离散傅里叶级数、离散时间傅里叶变换与DFT

j )

n
F
j
n
tm

Sa(tm

n
)
（6.1-3）
式中 tm

1。
2 fs
模拟信号数字化处理系统
模拟信号数字化处理系统结构如图6.1-7所示的结构，它由 模数转换、数字信号处理和数模转换三部分组成。
图6.1-7 模拟信号数字化处理系统结构
（1）模数转换：要对模拟信号实现数字化处理，首先要将模 拟信号离散化。在实际中，让模拟信号通过一个A/D转换器就 实现了信号数字化。A/D转换器是一个具有取样、量化和编码 功能的采样保持电路。由于本书主要关心的是模拟信号转化为 离散信号的问题，所认下面仅仅把A/D转换器看作一个采样器， 采样器可用一个开关表示。
|

|
| | 10
10
又因 G() 1
Ts

F ( ns ) 15

F ( 30n)
采样后信号的频谱如图6.1-12所示。
要求通过一个理想低通滤波器后的信号频谱为 G() H( j) 5F( j) ，
故理想低通滤波器
H
(
j)

抽样信号的频谱
(a)
(b)
图6.1-2 抽样信号 f s (t)的频谱
抽样信号的频谱
(2)如果抽样脉冲序列 s(t )是窄脉冲序列，即它是幅度为1，脉宽 为τ的门序列，如图6.1-3所示。
图6.1-3 抽样脉冲序列 s(t) 是门函数序列
s(t)可写为 s(t)
pT
(t)


g
n
上的样点值
由时域抽样定理可知：为了能从抽样信号 fs (t) 恢复原信号 f (t)必须满足两个条件：
⑴信号 f (t) 必须是限带信号，其频谱函数在 m时为零；
⑵抽样频率不能太低，必须 s

2
（或
m
fs

2 fm
），或者说
抽样间隔不能太长，必须
Ts

1 2 fm
。
通常把最低允许抽样频率 fs 2 fm 称为奈奎斯特频率，把最
抽样后信号 fs (t)的频谱函数 Fs ( j) 为：
Fs (
j )


Ts
Sa n
n s
2
F (
j) * (
s)


Ts
n
Sa
n s
2
F[
j(

n s )]
如果信号 f (t)的频谱F ( j)为如图6.1-4(a)所示，当 s 2m
频谱将相互重叠，频谱重叠的这种现象称为混叠现象。
如果由原信号 f (t) 的频谱 F( j)的无限个频移所组成的频谱
函数 Fs ( j) 中各频移的频谱不相互重叠，则可利用低通滤波器，
从
Fs中( j得)到
F，( j从) 而恢复原信号 。f (t)
为了从抽样后的
离散信号恢复原连续
信号，其系统实现框
时，抽样后信号 fs (t) 的频谱函数 Fs ( j) 如图6.1-4(b)所示。
抽样信号的频谱
(a)
(b)
图6.1-4 信号的频谱
由此可见，抽样信号 fs (t)的频谱函数 Fs ( j )由原信号 f (t) 的频谱 F ( j)的无限个频移所组成，其频移的角频率为 ns
(n 0,1,2,)。
由零阶保持电路方框图，可得：h(t) u(t) u(t T ) 。
零阶保持电路的频率特性 H ( j) 1 e jT

j T
H ( j) e 2
j
即
1 cosT j sin T
H ( j)


2(1 cosT )
T
sin(T )
2
T
T
对信号的抽样过程可概括为利用抽样脉冲序列s(t) 从连续时
间信号f (t) 中“抽取”一系列离散样值的过程，这样得到的离散
信号通常称为抽样信号或取样信号，用表示fs (t) ，如图6.1-1所示。
抽样后的信号 f s (t) f (t)s(t)
（6.1-1）
式中，抽样脉冲序列 s(t) 也称为开关函数。如其各脉冲间隔时间
2
t

n

（6.1-2）
由此表明，连续信号 f (t)可以展开成正交抽样函数（Sa函
数）的无穷级数，该级数的系数等于抽样值 f (nTs ) 。即，若在 抽样信号 f (nTs )的每个样点处，画一个峰值为 f (nTs )的Sa的函 数波形，那么其合成波就是原信号 f (t) ，因此只要知道各抽样
m 4000 ， s 8000
(3) 由于 x(t) (sin 4000t )2,
t
F ()

