第八章 弯曲变形
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工程力学 第8章弯曲内力
A
q
Me
B
纵
向
对称面
x
FAy
y
FBy
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁 的纵向对称平面内，梁轴线也在该 平面内弯成一条曲线。
第一节
F
弯曲内力的概念
Me
B
纵 向 对称面
q
A
x
FAy FBy
y
二、单跨静定梁的基本形式：
第二节
剪力图与弯矩图
一、梁的内力——剪力和弯矩
图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平 衡状态。 求距离支座A为x的横截面m-m上的内力。
x 0, M 0
x l, M 0
1 1 x l , M ql 2 2 8
Qmax
ql 2
M max pl
四.内力图的一般规律
1. M、Q图规律：
外力情况 剪力图 上的特征 有荷载段 q<0 (向下) ↘(向下斜直线) 无荷载段 水平线 集中力F 作用处 有突变， 突变值为F 集中力偶M 作用处 不变
二．用方程法绘制梁的内力图 第二节 剪力图和弯矩图
例题2. 简支梁受集 中力作用如图 所示，求梁的 剪力方程和弯 矩方程，画出 Q、M图并确定 最大剪力和最 大弯矩。
例题分析2.简支梁受均布荷载作用如图所示，求梁的剪力方程和弯矩方程， 画Q、M图，确定最大剪力和最大弯矩。
解：（1）计算支座反力
R A RB 1 ql 2
剪力图和弯矩图
二.剪力图和弯矩图的作法： 取平行于梁轴的轴线表示截面位置 规定：正值的剪力画轴上侧， 正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁： 当x=o, Q(x)=-P, x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=0 M(x)=-Pl-ql2/2
q
Me
B
纵
向
对称面
x
FAy
y
FBy
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁 的纵向对称平面内，梁轴线也在该 平面内弯成一条曲线。
第一节
F
弯曲内力的概念
Me
B
纵 向 对称面
q
A
x
FAy FBy
y
二、单跨静定梁的基本形式：
第二节
剪力图与弯矩图
一、梁的内力——剪力和弯矩
图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平 衡状态。 求距离支座A为x的横截面m-m上的内力。
x 0, M 0
x l, M 0
1 1 x l , M ql 2 2 8
Qmax
ql 2
M max pl
四.内力图的一般规律
1. M、Q图规律：
外力情况 剪力图 上的特征 有荷载段 q<0 (向下) ↘(向下斜直线) 无荷载段 水平线 集中力F 作用处 有突变， 突变值为F 集中力偶M 作用处 不变
二．用方程法绘制梁的内力图 第二节 剪力图和弯矩图
例题2. 简支梁受集 中力作用如图 所示，求梁的 剪力方程和弯 矩方程，画出 Q、M图并确定 最大剪力和最 大弯矩。
例题分析2.简支梁受均布荷载作用如图所示，求梁的剪力方程和弯矩方程， 画Q、M图，确定最大剪力和最大弯矩。
解：（1）计算支座反力
R A RB 1 ql 2
剪力图和弯矩图
二.剪力图和弯矩图的作法： 取平行于梁轴的轴线表示截面位置 规定：正值的剪力画轴上侧， 正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁： 当x=o, Q(x)=-P, x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=0 M(x)=-Pl-ql2/2
工程力学第八章 直梁弯曲
实际加工中，采用在铣刀 对面加顶尖的方式。其力学 原理是：增加铣刀的支座约 束，其受力图如图c所示，使 铣刀根部截面上的弯矩MW 减小。铣刀所受的径向力F， 一部分由顶尖承担，使铣刀 根部截面上的应力也相应减 小，从而保证了铣刀不被折 断，提高了生产效率。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
8章弯曲应力及弯曲强度
弯 矩 图 特 点
x
Fs<0 M
递增函数
x
x
递减函数
Fs1–Fs2=F 由左到右的折角
Fs2
x
斜直线
曲线
M x
递增函数
M x
M
M
x
隆起 与 F相同
以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 a) 外力特征: 受横向载荷的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. b) 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
8.1 平面弯曲的概念和实例
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在同一平面内，并 且弯曲变形后的轴线也位于这个平面内，则梁必关于 此平面对称，这类弯曲称为平面弯曲。
1 a y qL M x 1 M1 x1 Fs1 2 b FR MR
2 用截面法计算Fs1和M1 取1-1截面左边的梁段，根据平衡条件计算 Fs1和M1 .
1 2 M R M qL(a b) qb 2
FR qL qb
F
Y
0
ql FS1 0
M
c1
0
FS1 ql
FS 2 q( x2 a l )
M
c2
0
1 M ql x2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 M qlx 2 q( x2 a) 2 2
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
qL M 1 1 a y x 2
q
若取2-2截面右边的梁段，计算FQ2 FR qL qb 和M2.
