5.3动态规划模型建立与求解
动态规划模型
动态规划模型动态规划（Dynamic Programming）是一种优化问题的求解方法，它将原问题划分为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
动态规划方法适用于满足最优子结构（optimal substructure）和重叠子问题（overlapping subproblems）的问题。
动态规划模型由三个基本要素组成：状态（state）、状态转移方程（state transition equation）和初始条件（initial conditions）。
首先，我们需要定义问题的状态，即将原问题划分为多个子问题，并将子问题的结果组合起来得到原问题的结果。
状态可以是一个整数、一个数组、一个矩阵或者一个串等等。
状态具有两个性质：最优子结构和无后效性。
其次，我们需要确定状态之间的转移关系，即状态转移方程。
状态转移方程描述了一个状态如何从其前一个状态转移到后一个状态。
状态转移方程是问题求解的核心，通过它可以得到问题的最优解。
最后，我们需要确定初始条件，即问题的边界条件或者初始状态。
初始条件提供了问题的起始状态，是递推过程的终止条件。
动态规划模型的求解过程通常包括以下几个步骤：1. 定义状态：确定问题的状态，即将原问题划分为多个子问题，并定义每个子问题的状态。
2. 确定状态转移方程：根据问题的最优子结构性质，确定状态之间的转移关系，即状态转移方程。
3. 确定初始条件：确定问题的边界条件或者初始状态，提供递推过程的终止条件。
4. 设计算法：根据状态转移方程和初始条件，设计算法求解问题。
5. 检验结果：检验算法的正确性和有效性，确保得到的结果是问题的最优解。
动态规划模型的求解过程通常采用自底向上（bottom-up）的方法，即从最小的子问题开始求解，逐步通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
在求解过程中，将子问题的最优解存储起来，避免重复计算，提高求解效率。
总之，动态规划模型是一种有效的求解优化问题的方法，通过将原问题划分为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
动态规划问题求解步骤
动态规划问题求解步骤动态规划问题是指在具有重叠子问题和最优子结构特性的问题中，通过将问题分解成更小的子问题，利用已解决的子问题的解来求解原问题。
动态规划问题的求解过程可分为以下几个步骤。
1. 定义状态：首先，我们需要明确问题的状态。
状态是指问题的子问题所依赖的变量或参数，即决定子问题解的输入。
状态可以是多个变量组成的元组，也可以是一个单一的变量。
定义好状态有助于我们更好地理解问题的本质，并能够将问题分解成更小的子问题。
2. 定义初始状态：在动态规划问题中，初始状态是问题的边界条件或者基本情况。
我们需要确定初始状态的值，并将其作为问题求解的起点。
初始状态的设置应符合问题的需求，并满足问题求解的逻辑。
3. 确定状态转移方程：状态转移方程是动态规划问题的核心。
通过定义状态之间的转移关系，我们可以将原问题分解为一系列的子问题，并通过已解决的子问题的解来求解当前问题的解。
状态转移方程的推导需要通过分析子问题间的关联关系，并根据问题的特点来定义。
状态转移方程应具备递推性，即当前问题的解可以通过之前子问题的解得到。
4. 确定计算顺序：在确定了状态转移方程后，我们需要确定求解问题的顺序。
一般来说，动态规划问题可以采用自底向上或自顶向下的方式进行求解。
自底向上的求解方式从初始状态开始，按照计算顺序逐步求解，直至得到最终问题的解；而自顶向下的求解方式则从最终问题的解开始，通过递归或备忘录等方式来求解子问题，最终得到初始状态的解。
5. 计算最优解：在得到了问题的所有状态和状态转移方程后，我们可以利用动态规划的思想来计算最优解。
根据计算顺序，我们先计算出初始状态的值，然后按照状态转移方程逐步计算，直到得到最终问题的解。
在计算的过程中，我们可以使用辅助数组或表格来存储和更新中间状态的值，以便于后续的计算，并最终得到问题的最优解。
通过以上步骤，我们可以较为系统地解决动态规划问题。
这种求解方法具有重用已解决子问题的解、减少重复计算和提高时间效率等优势，适用于诸如最优路径、最长子序列、最大连续子数组和背包问题等多种场景。
建立动态规划数学模型的步骤
