第3章_离散时间信号的傅里叶分析_3.3离散时间傅里叶变换与离散时间非周期信号的频谱
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第3章：离散时间信号的傅里叶变换
DTFT的性质 的性质
线性：若 x1 ( n ) → X 1 (e jω ), x 2 ( n ) → X 2 (e jω )，则 线性：
α x1 ( n ) + β x 2 ( n ) → α X 1 ( e j ω ) + β X 2 ( e j ω )
时移： 时移：若 x ( n ) → X ( e jω )，则 x ( n − n0 ) → e − jωn0 X (e jω ) 奇偶虚实对称： 奇偶虚实对称： 为实信号， 若 x ( n )为实信号，则（ 1 X R ( e jω ) = X R ( e − jω ); ） (3) X * ( e jω ) = X (e − jω ); X I ( e jω ) (5)ϕ (ω ) = arctan = −ϕ ( − ω ); jω X R (e )
200
0 -200
0
200
400 f/Hz
600
800
1000
的确出现了原信号频率分量。 的确出现了原信号频率分量。 问题: 问题 (1)-f0处未出现频率分量 (2)出现 出现2pi(或fs)周期性 出现 或 周期性 (3)其他分量 其他分量
250 200
其他分量
150 100 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
第3章 章 离散时间信号的傅里叶变换
3.1 连续时间信号的傅里叶变换 3.2 离散时间信号的傅里叶变换 离散时间信号的傅里叶变换(DTFT) 3.3 连续时间信号的抽样 3.4 离散时间周期信号的傅里叶级数 3.5 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 3.6 用DFT计算线性卷积 计算线性卷积 3.7 与DFT有关的几个问题 有关的几个问题 3.8 关于正弦信号抽样的讨论 3.9* 二维傅里叶变换 3.10 希尔伯特变换 3.11 与本章内容有关的 与本章内容有关的MATLAB文件 文件
第三章第二节离散信号频域分析
若 Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m) x2 (n m)
m 0
N 1
x2 (m) x1 (n m)
m 0
N 1
证： y(n) IDFS[ X 1 (k ) X 2 (k )]
j
2
j j e 2 e 2
e
3 j 2
sin 2 sin / 2
求x n 的8点DFT N 8
X k X e j
3 j k 2 4
2 k 8
e
2 sin 2 k 8 1 2 sin k 2 8 sin k 2 sin k 8
若 则有
2．周期序列的移位 设
则 如果m>N，则m=m1+Nm2
3．周期卷积 设 和 DFS系数分别为
都是周期为N的周期序列，它们的
令
则
上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。 周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于 它们各自离散傅里叶级数的乘积。
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列 和 对m都是周 期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的， 周期卷积仅在 一个周期内求和。 相乘和相加运 算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出 n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓， 就得到周期卷积 。 周期卷积满足交换律
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m) x2 (n m)
m 0
N 1
x2 (m) x1 (n m)
m 0
N 1
证： y(n) IDFS[ X 1 (k ) X 2 (k )]
j
2
j j e 2 e 2
e
3 j 2
sin 2 sin / 2
求x n 的8点DFT N 8
X k X e j
3 j k 2 4
2 k 8
e
2 sin 2 k 8 1 2 sin k 2 8 sin k 2 sin k 8
若 则有
2．周期序列的移位 设
则 如果m>N，则m=m1+Nm2
3．周期卷积 设 和 DFS系数分别为
都是周期为N的周期序列，它们的
令
则
上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。 周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于 它们各自离散傅里叶级数的乘积。
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列 和 对m都是周 期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的， 周期卷积仅在 一个周期内求和。 相乘和相加运 算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出 n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓， 就得到周期卷积 。 周期卷积满足交换律