F
y
0; ( FS ( x) dFs ( x) Fs ( x) q( x)dx 0
x
Fs<0 M
递增函数
x
x
递减函数
Fs1–Fs2=F 由左到右的折角
Fs2
x
斜直线
曲线
M x
递增函数
M x
M
M
x
隆起 与 F相同
以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 a) 外力特征: 受横向载荷的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. b) 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
8.1 平面弯曲的概念和实例
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在同一平面内，并 且弯曲变形后的轴线也位于这个平面内，则梁必关于 此平面对称，这类弯曲称为平面弯曲。
1 a y qL M x 1 M1 x1 Fs1 2 b FR MR
2 用截面法计算Fs1和M1 取1-1截面左边的梁段，根据平衡条件计算 Fs1和M1 .
1 2 M R M qL(a b) qb 2
FR qL qb
F
Y
0
ql FS1 0
M
c1
0
FS1 ql
FS 2 q( x2 a l )
M
c2
0
1 M ql x2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 M qlx 2 q( x2 a) 2 2
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
qL M 1 1 a y x 2
q
若取2-2截面右边的梁段，计算FQ2 FR qL qb 和M2.
F
y
0; ( FS ( x) dFs ( x) Fs ( x) q( x)dx 0
第八章 弯曲刚度详解
f (P1、P2、Pn ) f1(P1) f2 (P2 ) fn (Pn )
2、结构形式叠加（逐段刚化法）
结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明
L1
A
C
f L1
A 刚化AC段C
L1
A
C
+
=
L2
P
fB x
f f1 f2
L2
P 等价
B
L2
P
C
Bf1x
L2
P 等价
f L1
P L2
B
刚化BC段
A f
f L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚
、设计载荷： 度常处于从属地位。特殊构件例外）
[例7] 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长
a=200mm的正方形，均布载荷集度 q 40kN/m ，弹性模量
E1=10GPa ， 钢 拉 杆 的 横 截 面 面 积 A=250mm2 ， 弹 性 模 量 E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位 移。
第八章 弯曲刚度
§8-1 弯曲变形与位移
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（为变形几何条件提供补充 方程）。
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用ω表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
v
f
C1
P
2.转角：横截面绕其中性轴转
x
动的角度。用 表示，顺时
Fy mA
RA RB RB l
F 0 F 1.5l
0
RRBA
0.5F 1.5F
2．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：
2、结构形式叠加（逐段刚化法）
结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明
L1
A
C
f L1
A 刚化AC段C
L1
A
C
+
=
L2
P
fB x
f f1 f2
L2
P 等价
B
L2
P
C
Bf1x
L2
P 等价
f L1
P L2
B
刚化BC段
A f
f L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚
、设计载荷： 度常处于从属地位。特殊构件例外）
[例7] 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长
a=200mm的正方形，均布载荷集度 q 40kN/m ，弹性模量
E1=10GPa ， 钢 拉 杆 的 横 截 面 面 积 A=250mm2 ， 弹 性 模 量 E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位 移。
第八章 弯曲刚度
§8-1 弯曲变形与位移
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（为变形几何条件提供补充 方程）。
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用ω表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
v
f
C1
P
2.转角：横截面绕其中性轴转
x
动的角度。用 表示，顺时
Fy mA
RA RB RB l
F 0 F 1.5l
0
RRBA
0.5F 1.5F
2．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：
工程力学第八章__直梁弯曲
作用面内的一条曲线。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
第 8 章 弯曲刚度解读
kN，a＝lm，l＝2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图 所示。规定轴承B 处的许用转角θ =0.5°。
试：根据刚度要求确定该轴的直径d。