1
2
F1 () F1()

B(1 0
| |) 20
| | 8000 ； s 16000 | | 8000
若取3db截止角频率 c
n
n
n
抽样后的信号通过理想低通滤波器后，输出信号为
f (t)

f s (t) * h(t)
n
f
(nTs
)


(t

nTs
)
*
Sa
st
2



n
f
(nTs
)Sa

s
2
(t

nTs )

n
f
(nTs
)Sa
s
t
解：根据时域抽样定理， s

(3)
2 m
x(t)

sin(4000t) 2


t
(1) 因为 m 4000 ，故s 8000 。
(2)
由于x(t)

(
s
in
4000t t
)

F1
(
)

A 0
| | 4000 ， | | 4000

1
2

F ( j) *s (
n
ns )

1 Ts

F ( j) * (
n
ns )

1 Ts

F
n
j( ns )
如果信号 f (t)的频谱 F ( j)为如图6.1-2(a)所示，当 s 2m 时，抽样信号 fs (t) 的频谱函数 Fs ( j) 如图6.1-2(b)所示。
一个周期的离散时间信号满足
x[k] x[k N]
式中N是某一正整数，是x[k ]的周期。
（6.2-1）
我们来研究复指数序列 e j(2 / N)k，因为它是周期序列，其周
期为N，基波频率为 0 2 / N
（6.2-2）
呈谐波关系的复指数序列集
n [k ] e jn2k / N ,
图如图6.1-5所示。
图6.1-5 从抽样后的离散信号恢复 原连续信号的系统实现框图
从抽样后的离散信号频谱 Fs ( j)中无失真地选出原连续信 号的频谱 F ( j)，可用一截止频率 m c的理想低通滤波器。
若选理想低通滤波器的 网络函数为
H
(
j
)
0 , c
第6章 离散傅里叶级数、离散时间傅里叶变换与DFT
6.1 信号抽样及抽样定理
6.2 周期离散时间信号的离散傅里叶 级数表示及系统响应
6.3 非周期离散时间信号的离散时间 傅里叶变换及系统响应
6.4 离散傅里叶变换
6 .1 信号抽样及抽样定理
在许多实际问题中，常常需要将连续时间信号变为离散时间 信号，这就要对信号进行抽样（取样或采样）。

2 8000
3
，则
s
10000
。
【例6.1-2】
已知
f
(t)

1
10 (t ) 2
(cos10t
1)，现用采样频率 s

30
对信号进行采样，试画出采样后信号的频谱。为使采样信号通
过一个理想低通滤波器后的频谱为
G1 ()

5F(),|
|

，试求
c
理想低通滤波器的传输函数。
零阶保持电路
一个零阶保持电路方框图如图6.1-8所示。
图6.1-8 零阶保持电路
一个零阶保持电路就是由取 样值再现为连续信号的一个粗糙 的复制器，如果输入为 f (t)的取样
信号fs (t) ，则其输出为一个与 f t
相似的阶梯信号，如图6.1-9所示。
图6.1-9 零阶保持电路的输出
零阶保持电路

n
F[s(t)] F[Ts (t)] ss () s ( ns )
n
抽样后的信号为 f s (t) f (t)s(t) f (t) Ts (t)
抽样后的信号的频谱则为
Fs ( j)

1
2
F[ f
(t)] * F[Ts
(t)]
sa(T )
2
2
由 H( j) 幅频特性可以看
出，零阶保持电路具有低通
特性，如图6.1-10所示。
图6.1-10 零阶保持电路 H( j) 幅频特性
【例6.1-1】求对应下列信号的奈奎斯特频率。
(1) x(t) 1 cos(2000t) sin(4000t)
(2) x(t) sin(4000t)
模拟信号数字化处理系统
（2）数字信号处理： 通过A/D转换以后，模拟信号被转换为数字信号，数字信