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
《离散傅里叶》PPT课件
射关系，即
F () f (t)e jt dt
f (t) 1 F ()e jt d 2
2.离散、非周期时域信号 f (n) ←映射→周期、连续频域信号 F(e j ) ，它有序列的傅里叶变换
构成映射关系，即
F (e j ) f (n)e jn n
f (n) 1 F (e j )e jn d 2
N 1
f
p
( n)W Nnk
W
nN N
n0
N 1
f p (n)WNnk Fp (k ) n0
周期序列 f p (n) 的傅里叶级数系数 Fp (k) 也是以 N 为周期的周期序列。
时域中的一个周期序列 f p (n) 必定与频域中的一个周期序列 Fp (k) 一一
对应，在信号处理理论中通常称 Fp (k) 为周期序列 f p (n) 的离散傅里叶级
数变换（Discrete Fourier Series 简写为 DFS），即
Fp (k) DFS[ f p (n)]
而 f p (n) 称为离散傅里叶级数的逆变换（Inverse Discrete Fourier Series 简 写为 IDFS），即
f p (n) IDFS[Fp (k)]
1.连续、非周期时域信号 f (t) ←映射→非周期、连续频域信号 F() ，它由傅里叶变换构成映
N 1
N 1
Fk [
e ] jn0 ( k r )
k 0
n0
上式中方括弧中的和式由正交关系求出，即：
N 1 e jn0r
n0
N
0
r mN r mN
式中 m 为整数，方括弧中的和式只有当 k r mN 或 k mN r 时，取非零值 N，由于后 一个和式变量 k 的取值范围为[0, N 1]，所以 m 必须取零值（即 m 0），这就是说只有当 k r 时，方括弧中的和式取非零值，于是
F () f (t)e jt dt
f (t) 1 F ()e jt d 2
2.离散、非周期时域信号 f (n) ←映射→周期、连续频域信号 F(e j ) ，它有序列的傅里叶变换
构成映射关系，即
F (e j ) f (n)e jn n
f (n) 1 F (e j )e jn d 2
N 1
f
p
( n)W Nnk
W
nN N
n0
N 1
f p (n)WNnk Fp (k ) n0
周期序列 f p (n) 的傅里叶级数系数 Fp (k) 也是以 N 为周期的周期序列。
时域中的一个周期序列 f p (n) 必定与频域中的一个周期序列 Fp (k) 一一
对应，在信号处理理论中通常称 Fp (k) 为周期序列 f p (n) 的离散傅里叶级
数变换（Discrete Fourier Series 简写为 DFS），即
Fp (k) DFS[ f p (n)]
而 f p (n) 称为离散傅里叶级数的逆变换（Inverse Discrete Fourier Series 简 写为 IDFS），即
f p (n) IDFS[Fp (k)]
1.连续、非周期时域信号 f (t) ←映射→非周期、连续频域信号 F() ，它由傅里叶变换构成映
N 1
N 1
Fk [
e ] jn0 ( k r )
k 0
n0
上式中方括弧中的和式由正交关系求出，即：
N 1 e jn0r
n0
N
0
r mN r mN
式中 m 为整数，方括弧中的和式只有当 k r mN 或 k mN r 时，取非零值 N，由于后 一个和式变量 k 的取值范围为[0, N 1]，所以 m 必须取零值（即 m 0），这就是说只有当 k r 时，方括弧中的和式取非零值，于是
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
华北电力大学自动化系
3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
[数学]数字信号处理3-离散傅里叶变换
![[数学]数字信号处理3-离散傅里叶变换](https://img.taocdn.com/s3/m/7234f45627284b73f242504d.png)
• 所以
5 sin k 10 k Xp sin k 10
4 argX p k k 10
湛江师范学院
(2)设
5 n 14
14 nk 10 2p n 5 p
X k x nW
(e
j 2 k 10 10
0.9 sin k 4 k tg 1 1 0.9 cos k 4
湛江师范学院
湛江师范学院
x(n) R4 (n)
频谱 抽样点N=8
抽样点N=16
湛江师范学院
3.3 离散傅里叶变换的性质
3.3.1 线性特性
yn ax1 n bx2 n
1 e
2 k 10
3.2 离散傅里叶变换(DFT)
周期序列虽然是无限长序列，但是它只含有 N个独立信 息。因此，周期序列与有限长序列有着本质的联系，这正 是由离散傅里叶级数向离散傅里叶变换过渡的关键所在。
x ( n)
0
N 1
n
x p (n)
…
N 0 N
…
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有限长序列的长度为 N, 周期序列的周期为N,
