离散时间傅里叶变换
第6章 离散时间信号的傅里叶变换汇总
例：周期单位脉冲序列dN[k]
1 N 1 1 - jk0 n X [m] d N [n]e N n 0 N
信号
？
系统
响应
6.3 离散时间信号的傅立叶变换
1.离散时间周期信号的傅立叶变换
设时限非周期信号 f [n] 如图所示，对它进行周期 拓展可构成周期信号 f N [n]
筛选性
（2）
F ()
d [n] 1
F
n n jn a u [ n ] e ,
a 1
1 , j 1 ae
a 1
信号
？
系统
响应
幅度谱
F ()
1 [1 a cos()]2 a2 sin 2 ()
F()
2
a 1/ 2
2/3 2
信号
？
系统
响应
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
推导系数 ak 的计算公式 :
N 1 k 0
f [n] ak e jk 0n
两端乘以
e
jm0 n
并在一个周期 N内关于n求和
j ( k m ) 0 n
f [n]e
n 0
N 1
jm0 n
ak e
n 0 k 0
a
n
e
jn
1 a , a 1 2 1 2a cos a
N
0 d
k0
1 f [ n] 2
F ()e jn d
信号
？
系统
响应
频谱密度函数
F ()
n
f [n]e
离散时间傅里叶变换.
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：图3-1离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
离散时间序列的傅里叶变换
j
( 1) A e
j T
j
e
j
1 Be
j
H (e
A ) B
( )
e
j
( 1) A e
A B
j
e
j
1 Be
j
幅频: H (e j )
相频:
( )
j Im[z]
e
z
j
200 150
100
p
离散系统的频率响应
全同系统和最小相移系统
一、频率 响应定义
H (e ) H ( z ) z e j
j
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )
例:单位函数响应为h(k),激励为
e(k ) e jk
稳态响应.
r (k ) h(k )* e
j
jk
j ( k i ) j i jk h(i )e h(i)(e ) e i i 0
j
F (e j )e jk d
DTFT存在的充分必要条件是F(z)的收敛区间包含单位圆。
例1：求离散序列的傅里叶变换。 RN (k ) (k ) (k N )
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
50
Re[z ]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 -4
e j
0
2
H ( e j )
H (e )
j
A B
k 1 r 1 N
离散时间傅里叶变换
X
(e
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换： X(j)2sinT1
4. x[n][n]
X(ej) 1
Xej xnejn nejn1
n
n
20
三、离散时间傅里叶变换的收敛性
例5.1，5.2是无限长序列
x[n]a|n|,|a|1; 其傅里叶变换存在。 x[n]anu[n]|,a|1
X * ( e j ) X ( e j )即,X * ( e j ) X ( e j )
因此:
X (ej)X (e j) RX ( e ej) RX ( e e j) X (ej) X (e j) Im X (ej) Im X (e j)
❖ 若 x[n] 是实偶信号,则 x[n]x[n],
x% [n]X(ej)
ak2(k02l) kN l
23
如图P263 Fig5.9:下页
X (e j ) 2 a 0 ( 2 l) 2 a 1 (0 2 l)
l
l
.. .2aN1 ((N1)02l) ,02/N l
如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：
X(ej)2k ak(2N k)
调制特性在信息传输中是极其重要的。
一定是以 2 为周期的,因此,频域的冲激应该是周
期性的冲激串:
2（0 2k）
k
对其作反变换有
xn 1 X ej ejnd
2 2
0 ejnd ej0n
2
22
可见, 2（ 02k） F 1 ej0n k
由DFS ,有 ~ xnkNakejk0n,02N
因此,周期信号 ~xn 可表示为DTFT
§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
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二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e ) =
jω ∞ n = −∞
x ( n)
a>0 0
1 2 3 45
x ( n) = a n u ( n)
− jω n
a <1
n − jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
π
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于是，我们得到一对变换关系：
X ( e ) = DTFT { x ( n )} =
jω − jω n x ( n ) e -------DTFT变换式 ∑ ∞
n = −∞
π
1 jω jω jωn x(n) = IDTFT{X (e )} = X ( e ) e dω -------DTFT反变换式 ∫ 2π −π
5、奇、偶、虚、实性 设
DTFT x ( n ) = x r ( n ) + jx i ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) = X R ( ω) + jX I ( ω)
= X ( e jω ) e jϕ ( ω )
当x(n)是实序列，即 则
x(n) = x* (n)
X ( e jω ) = X * ( e − jω )
ω
0
π
2π
ω
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DTFT x ( n ) ← ⎯ ⎯→ X ( e jω ) 例题：设
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
离散时间傅里叶变换
离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。
考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。
下图给出了这种类型的⼀个信号。
由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。
随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。
⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。
现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
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8 / 3
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2020/8/19
X e j X s j /Ts
4 / 3 2 / 3
2 / 3 4 / 3 2 8 / 3
X e j X s j /Ts
4 / 3 2 / 3
2 / 3 4 / 3 2 8 / 3
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2.2 离散时间傅里叶变换 2.2 离散时间傅里叶变换
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DTFT定义 IDTFT定义 性质
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性 质
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2.2 离散时间傅里叶变换
周期性 对称性
线性 移位 时间翻转 调制 卷积 能量守恒
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2.3 连续信号FT与DTFT