例2（带回收的资源分配问题）某厂新购某种机床125台。据估计，这种设备5年后将被其它设备所代替。此机床如在高负荷状态下工作，年损坏率为1/2，年利润为10万元；如在低负荷状态下工作，年损坏率为1/5，年利润为6万元。问应如何安排这些机床的生产负荷，才能使5年内获得的利润最大？
解：以年为阶段，k=1，2，3，4，5 取k年初完好的机床数为状态变量xk 以k年初投入高负荷运行的机床数为决策变量uk，则低负荷运行机床数是xk-uk，于是状态转移方程为： xk+1=1/2uk+4/5（xk-uk）=0.8xk-0.3uk 以利润为目标函数，则k年利润为： 10uk+6（xk-uk）=4uk+6xk 记fk（xk）为k年至5年末最大总利润，则动态规划基本方程为： fk（xk）= max｛ 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝ 0≤uk≤xk f6（x6）=0 k=5,4,3,2,1
动态规划基本方程为： fk（xk）= max｛ 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝
当k=2时 f2（x2）= max｛ 4u2+6x2+f3（0.8x2-0.3u2）｝ 0≤u2≤x2 = max｛ 4u2+6x2+18（0.8x2-0.3u2）｝ 0≤u2≤x2 = max｛-1.4u2+20.4x2｝=20.4x2 u2=0 0≤u2≤x2 当k=1时 f1（x1）= max｛ 4u1+6x1+f2（0.8x1-0.3u1）｝ 0≤u1≤x1 = max｛ 4u1+6x1+20.4（0.8x1-0.3u1）｝ 0≤u1≤x1 = max｛ -2.12u1+22.32x1｝=22.32x1 u1=0 0≤u1≤x1 =22.32×125=2790（万元）
动态规划-动态规划
过程指标函数是指过程所包含的各阶段的状 态和决策所产生的总效益值，记为
Vkn (sk , Pkn ) Vkn (sk , dk (sk ), sk1, dk1(sk1), , sn , dn (sn ), sn1) k 1, 2, , n
动态规划所要求的过程指标函数应具有可分 离性，即可表达为它所包含的各阶段指标函数的 函数形式。
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一 类特殊的多阶段决策过程，即状态具有无后效性 的多阶段决策过程。
无后效性(马尔可夫性)：是指如果某阶段状 态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不受 这个阶段以前各段状态的影响；构造动态规划 模型时，要充分注意是否满足无后效性的要求； 状态变量要满足无后效性的要求；如果状态变 量不能满足无后效性的要求，应适当改变状态 的定义或规定方法。
3、决策（decision）
决策：在某一阶段，当状态给定后，往往可以 作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种 决定称为决策。
决策变量：描述决策的变量。dk(sk) ：第k阶段 的决策变量（状态变量sk的函数）。
允许决策集合：决策变量的取值范围。常用 Dk(sk)表示。显然dk(sk)∈Dk(sk)。
3 3*
3
4
6 决策点为D1
第二阶段，由Bj到Ci分别均有三种选择
f2
B1
min
B1C1 B1C2
B1C3
f3 f3 f3
C1 C2
C3
min
7 6 4 7* 6 6
11决策点为C2
f2
B2
min
BB22CC21
f3 f3
C1 C2
min
3 6* 2 7*
min
4
动态规划模型的建立与求解步骤
量值系列)和最优状态变化路线。
• 状态变量应当满足无后效性要求。 • 明确指标函数，给出最优函数递推方程，
递推方程的形式应当与递推顺序一致。
运筹学
二、动态规划的求解步骤
• 正确划分阶段。 • 确定状态变量和决策变量，并给出状态变
量和决策变量的可行集合。 • 确定求解的递推顺序，给出状态转移方程。 • 确定阶段、子过程(子策略)的指标函数，确
运筹学
§3.2 动态规划建模与求解步骤
• 建立动态规划模型的基本要求 • 动态规划的求解步骤
运筹学
一、建立动态规划模型的基本要求
• 将问题划分成若干阶段。有的问题的阶 段性很明显，有的则不明显，需要分析 后人为假设。
• 确定各阶段的状态变量，并给出状态转 移方程，状态转移方程的形式应当与递 推顺序一致。
实用运筹学——5.3 动态规划的模型及求解方法
