离散时间傅里叶变换.

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离散时间傅里叶变换

8 / 3
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2020/8/19
X e j X s j /Ts
4 / 3 2 / 3
2 / 3 4 / 3 2 8 / 3
X e j X s j /Ts
4 / 3 2 / 3
2 / 3 4 / 3 2 8 / 3
电气信息工程学院
Digital Signal Processing
2.2 离散时间傅里叶变换 2.2 离散时间傅里叶变换
2020/8/19
DTFT定义 IDTFT定义性质
电气信息工程学院
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性质
2020/8/19
2.2 离散时间傅里叶变换
周期性对称性
线性移位时间翻转调制卷积能量守恒
电气信息工程学院
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2.3 连续信号FT与DTFT
xs (t) xa (t)sa (t) xa (nTs ) (t nTs ) n
FT
(t nTs ) FT e jnTs
X s ( j)
xa (nTs )e jnTs
n
DTFT
x(n) xa (nTs )
X (e j ) x(n)e jn xa (nTs )e jn
2.3 连续信号FT与DTFT
xs (t) xa (t)sa (t)
卷积
X s ( j)
1
2
X a ( j) Sa ( j)
1 2
[
2 Ts
X a ( j) ( ks )]
k
1
Ts
X a ( j ) ( ks )d
k
1
Ts k

离散时间傅里叶变换

X
(e
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换： X(j)2sinT1
4. x[n][n]
X(ej) 1
Xej xnejn nejn1
n
n
20
三、离散时间傅里叶变换的收敛性
例5.1，5.2是无限长序列
x[n]a|n|,|a|1; 其傅里叶变换存在。 x[n]anu[n]|,a|1
X * ( e j ) X ( e j )即,X * ( e j ) X ( e j )
因此:
X (ej)X (e j) RX ( e ej) RX ( e e j) X (ej) X (e j) Im X (ej) Im X (e j)
❖ 若 x[n] 是实偶信号,则 x[n]x[n],
x% [n]X(ej)
ak2(k02l) kN l
23
如图P263 Fig5.9:下页
X (e j ) 2 a 0 ( 2 l) 2 a 1 (0 2 l)
l
l
.. .2aN1 ((N1)02l) ,02/N l
如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：
X(ej)2k ak(2N k)
调制特性在信息传输中是极其重要的。
一定是以 2 为周期的,因此,频域的冲激应该是周
期性的冲激串:
2（0 2k）
k
对其作反变换有
xn 1 X ej ejnd
2 2
0 ejnd ej0n
2
22
可见, 2（ 02k） F 1 ej0n k
由DFS ,有 ~ xnkNakejk0n,02N
因此,周期信号 ~xn 可表示为DTFT

§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT

《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列于是
X (e ) =
jω ∞ n = −∞
x ( n)
a>0 0
1 2 3 45
x ( n) = a n u ( n)
− jω n
a <1
n − jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
π
《信号与系统》
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于是，我们得到一对变换关系：
X ( e ) = DTFT { x ( n )} =
jω − jω n x ( n ) e -------DTFT变换式 ∑ ∞
n = −∞
π
1 jω jω jωn x(n) = IDTFT{X (e )} = X ( e ) e dω -------DTFT反变换式 ∫ 2π −π
5、奇、偶、虚、实性设
DTFT x ( n ) = x r ( n ) + jx i ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) = X R ( ω) + jX I ( ω)
= X ( e jω ) e jϕ ( ω )
当x(n)是实序列，即则
x(n) = x* (n)
X ( e jω ) = X * ( e − jω )
ω
0
π
2π
ω
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
DTFT x ( n ) ← ⎯ ⎯→ X ( e jω ) 例题：设

第3章离散时间傅里叶变换

第3章离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。

与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。

本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。

3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。

若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。

[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。

即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。

离散时间傅里叶变换

离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。

考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。

下图给出了这种类型的⼀个信号。

由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。

随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。

⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。

现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。

同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。

1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。

时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。

)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。

上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。

数字信号处理____第二章离散时间傅里叶变换(DTFT)

x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓

z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)

m 0
bm x (n m )

k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）

§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征

用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]

