第三章 离散付氏变换-1
第三章离散傅立叶变换和快速傅立叶变换1
N 1
j
2 nk N
nk ~ x (n)WN n 0
N 1
1 ~ ~ ~ x (n) IDFS [ X (k )] X (k )e N k 0
其中:
反变换
N 1
2 j nk N
nk ~ x (k )WN k 0
N 1
WN e
2 j N
其中：
WN e
2 j N
2. DFS离散傅里叶级数的推导意义 用数字计算机对信号进行频谱分析时， 要求信号必须以离散值作为输入，而且 上面讨论可知：只有第四种形式(DFS)对 数字信号处理有实用价值。 但如果将前三种形式要么在时域上采样， 要么在频域上采样，变成离散函数，就 可以在计算机上应用。
3.1
傅立叶变换概述
傅立叶变换
信号
以时间为自变量
傅立叶变换
逆傅立叶变换
频谱函数
以频率为自变量
不同形式的傅里叶变换对 傅 里 叶 级 数(FS)：连 续 时 间 , 离 散 频 率的傅里叶变换。 连 续 傅 里 叶 变 换(FT)：连 续 时 间 , 连 续频率的傅里叶变换。 序 列 的 傅 里 叶 变 换(DTFT):离 散 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换. 离 散 傅 里 叶 变 换(DFT):离 散 时 间 , 离 散频率的傅里叶变换
3.1.1
连续时间信号的傅立叶变换
一. 周期信号与离散频谱
周期函数：
x(t ) x(t nT )
n 1,2,3,
x(t ) a0 [an cos n 0t bn sin n 0t ]
a0 An sin( n 0t n )
n 1
【学习课件】第三章离散傅立叶变换
性，当已知0→N-1次谐波成分后，根据周期性就可以确
定其余的谐波分量，因此，无论时域或频域中都只有N
个序列值是独立的。
2021/7/13
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３．２．３ 离散傅立叶级数的性质
假定 ~x1(n)和 ~x2(n)是周期皆为N的两个离散周期序 列，它们的DFS为
X ~ 1(k)D[F ~ x 1(n )S] X ~ 2(k)D[~ x F 2(n )S]
-2T0 -ΩS
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x(n) TS
-T0
0
T0
(a) 周期离散时间序列
X(k)
Ω0
(b) 周期离散时间序列的频谱
图 周期离散时间序列及其傅立叶变换
2T0
t
ΩS
Ω
8
３．２ 周期序列的离散傅立叶级（DFS）
３．２．１ 周期序列
一个周期为N的周期序列 ~x(n)，对于所有n满足 ~ x(n)~ x(nkN )k,为整数
N 1 ~x1 ( m ) N 1 ~x 2 ( n
m
)W
(n m N
)kW
mk N
m 0
n0
N
1
~x 1
(
m
)W
mk N
N
1 m
~x 2 ( m
' )W
m 'k N
m 0
m'm
X~ 1 ( k ) X~ 2 ( k )
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４、频域卷积特性
对于时域周期序列的乘积，同样对应于频域的周
n 0
n 0
反变换 ~ x (n ) ID [X ~ (k F ) ]N S 1N k 0 1 X ~ (k )e j2 N k nN 1N k 0 1 X ~ (k ) W N nk
第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法-庄
频域
离散
周期
时域的离散造成频域的延拓（周期性）。根据 对偶性，频域的离散也会造成时域的延拓（周 期散化，
令 d 0 从而 k 0
k 2F0 , N
j 0 kT N 1 n 0
s 0
n 0
N 1
j
2 kn N
0 k N 1
N称为DFT变换区间长度， N M
令
WN e
j
2 N
，记作旋转因子
傅里叶变换与逆变换对为：
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN n 0 N 1 N 1
0 k N 1 0 n N 1
N
示周期序列的频谱特性，即DFT能够描述FT的特征
24
2.DFT与FT、ZT之间的关系
有限长序列
x(n) n 0,1, 2, M 1
N M
DFT与ZT、FT、DFS
X ( z ) ZT [ x(n)] X (e ) FT [ x(n)]
j j
n
x(n) z
7
2 时域：以Ts 采样，频域延拓周期 s Ts 2 频域：以0 采样，时域延拓周期T0 0
x(n)
T0 1 F0
Ts
1 fs
t n
| X (e
jk0T
)|
s
2 Ts
0
2 T0
k
8
四种形式归纳
类型
傅里叶变换 傅里叶级数
时间函数
连续 非周期
频率函数
N
(1)
1-z -8 X(z)= , -1 1-z
离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用讣算机处理。
但是，直至上个世纪六十年代，山于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的汁算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。
近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
§ 3-1 引言一.DFT是重要的变换1•分析有限长序列的有用工具。