N 1 k 0 p1 p2
nk N
N 1 1 N 1 N 1 mk rk nk x p1mW N x p 2 r W N W N r 0 N k 0 m 0
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1 N 1 k n mr x p1m x p 2r W N m 0 r 0 k 0 N
p N N N
x p n m R N n W N
n 0
N 1
nk
离散时间信号傅立叶分析
对于所有的n， y(n) 1 比较上例
Y ( k ) Nx ( k ) y ( n) X ( n)
这是对偶性一种特殊情况
DFS的性质：
• 线性：
若： x1 (n) X1 (k ), x2 (n) X 2 (k )
N1 N2
则： x3 (n) ax1 (n) bx2 (n) X 3 (k ) aX1 (k ) bX 2 (k )
x(n)e
n 0
N 1
j
2 2 kn j lNn N N
e
x(n)e
n 0 ,
所以 X (k ) 也是周期为N的周期序列 X (0) X ( N ) X (1) X ( N 1)
因此可知，时域离散的周期序列，其频域也是周期离散的序列。
x ( n) 与 X ( k )
是时域与频域相互表示的一对傅里叶级数关系
N 1 n 0 j 2 nk N
X (k ) DFS[ x(n)] x(n)e
N 1
k ,
2 kn N
1 (n) IDFS[ X (k )] X (k )e x N k 0
N 4
X (k ) x(n)W4kn e
n 0 n 0
3
1
j
2 nk 4
1 e
j k 2
X (0) 2
X (1) 1 e
j
2 3 2
1 j
X (2) 1 e j 0
X (3) 1 e
j
1 j
e j1t …，k次谐波分
若周期序列是周期函数的采样序列，采样间隔为 T
第三章离散时间信号的傅里叶变换
第三章离散时间信号的傅里叶变换课程：数字信号处理目录第三章离散时间信号的傅里叶变换 (3)教学目标 (3)3.1引言 (3)3.2傅里叶级数CFS (4)3.2.1傅里叶级数CFS定义 (4)3.2.2傅里叶级数CFS性质 (6)3.3傅里叶变换CFT (7)3.3.1傅里叶变换CFT定义 (7)3.3.2傅里叶变换CFT的性质 (8)3.4离散时间信号傅里叶变换DTFT (9)3.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义 (9)3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质 (10)3.5周期序列的离散傅里叶级数(DFS) (14)3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义 (14)3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质 (18)3.6离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.1离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.2离散傅里叶变换的性质 (23)3.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系 (25)3.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析 (28)3.9实验 (30)本章小结 (32)习题 (33)参考文献： (36)第三章离散时间信号的傅里叶变换教学目标本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。
通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。
3.1引言一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。
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例1：非周期序列 的频谱分析 已知非周期序列： ①周期序列的时域波形：
xn a
n
a 0.5 0 n 10
采用 MATLAB计 算该非周期序列的 频谱（DTFT）。
②周期序列的频谱：实部和虚部。
clear all; N=10;%设定序列长度，共10点。 n=0:1:N;%定义序列的离散变量。 a=0.5;%设定指数序列的底。 syms t w;%定义符号变量。 xt=a^t;%定义序列的符号表达式，xt为连续时间指数函数。 Xw=symsum(xt*exp(-j*w*t),t,0,N);%采用符号表达式symsum计算序列的DTFT。 figure(1);%绘制非周期序列的时域波形散点图。 xn=subs(xt,t,n);%将序列的符号表达式离散化，绘制序列的散点图，共10点。 stem(n,xn,'.'); axis([0,N,0,1]); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); grid; figure(2);%绘制非周期序列DTFT的实部和虚部。 subplot(2,1,1); ezplot(real(Xw));%实频。序列的DTFT是以2*pi为周期的连续频谱。 xlabel('Ω'); ylabel('Real Part of X(Ω)'); grid; subplot(2,1,2); ezplot(imag(Xw));%虚频。序列的DTFT是以2*pi为周期的连续频谱。 xlabel('Ω'); ylabel('Imaginary Part of X(Ω)'); grid;
