建立动态规划数学模型的步骤教学内容
数学建模8-动态规划和目标规划
数学建模8-动态规划和目标规划一、动态规划1.动态规划是求解决策过程最优化的数学方法，主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题。
但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
2.基本概念、基本方程：（1）阶段（2）状态（3）决策（4）策略（5）状态转移方程：（6）指标函数和最优值函数：（7）最优策略和最优轨线（8）递归方程：3．计算方法和逆序解法（此处较为抽象，理解较为困难，建议结合例子去看）4．动态规划与静态规划的关系：一些静态规划只需要引入阶段变量、状态、决策等就可以用动态规划方法求解（详见书中例4）5．若干典型问题的动态规划模型：（1）最短路线问题：（2）生产计划问题:状态定义为每阶段开始时的储存量x k，决策为每个阶段的产量，记每个阶段的需求量（已知量）为d k，则状态转移方程为（3）资源分配问题：详见例5状态转移方程：最优值函数：自有终端条件：（4）具体应用实例：详见例6、例7。
二、目标规划1．实际问题中，衡量方案优劣要考虑多个目标，有主要的，有主要的，也有次要的；有最大值的，也有最小值的；有定量的，也有定性的；有相互补充的，也有相互对立的，这时可用目标规划解决。
其求解思路有加权系数法、优先等级法、有效解法等。
2．基本概念：（1）正负偏差变量：（2）绝对（刚性）约束和目标约束，次位赋（3）优先因子（优先等级）与权系数：凡要求第一位达到的目标赋予优先因子P1……以此类推。
予P2（4）目标规划的目标函数：（5）一般数学模型：3．求解目标规划的解法：（1）序贯式算法（用LINGO软件求解，有编程模板可以使用，下面以书中例3说明，具体还可以参考书中例6-例8）：model:sets:level/1..3/:p,z,goal;variable/1..2/:x;h_con_num/1..1/:b;s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;h_con(h_con_num,variable):a;s_con(s_con_num,variable):c;obj(level,s_con_num)/1 1,2 2,3 3,3 4/:wplus,wminus;endsetsdata:ctr=?;goal=? ? 0;b=12;g=1500 0 16 15;a=2 2;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;wplus=0 1 3 1;wminus=1 1 3 0;enddatamin=@sum(level:p*z);p(ctr)=1;@for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);@for(level(i):z(i)=@sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)*dminus(j)));@for(h_con_num(i):@sum(variable(j):a(i,j)*x(j))<b(i));@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));@for(level(i)|i #lt# @size(level):@bnd(0,z(i),goal(i)));end（2）多目标规划的MATLAB解法：以书中例5详细说明如下：a=[-1 -1 0 00 0 -1 -13 0 2 00 3 0 2];b=[-30 -30 120 48]';c1=[-100 -90 -80 -70];c2=[0 3 0 2];[x1,g1]=linprog(c1,a,b,[],[],zeros(4,1)) %求第一个目标函数的目标值[x2,g2]=linprog(c2,a,b,[],[],zeros(4,1)) %求第二个目标函数的目标值g3=[g1;g2]; %目标goal的值[x,fval]=fgoalattain('Fun',rand(4,1),g3,abs(g3),a,b,[],[],zeros(4,1))。
动态规划写课程设计
动态规划写课程设计一、教学目标本课程旨在让学生掌握动态规划的基本概念、原理和方法，培养学生解决实际问题的能力。
具体目标如下：1.知识目标：（1）了解动态规划的基本思想及其在优化问题中的应用。
（2）掌握动态规划的核心要素，如状态、状态转移方程和边界条件。
（3）熟悉动态规划在不同领域的应用实例，如线性规划、背包问题、最长公共子序列等。
2.技能目标：（1）能够运用动态规划解决实际问题，编写相应的算法程序。
（2）具备分析问题、建立数学模型的能力。
（3）学会调试和优化动态规划算法，提高程序运行效率。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生勇于探索、合作交流的精神。
（2）培养学生面对困难时保持耐心、乐观的心态。
（3）培养学生对编程和数学建模的兴趣，激发其深入学习计算机科学的动力。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个部分：1.动态规划的基本概念和原理。
2.动态规划的核心要素及其应用。
3.动态规划在不同领域的应用实例。
4.动态规划算法的编写和优化。
具体安排如下：第1-2课时：介绍动态规划的基本概念、原理和核心要素。
第3-4课时：学习动态规划在线性规划、背包问题等领域的应用。
第5-6课时：学习动态规划在最长公共子序列等问题的应用。
第7-8课时：学习如何编写和优化动态规划算法。
三、教学方法本课程采用多种教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性：1.讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和核心要素。
