10章 概率与统计 第二节 古典概型与几何概型课件 文 新人教A版
3.几何概型的概率计算公式 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域（长面度积（或面体积积或）体积）
4.几何概型与古典概型的区别与联系 (1)共同点：基本事件都是等可能的. (2)不同点：几何概型基本事件的个数是无限的，古典概型基 本事件的个数是有限的.基本事件可以抽象为点，对于几何概 型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域都是有限的， 根据等可能性，这些点落在区域的概率与该区域的度量成正 比，而与该区域的位置和形状无关.
＝1－6×6 6＝56.
答案
Hale Waihona Puke 5 6知识点二 几何概型1.几何概型的概念 (1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度 量(长度、面积或体积 )成比例，则称这样的概率模型为几何 概率模型，简称 几何概型 . (2)几何概型中的几何度量可以是空间中或直线上的有限区 域，相应的概率是体积之比、面积之比或长度之比.
【例1】 (2016·山东潍坊一中模块测试)某省为了研究雾霾天 气的治理，一课题组对省内24个城市进行了空气质量的调 查，按地域特点把这些城市分成了甲、乙、丙三组.已知三 组城市的个数分别为4，8，12，课题组用分层抽样的方法 从中抽取6个城市进行空气质量的调查.
(1)求每组中抽取的城市的个数； (2)从已抽取的6个城市中任抽两个城市，求两个城市不来自 同一组的概率.
3.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)＝ 基本事件的总数
►一个易错点：误解基本事件的等可能性致误.
(1)[解决古典概型的重要前提是求基本事件的总数，这些基本 事件必须是等可能的]同时掷两个骰子，向上点数不相同的概 率为________.
解析 掷两个骰子一次，向上的点数共 6×6＝36 个可能的结 果，其中点数相同的结果共有 6 个，所以点数不同的概率 P
古典概型与几何概型知识点总结
精品PPT
基本事件
在一次试验中可能出现的每一个基本结果 称为一个基本事件.
基本事件的特点： （1）任何两个基本事件是互斥的 （2）任何事件（除不可能事件）都可以
表示成基本事件 的和.
精品PPT
古典概型
基本事件个数的 有限
基本事件个数的 无限
求解方法
列举法
几何测度法
精品PPT
求古典概型的步骤：
（1）计算所有基本事件的总结果数n． （2）计算事件A所包含的结果数m． （3）计算P(A)=m/n
精品PPT
求几何概型的步骤
1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概 型求解 2、把基本事件转化为与之对应的区域D； 3、把随机事件A转化为与之对应的区域d； 4、利用几何概型概率公式计算。
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古典概型与几何概型
2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此 得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了.
中任取两个元素a,b,且a·b≠0,则方程
双曲线的概率为
.
������2 ������2
+
������������22=1表示焦点在x轴上的
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5 知识方法 易错易混
(2)(2015江西南昌一模)将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D
4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中a没有放入A中的概
率是
.
关闭
将四封不同的信随机放入 4 个不同的信封中,每个信封至少有一封
信的放法有A44=24 种,其中信 a 放入 A 中的结果有A33=6 种,故“信 a
;a⊥b的
概率为
.
关闭
由题意,得(x,y)所有的基本事件共有C31 ·C31=9 个.
设“a∥b”为事件 A,则 xy=-3.事件 A 包含的基本事件有(-1,3),故 a∥b
的概率为 P(A)=1;
9
设“a⊥b”为事件 B,则 y=3x.事件 B 包含的基本事件有(1,3),(3,9),故 a
⊥1 b
.