（2）连续时间非周期信号的频谱没有周期性， 而离散时间非周期信号的频谱具有周期性，且 周期为2π。 证明：与前述类似，数字频率的周期为2π。
3.3.2 离散时间傅里叶变换的性质
离散时间傅里叶变换的性质与连续时间傅里叶 变换的性质类似。 共轭对称与共轭反对称性质：
3.3.3 非周期序列的离散时间傅里叶变换举例
DTFT sin 0 n j
0
2k 0 2k
证明：考虑下列结论即可得证。 单位常数序列的离散时间傅里叶变换 频移性质 欧拉公式
（2）一般周期序列的离散时间傅里叶变换
已知一般周期序列的复指数形式的离散时间傅里叶级数 展开式为 N 1
1 xn 2
2
0
X e
jn
d
2
0
d jn X 2 e
从此式可以看出，各次谐波exp(j Ω n)的幅值为 [X(Ω)d Ω /2π]，而该幅值的宽度是数字频率Ω 的微分d Ω （无穷小），因此离散时间傅里叶 正变换 X(Ω)表示幅值的密度，称为频谱密度函 数，简称频谱。从此式可以看出，离散时间非 周期信号x(n)的频谱密度函数X(Ω)是数字频率 Ω的连续函数。
xn 1
m
n m n
1
（3）周期为N的单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换
2 y n 1 N
DTFT
2 k N k
证明：如图所示，周期为N的单位脉冲序列也可以被称为 周期为N的单位常数序列，并可以表示为
（1）复指数序列、余弦序列和正弦序 列的离散时间傅里叶变换
e
j 0 n
2
DTFT
DTFT
k
0
0
2k
cos 0 n
k
k
2k 0 2k
xn
X k
n 0
0
e
jk 0 n
0
2 N
为基本数字频率。
其离散时间傅里叶变换为
X DTFTxn 2
k
X k
0
k 0
离散时间傅里叶正变换（分解公式）：
X
n
xne
jn
离散时间傅里叶反变换（合成公式）：
1 xn 22ຫໍສະໝຸດ 0X ejn
d
以上两式称为傅里叶变换对，记作
xn X
DTFT
证明：与傅里叶变换的证明类似。
说明： （1）频谱密度函数的概念 对离散时间傅里叶反变换（合成公式）进行改写
根据离散时间傅里叶变换的时移性质，即可得出时移后的 单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换为
DTFT n n0 e jn0
（2）周期为1的单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换
DTFT xn 1 2
k
2k
证明：如图所示，周期为1的单位脉冲序列也可以被称为 单位常数序列，并可以表示为
Xw_imag = -1/2*i*(1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(4*i*w)+1/32*exp(-5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(8*i*w)+1/512*exp(-9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w)-conj(1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(-5*i*w)+1/64*exp(6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(-9*i*w)+1/1024*exp(10*i*w)))
y n 1
m
n m N
N
n
（4）单位阶跃序列的离散时间傅里叶变换
u n
DTFT
1 1 e
j
k
2k
证明：
3.3.5 周期序列的离散时间傅里叶变换
周期序列： 复指数序列 余弦序列 正弦序列 一般周期序列 周期性单位脉冲序列
symsum Symbolic summation of series Syntax r = symsum(s) r = symsum(s,v) r = symsum(s,a,b) r = symsum(s,v,a,b) Description r = symsum(s) is the summation of the symbolic expression s with respect to its symbolic variable k as determined by findsym from 0 to k-1. r = symsum(s,v) is the summation of the symbolic expression s with respect to the symbolic variable v from 0 to v-1. r = symsum(s,a,b) and r = symsum(s,v,a,b) are the definite summations of the symbolic expression from v=a to v=b.