min 1
6
min
7
7
v 2(B3,C 3 ) f3(C 3 )
5 12
17
即从点 B3 到终点 E 的最短路线为B 3 C 2 D 2 E ，最短距离为 7．
第一阶段，从始点 A 到终点 E 的最优决策为
v 1(A,B1) f2(B1)
2 10
12
f1(A) minv 1(A,B2 ) f2(B2 ) min5 13 min18 8
f4(D f4(D
12))
min45
5 2
min160
6
从点 C2 到终点 E 的最优路线为C 2 D 2 E ，最短距离为 6．
如果从点 C3 出发，则最优决策为
f3(C 3 )
minvv33((CC
3,D1 3,D2
) )
f4(D 1 ) f4(D2 )
min180
5 2
min1123
v 1(A,B3 ) f2(B3 )
1
7
8
即从始点 A 到终点 E 的最短路线为 A B 3 C 2 D 2 E ，最短距离
为 8．
6 12
18
即从点 B1 到终点 E 的最短路线为 B 1 C 2 D 2 E ，最短距离为 10．
从点 B2 到终点 E 的最优决策为
v 2(B 2,C 1) f3(C 1)
6 7
13
f2(B2 ) minv 2(B2,C 2 ) f3(C 2 ) min10 6 min16 13
❖ 下面通过求解例5.1.4，阐明逆序递推法的基本思路．
❖ 第四阶段，由点D1到终点E只有一条路线，其长度 f4(D1)=5，同理f4(D2)=2．
第五章 物流运筹学——动态规划
的单件重量和装载收费如表5-1所示，又规 由于它表示了由 段到 段的状态转移
因此，在物流管理中，如何进行决策，制定一个最优的设备维护更新策略，是非常重要的。
第三节 动态规划模型的建立与求解
定货物2和货物3都至多装两件。问如何装 但假设初始状态虽已给定，终点状态有多个，需比较到达不同终点状态的各个路径及最优指标函数值，以选取总效益最正确的终点状
3
• 【例5-1】〔生产与存储问题〕工厂在3个季度中
• 安排某种产品的生产方案。假设该季度生产此
种产x
x2
• 品 〔吨〕，那么本钱为 元。假设当季
生产的
• 每吨产品未销售a k 掉，那么进库，季末需付存储费，
• 产品每季的存储费为1元。现估计3个季度对该 产
• 品的需求量 分别为100吨，110吨和120吨，
3
j 仪器
1
2
3
10
9
14
9
12
10
6
5
8
7
• 【例5-4】〔机器负荷问题〕设某机器可以在高、
• 低两种不同的负荷下进行生产。假设年初x 有 台
• 机器在高负荷下进行生产，那么产品年a产 8x
量
，
0.3
y
• 机器的年折损率
低
0.1
；假设年b 初5有y 台机器在
• 负荷下进行生产，那么产品年产量
，机器
的
• 年折损率
。假设初始时有性能正常的机器
1000
• 台，要求制定机器负荷的四年分配方案，确定每
年
8
A
动态规划模型及求解方法
dh2 dx2
2x2 s2 3x22
0
解得：
2 x2 3 s2
x2=0（舍）
d 2h2 dx22
2s2
6x2
d 2h2 dx22
x2
2 3
s2
是极大值点。
x2
2 3
s2
2s2
0
f2
(s2
)
(2 3
s2
)2 (s2
2 3
s2 )
4 27
s
3 2
x2*
2 3
s2
k=1时，
f1 (s1 )
max
k=3时，
f3 (s3 )
max
x3D3 (s3
)[v3
(
x3
)
f4 (s4 )]
max(
x3 s3
x3
)
s3
k=2时，
x3*=s3
f2 (s2 )
max
x2D2 (s2
)[v2
(
x2
)
f3 (s3 )]
max
0x2 s2
(
x22
s3 )
max [
0x2 s2
x22
(s2
x2 )]
令h2（s2，x2）=x22（s2－x2）
运筹学
动态规划模型及求解方法
一、动态规划的数学模型
1. 动态规划的基本方程
设第k阶段处于状态sk，决策是uk（sk），状态转移方程为 sk+1=Tk（sk，uk），k阶段和k+1阶段的递推关系式可写为：
fk
(sk
)
opt [vk
uk Dk ( sk )
(sk
,uk
建立动态规划数学模型的步骤
建立动态规划数学模型的步骤动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，它将问题分为若干阶段，每个阶段采取一个最优决策，通过递推的方式得到问题的最优解。
建立动态规划数学模型的步骤主要包括以下几个方面。