A
Fp
B
C
a
d
l
第 8 章
弯曲强度
A
Fp
弯曲刚度计算
B
C
a
d
l
解： 1．查表确定 B 处的转角 2．根据刚度设计准则确定轴的直径
3 4
FP la B＝－ 3EI
梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。
A
x
F
l
B
x
MA FA
w
解：1. 建立坐标系 2. 求支反力 3. 列弯矩方程
FA F
M A Fl
M( x ) F( l x )
第 8 章
弯曲强度
小挠度微分方程及其积分
A
x
l
F
B
x
w
4. 建立挠曲线近似微分方程并积分 EIw( x ) F ( l x ) 2 x EIw( x ) EI F ( lx ) C 2 2 3 lx x EIw ( x ) F ( ) Cx D 2 6 5. 确定积分常数 边界条件 在x = 0 处 , θ = 0 , 求得：C = 0 ,
第 8 章
弯曲强度
简单静不定梁
q
A
a
q
B
a
C
A
a
C F Cy
B
a
6.相当系统：多余约束解除后，所得之受力与原静不 定梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。
变形协 调方程
wC 0
wC 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
试：根据刚度要求确定该轴的直径d。
A
Fp
B
C
a
d
l
第 8 章
弯曲强度
A
Fp
弯曲刚度计算
B
C
a
d
l
解： 1．查表确定 B 处的转角 2．根据刚度设计准则确定轴的直径
3 4
FP la B＝－ 3EI
梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。
A
x
F
l
B
x
MA FA
w
解：1. 建立坐标系 2. 求支反力 3. 列弯矩方程
FA F
M A Fl
M( x ) F( l x )
第 8 章
弯曲强度
小挠度微分方程及其积分
A
x
l
F
B
x
w
4. 建立挠曲线近似微分方程并积分 EIw( x ) F ( l x ) 2 x EIw( x ) EI F ( lx ) C 2 2 3 lx x EIw ( x ) F ( ) Cx D 2 6 5. 确定积分常数 边界条件 在x = 0 处 , θ = 0 , 求得：C = 0 ,
第 8 章
弯曲强度
简单静不定梁
q
A
a
q
B
a
C
A
a
C F Cy
B
a
6.相当系统：多余约束解除后，所得之受力与原静不 定梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。
变形协 调方程
wC 0
wC 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
工程力学习题册第八章 - 答案
第八章 直梁弯曲一、填空题1.工程中 发生弯曲 或以 弯曲变形 为主的杆件称为梁。
2.常见梁的力学模型有 简支梁 、 外伸梁 和 悬臂梁 。
3.平面弯曲变形的受力特点是 外力垂直于杆件的轴线，且外力和力偶都作用在梁的纵向对称面内 ；平面弯曲变形的变形特点是 梁的轴线由直线变成了在外力作用面内的一条曲线 ；发生平面弯曲变形的构件特征是 具有一个以上对称面的等截面直梁 。
4.作用在梁上的载荷有 集中力 、 集中力偶 和 分布载荷 。
5.梁弯曲时，横截面上的内力一般包括 剪力 和 弯矩 两个分量，其中对梁的强度影响较大的是 弯矩 。
6.在计算梁的内力时，当梁的长度大于横截面尺寸 五 倍以上时，可将剪力略去不计。
7.梁弯曲时，某一截面上的弯矩，在数值上等于 该截面左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩 的代数和。
其正负号规定为：当梁弯曲成 凹面向上 时，截面上弯矩为正；当梁弯曲成凸面向上 时，截面上弯矩为负。
8.在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变值等于 集中力偶矩 。
9.横截面上弯矩为 常数 而剪力为 零 的平面弯曲变形称为 纯弯曲变形 。
10.梁纯弯曲变形实验中，横向线仍为直线，且仍与 梁轴线 正交，但两线不再 平行 ，相对倾斜角度θ。
纵向线变为 弧线 ，轴线以上的纵向线缩短，称为 缩短 区，此区梁的宽度 增大 ；轴线以下的纵向线伸长，称为 伸长 区，此区梁的宽度 减小 。
情况与轴向拉伸、压缩时的变形相似。
11.中性层与横截面的交线称为 中性轴 ，变形时梁的 所有横截面 均绕此线相对旋转。
12.在中性层凸出一侧的梁内各点，其正应力均为 正 值，即为 拉 应力。
13.根据弯曲强度条件可以解决 强度校核 、 截面选取 和 确定许可载荷 等三类问题。
14.产生最大正应力的截面又称为 危险截面 ，最大正应力所在的点称为 危险点 。
15.在截面积A 相同的条件下， 抗弯截面系数 越大，则梁的承载能力就越高。
第8章 弯曲内力
8.1 弯曲的概念与实例
一、弯曲的实例
工厂厂房的天车大梁
第8章 弯曲内力
8.1 弯曲的概念与实例
火车车轴
第8章 弯曲内力
8.1 弯曲的概念与实例
楼房的横梁
阳台的挑梁
第8章 弯曲内力
8.1 弯曲的概念与实例
二、弯曲的基本概念
1、弯曲变形 当杆件受到垂直轴的横向外力或者外力偶作用时，杆件 的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。
A
RA
固定铰支座
A
YA
A A
XA
A
第8章 弯曲内力
8.1 弯曲的概念与实例
固定端
H 四、载荷的简化
R
M
第8章 弯曲内力
8.1 弯曲的概念与实例
五、静定梁的计算简图
经过对支座和载荷的简化，并以梁的轴线表示梁，得到梁
的计算简图。
梁主要分为两大类：
1.静定梁
用静力学的平衡方程即可求出全部支反力的梁 2.超静定（静不定）梁
解 (1)求梁的支反力 RA 和 RB
mA 0
RB l F1a F2b 0
RA
A
a
F1
C E
F2
D F
RB
B d
mB 0
RAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
