第三章 离散傅立叶变换
(完整版)第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk %。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()Xk %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。
（2）证明当()x n %为实偶函数时，()Xk %也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nk Nn N N nk nkNNn n X k x n W X k x n Wx n WX k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%%（2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()xn x n =-%%，所以有(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk %，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+%%，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =-%%，对于所有的k ； （3）(0)0X=%；（4）25 ()jkX k eπ%，对所有的k是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n%一个周期为N＝10的周期序列，故()X k%也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n%一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()X k%是共轭对称的，即应有*()()X k X k=-%，这里()X k%不一定是实数序列。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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离散傅里叶变换计算方法(DFT、FFT,HDT)
DFT 已成为 DSP 算法中的核心变换，原因：
（1）有限长序列傅里叶变换的重要方法 （2）有快速算法
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4
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （1）
时间函数
频率函数
非周期连续时间—傅里叶变换(FT)－连续频率 周期连续时间—傅里叶级数(FS)－离散频率 非周期离散时间—离散时间傅里叶变换(DTFT)－连续频率 周期离散时间—离散傅里叶级数(DFS)－离散频率
第三章 DFT——离散付氏变换
• DFS 和 DFT 的导出 • DFS 和 DFT 的性质 • Z 变换与 DFS 的关系 • FFT • IDFT • 频谱分析
3.1 问题的提出：连续信号的傅里叶变换
连续信号 xa(t)，其傅里叶变换为：
X a ( )
xa ( t )e jt dt
1/T
-Ωm
~ X ()
Ω1 Ωm
(b) DTFT
n
0
T
Tm
-Ωs
-Ωm
1/T
Ωm
Ωs
~(n) ~(nT ) x x
(d) DFS
n
~ ~ X (k ) X (k1 )
k
-N
0
N
-N
0
N
时域中函数的取样和频域中函数的取样
3.2 DFS 及其性质
由以上讨论可以清楚地看到，时域取样将引起频
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 (5)
4. 周期离散时间信号：离散傅里叶级数 DFS
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
第三章离散傅里叶变换DFT(一)
F2
1 2
e j 4
3.1连续时间信号的傅里叶变换
非周期连续信号傅里叶变换
F j f (t)e j t dt
f (t)
1
F je j t d
2
该变换存在的充分条件： f t dt
频谱密度函数
周期信号的傅氏级数：
f (t)
F en
n
jn0t
(0
2 T
)
(1)
周期信号的频谱：
3.3连续时间信号的抽样
抽样原理（采样、sample）
周期 序列
3.3连续时间信号的抽样
需要解决的问题
fs (t) f (t) s(t)
1
Fs ( j) 2 F( j) * S( j)
由f sf(st
)
t
Fs j与F 能否恢复f t
j的关系
理想冲激序列抽样
s(t) Ts (t) (t nTs )
2
f (t) 1 sin t 2 cos t cos 2t
Fne jnt
4
n 2
1 2
e
j
4e
j 2t
[1
1 2j
]e
jt
1 [1 1 ]e jt 2j
1 e j 4e j2t 2
F2
1 2
e
j
4
F1
1
1 2j
1.12e
j 0.15
F0 1
F1
1
1 2j
1.12e
j 0.15
周期连续信号傅里叶级数展开
周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件（有限区间逐 段光滑）时，可展成：
f (t)
第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)2
5
3.4.2 基2 DIT-FFT 算法
基2FFT要求DFT变换区间长度N=2M，M为自然数。
1. DIT-FFT算法
序列x(n)的N点DFT为
N 1
X (k) DFT[x(n)]N x(n)WNk n n0
将上面的和式按n的奇偶性分解为
k 0,1, , N 1
X (k)
x(n)WNk n
减少运算量的途径之一就是将N点DFT分解为几个较
短的DFT进行计算，则可大大减少其运算量。
B. WNm 的周期性和对称性：
WNm的周期性：WNml N
j2(ml N )
e N
jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm
e N
WNm
WNm的对称性：
(WNN m )* WNm
m N
WN 2
WNm
3
快速傅里叶变换就是不断地将长序列的DFT分解为短序列 的DFT，并利用WNm 的周期性和对称性及其一些特殊值来 减少DFT运算量的快速算法。
(3.4.7)
这样，就将N点DFT的计算分解为计算两个N/2点离散傅里
叶变换X1(k)和X2(k)，再计算式(3.4.7)。
8
蝶形图
蝶形图及运算功能
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
X
k
N 2
X1(k)
WNk
X2 (k)
k 0,1, , N 1 2
8点DFT一次时域抽取分解运算流图
人们已经研究出多种FFT算法，它们的复杂度和运算效率 各不相同。
本章主要介绍最基本的基2 FFT算法及其编程方法。
1
3.4.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的 基本途径
DFT计算量：
第三章.离散时间信号的傅里叶变换
4、时域卷积定理
∞
) = x ( 0 ) + 2∑ x ( n ) cos (ω n )
n =1
y (n) = x ( n) * h ( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
X I ( e jω ) = 0 x ( n) =
π∫
1
π
0
X R ( e jω ) cos (ω n ) d ω
jω jω 2 2 ⎤ X ( e jω ) = ⎡ ⎣ X R ( e ) + X I ( e )⎦
12