第一步，明确问题：首先要明确要解决的问题是什么，分析问题的特点和要求，明确决策的目标和约束条件。
例如，我们可以考虑求解一个最优化问题，使一些目标函数取得最大（或最小）值。
第二步，定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。
状态是问题的一个关键特征，它描述了问题在每个阶段的情况，通常用一个或多个变量表示。
状态可以是离散的，也可以是连续的。
例如，假设我们要解决一个装箱问题，可以将状态定义为装箱剩余空间的大小。
第三步，确定决策变量：决策变量是问题中可以通过决策调整的变量，其取值将影响问题的解。
决策变量通常与状态有关，帮助我们在每个阶段做出最优决策。
继续以装箱问题为例，决策变量可以是选择放入的物品或物品的数量。
第四步，建立状态转移方程：通过分析问题的特点和约束条件，建立各个阶段之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了问题中不同状态之间的关系，即通过做出一些决策后，当前状态如何转移到下一个状态。
状态转移方程通常由决策变量和前一阶段的状态变量表示。
在装箱问题中，状态转移方程可以描述为剩余空间等于前一阶段的剩余空间减去当前决策变量所占空间。
第五步，确定边界条件：边界条件是求解动态规划问题的关键，它们表示问题的起始状态和结束状态。
通常，起始状态是已知的，而结束状态需要根据问题的要求进行分析确定。
例如，装箱问题的起始状态可以是剩余空间等于货柜的总容量，结束状态可以是没有物品剩余可以放入货柜。
第六步，确定目标函数：目标函数是求解最优化问题时需要优化的目标。
在动态规划中，目标函数通常与状态有关，它表示在每个阶段的状态下所要最大（或最小）化的目标量。
例如，在装箱问题中，目标函数可以是放入货柜的物品总价值。
第七步，建立递推关系：根据状态转移方程和边界条件，可以利用递推的方法从起始状态逐步计算到结束状态。
动态规划数学模型
• fk(sk)=opt{Vk,n }
3
MOR：SM
SHUFE
第一节 动态规划数学模型
例：有供应商要运输一批货物去公司,试求一条运输路径最短。
2 S1 4
4
供
应 商
阶段1
S12 7 4
3
4
S2 2
3
4
5
1 S32 5
出
口 港
阶段2
S13 1 4
6 S23
2. 动态规划模型分类
过程 变量
离散
连续
确定 离散确定型 连续确定型
随机 离散随机型 连续随机型
7
MOR：SM
• 是状态变量和相应决策变量的函数，即vk = vk(sk , xk ) 过程指标函数Vk,n
• 从第k阶段的状态sk出发到最后阶段结束的综合绩效度量 • 取决于阶段k到阶段n所采取的策略，即Vk,n (sk,xk,xk+1 ,…,sn) • 指标函数Vk,n可以是各阶段指标的和或积
最优指标函数值fk(sk)
状态表示过程发展中某阶段的起始状况 描述各阶段状态演进的变量，称为状态变量，用Sk表示
• 第 k 阶段可能有若干状态，用Sk 表示阶段k的状态集合
• sk(i)表示第k阶段的第 i 个状态
选取的状态变量必须满足无后效性
1
MOR：SM
SHUFE
第一节 动态规划数学模型
一、动态规划的基本概念
• 决策变量
变量xk(sk)表示阶段k状态sk的决策，称为决策变量，简记xk 决策变量取值被限制在某一范围内，称允许决策集合Xk(sk) 决策变量组成的序列，称为策略
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3
5
B1
8
6 7 6
C2 C3 C4
F1
4
A
3D2 1 3Fra bibliotek2 3G F2
6 3
B2
3 8 4
D3 3
E3
2
例1 资源分配问题 例2 生产存贮问题 例3 复合系统工作可靠性问题 求解：结合具体问题的特点， 求解：结合具体问题的特点，利用数学技巧 灵活求解 (1)、离散变量分段穷举法 、 (2)、连续变量解法： 、连续变量解法： 经典解析方法， 经典解析方法，线性规划方法 非线性规划方法， 非线性规划方法，离散化解法
3
§5.3 动态规划模型建立与求解
(1)、分析问题 、 划分阶段，正确选择状态变量，保证 划分阶段，正确选择状态变量， 状态变量有递推的转移关系S 状态变量有递推的转移关系 k+1＝T(Sk , uk ) (2)、正确建立基本方程 、
1
例1
最短路径问题
1
C1
3 8
6 3 5
D1
2 2
E1
5 5 E2 2 6