2.在信号处理的理论上有重要意义。
3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在讣算机上实现。
二.DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。
傅氏变换§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式一•连续时间、连续频率的傅氏变换■傅氏变换X(yQ) = C x(t)e~jnt dtJ—co反:x(t) = —r X(jG)£4dG2/r J—8时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性:时域连续，则频域非周期。
反之亦然。
二•连续时间、离散频率傅里叶变换■傅氏级数8反：垃）=工XOKl 。
）』％k=^o*时域周期为Tp. 频域谱线间隔为2Ji/Tp三•离散时间、连续频率的傅氏变换-序列的傅氏变换x(nT)|x （购 o ）|\—< I —11—< I —( I —11—1Q2兀Co=〒正：X （购0）二4-T 0 T 2Too正：X0E)=工x(nT)戶GT反:x(nT)=丄p/2X(eQT)eJ叫。
Q v J-G$/2*时域抽样间隔为八频域的周期为2吕111上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。
时域信号 频域信号 离散的 周期的 周期的离散的*时域是周期为坊函数，频域的离散间隔为Q o =—； Tp时域的离散间隔为八频域的周期为2 =莘・0 T 2T 1 2NTN四•离散时间、离散频率的傅氏变换-DFTN(2 — 1)%(2 — 1)DFT的简单推演：在一个周期内，可进行加I下变换:X(/E)二^x(nT)e~j,^Tx(nT)=丄X(&G丁疋0$ J-。
第3章 离散傅利叶变换(DFT)
离散性、谐波性
2π τ
X(k)
2π τ
-Ω0 0 Ω0 3Ω0
4π τ
Ω
第三章 离散傅利叶变换（DFT）
2. 连续时间、连续频率——傅利叶变换（FT） 非周期、连续时间信号通过连续付里叶变换(FT) 得到非周期、连续频谱密度函数。
X ( jΩ ) x(t ) 1 2π
x ( t )e
jΩ t
dt
jΩ t
X ( j Ω )e
dΩ
时域连续函数造成频 域是非周期的谱, 而时域的非周期性造 成频域是连续的谱。
第三章 离散傅利叶变换（DFT）
3. 离散时间、连续频率——序列的傅利叶变换（DTFT）
X (e
j
)
n
x ( n )e
j n
正变换
x(n)
第三章 离散傅利叶变换（DFT）
第三章 离散傅利叶变换（DFT）
引言
• 有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。 由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。 由于有限长序列，引入DFT(离散付里叶变换)。 • DFT变换除了作为有限长序列的一种付里叶表示，在 理论上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效 快速算法--FFT,因而使离散付里叶变换(DFT)得以实 现，它使DFT在各种数字信号处理的算法中起着核心 的作用。
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题数字信号处理第三版第3章离散傅里叶变换(DFT)习题1．计算以下序列的N点DFT，在变换区间0≤n≤N－1内，序列定义为(1) x(n)=1(2) x(n)=δ(n)(3) x(n)=δ(n－n0) 0n0N(4) x(n)=Rm(n) 0mN(5) n ) jNmn N x(=e,0 mπ 2 (6) n ) x(=cos mn ,0mN2π(7) x(n)=ejω0nRN(n)(8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)(9) x(n)=cos(ω0n)RN(N)(10) x(n)=nRN(n)2．已知下列X(k)，求x(n)=IDFT［X(k)］Njθ 2e N（1）X (k)= e jθ20 N k=m k=N m其它kNjθ j2e N jθ（2）X (k)= je 2 0 k=m k=N m 其它k其中，m为正整数，0mN/2, N为变换区间长度。
3．已知长度为N=10的两个有限长序列：做图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)，循环卷积区间长度L=10。
，4．证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］数字信号处理第三版证明DFT［X(n)］=Nx(N－k)5．如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理1x(0)=N∑X(k)k=0N 16．设x(n)的长度为N，且X(k)=DFT［x(n)］0≤k≤N－1令h(n)=x((n))NRmN(n) m为自然数H(k)=DFT［h(n)］mN 0≤k≤mN－1求H(k)与X(k)的关系式。
7．证明: 若x(n)为实序列，X(k)=DFT［x(n)］N，则X(k)为共轭对称序列，即X(k)=__（N－k)；若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