关闭
设圆的半径为 R,由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,其直角
边长为√2R,则所求事件的概率为
1
P=������������阴 圆
第12章第2讲 古典概型与几何概型(2019高考帮·数文)
考查内容（对应考法）
1.古典概型
古典概型(考法1)
2017江苏,T7 2016全国Ⅱ,T8
2.几何概型 2017全国Ⅰ,T4 2014福建,T13
与长度有关的几何概型(考法2)
与面积有关的几何概型(考法3) 随机模拟(考法4)
命题分析预测
1.分析预测
本讲是高考考查的热点,常以选择题或填空题的形式出现,主要
2019版《高考帮》配套PPT课件
【高考帮· 数学】第二讲：古典概型与几何概型
第二讲 古典概型与几何概型
CONTENTS
目录
考情精解读 考纲解读 考点1 古典概型 命题规律 命题趋势
考点2 几何概型 考点3 随机模拟
考法1 求古典概型的概率
考法2 与长度、角度有关的几何概型 考法3 与面积(体积)有关的几何概型 考法4 随机模拟的应用
文科数学 第十二章：概率
温馨提醒
(1)在线段上取点,则点在线段上等可能出现;在角内作射线,则射线在角内的
分布等可能.
(2)两个变量在某个范围内取值,对应的“区域”是面积.
文科数学 第十二章：概率
考点2 几何概型（重点）
1.几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的特点 (1)无限性,即试验中所有可能出现的基本事件有无限多个; (2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性相等.
文科数学 第十二章：概率
文科数学 第十二章：概率
文科数学 第十二章：概率
突破攻略
列举法是一种形象、直观的好方法,列举时需注意:
(1)尽量按某一顺序,以做到不重复、不遗漏;
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高考复习讲义
考点全通关 6
古典概型与几何概型 考点二 几何概型
1.几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这 样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
所有理想化模型均忽略对所研究 问题无影响的因素,是研究问题的 一种理想方法.在高中学习的理想 模型还有:点电荷、理想气体、弹 簧振子、点光源等.
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高考复习讲义
考点全通关 3
古典概型与几何概型 考点一 古典概型
3.古典概型的概率计算公式
所有理想化模型均忽略对所研究 问题无影响的因素,是研究问题的 一种理想方法.在高中学习的理想 模型还有:点电荷、理想气体、弹 簧振子、点光源等.
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高考复习讲义
考点全通关 4
古典概型与几何概型 考点一 古典概型
ห้องสมุดไป่ตู้OPTIONS
命题趋势
04
了解几何概型的意义
高考复习讲义
考情精解读 2
古典概型与几何概型
考纲解读
考查内容
考查频次
考查题型
选择题、
所占分值
选择题、填空题 中占4分或5分,解 答题中占6分-12 分 4分或5分
命题规律
古典概型
3年30考
填空题、
解答题
选择题、 填空题
命题趋势
几何概型
3 年9 考
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4.古典概型的概率求解步骤
(1)一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特 所有理想化模型均忽略对所研究 征——有限性和等可能性;(2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关. 问题无影响的因素,是研究问题的 一种理想方法.在高中学习的理想 模型还有:点电荷、理想气体、弹 簧振子、点光源等.
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高考复习讲义
考点全通关 11
古典概型与几何概型 考点三 随机模拟
所有理想化模型均忽略对所研究 问题无影响的因素,是研究问题的 一种理想方法.在高中学习的理想 模型还有:点电荷、理想气体、弹 簧振子、点光源等.
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考点全通关 12
古典概型与几何概型
通关秘籍
细解整数值的随机模拟试验 做整数值的随机模拟试验时,首先要确定随机数的范围,利用哪个数字代表 哪个试验结果:
可以利用相关几何知识求概率. 所有理想化模型均忽略对所研究 问题无影响的因素,是研究问题的 一种理想方法.在高中学习的理想 模型还有:点电荷、理想气体、弹 簧振子、点光源等.
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考点全通关 9
古典概型与几何概型 考点二 几何概型
3.几何概型的概率计算公式
在几何概型中,如果A是随机事件, (1)若A是不可能事件,则P(A)=0肯定成立;如果随机事件所在的区域是一个 单点,由于单点的长度、面积和体积都是0,则它出现的概率为0,显然它不是
不可能事件,因此由P(A)=0不能推出A是不可能事件.