F1 ( l a ) F2 ( l b) RA l
c b
l
F1a F2b RB l
一、剪力方程和弯矩方程
为了描述剪力和弯矩沿轴线变化的情况，以横坐标x表示横截 面沿在梁轴线上的位置，即各横截面上的剪力和弯矩均可表示为 x的函数，即
1、剪力方程
2、弯矩方程
第八章-弯曲应力(材料力学课件)
P
A
C
B
300 200
2m
2m
CL8TU15
AC 解：
( x) (x) dx dx E 0 0
Px P l2 dx 2 Wz E 16 W z E 0
l /2
l /2
l /2
l /2
0
M ( x) dx Wz E
2 1 6 WE 1 6 0 . 2 0 . 3 z A C 1 0 3 P 1 0 5 1 0 2 l2 6 4 P 1 5 0k N
M y Iz
• 上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推 导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 • 对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生 剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平
面。
• 弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于 梁的横截面高度5倍(即l>5h)时，剪应力和挤 压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不 计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式， 仍可以应用于横力弯曲的梁中。
二、梁的正应力强度条件
M m a x m [ ] a x W Z
利用上式可以进行三方面的强度计算： ①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核 梁的强度 ②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的 截面尺寸 ③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均 相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度
Iz y max
CL8TU5
bh IZ 12
3
bh , W Z 6
4
2
d IZ 64
Z
, WZ
4
d
4
3
建筑力学
又由 MB 0 得 F1 5 F2 2 FA 6 0
由①、②得 FA 35kN
FB 25kN
(2)求截面1-1上的内力
在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力图如图88（b)，内力 FS1和 M1 均先假设为正的方向，列平衡方程：
由 Fy 0 得 由 M1 0 得
图8-5
剪力的常用单位为N或kN，弯矩的常用单位为N·m，或kN·m
剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求Fs 0
得
Fs FA
由
M0 0
FA a M 0
得
M FA a
据作用如与果反取作右用段力梁的作关为系研，究它对们象与，从同右样段可梁求求得出截m面mm截m面上上的FFSS
第八章 梁的弯曲
a
第一节 梁的平面弯曲
一、弯曲变形和平面弯曲 弯曲是构件变形的基本形式之一。当一杆件 在两端承受一对等值、反向的外力偶作用，且 力偶的作用面与杆件的横截面垂直时，如图81（a），杆件的轴线由直线变为曲线，这种变 形称为弯曲变形，简称弯曲。
（a）
图 8-1
（b）
有时，杆件在一组垂直于杆轴的横向 力作用下也发生弯曲变形，如图8-1（b）， 发生这种弯曲变形时还伴有剪切变形，此 称为剪切弯曲或横向弯曲。
用简易法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程。
例8-3 用简易法求图8-10所示简支梁1-1截面上的剪力和弯矩。
解: (1)求支座反力图8-10 由梁的整体平衡方程求得
FA 8kN
FB 7kN
图8-10
(2)计算1-1截面上的内力 由1-1截面以左部分的外力来计算内力， 根据“顺转剪力正”和“下凸弯矩正”得
由①、②得 FA 35kN
FB 25kN
(2)求截面1-1上的内力
在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力图如图88（b)，内力 FS1和 M1 均先假设为正的方向，列平衡方程：
由 Fy 0 得 由 M1 0 得
图8-5
剪力的常用单位为N或kN，弯矩的常用单位为N·m，或kN·m
剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求Fs 0
得
Fs FA
由
M0 0
FA a M 0
得
M FA a
据作用如与果反取作右用段力梁的作关为系研，究它对们象与，从同右样段可梁求求得出截m面mm截m面上上的FFSS
第八章 梁的弯曲
a
第一节 梁的平面弯曲
一、弯曲变形和平面弯曲 弯曲是构件变形的基本形式之一。当一杆件 在两端承受一对等值、反向的外力偶作用，且 力偶的作用面与杆件的横截面垂直时，如图81（a），杆件的轴线由直线变为曲线，这种变 形称为弯曲变形，简称弯曲。
（a）
图 8-1
（b）
有时，杆件在一组垂直于杆轴的横向 力作用下也发生弯曲变形，如图8-1（b）， 发生这种弯曲变形时还伴有剪切变形，此 称为剪切弯曲或横向弯曲。
用简易法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程。
例8-3 用简易法求图8-10所示简支梁1-1截面上的剪力和弯矩。
解: (1)求支座反力图8-10 由梁的整体平衡方程求得
FA 8kN
FB 7kN
图8-10
(2)计算1-1截面上的内力 由1-1截面以左部分的外力来计算内力， 根据“顺转剪力正”和“下凸弯矩正”得