如果 x ( n ) 是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有 如下性质： ① X ( e jω ) 的实部 X R ( e jω ) 是 ω 的偶函数，即 ② X (e
jω
= X ( e − jω )
x (t ) =
k =−∞
X ( k Ω0 ) =
1 T /2 x ( t ) e − jk Ω0t dt T ∫−T / 2
X ( k Ω 0 )代表了x ( t ) 中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。
∑ X ( kΩ ) e
0
∞
jk Ω0 t
并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号 能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件 外，还需要满足如下的Dirichlet条件： ① 在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限 的。 ② 在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。 ③ 在一个周期内应是绝对可积的，即
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的 傅里叶变换
内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换 2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT） 3、连续时间信号的抽样 4、离散时间周期信号的傅氏级数 5、离散傅氏变换（DFT） 6、利用DFT计算线性卷积 7、希尔伯特变换
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n 是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk 。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k xn W xn W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑3.2 （1）设()xn 为实周期序列，证明()x n 的傅里叶级数()X k 是共轭对称的，即*()()X k X k =- 。
（2）证明当()xn 为实偶函数时，()X k 也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nkNn N N nk nkNNn n Xk xn W X k xn W xn W Xk --=---==-=-===∑∑∑（2）因()xn 为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =- 或*()()X k X k -= 又因()xn 为偶函数，即()()x n x n =- ，所以有 (1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k xn W xn W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()xn 。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk ，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+ ，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =- ，对于所有的k ； （3）(0)0X= ；（4）25()jkXk e π ，对所有的k 是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n 一个周期为N ＝10的周期序列，故()Xk 也是一个周期为N ＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n 一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()Xk 是共轭对称的，即应有*()()Xk X k =- ，这里()X k 不一定是实数序列。
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第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。
把)(~n x 看作周期为N 的周期序列有)(~)(~1k X n x ↔（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ↔（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示）（k X 2~。
二、离散傅立叶变换定义填空题2．某DFT 的表达式是∑-==10)()(N k kl M Wk x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。
3．某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。
4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ）。
5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ）。
6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。
则频域抽样点之间的频率间隔f ∆为_______,数字角频率间隔w ∆为 _______和模拟角频率间隔∆Ω ______。
判断说明题：7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。
（ ）计算题8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。
如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。
9．序列}{0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT )(k x 如下图所示。
现将)(n x 按下列（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）（1）⎩⎨⎧-=)4()()(1n x n x n y 7~43~0==n n（2）⎩⎨⎧=0)()(2n x n y 7~43~0==n n（3）⎪⎩⎪⎨⎧=0)2()(3n x n y 奇数偶数==n n 10．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质：)()(n x N n x =+另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的关系。
11．试求以下有限长序列的N 点DFT （闭合形式表达式）（1）)()(n R a n x N n = （2）)()(n nR n x N =12．计算下列序列的N 点DFT ：()116P （1）10,)(-≤≤=N n a n x n（2）=)(n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛nm N π2cos ，N n ≤≤0，N m <<0 13．已知一个有限长序列)5(2)()(-+=n n n x δδ（1） 求它的10点离散傅里叶变换)(k X（2） 已知序列)(n y 的10点离散傅立叶变换为)()(210k X W k Y k =，求序列)(n y（3） 已知序列)(n m 的10点离散傅立叶变换为)()()(k Y k X k M =，求序列)(n m14．（1）已知序列：102sin )(-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=N n n N n x ，π，求)(n x 的N 点DFT 。