xs (t) xa (t)sa (t) xa (nTs ) (t nTs ) n
FT
(t nTs ) FT e jnTs
X s ( j)
xa (nTs )e jnTs
n
DTFT
x(n) xa (nTs )
X (e j ) x(n)e jn xa (nTs )e jn
2.3 连续信号FT与DTFT
xs (t) xa (t)sa (t)
卷积
X s ( j)
1
2
X a ( j) Sa ( j)
1 2
[
2 Ts
X a ( j) ( ks )]
k
1
Ts
X a ( j ) ( ks )d
k
1
Ts k
X a ( j ) ( ks )d
移位
2.2 离散时间傅里叶变换
习题
x(n n0 ) e jn0 X (e j )
求 X (e j ) cos2 的IDTFT
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2.2 离散时间傅里叶变换
时间翻转 x(n) X (e j )
设
x(n) (n 1) (n) 2 (n 1) 3 (n 2)
x(2n 1) 的DTFT
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卷积
2.2 离散时间傅里叶变换
x(n) h(n) X (e j )H (e j )
x(n)h(n) 1 [ X (e j ) H (e j )]
2
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xa (t) cos(16000 t)
用 Ts 1/ 6000 对其采样，分析其频谱特性 。
2020/8/19
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Ts
16000
16000
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2.4 6000
Ts
16000
Xs j
Ts
x(n) 2 1 X (e j ) 2
n
2
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2.1 引言 2.2 离散时间傅里叶变换 2.3 连续信号的傅里叶变换
与序列傅里叶变换
2.4 采样定理 2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
2020/8/19
2020/8/19
2.4 采样定理
X e j X s j /Ts
Xs j
Ts
4000 2 / 3
4000 2 / 3
8000 12000 16000 4 / 3 2 8 / 3
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2.4 采样定理
已知连续时间信号 xa (t) cos(4000 t)
anu(n), a 1
1 1 ae j
anu(n 1), a 1 1 1 ae j
cos n 2020/8/19 0
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0
)
(
0
)
性 质
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2.2 离散时间傅里叶变换
周期性 对称性
线性 移位 时间翻转 调制 卷积 能量守恒
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信号的采样
xa t
sa t t nTs n
把脉冲转 化为采样
xn xa nTs
xs t xa t t nTs n
xa nTs t nTs n
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e jn0 x(n) X (e j(0 ) )
x(n) cosn0
1 2
X (e j(0 ) )
1 2
X (e j(0 ) )
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调制
2.2 离散时间傅里叶变换
设 x(n) 是一个具有DTFT
X (e j ) 的序列，请用 X (e j ) 表示
2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
2020/8/19
电气信息工程学院 图2.5.2 窗函数的影响
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本章重点
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2.2 离散时间傅里叶变换 2.2.1 DTFT定义
X (e j ) x(n)e jn n
2020/8/19
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其DTFT为 X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
求序列 y(n) 它具有如下给出的DTFT
Y (e j ) X I (e j ) jX R (e j )e j2
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调制
2.2 离散时间傅里叶变换
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Ts
4000
4000
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2.4 采样定理
Xa j
1500
1500
Ts
4000
Xs j
Ts
2000 1000
1000
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2000
3000
4000
2.4 采样定理
2.3 连续信号FT与DTFT
x(t) FT
采样
x(n)
DTFT
X j
什么关系？
X e j
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1.5 信号的采样、量化和编码
1
sa t 把脉冲转 xn xa nTs
xa t
xs t 化为采样
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X a ( j) 0 0 且采样频率
2
s Ts 20 那么 xa (t) 可以唯一地
从其采样 xa (nTs ) 中恢复
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2.4 采样定理
已知连续时间信号 xa (t) cos(4000 t) 用 Ts 1/ 6000 对其采样，分析其频谱特性 。
2.3 连续信号FT与DTFT
X (e j ) X s ( j) /Ts
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X a ( j) 0 0
2.4 采样定理
采样定理
如果 xa (t) 是严格带限的，即
X a ( j) 0 0 且采样频率
2
s Ts 20 那么 xa (t) 可以唯一地
k
冲激函数特性
系数求解定义
Ak
1 Ts
Ts / 2
(t)e jkst dt
Ts / 2
Ak 1 Ts
e jkst FT 2 ( ks )
Sa ( j) S ( ks ) k
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(
ks
)
1
0
ks 为其他值
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卷积
2.2 离散时间傅里叶变换
设 x(n) 是一个具有DTFT
X (e j ) 的序列，请用 X (e j ) 表示
x(n) x* (n) 的DTFT
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2.2 离散时间傅里叶变换 能量守恒定理
e jN / 2 (e jN / 2 e jN / 2 ) e j / 2 (e j / 2 e j / 2 )
e j(N 1) / 2 sin(N / 2) / sin( / 2)
RNg (e j ) sin(N / 2) / sin( / 2)
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(
ks
)
1
0
ks 为其他值
X s (
j)
1 Ts
k
Xa(
j
jks )
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