DFT 已成为 DSP 算法中的核心变换，原因：
（1）有限长序列傅里叶变换的重要方法 （2）有快速算法
华北电力大学自动化系
4
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （1）
时间函数
频率函数
非周期连续时间—傅里叶变换(FT)－连续频率 周期连续时间—傅里叶级数(FS)－离散频率 非周期离散时间—离散时间傅里叶变换(DTFT)－连续频率 周期离散时间—离散傅里叶级数(DFS)－离散频率
j
正变换两端乘以 e 然后令 k=0，1，…，N-1 求和，得：
2 km ，m=0,1,…,N-1 N
X (k )e
k 0
N 1
j(
2 ) km N
x( n)e
k 0 n 0 N 1
N 1 N 1
j(
2 )k ( m n ) N
N 1 j ( 2N ) k ( m n ) x ( n) e n 0 k 0
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1 X ( n 0 ) T
T 2
T 2
( t )e jn0t dt x
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （4）
3. 非周期离散信号：离散时间傅里叶变换 DTFT
x(nT )
X (e jT )
T
时域离散频域周期
2 T
T x(nT ) 2
用正交条件：
e
k 0
N 1
j(
2 )k ( m n) N
N 0
nm nm
20
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DFS 定义：反变换
X (k )e
k 0 N 1 j( 2 ) km N
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--上机习题
n L n >L
其中 a=0.9， L=10。 （1） 计算并绘制信号 x(n)的波形。 （2）证明： X (e jω ) = FT[ x(n)] = x(0) + 2 （ 3） 按照 N=30 对 X(ejω)采样得到
Ck = X (e jω )
ω=
－|n|
R21(n+10)
2
2π k N
∑ x(n)cosω n
n =1
L
, k = 0,1, 2,L , N − 1
（4） 计算并图示周期序列
% n) = x 1 N
∑C e
k k =0
N −1
j(2 π / N ) k n
%(n) 与 x(n)的关系。 试根据频域采样定理解释序列 x
1
% ( n) = （5） 计算并图示周期序列 y
离散傅里叶变换离散傅里叶变换性质傅里叶变换习题二维离散傅里叶变换离散傅里叶变换作用离散傅里叶变换公式离散时间傅里叶变换离散傅里叶逆变换dft离散傅里叶变换傅里叶变换
第3章 上机习题
离散傅里叶变换(DFT)
1. 已知序列 x(n)={1, 2, 3, 3, 2, 1}。 （1） 求出 x(n)的傅里叶变换 X(ejω)， 画出幅频特性和相频特性曲线(提示： 用 1024 点 FFT 近似 X(ejω))； （2） 计算 x(n)的 N（N≥6）点离散傅里叶变换 X(k)， 画出幅频特性和相频 特性曲线； （3） 将 X(ejω)和 X(k)的幅频特性和相频特性曲线分别画在同一幅图中， 验 证 X(k)是 X(ejω)的等间隔采样， 采样间隔为 2π/N； （4） 计算 X(k)的 N 点 IDFT， 验证 DFT 和 IDFT 的惟一性。 2. 给定两个序列: x1(n)={2, 1, 1, 2} , x2(n)={1, －1, －1, 1}。
第三章1离散傅立叶变换(xkj)
e
2π (k −r )n N
n=0
1 1− e N 2π N 1 − e j N (k −r )
j 2 π ( k −r ) N
X (k ) = ∑ x(n)e
n =0
N −1
−j
2π nk N
⎧1 r =k =⎨ ⎩0 r ≠k
N −1
k = 0 ,1, 2
DFS
设 x(n)为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : 正变换 2π N −1 N −1 −j nk ~ nk X (k ) = DFS [ ~ (n)] = ∑ ~ (n)e N = ∑ ~ (n)WN x x x n =0 n =0 反变换
同样可看出,时域的离散造成频域的周期延拓 ,而 时域的非周期对应于频域的连续 .
上面讨论的三种傅里叶变换对 ,都不适用在 计算机上运算 , 因为至少在一个域 ( 时 域 或频域)中,函数是连续的。因为从 数字计算角度,我们感兴趣的是时 域及频域都是离散的情况。
我们先从周期性序列的 离 散 傅 里 叶 级 数(DFS) 开 始 讨 论 , 然后再讨论可作为周期函数 一个周期的有限长序列的离散 傅 里 叶 变 换(DFT)。
x(t )e − jk Ω0t dt
2 非周期信号,当
T →∞
时
Ω 0 = ΔΩ → dΩ, kΩ 0 = Ω, ∑ → ∫
1 x(t ) = 2π
∫
∞
−∞
[ ∫ x(t )e − jΩt dt ]e jΩt dΩ
−∞
∞
X ( jΩ )
二、 非周期信号与连续频谱 非周期连续时间信号通过连续付里叶变 换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。
第3章--离散傅里叶变换(DFT)(用此参考课件上课)
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n