2.案例分析法：分析动态规划在不同领域的应用实例。
3.讨论法：引导学生合作交流，共同解决问题。
4.实验法：让学生动手编写和优化动态规划算法，提高实际操作能力。
四、教学资源本课程所需教学资源包括：1.教材：《动态规划及其应用》。
2.参考书：《算法导论》、《计算机科学中的数学方法》等。
3.多媒体资料：相关课件、教学视频等。
4.实验设备：计算机、网络等。
教学资源应支持教学内容和教学方法的实施，丰富学生的学习体验。
五、教学评估本课程的教学评估采用多元化评价方式，全面、客观地反映学生的学习成果。
动态规划算法教学PPT
03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
建立动态规划数学模型的步骤
例2（带回收的资源分配问题）某厂新购某种机床125台。据估计，这种设备5年后将被其它设备所代替。此机床如在高负荷状态下工作，年损坏率为1/2，年利润为10万元；如在低负荷状态下工作，年损坏率为1/5，年利润为6万元。问应如何安排这些机床的生产负荷，才能使5年内获得的利润最大？
解：以年为阶段，k=1，2，3，4，5 取k年初完好的机床数为状态变量xk 以k年初投入高负荷运行的机床数为决策变量uk，则低负荷运行机床数是xk-uk，于是状态转移方程为： xk+1=1/2uk+4/5（xk-uk）=0.8xk-0.3uk 以利润为目标函数，则k年利润为： 10uk+6（xk-uk）=4uk+6xk 记fk（xk）为k年至5年末最大总利润，则动态规划基本方程为： fk（xk）= max｛ 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝ 0≤uk≤xk f6（x6）=0 k=5,4,3,2,1
动态规划基本方程为： fk（xk）= max｛ 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝
当k=2时 f2（x2）= max｛ 4u2+6x2+f3（0.8x2-0.3u2）｝ 0≤u2≤x2 = max｛ 4u2+6x2+18（0.8x2-0.3u2）｝ 0≤u2≤x2 = max｛-1.4u2+20.4x2｝=20.4x2 u2=0 0≤u2≤x2 当k=1时 f1（x1）= max｛ 4u1+6x1+f2（0.8x1-0.3u1）｝ 0≤u1≤x1 = max｛ 4u1+6x1+20.4（0.8x1-0.3u1）｝ 0≤u1≤x1 = max｛ -2.12u1+22.32x1｝=22.32x1 u1=0 0≤u1≤x1 =22.32×125=2790（万元）
数学建模之动态规划
第四章动态规划§1 引言1.1 动态规划的发展及研究内容动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。
20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。
1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。
因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。
因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
例1 最短路线问题下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。
试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。
例2 生产计划问题工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。
经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。
动态规划-动态规划
过程指标函数是指过程所包含的各阶段的状 态和决策所产生的总效益值，记为
Vkn (sk , Pkn ) Vkn (sk , dk (sk ), sk1, dk1(sk1), , sn , dn (sn ), sn1) k 1, 2, , n
动态规划所要求的过程指标函数应具有可分 离性，即可表达为它所包含的各阶段指标函数的 函数形式。
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一 类特殊的多阶段决策过程，即状态具有无后效性 的多阶段决策过程。
无后效性(马尔可夫性)：是指如果某阶段状 态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不受 这个阶段以前各段状态的影响；构造动态规划 模型时，要充分注意是否满足无后效性的要求； 状态变量要满足无后效性的要求；如果状态变 量不能满足无后效性的要求，应适当改变状态 的定义或规定方法。
3、决策（decision）
决策：在某一阶段，当状态给定后，往往可以 作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种 决定称为决策。
决策变量：描述决策的变量。dk(sk) ：第k阶段 的决策变量（状态变量sk的函数）。
允许决策集合：决策变量的取值范围。常用 Dk(sk)表示。显然dk(sk)∈Dk(sk)。
3 3*
3
4
6 决策点为D1
第二阶段，由Bj到Ci分别均有三种选择
f2
B1
min
B1C1 B1C2
B1C3
f3 f3 f3
C1 C2
C3
min
7 6 4 7* 6 6
11决策点为C2
f2
B2
min
BB22CC21
f3 f3
C1 C2
min
3 6* 2 7*
min
4
数学建模Lingo求解动态规划二
11
4. Lingo函数求解分配问题
给n个人分配n项工作以获得某个最高总效果的问题 第i个人完成第j项工作需要平均时间为 c ij . 数学模型：
min
m
c x
i1 j1
m
n
ij ij
s . t .