X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)

j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2

离散时间序列的傅里叶变换

离散时间序列的傅里叶变换
傅里叶变换：傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2

F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )

i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R

N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）

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本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。

3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。

[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：图3-1离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。

即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。

3.1.2 非周期序列傅里叶变换的性质从序列傅里叶变换定义式(3-1-1)可知，非周期序列的傅里叶变换就是序列的z 变换在单位圆上的取值(当序列的z 变换在单位圆上收敛时)，即：∑∞-∞=ω-=ω==ωn nj e z j e n x z X e X j )()()(⎰=-π=1||1)(21)(z n dz z z X jn x ⎰ππ-ωωωπ=d e e X n j j )(21因此，非周期序列傅里叶变换的一切特性，皆可由z 变换得到。

正因如此，下面所述的性质，读者可仿z 变换性质的证明方法进行证明，在这里就不一一证明了。

1. 线性设)()]([11ω=j e X n x DTFT ，)()]([22ω=j e X n x DTFT ，则：)()()]()([2121ωω+=+j j e bX e aX n bx n ax DTFT (3-1-4)2．移位设)()]([ω=j e X n x DTFT ，则：)()]([00ωω-=-j n j e X e n n x DTFT (3-1-5)证明：00()[()]()j j nn X e DTFT x n n x n n eωω∞-=-∞=-=-∑00()()()j nn j n j n n j n j x n n en n n x n e e e X e ωωωωω∞-=-∞∞'--=-∞-'=-=-'==∑∑3．频移性设)()]([ω=j e X n x DTFT ，则：)()]([)(00ω-ωω=j n j e X n x e DTFT (3-1-6)4．对称性为了较方便地讨论非周期序列傅里叶变换的对称性，首先我们引入一些有关序列的基本概念—共轭对称序列与共轭反对称序列。

若序列)(n x e 满足下式：)()(n x n x e e -=*(3-1-7)则称序列)(n x e 为共轭对称序列。

对实序列而言，有)()(n x n x e e -=，即序列)(n x e 为偶对称序列。

若序列)(n x o 满足下式：)()(n x n x o o --=* (3-1-8)则称序列)(n x o 为共轭反对称序列。

对实序列而言，有)()(n x n x o o --=，即序列)(n x o 为奇对称序列。

因此，根据共轭对称序列与共轭反对称序列的定义，共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o 可由任意一个序列)(n x 按下构成)]()([21)(n x n x n x e -+=* (3-1-9) )]()([21)(n x n x n x o --=* (3-1-10)也就是说，对任意一个序列)(n x 都可以用共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o 之和来表示，即：)()()(n x n x n x o e += (3-1-11)同类可定义傅里叶变换)(ωj e X 的共轭对称分量和共轭反对称分量：)()()(ωωω+=j o j e j e X e X e X (3-1-12))]()([21)(ω-*ωω+=j j j e e X e X e X (3-1-13) )]()([21)(ω-*ωω-=j j j o e X e X e X (3-1-14)其中)(ωj e e X 称为傅里叶变换)(ωj e X 的共轭对称分量，满足)()(ω-*ω=j e j e e X e X ；)(ωj o e X 称为共轭反对称分量，满足)()(ω-*ω-=j oj o e X e X 。

式(3-1-12)表示序列)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 也可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和。