（2）已知序列：(){2,1,010==n n x ，，其它，则)(n x 的9点DFT 是8,...,2,1,09sin 3sin )(92=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-k k k e k X k j ，πππ 正确否？用演算来证明你的结论。
15．一个8点序列)(n x 的8点离散傅里叶变换)(k X 如图5.29所示。
在)(n x 的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列)(n y ，即()⎩⎨⎧=为奇数为偶数n n n x n y 02)( （1）求)(n y 的16点离散傅里叶变换)(k Y ，并画出)(k Y 的图形。
（2）设)(k X 的长度N 为偶数，且有12,...,1,0),1()(-=--=N k k N X k X ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛2N x 。
16．计算下列有限长序列)(n x 的DFT ，假设长度为N 。
（1）n a n x =)( 10-≤≤N n（2）{}1,3,2,1)(--=n x 17．长度为8的有限长序列)(n x 的8点DFT 为)(k X ，长度为16的一个新序列定义为 ()⎩⎨⎧===15,,3,1014,,2,02)( n n n x n y 试用)(k X 来表示[])()(n y DFT k Y =。
18．⎪⎩⎪⎨⎧=====304,211,02)(n N n n n x 若试计算)(n x 的离散傅里叶变换)(k X 的值)3,2,1,0(=k 。
证明题：19．设)(k X 表示长度为N 的有限长序列)(n x 的DFT 。
（1）证明如果)(n x 满足关系式)1()(n N x n x ---=则0)0(=X（2）证明当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --= 则0)2(=N X 20．令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，（1）证明如果)(n x 满足关系式)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。
（2）证明当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2(=N X 。
简答题：21．在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？22．试说明离散傅里叶变换与Z 变换之间的关系。
三、离散傅立叶变换性质填空题：1．已知序列}{3,2,1,0;1,3,2,2][=--=k k x ，序列长度4=N ，写出序列][])2[(4k R k x N -的值（ ）。
2．已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为（ ）。
3．已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为（ ）。
证明题：4．试证N 点序列()n x 的离散傅立叶变换()k X 满足Parseval 恒等式210210][1][∑∑-=-==N m N k k X N n x 5．)()(n X k x 和是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性： )()(1n x k X N-⇔ 6．)(n x 长为N 的有限长序列，)(),(n x n x o e 分别为)(n x 的圆周共轭偶部及奇部，也即)](*)([21)(*)(n N x n x n N x n x e e -+=-= )](*)([21)(*)(n N x n x n N x n x o o --=--= 证明：)](Im[)]([)](Re[)]([K X j n x DFT K X n x DFT o e ==7．若N k Nx n X DFT k X n x DFT ))(()]([),()]([-==求证8．若[])()(k X IDFT n x =，求证[])())((1)(n R n X Nk x IDFT N N -=。
9．令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点DFT ，试证明：（a ） 如果)(n x 满足关系式)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。
（b ） 当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2(=N X 。
10．设[])()(k X n x DFT =，求证[])()(n N Nx k X DFT -=。
11．证明：若)(n x 为实偶对称，即)()(n N x n x -=，则)(k X 也为实偶对称。
计算题：12．已知)30()1()(),30(1)(≤≤-=≤≤+=n n y n n n x n，用圆周卷积法求)(n x 和)(n y 的线性卷积)(n z 。
13．序列{}3,2,1)(为n a ，序列{}1,2,3)(为n b 。
（1）求线性卷积()()n b n a *（2）若用基2 FFT 的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT 至少应取多少点？14．有限长为N=100的两序列⎩⎨⎧=01)(n x 9911100≤≤≤≤n n ⎪⎩⎪⎨⎧=101)(n y 99908910≤≤≤≤=n n n 做出)(),(n y n x 示意图，并求圆周卷积)()()(n y n x n f ⊗=及做图。
15．已知)(n x 是长度为N 的有限长序列，)]([)(n x DFT k X =，现将)(n x 的每两点之间补进1-r 个零值，得到一个长为rN 的有限长序列)(n y⎪⎩⎪⎨⎧=0)()(r n x n y 1,,1,0,1,,1,0,-=≠-==N i ir n N i ir n 求：DFT[)(n y ]与)(k X 的关系。
16．已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。
现将长度变成rN 点的有限长序列)(n y⎩⎨⎧=0)()(n x n y 110-≤≤-≤≤rN n N N n 试求rN 点DFT[)(n y ]与)(k X 的关系。
17．已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。
现将)(n x 的每两点之间补进1-r 个零值点，得到一个rN 点的有限长序列)(n y⎩⎨⎧=0)()(r n x n y n N i ir n 其他1,,1,0,-== 试求rN 点DFT[)(n y ]与)(k X 的关系。
18．已知序列)3()2(2)1(3)(4)(-+-+-+=n n n n n x δδδδ和它的6点离散傅立叶变换)(k X 。
（1）若有限长序列)(n y 的6点离散傅立叶变换为)()(46k X W k Y k =，求)(n y 。
（2）若有限长序列)(n u 的6点离散傅立叶变换为)(k X 的实部，即[])(Re )(k X k U =，求)(n u 。
（3）若有限长序列)(n v 的3点离散傅立叶变换)2()(k X k V = )2,1,0(=k ，求)(n v 。
19．令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点DFT ，)(k X 本身也是一个N 点序列。