x 1 ,
x 1 ,
j 1 ij
i 1 m
ij
j 1 ,..., m
这是一个函数方程，用LINGO可以方便的解决。 编制程序如下：
model: sets: p/1..6/:f; r(p,p)/1,2 1,3 2,3 2,4 3,4 3,5 4,5 4,6 5,6/: d; Endsets data: d=7 9 1 7 6 6 2 7 6; Enddata f(@size(p))=0; @for(p(i)|i#lt# (@size(p):f(i)=@min(r(i,j):d(i,j)+f(j))); end 若左边的运算符严格小于右边的运算符
x a,i 1 ,..., m
j 1 ij i
i 1 n
ij
j
x 0 , i 1 ,..., m , j 1 ,..., n ij
例2 计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。产销单 位运价如下表。
单位 运价 销地 产地
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
产量
A1 A2 A3 A4 A5 A6 销量
2.运用Lingo软件求解最短路问题
例1 求下图的最短路.
7
2 7
4 7
1 9
1
6
2 6 3 6
6
5
用动态规划方法求解。
数学建模课程规划方案
数学建模课程规划方案一、课程目标数学建模课程旨在通过学习数学模型的构建、求解和分析，培养学生的综合能力，为将来从事研究、开发、管理等领域打下坚实的数学基础。
二、适用对象数学建模课程适用于各级各类高校理工类专业的学生，不限于数学、物理、计算机科学等专业背景。
同时，该课程也适用于热爱数学、对实际问题感兴趣的学生。
三、教学内容1. 线性规划模型线性规划模型是数学建模的基础。
我们将介绍线性规划的概念、求解方法、对偶模型等内容，并通过实际问题进行演示。
2. 非线性规划模型非线性规划模型是线性规划的推广。
我们将介绍非线性规划的概念、求解方法、全局优化等内容，并通过实际问题进行演示。
3. 整数规划模型整数规划模型是非线性规划的推广。
我们将介绍整数规划的概念、求解方法、混合整数规划等内容，并通过实际问题进行演示。
4. 动态规划模型动态规划模型是求解最优化问题的一种方法。
我们将介绍动态规划的概念、基本原理、应用领域等内容，并通过实际问题进行演示。
5. 概率统计模型概率统计模型是数学建模的重要工具。
我们将介绍概率统计的概念、常用分布、假设检验等内容，并通过实际问题进行演示。
6. 数据挖掘模型数据挖掘模型是现代数学建模的热门领域。
我们将介绍数据挖掘的概念、分类、聚类等内容，并通过实际问题进行演示。
四、课程评估为了检测学生对数学建模的掌握程度，我们将采取以下方式进行评估：1. 课堂测验每个章节结束后，将进行一次小测验，测试学生对该章节内容的理解。
2. 独立思考项目每个学生都需要完成一个独立思考项目，并且需要在课堂上进行展示。
3. 小组实践项目每个小组需要完成一个实践项目，并且需要在课堂上进行展示。
4. 期末考试期末考试将占课程成绩的半数以上。
五、课程教材数学建模课程推荐以下教材：1.Bertsimas D.和Freund R.《线性优化》2.Bazaraa M.S.，Shetty C.M.和Shapiro S.《非线性规划：理论和算法》3.Nemhauser G.L.和Wolsey L.A.《整数和混合整数优化》4.Bellman R.《动态规划》5.Walpole R.E.和Myers R.H.《概率与统计》6.Han J.和Kamber M.，《数据挖掘：概念和技术》六、课程要求1.学生要掌握每一章节的基本概念，并能够熟练运用相关技术解决实际问题。
《数学建模》课程教案
《数学建模》课程教案一、教学内容本节课的教学内容选自《数学建模》教材的第五章，主要内容包括线性规划模型的建立、图与网络模型的建立、整数规划模型的建立以及非线性规划模型的建立。