与序列的情况相同，若)(ωj e X 为实函数，且满足共轭对称，即)()(ω-ω=j j e X e X ，则称为频率的偶函数。

若)(ωj e X 为实函数，且满足共轭反对称，即)()(ω-ω-=j j e X e X ，则称为频率的奇函数。

若对式(3-1-9)、式(3-1-10)和式(3-1-11)两边进行序列傅里叶变换，可得序列)(n x 有如下性质： (1) 序列)(n x 的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即)()]}({Re[ω=j e e X n x DTFT (3-1-15)(2) 序列)(n x 的虚部乘j 后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即)()]}(Im[{ω=j o e X n x j DTFT (3-1-16)(3) 序列)(n x 的共轭对称分量)(n x e 和共轭反对称分量)(n x o 的傅里叶变换分别等于序列的傅里叶变换的实部和j 乘以虚部，即)]([)]([ω=j e e e X R n x DTFT (3-1-17) )]([)]([ω=j m o e X jI n x DTFT (3-1-18)(4) 若)(n x 是实序列，则其傅里叶变换)(ωj e X 满足共轭对称性，即)()(ω-*ω=j j e X e X (3-1-19)也就是说：)]([)]([ω-ω=j e j e e X R e X R (3-1-20))](Im[)](Im[ω-ω-=j j e X e X (3-1-21)由此可以看出，实序列的傅里叶变换的实部是ω的偶函数，而虚部是ω的奇函数。

(5) 序列)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 的极坐标表示形式为：)](arg[)()(ωωω=j eX j j j e e X e X (3-1-22)对实序列)(n x ，有：)()(ω-ω=j j e X e X (3-1-23))](arg[)](arg[ω-ω-=j j e X e X (3-1-24)也就是说，实序列的傅里叶变换的幅度是ω的偶函数，而相角是ω的奇函数。

5．时域卷积定理若)()()(n h n x n y *=，则有：)()()(jw jw jw e H e X e Y = (3-1-25)证明：由卷积和定义有∑∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(，等式两边作傅里叶变换得：∑∑∞-∞=ω-∞∞-ω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=n nj m j em n h m x e Y )()()( 令m n k -=，则上式可改写为：∑∑∞-∞=∞-∞=ω-ω-ω=k m mj k j j e em x k h e Y )()()()()()()(ωω∞-∞=ω-∞-∞=ω-==∑∑j j m mj k kj e H e X em x e k h6．频域卷积定理若)()()(n h n x n y ⋅=，则)()(21)(ωωω*π=j j j e H e X e Y ⎰ππ-θ-ωθθπ=d e H e X j j )()(21)( （3-1-26）7．帕塞瓦尔（Parseval ）定理ωπ=⎰∑ππ-ω∞-∞=d e X n x j n 22)(21)( (3-1-27)表3-1 综合了DTFT 的性质，这些性质在以后的分析问题和实际应用中是非常重要的。

表3-1给出了常用序列的傅里叶变换，这在以后的实际应用中很重要。

表3-1序列的傅里叶变换的性质[例3-2] 若)(n x 的傅里叶变换为)(ωj e X ，求下面序列的傅里叶变换：(1))(n kx (k 为常数) (2))4(-n x (3))(n x *(4)⎪⎩⎪⎨⎧=为奇数为偶数n n n x n g 0)2()(解：根据序列傅里叶变换的定义及性质有：(1) )()(ω−→←j Fe kX n kx(2) )()4(4jw j F e X e n x ω-−→←- (3) )()()()(ω-**∞-∞=ω∞-∞=ω-**=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=−→←∑∑j n jn n jn Fe X e n x en x n x (4) )()()2()(22''2''ω∞-∞=ω-=∞ω-ω===∑∑j n n j n n n jn j e X e n x e nx e G 令为偶数表3-2 常用序列傅里叶变换[例3-3] 若序列)(n h 是实因果序列，其傅里叶变换的实部为ω+=ωcos 1)(j R e H 。

求序列)(n h 及其傅里叶变换)(ωj e H 。

解：利用三角函数关系得：ω-ωω++=ω+=j j j R e e e H 21211cos 1)( 由序列傅里变换的定义有：∑∞-∞=ω-ω==n nj ee j R en h n h DTFT e H )()]([)(。

比较两式可得：2/1)1(=-e h ，1)0(=e h ，2/1)1(=e h由于)(n h 是实因果序列，因此，)()(*n h n h =，当0<n ，0)(=n h 。

离散时间傅里叶变换.

离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换

§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT

第3章离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换

数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)

离散时间序列的傅里叶变换

数字信号处理____第二章离散时间傅里叶变换(DTFT)