3.3.4 脉冲序列和阶跃序列的离散时间傅里叶变换 （1）单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换
DTFT n 1
证明： X DTFT n
n
xn e jn
n
n e jn
n
n e j0 e j0 1
Xw = 1+1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w) Xw_real = 1+1/4*exp(-i*w)+1/8*exp(-2*i*w)+1/16*exp(-3*i*w)+1/32*exp(4*i*w)+1/64*exp(-5*i*w)+1/128*exp(-6*i*w)+1/256*exp(-7*i*w)+1/512*exp(8*i*w)+1/1024*exp(-9*i*w)+1/2048*exp(-10*i*w)+1/2*conj(1/2*exp(i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w))
第3章 离散时间信号的傅里叶分析
3.3 离散时间傅里叶变换与离散时 间非周期信号的频谱
3.3.1 离散时间傅里叶变换的定义
离散时间周期信号能够用具有谐波关系的复指 数序列的线性组合来表示，称为离散傅里叶级 数。将这一概念推广应用到离散时间非周期信 号，认为离散时间非周期信号也能够用具有谐 波关系的复指数序列的线性组合来表示。 当离散时间周期信号的周期N趋于无穷大时， 则离散时间周期信号就转化为离散时间非周期 信号，其离散频谱就转化为连续频谱，称为离 散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）。
xn a
n
a 0.5 0 n 10
采用 MATLAB计 算该非周期序列的 频谱（DTFT）。
②周期序列的频谱：实部和虚部。
clear all; N=10;%设定序列长度，共10点。 n=0:1:N;%定义序列的离散变量。 a=0.5;%设定指数序列的底。 syms t w;%定义符号变量。 xt=a^t;%定义序列的符号表达式，xt为连续时间指数函数。 Xw=symsum(xt*exp(-j*w*t),t,0,N);%采用符号表达式symsum计算序列的DTFT。 figure(1);%绘制非周期序列的时域波形散点图。 xn=subs(xt,t,n);%将序列的符号表达式离散化，绘制序列的散点图，共10点。 stem(n,xn,'.'); axis([0,N,0,1]); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); grid; figure(2);%绘制非周期序列DTFT的实部和虚部。 subplot(2,1,1); ezplot(real(Xw));%实频。序列的DTFT是以2*pi为周期的连续频谱。 xlabel('Ω'); ylabel('Real Part of X(Ω)'); grid; subplot(2,1,2); ezplot(imag(Xw));%虚频。序列的DTFT是以2*pi为周期的连续频谱。 xlabel('Ω'); ylabel('Imaginary Part of X(Ω)'); grid;
（2）连续时间非周期信号的频谱没有周期性， 而离散时间非周期信号的频谱具有周期性，且 周期为2π。 证明：与前述类似，数字频率的周期为2π。
3.3.2 离散时间傅里叶变换的性质
离散时间傅里叶变换的性质与连续时间傅里叶 变换的性质类似。 共轭对称与共轭反对称性质：
3.3.3 非周期序列的离散时间傅里叶变换举例
DTFT sin 0 n j
0
2k 0 2k
证明：考虑下列结论即可得证。 单位常数序列的离散时间傅里叶变换 频移性质 欧拉公式
（2）一般周期序列的离散时间傅里叶变换
已知一般周期序列的复指数形式的离散时间傅里叶级数 展开式为 N 1
1 xn 2
2
0
X e
jn
d
2
0
d jn X 2 e
从此式可以看出，各次谐波exp(j Ω n)的幅值为 [X(Ω)d Ω /2π]，而该幅值的宽度是数字频率Ω 的微分d Ω （无穷小），因此离散时间傅里叶 正变换 X(Ω)表示幅值的密度，称为频谱密度函 数，简称频谱。从此式可以看出，离散时间非 周期信号x(n)的频谱密度函数X(Ω)是数字频率 Ω的连续函数。
xn 1
m
n m n
1
（3）周期为N的单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换
2 y n 1 N
DTFT
2 k N k
证明：如图所示，周期为N的单位脉冲序列也可以被称为 周期为N的单位常数序列，并可以表示为
（1）复指数序列、余弦序列和正弦序 列的离散时间傅里叶变换
e
j 0 n
2
DTFT
DTFT
k
0
0
2k
cos 0 n
k
k
2k 0 2k
xn
X k
n 0
0
e
jk 0 n
0
2 N
为基本数字频率。
其离散时间傅里叶变换为