通过本节课的学习，使学生掌握数学建模的基本方法和技巧，培养学生解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 让学生掌握线性规划、图与网络、整数规划和非线性规划模型的建立方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的团队协作能力和创新意识。
三、教学难点与重点1. 教学难点：线性规划、图与网络、整数规划和非线性规划模型的建立及求解。
2. 教学重点：线性规划模型的建立和求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：以一个工厂生产安排的问题为例，引入线性规划模型的建立和求解。
2. 知识点讲解：（1）线性规划模型的建立：讲解目标函数的设定、约束条件的确定以及线性规划模型的标准形式。
（2）图与网络模型的建立：讲解图的概念、图的表示方法以及网络模型的建立。
（3）整数规划模型的建立：讲解整数规划的概念和建立方法。
（4）非线性规划模型的建立：讲解非线性规划的概念和建立方法。
3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解模型建立和求解的过程。
4. 随堂练习：让学生分组讨论并解决实际问题，巩固所学知识。
六、板书设计板书设计如下：1. 线性规划模型：目标函数约束条件标准形式2. 图与网络模型：图的概念图的表示方法网络模型的建立3. 整数规划模型：整数规划的概念整数规划的建立方法4. 非线性规划模型：非线性规划的概念非线性规划的建立方法七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的条件，建立线性规划模型，并求解。
（2）根据给定的条件，建立图与网络模型，并求解。
（3）根据给定的条件，建立整数规划模型，并求解。
（4）根据给定的条件，建立非线性规划模型，并求解。
2. 答案：（1）线性规划模型的目标函数为：Z = 2x + 3y，约束条件为：x + y ≤ 6，2x + y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0。
动态规划模型及求解方法
dh2 dx2
2x2 s2 3x22
0
解得：
2 x2 3 s2
x2=0（舍）
d 2h2 dx22
2s2
6x2
d 2h2 dx22
x2
2 3
s2
是极大值点。
x2
2 3
s2
2s2
0
f2
(s2
)
(2 3
s2
)2 (s2
2 3
s2 )
4 27
s
3 2
x2*
2 3
s2
k=1时，
f1 (s1 )
max
k=3时，
f3 (s3 )
max
x3D3 (s3
)[v3
(
x3
)
f4 (s4 )]
max(
x3 s3
x3
)
s3
k=2时，
x3*=s3
f2 (s2 )
max
x2D2 (s2
)[v2
(
x2
)
f3 (s3 )]
max
0x2 s2
(
x22
s3 )
max [
0x2 s2
x22
(s2
x2 )]
令h2（s2，x2）=x22（s2－x2）
运筹学
动态规划模型及求解方法
一、动态规划的数学模型
1. 动态规划的基本方程
设第k阶段处于状态sk，决策是uk（sk），状态转移方程为 sk+1=Tk（sk，uk），k阶段和k+1阶段的递推关系式可写为：
fk
(sk
)
opt [vk
uk Dk ( sk )
(sk
,uk
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fk（xk）=0≤muak≤xx｛k 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝
f6（x6）=0
k=5,4,3,2,1
以上是建立动态模型的过程，下面具体求解。
注意动态规划基本方程为： fk（xk）=0≤mauxk≤｛xk 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝
所以，当k=5时，有
f2（x2）=0≤mua2≤xx｛2 4u2+6x2+f3（0.8x2-0.3u2）｝
= max｛
0≤u2≤x2
4u2+6x2+18（0.8x2-0.3u2）｝