(2)所有理想化模型均忽略对所研究 若A是必然事件,则P(A)=1肯定成立;如果一个随机事件所在的区域是从 问题无影响的因素,是研究问题的 全部区域中扣除一个单点 ,则它出现的概率是1,但它不是必然事件,因此由 一种理想方法.在高中学习的理想 模型还有 :点电荷、理想气体、弹 P(A )=1不能推出 A是必然事件. 簧振子、点光源等.
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考点全通关 10
古典概型与几何概型 考点二
4.几何概型的常见类型
几何概型
(1)与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关; (2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确, 可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的 一个区域,即可借助平面区域解决问题; (3)与体积有关的几何概型.
目 录 Contents
考情精解读
考点一 古典概型
考点二
几何概型
考点三
随机模拟
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考情精解读 1
古典概型与几何概型
考纲解读
OPTIONS
01
理解古典概型及其概率计算公式
命题规律
OPTIONS
02
会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件 数及事件发生的概率.
OPTIONS
03
了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率
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考点全通关 2
古典概型与几何概型 考点一 古典概型
2.古典概型的概念及特点
我们将具有下面两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型: (1)有限性,即在一次试验中,基本事件的个数是有限的; (2)等可能性,即每个基本事件出现的可能性是相等的.
所有理想化模型均忽略对所研究 问题无影响的因素,是研究问题的 一种理想方法.在高中学习的理想 模型还有:点电荷、理想气体、弹 簧振子、点光源等.
考情精解读 3
古典概型与几何概型
考纲解读
1.古典概型仍然是高考考查本讲知识的热点和重点 内容,经常与统计综合考查,此外以几何知识为载体 的古典概型题目值得关注; 2.几何概型与线性规划、立体几何相联系的题目是 高考考查几何概型的趋势.
命题规律
命题趋势
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考点全通关 1
古典概型与几何概型 考点一 古典概型
数字个数及范围.
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1.基本事件
在试验中,能够用来描绘其他事件且不能再分的最简单的事件称为基本事件.基本事 件有如下特点: (1)一次试验中,只能发生一个基本事件; (2)任何两个基本事件都是互斥的; (3)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 所有理想化模型均忽略对所研究 问题无影响的因素,是研究问题的 一种理想方法.在高中学习的理想 模型还有:点电荷、理想气体、弹 簧振子、点光源等.
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高考复习讲义
考点全通关 5
古典概型与几何概型
通关秘籍
2.速率是瞬时速度的大小,但平均速率不是平均速度 的大小,因为平均速率是路程与时间的比值,它与平 均速度的大小没有对应关系.
Your text
STEP 02
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2.速率是瞬时速度的大小 ,但平均速率不是平均速度 (1)试验的所有可能结果等可能时 ,基本事件总数即为产生随机数的范围,每 的大小,因为平均速率是路程与时间的比值,它与平 个随机数代表一个基本事件 ; 均速度的大小没有对应关系 . Your text STEP 02 (2)研究非等可能事件的概率时 ,用按比例分配的方法确定表示各个结果的
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考点全通关 7
古典概型与几何概型 考点二 几何概型
2.几何概型的特点
(1)无限性,即在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的; (2)等可能性,即每一个基本事件发生的可能性是均等的.
所有理想化模型均忽略对所研究 问题无影响的因素,是研究问题的 一种理想方法.在高中学习的理想 模型还有:点电荷、理想气体、弹 簧振子、点光源等.
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考点全通关 8
古典概型与几何概型 考点二 几何概型
2.几何概型的特点
通关秘籍
几何概型与古典概型有何异同点? 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型,两者的共同点是基本事件的发生 是等可能的,不同点是基本事件的个数前者是无限的(基本事件可以抽象为点),后者
是有限的.对于几何概型而言,这些点尽管是无限的,但它们所占据的区域是有限的,