X DTFTxn 2
k
X k
0
k 0
离散时间傅里叶正变换（分解公式）：
X
n
xne
jn
离散时间傅里叶反变换（合成公式）：
1 xn 22ຫໍສະໝຸດ 0X ejn
d
以上两式称为傅里叶变换对，记作
xn X
DTFT
证明：与傅里叶变换的证明类似。
说明： （1）频谱密度函数的概念 对离散时间傅里叶反变换（合成公式）进行改写
根据离散时间傅里叶变换的时移性质，即可得出时移后的 单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换为
DTFT n n0 e jn0
（2）周期为1的单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换
DTFT xn 1 2
k
2k
证明：如图所示，周期为1的单位脉冲序列也可以被称为 单位常数序列，并可以表示为
Xw_imag = -1/2*i*(1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(4*i*w)+1/32*exp(-5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(8*i*w)+1/512*exp(-9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w)-conj(1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(-5*i*w)+1/64*exp(6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(-9*i*w)+1/1024*exp(10*i*w)))
y n 1
m
n m N
N
n
（4）单位阶跃序列的离散时间傅里叶变换
u n
DTFT
1 1 e
j
k
2k
证明：
3.3.5 周期序列的离散时间傅里叶变换
周期序列： 复指数序列 余弦序列 正弦序列 一般周期序列 周期性单位脉冲序列
symsum Symbolic summation of series Syntax r = symsum(s) r = symsum(s,v) r = symsum(s,a,b) r = symsum(s,v,a,b) Description r = symsum(s) is the summation of the symbolic expression s with respect to its symbolic variable k as determined by findsym from 0 to k-1. r = symsum(s,v) is the summation of the symbolic expression s with respect to the symbolic variable v from 0 to v-1. r = symsum(s,a,b) and r = symsum(s,v,a,b) are the definite summations of the symbolic expression from v=a to v=b.
3.3.4 脉冲序列和阶跃序列的离散时间傅里叶变换 （1）单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换
DTFT n 1
证明： X DTFT n
n
xn e jn
n
n e jn
n
n e j0 e j0 1
Xw = 1+1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w) Xw_real = 1+1/4*exp(-i*w)+1/8*exp(-2*i*w)+1/16*exp(-3*i*w)+1/32*exp(4*i*w)+1/64*exp(-5*i*w)+1/128*exp(-6*i*w)+1/256*exp(-7*i*w)+1/512*exp(8*i*w)+1/1024*exp(-9*i*w)+1/2048*exp(-10*i*w)+1/2*conj(1/2*exp(i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w))
第3章 离散时间信号的傅里叶分析
3.3 离散时间傅里叶变换与离散时 间非周期信号的频谱
3.3.1 离散时间傅里叶变换的定义
离散时间周期信号能够用具有谐波关系的复指 数序列的线性组合来表示，称为离散傅里叶级 数。将这一概念推广应用到离散时间非周期信 号，认为离散时间非周期信号也能够用具有谐 波关系的复指数序列的线性组合来表示。 当离散时间周期信号的周期N趋于无穷大时， 则离散时间周期信号就转化为离散时间非周期 信号，其离散频谱就转化为连续频谱，称为离 散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）。