当k=1时=0≤mua2≤xx｛2 -1.4u2+20.4x2｝=20.4x2
u2=0
f1（x1）=0≤mua1≤xx｛1 4u1+6x1+f2（0.8x1-0.3u1）｝
= max｛
0≤u1≤x1
4u1+6x1+20.4（0.8x1-0.3u1）｝
0==≤2mu21a.≤3xx2｛1×1-225.=1227u91+02（2.万32元x1）｝=22.32x1
u1=0
至此已算得最大总利润2790万元，再按与计算过程相反的 顺序推回去，可得最优计划如下表所示：
年份 k
第一年
完好机床数 xk+1=0.8xk-0.3uk
125
高负荷机床数 低负荷机床数
uk
xk-uk
0
125
第二年
100
0
100
第三年
80
0
80
第四年
64
64
0
第五年
32
32
0
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f当5（k=x45）时=0≤maux5≤｛x5 4u5+6x5+f6（x6）｝=10x5
u5=x5
f4（x4）=0=≤mmua4a≤xxx｛｛4
0≤u4≤x4
4u4+6x4+f5（0.8x4-0.3u4）｝ 4u4+6x4+10（0.8x4-0.3u4）｝
= max｛ 当k=3时0≤u4≤x4
u4+14x4｝=15x4
解：以年为阶段，k=1，2，3，4，5
取k年初完好的机床数为状态变量xk 以k年初投入高负荷运行的机床数为决策变量uk，则低负荷运 行机床数是xk-uk，于是状态转移方程为：
xk+1=1/2uk+4/5（xk-uk）=0.8xk-0.3uk 以利润为目标函数，则k年利润为：
10uk+6（xk-uk）=4uk+6xk 记fk（xk）为k年至5年末最大总利润，则动态规划基本方程
终可以算出全过程的最优策略函数值及最优策略。
另一方面，由于k+1阶段的状态xk+1=T(xk, uk)是由前面 的状态xk和决策uk所形成的，在计算fk+1（xk+1）时还不能具 体确定xk+1的值，所以，这就要求必须就k+1阶段的各个可 能状态计算fk+1（xk+1），因此动态规划方法不但能求出整 个问题的最优策略和最优目标值，而且还能求出决策过程 中所有可能状态的最优策略及最优目标值。
fn+1（xn+1）=C
k=n,n-1,…,1
以上是建立动态规划模型的过程，这个过程是正确求解动态规
划的基础。
在动态规划基本方程中， rk(xk, uk)， xk+1=T(xk, uk)都是已知函数， 最优子策略fk（xk）与fk+1（xk+1）之间是递推关系，要求出fk（xk） 及uk(xk)，需要先求出fk+1（xk+1），这就决定了应用动态规划基本方 程求最优策略总是逆着阶段的顺序进行的。由后向前逐步计算，最
下面就按上述步骤求解例2。
例2（带回收的资源分配问题）某厂新购某种机床125台。据 估计，这种设备5年后将被其它设备所代替。此机床如在高负荷状 态下工作，年损坏率为1/2，年利润为10万元；如在低负荷状态下 工作，年损坏率为1/5，年利润为6万元。问应如何安排这些机床的 生产负荷，才能使5年内获得的利润最大？
u4=x4
f3（x3）=0≤mua3≤xx｛3 4u3+6x3+f4（0.8x3-0.3u3）｝
= max｛
0≤u3≤x3
4u3+6x3+15（0.8x3-0.3u3）｝
= max｛
0≤u3≤x3
-0.5u3+18x3｝=18x3
u3=0
动态规划基本方程为：
fk（xk）=0≤muak≤xx｛k 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝ 当k=2时
建立动态ห้องสมุดไป่ตู้划数学模型的步骤
⒊确定决策变量uk及允许决策变量集合Dk(uk)。 ⒋根据状态变量之间的递推关系，写出状态转移方程：
xk+1=T(xk, uk(xk))
⒌建立指标函数。一般用rk(xk, uk)描写阶段效应，fk（xk）表示 k—n阶段的最优子策略函数。
⒍建立动态规划基本方程：
fk（xk）u=k∈opDt｛k(ukr)k(xk, uk(xk))﹡fk+1（xk+1）｝